2015年11月の記事一覧

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数学月間SGK通信 ［2015.11.24］ No.090
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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秋らしい日になりましたが，今年も慌ただしく過ぎて行きます．
皆様お変わりありませんか．
前号で双曲幾何平面（ポアンカレ円盤モデル）の正則分割（タイル張り）の話をしました．
そのような光景を万華鏡で作ってみることにします．
■コクセターの万華鏡
まず球表面（楕円幾何平面）の話から復習します．
球表面が球面正p多角形タイルで{p,q}のように張りつめられているとき，
1つのタイルの中を2p個の直角3角形に分割できます．
この直角3角形を鏡室とする万華鏡は“メビウスの万華鏡”です．
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/568613/51/17096451/img_1_m?1447147230
直角3角形の内角は，それぞれ π/p，π/q，π/2で，この直角3角形を（p,q,2）と書きます．
ポアンカレ円盤の双曲幾何平面でも，双曲正p多角形で{p,q}のように張りつめられているとき，
１つのタイルを2p個の直角3角形に分割できます．
この直角3角形を鏡室とする万華鏡は“コクセターの万華鏡”です．
双曲面の｛6,4｝正則分割の場合の直角3角形(6,4,2)(赤い3角形）を図（左）に，
対応する“コクセターの万華鏡”の映像を図（右）に示します．
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/568613/15/17104115/img_0_m?1447459606
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/568613/15/17104115/img_1_m?1447459606
この3角形の2辺は平面鏡，残りの1辺は円盤のフ チに直交する円弧鏡よりなります．
しかしながら，この円弧鏡は，数学的には反転円として定義できるのですが，
現実の円柱鏡の反射には収差があるので，数学 の定義のようにはいきません．
従って，あまり鮮明な万華鏡映像にはなりません．

■(7,3,2)3角形によるコクセターの万華鏡
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/568613/87/17106487/img_0_m?1447506664
(1){7,3}の正7角形タイル張り(赤)　(2)｛3,7｝の正3角形タイル張り（緑）　(3)菱形タイル張り（青）
3枚鏡（直線鏡2枚，円弧鏡1枚）の万華鏡により
ポアンカレ円盤内の双曲平面は市松模様に塗られますが，
正7角形のタイル張り，正3角形のタイル張り，菱形タイル張り
などを見ることができます．

話はこの先，エッシャーの作品「極限としての円」シリーズに続きます．

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数学月間SGK通信 ［2015.11.17］ No.089
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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非ユークリッド幾何の双曲幾何平面を訪ねて見ようと思います．
エッシャーの作品で「極限としての円」シリーズを見たことがおありでしょうか．
円盤の世界で周辺に行くほど，どんどん小さくなって行く構図です．
この作品は双曲幾何のポアンカレ円盤モデルを使い，
円盤内の正則分割（コクセターの万華鏡）が基礎になっています．
正多角形タイルによるタイル張り（正則分割という）は，
双曲幾何平面の場合は無限にあります．
例として，{6,4}と{5,4}を掲載しますので，まずはご鑑賞ください．
　http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/568613/02/17100202/img_0_m?1447229525
（注）
ポアンカレの双曲幾何のモデルは，円盤の中にすべての宇宙があります．
宇宙の果て（円盤のフチ）に近づけば近づくほど自分もどんどん小さくなるので
いつまでたっても宇宙の果てに到達できません（無限の時間がかかります）．

{6,4}は正6角形による双曲幾何平面の正則分割で，各頂点に4個の正6角形が集まっています．
円盤の中は双曲幾何の世界ですから，この世界の直線は円盤のフチに直交する円弧です．
正6角形の辺はすべて直線です．円盤の中に描かれた円弧は皆，縁と直交しており，
この世界ではすべて直線です．円盤の中の正6辺形はすべて同じ大きさです．
同様に，{5,4}の図は正5角形による双曲幾何平面の正則分割の例です．
　http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/568613/02/17100202/img_1_m?1447686193

例えば，赤い円弧で分けられた世界は左が大きく右が小さいようですが，
この円盤内の世界では同じ広さです．どちらの世界も無限に広い．
円弧は左右の世界を写し合う鏡です．鏡像は色が変るように市松模様に塗り分けました．

■エッシャーのトリック（引用先：コクセター論文）

M.C.エッシャーの「極限としての円」Circle limit IIIを鑑賞しましょう（図左）．
この円盤内は双曲幾何の世界（ポアンカレの円盤モデル）です．
この円盤内を旅する人は，円の縁（世界の果て）に近づくほど時間がかかる．
つまり，［世界の果てに到達するには無限の時間がかかる］ようになっています．
この世界で定義される直線（最短時間で移動できる経路）は，円盤世界の縁で直交する円弧です．
エッシャー作品（図（左））の円盤は，魚の流れを示す白い線で分割された双曲面の
[4,3,4,3,4,3]分割のように見えますが，実は図（中）に示すような，黒い線で分割した{8,3}正則分割です．
白い線は，双曲幾何の円盤世界の縁に80°で交差し，直線ではないのです．
図（中）の正8角形の黒い線がこの円盤世界の直線であることは，図（中）に書き込んだ赤い円弧
（いずれも円盤縁で直交する円弧）を見れば理解できるでしょう．
 

双曲平面の正８角形タイルは，双曲平面の直線（円盤の縁で直交する円弧）で囲まれています．
タイルの大きさは円盤の縁に行くほど小さく見えますが，円盤内は無限に広い双曲幾何平面なのですべて同じ大きさです．
１つのタイルの中には4匹の魚がおり中心に4回軸があります．
正8角形の頂点には3回軸があり，魚の白い流れは3回軸の場所に集まっています．
エッシャーは｛8,3｝分割に用いる直線をわざと隠し，白い流れが分割であるようなトリックを見せます．
もちろん，白い流れの円弧（直線ではない）に関して鏡映対称はありません．

■直角3角形(7,3,2) によるコクセターの万華鏡

正7角形のタイルは，直角3角形(7,3,2)［内角の組（π/7,π/3,π/2）の３角形のこと］の14個に分割できる．
直角3角形(7,3,2)を鏡室とする万華鏡を，コクセター万華鏡と呼びます．

(1)　{7,3}の正7角形タイル(赤)張り．　(2)   (1)の双対である{3,7}の正3角形タイル(緑)張り．(3)　菱形タイル(青)張り．

3枚鏡（直線鏡2枚，円弧鏡1枚）のコクセター万華鏡により，
ポアンカレ円盤内の双曲平面は市松模様に塗られます．
生じるタイル張りは，正7角形のタイル張り，正3角形のタイル張り，菱形タイル張り，に見えます．

■エッシャー作品の生まれるまで

コクセター　　　　　　　　　　　　　　　エッシャー
直角3角形（6,4,2)　　　　　　　　　　　　直線魚のモチーフ　　　　「極限としての円I」
双曲面の{6,4}分割を細分　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Circle Limit I

コクセターとエッシャーはオランダで開催された1954年の国際数学者会議で出会いました．
1958年にコクセターはこの分割を掲載した論文*をエッシャーに送り，
これがエッシャーの「極限としての円」の作品群を生むことになります．

*By S.H.M.Coxeter
Crystal Symmetry and ItsGeneralizations (published in the Transactions of the RoyalSociety of Canada in 1957).

 続く⇒　極限としての円Ⅲ