2015年10月の記事一覧

■空間のデジタル化
最近の交通信号は，発光ダイオードのドットが円盤内に配置されています．
本来，円盤内は連続平面ですが，ドットの配置で表現される円盤は，
離散化（あるいはデジタル化）されています．
デジタル化された世界では，ドットを１つ２つと数えることができます．
ドットを十分小さくすれば，ドットはいくらでもこの世界に入ります．
このような世界を，“可算無限”の世界といいます．一方，連続平面は，
点を数えることすらできない“非可算無限”の世界です．
（例）整数や有理数（分数で書ける数）は可算無限個，
　　無理数（分数では書けない数）は非可算無限個です

■無限に続く繰り返し
　周期的な空間－結晶世界

黒と白のタイルでできる市松模様が無限に広がっています．
もし，白いタイルのどれか一つの上にいたとしても，
市松模様の世界は無限に続いているのですから，
そこがいつも世界の真ん中に思えます．
つまり，どの白いタイルもすべて同価です．

この市松模様の世界の周期がわかりますか？　図には，
白いタイルから，隣の同価な白いタイルへの移動を示すベクトル（矢印）
が記入されています．
2次元の世界ですから2つの独立なベクトル a, bが基本周期になります．
白いタイルを基本周期a, bを繰り返して平行移動することを並進といいます．
（注）na+mbは，a方向にn個，b方向にm個の移動（並進）の意味です．
na+mb（整数n,m)の点（格子点）はすべて同価な点で，
これらの集合を格子といいます．
格子点の集合（格子，無限集合）は加法で閉じており
群という代数系になります（これを並進群といいます）．

上図の2つの市松模様は全く同じものですが，見渡す方向でずいぶん景色が違います．
このような性質を異方性と言います．
格子点に配置して，重ならず隙が出来ずに平面を張りつめるとき単位となる
ブロックタイル（単位胞）の形はどのようなものでしょうか？
これには色々なものを採用できますが，例えば，横並びの黒白ペアのタイル，
あるいは，a, bで囲まれた平行４辺形などがあります（上図の右側に図示）．
その面積はどちらも同じです．
無限に続く周期的な平面は，一つのブロックタイル（単位胞）で平面を張りつめる
こと（デジタル化）ができ，扱うのが簡単です．これに比べて，
周期的でない平面はアナログ平面で簡単化できません．つまり
一様な（平面のどの場所も同価であるような）デジタル化ができません．
デジタル化された信号のような円盤内も，一様でもなければ周期的でもありません．
周期的なデジタル化された空間は“結晶空間”と呼ばれ，
その性質は“格子”で抽象的に表現されます．