2014年11月の記事一覧

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数学月間SGK通信 ［2014.11.25］ No.039
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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◆平面のブラベー格子は５つのタイプがあることを036号で学びました．
ここに示す繰り返し模様のそれぞれは，どの格子に対応しますか？
日本の伝統文様には，美しい繰り返し模様がいろいろあり，それらは
着物や食器，籠バック，インテリアなどと色々な所で見られます．
これらの模様には，どのような対称性があるかを鑑賞しましょう．
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/545271/32/16234632/img_3?1414573530

http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/545271/32/16234632/img_4?1414573530

http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/545271/32/16234632/img_5?1414573530

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数学月間SGK通信 ［2014.11.18］ No.038
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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◆正3角形の対称性
正3角形は，中心に回転軸を立て右回りに120°回転しても，
始めの状態と全く同じで，回転したかどうかわかりません．
この回転を続けて２回行い240°の回転になっても同様です．
120°の回転を3回続けて行うと1回転して始めの状態に戻ります．
つまり，正3角形には3回回転対称があります．
このような回転軸を3回軸といい，記号は3と書きます．
その他に，正3角形は鏡映対称があります．図に示した赤い線が鏡映面です．
ここにある3枚の鏡映面は3回軸の作用で互いに移り変われるわけで，
全部同じ性質です．従って，正3角形の対称性は，3回軸と1種類の鏡映面があり，記号では3mと書きます．
◆正4角形の対称性
正3角形の場合と同様に，こんどは中心に4回回転軸があります．記号は４です．
正4角形を見ると鏡映面が4枚あることがわかります．図で赤線で描いた2枚と
オレンジ線で描いた2枚です．4回軸によって，赤い鏡映面どうしは互いに移り変われるし，
オレンジ鏡映面どうしも移り変われますが，赤とオレンジの鏡映面は，互いに移り変わることができません．
従って，今度は2種類の鏡映面があることになります．正4角形の対称性は，記号で4mmと書くことに注意してください．
◆同様に，正5角形，正6角形の場合は，図のようになることを各自確かめてください．
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/545271/42/16226942/img_0?1414074741

◆対称図形の重ね合わせ
正3角形の部品を複数重ね合わせると，一般に，全体の対称性は低下するが
配置の仕方により全体の対称性が上昇することもある．
このようなことをとり上げている本は見かけませんが，とても面白い現象です．
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/545271/01/16227001/img_0?1414076174

◆対称性の重畳
正6角形は正3角形の対称性を含んでいますから，
正6角形と正3角形を鏡映面が共通になるよう重ね合わせる（下左）と正3角形の対称性が残ります．
正3角形と正6角形の回転軸をそろえて，鏡映面が共通でないように重畳すると，
結果は3回回転対称だけが残ります（上左）
他の図も同様ですので，各自確認ください．正6角形と正5角形の重畳の場合は，
6回回転対称と5回回転対称に含まれる下位の対称性（共通な部分群）はないので，
鏡映面の一致がなければ，対称性はなにも残りません（上右）．
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/545271/01/16227001/img_1?1414076174

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数学月間SGK通信 ［2014.11.11］ No.037
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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◆ことしは結晶学の生誕100年にあたります
結晶にX線ビ－ムを照てると，
結晶がブロック積みのような周期的な構造なら回折が起こります．
（結晶内部の繰り返し構造の周期と，X線の波長が好都合なことに同程度だったのです）
そう考えたのはラウエでしたのでこの実験をラウエの実験と言います（1912年）．
X線がレントゲンにより発見（1895年）されて間もない頃でした．
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/545271/23/16237223/img_0?1414563100

結果として得られたラウエの回折像には，その原因になった結晶内部の対称性が反映されているべきです．
これは「キューリーの原理」という因果律です．
回折像を撮影して，小さくて目に見えない（~nm）結晶の内部構造の解析をしたのがブラック親子（1913年）です．
レントゲン(1901)，ラウエ(1914)，ブラック(1915)，それぞれノーベル賞をもらっています．

◆結晶世界はデジタル
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/545271/60/16237160/img_0?1414501713
大小いろいろな結晶がありますが，写真は全部，水晶の結晶です．
結晶個体は，いろいろな種類の結晶面で囲まれており，
その結晶面の大きさも結晶個体により様々です．
しかし，同じ組み合わせの結晶面どうしのなす角度は
どの結晶個体で測っても，同じになります．
例えば，黄色い面と青い面のなす角度は（各面に立てた垂線のなす角のこと）
どの結晶で測っても同じになります．⇒面角一定の法則（1772）
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/545271/60/16237160/img_1?1414501713
アウイ（1783）は，
「結晶は小さな単位胞がブロック細工のように積み重なって出来ている」
と考えました．→すなわち，結晶世界はデジタルな空間です！
それなら，現れる結晶面(上図の青い線)は格子点を載せている面なので，
面の傾きは有理数になります．→有理指数の法則（1783）

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数学月間SGK通信 ［2014.11.04］ No.036
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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◆平面のデジタル化
写真フィルムは連続な平面ですが，デジカメの感光面は半導体のドットが並んでいます．
人間の網膜も視細胞が配列しているデジタル化された平面です．
最近の交通信号は円の中に発光ダイオードのドットが配列しています．
これらが平面のデジタル化の例です．結晶も原子や分子が詰まった単位ブロック（胞）があり，
これがきちんと積み重なりできている周期的な構造で，デジタル化された空間の例です．
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/545271/31/16234231/img_0?1414413690

◆平面のデジタル化の様式
無限に広がる平面の何処も均一なようにデジタル化する（ドットを配列する）なら，
規則正しく周期的な構造になります．交通信号の円内は均一なデジタル化はできません．
平面のデジタル化は対称性の観点からどのように分類できるでしょうか？
結晶学でブラベ格子というものはデジタル化様式の分類にほかなりません．
そもそも結晶空間とはデジタル化された空間のことです．
（注）周期的なドットの配列は「格子」と呼ばれます．
格子の様式分類は，研究した人の名前をつけて「ブラベー格子」と呼ばれます．
2次元の「ブラベー格子」は5種類あることをこれから説明します．
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/545271/31/16234231/img_3?1414413690

まずは，1次元の周期
2次元の周期は２つのベクトルの組み合わせでできる．
対称性から分類するとこれらの５つのタイップがある．

これらから格子を作ったものが以下の図です．
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/545271/31/16234231/img_4?1414413690

上図に示した緑色のタイルは「W-S（ウイグナー・ザイツ）胞」といいます．
このタイルを赤い格子点に配置すると平面がタイル張りされることを確かめましょう．
さて，これらの周期的平面は，格子点（周期的な平行移動で生じる点）
をすべて同値と考えると，１つのタイルの中に引き戻せます．
以下の図には，それぞれのタイルの対称要素を記入しておきました．
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/545271/31/16234231/img_8?1414413690
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/545271/31/16234231/img_7?1414413690
上図左は，タイルの対称性が一目瞭然のW-S胞．右は，単位胞タイルです．
（注）単位胞の図を見るとわかるように，これらの５つはすべて単位胞に格子点が1つ含まれる1格子点胞です．
上段右の菱形胞を用いずに，面心型の2格子点胞を用いるのが慣例となっていることを申し添えます．