対称性の話

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
数学月間SGK通信 ［2014.11.18］ No.038
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
◆正3角形の対称性
正3角形は，中心に回転軸を立て右回りに120°回転しても，
始めの状態と全く同じで，回転したかどうかわかりません．
この回転を続けて２回行い240°の回転になっても同様です．
120°の回転を3回続けて行うと1回転して始めの状態に戻ります．
つまり，正3角形には3回回転対称があります．
このような回転軸を3回軸といい，記号は3と書きます．
その他に，正3角形は鏡映対称があります．図に示した赤い線が鏡映面です．
ここにある3枚の鏡映面は3回軸の作用で互いに移り変われるわけで，
全部同じ性質です．従って，正3角形の対称性は，3回軸と1種類の鏡映面があり，記号では3mと書きます．
◆正4角形の対称性
正3角形の場合と同様に，こんどは中心に4回回転軸があります．記号は４です．
正4角形を見ると鏡映面が4枚あることがわかります．図で赤線で描いた2枚と
オレンジ線で描いた2枚です．4回軸によって，赤い鏡映面どうしは互いに移り変われるし，
オレンジ鏡映面どうしも移り変われますが，赤とオレンジの鏡映面は，互いに移り変わることができません．
従って，今度は2種類の鏡映面があることになります．正4角形の対称性は，記号で4mmと書くことに注意してください．
◆同様に，正5角形，正6角形の場合は，図のようになることを各自確かめてください．
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/545271/42/16226942/img_0?1414074741

◆対称図形の重ね合わせ
正3角形の部品を複数重ね合わせると，一般に，全体の対称性は低下するが
配置の仕方により全体の対称性が上昇することもある．
このようなことをとり上げている本は見かけませんが，とても面白い現象です．
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/545271/01/16227001/img_0?1414076174

◆対称性の重畳
正6角形は正3角形の対称性を含んでいますから，
正6角形と正3角形を鏡映面が共通になるよう重ね合わせる（下左）と正3角形の対称性が残ります．
正3角形と正6角形の回転軸をそろえて，鏡映面が共通でないように重畳すると，
結果は3回回転対称だけが残ります（上左）
他の図も同様ですので，各自確認ください．正6角形と正5角形の重畳の場合は，
6回回転対称と5回回転対称に含まれる下位の対称性（共通な部分群）はないので，
鏡映面の一致がなければ，対称性はなにも残りません（上右）．
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/545271/01/16227001/img_1?1414076174