2021年5月の記事一覧

https://elementy.ru/problems/

立方体の上の面の対角線にレールがあり，下の面の対角線（上の面の対角線とは直交）にもレールがあります．下のレールの端（頂点）と上のレールの中点（面の中心）とを結ぶ長さの「線分」があり，この線分（長さを変えない）の両端はレール上をすべることができます．線分が包絡線となり囲む図形（リノイド）の表面の形を推理してください．

立方体の1辺の長さを2aとすると，リノイド体積はいくらですか．

なかなか難しいですが，線分の動きを頭の中でシミュレーションした以下の図が参考になります．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

立方体の1辺の長さを2aとすると，線分KFの長さはa√6です．
図のような，座標系で考えます：

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

$$K(x_{K} , 0, -a), F(0, y_{F} , a), M\left( x, y, z \right) $$とします．
$$\overrightarrow{KM}(x-x_{K} , y , Z+a), \overrightarrow{FM}(x, y-y_{F} , z-a)$$
なので，次の方程式が得られます．
$$\displaystyle \frac{x-x_{K } }{x}=\displaystyle \frac{z+a}{z-a}=\displaystyle \frac{y}{y-y_{F } }$$
これを解いて，　　$$x_{K}=\displaystyle \frac{2ax}{a-z} , y_{F}=\displaystyle \frac{2ay}{a+z}$$
一方，　$$\left\{ \begin{array}{@{\,} c @{\, } }
KF^{2}=x_{K}^{2}+y_{F}^{2}+4a^{2} \\[0mm]
KF=a\sqrt{6}
\end{array} \right. $$ 　⇒　 $$x_{F}^{2}+y_{F}^{2}=2a^{2}$$　であるので，$$x_{F} , y_{F}$$を代入して，
$$\left( \displaystyle \frac{2ax}{a-z} \right) ^{2}+\left( \displaystyle \frac{2ay}{a+z} \right) ^{2}=2a^{2}$$　 ⇒　$$ \displaystyle \frac{2x^{2 } }{\left( a-z \right) ^{2 } }+\displaystyle \frac{2y^{2 } }{\left( a+z \right) ^{2 } }=1$$
このリノイドの水平（すなわち軸Ozに垂直）断面の方程式を得るためには， 
zの値を区間$$\left( -a, a \right) $$でスライスする． 
この方程式は，半軸に$$x=\left( a-z \right) /\sqrt{2}, y=\left( a+z \right) /\sqrt{2}$$を持つ楕円の方程式になる．
楕円の面積$$S$$は，　$$S=\pi \cdot \displaystyle \frac{\left( a-z \right) }{\sqrt{2 } } \cdot \displaystyle \frac{\left( a+z \right) }{\sqrt{2 } }=\displaystyle \frac{\pi }{2}\left( a^{2}-z^{2} \right) $$
ゆえに，リノイドの体積$$V$$は，　$$V=\displaystyle \frac{\pi }{2}\displaystyle \int_{-a}^{a}\left( a^{2}-z^{2} \right) dz=\displaystyle \frac{2\pi a^{3 } }{3}$$