2014年7月の記事一覧

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数学月間SGK通信 ［2014.07.29］ No.022
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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8月2日（土）は「とっとりサイエンスワールドin米子」です．
2014年度〔西部in 米子〕は，日本数学教育学会第96回全国算数・数学教育研究（鳥取）大会
とコラボで実施されるので，会場が例年の児童文化会館とは異なるようです．
米子コンベンションセンターにて（12：00～16：00）　

私も万華鏡で参加します．
米子では110人分用意しました．分数型の万華鏡を作製します．
以下に画像を掲載します：
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/545271/37/15996337/img_0?1406563191

http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/545271/37/15996337/img_1?1406563191

http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/545271/18/15996418/img_0?1406562991

http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/545271/18/15996418/img_1?1406562991

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数学月間SGK通信 ［2014.07.22］ No.021
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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本日は数学月間（7/22-8/22）の初日です．
22/7＝3.14....＝π　，22/8＝2.7...＝e
数学に興味を集めるようなイベントが
各地で盛んになることを応援しています．
まず初日は数学月間懇話会です．
◆数学月間懇話会（第10回）
日時●７月２２日，14:00-17:10
1.人口の集合関数としての「民力指数」
　松原望（東京大学名誉教授，聖学院大学）
　14:10-15:10
2.スパゲッテイを巡る旅，
　中西達夫（株・モーション）
　15:20-16:20
3.数学月間の狙と効用，今年の米国MAM
　片瀬豊，谷克彦（日本数学協会）
　16:30-17:10
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会場●東京大学（駒場）数理科学研究科棟，002号室
最寄り駅●京王井の頭線「駒場東大前」
参加費●無料
問合せ先●日本数学協会，数学月間の会（SGK）
sgktani@gmail.com，谷克彦（SGK世話人）
直接会場においでください（開場13:30）．ご参加お待ちしています．
17:30より構内で各自払いの懇親会も予定しています．

◆幾何学的な消滅
さて，メルマガ020に掲載した　幾何学的な消滅　のその後の記事です．
メルマガ020の図面のように作製してみましたが，
断層を挟んだ行だけが明らかに（目立って）小さくなるのです．そこで，
初期状態のこの行だけ目立たない程度大き目に作ろうかと考えていたところ，
以下の動画を発見しました．
http://youtu.be/QbpfjM0NP7Q
さすがマジシャンもうひとひねりあったのです．
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/497823/11/15935811/img_2?1405950272
パーツ２は表面が（A)で裏面が（B)です．
従ってこのパーツの断面形状は台形です

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数学月間SGK通信 ［2014.07.15］ No.020
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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幾何学的な消滅

◆7×9の板で1コマが幾何学的に消滅する
これは今年の米国MAMで取り上げられたマジックです．
http://www.mathaware.org/mam/2014/calendar/areapuzzles.html

まずは，アルゼンチンのマジシャン，ノルベルトジャンセンによるプレゼンを
ご覧ください．　http://youtu.be/3PszMaZ5Ipk
7x9のエリアにタイル片が配置されています，断層に沿って滑らせ
上部の左3コラム分と右4コラム分を入れ替えると，不思議なことにタイルが１つ減ります．
この操作を繰り返すたびにタイルが1つづつ減り３つまで減らせます．
タイルが1つ減っても，2つ減っても，3つ減っても，
元通りの7x9枠内にタイルはきちんと配置され変わらないように見えます．
これは不思議ですね．どうしてタイルが１つづつ余るのでしょうか？

ビデオを観察していると，タイルが消滅する原理がだんだんわかってきます．
原理理解を助ける図を以下に作成しました．
青色の面積がだんだん減じているのがわかります．
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/497823/11/15935811/img_1?1405218032

このおもちゃを作製して見ようとする方は，この原理図を参考にしてください．
数学マジシャンの使っているタイルのパーツは目地が太いですね
私の原理図には，目地はありませんが，作製するときは目地の効果も考慮すべきでしょう．
結局，断層をはさんだある行だけ，1コマ縦の長さが1/7だけ縮むので，
7コラムあるから面積としては1コマ分取り出せることになります．

◆なぜタイルが１コマ減るのか
左のコラムと右の3列を入れ替えると，１コマ減る．
１コマの高さをbとすると，断層を挟んでb/4だけ縮みます．
ただし，右端のコラムの断層ではコマ間の目地が消えるのが残念！
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/497823/96/15937596/img_3?1405215030

◆真ん中を取り除いたお札が再現できる
http://youtu.be/-h0AXeLIHqQ
お札の中心を取り除いて，裏向きにして並べると
完全な1枚が再現できたように見えます．
真ん中が消えるとは，あり得ないことが起ったように見えます．
数学マジシャンの使っているおさつの裏面には
再配列したときに完成するようなお札の裏面の絵が描いてあるので
お札が再現したように錯覚します．以下の原理図を参考に作製してください．
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/497823/96/15937596/img_0?1405215030

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数学月間SGK通信 ［2014.07.12］ No.019b
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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ロンドンシティホール
ロンドンシティホールは，ロンドン市長，ロンドン議会，大ロンドン当局を収容する．
ガラスの使用と内部の巨大ならせん階段が，
透明性と民主的プロセスへの近づき易さを象徴しているようである．
外部から見たとき，最も印象的なことは，建物の奇妙な形である．

http://plus.maths.org/issue42/features/foster/egg.jpg
テムズ川にかかるロンドンシティホール．

テムズ川の土手の上に置かれて，建物は，川原の小石を思わせる．
そのまるみが再び民主的な理想を思わせる．けれども，ガーキンと同じように，
形が決められたのは，単に形のためだけではなく，エネルギー効率を最大化するためでもある．
これを実現する１つの方法は，建物の表面積を最小にすることである．
それにより，望まない熱の損失と流入を防ぐことができる． 諸君の中の数学者は，
あらゆる形の中で，体積を基準にすると，球形が最も表面積が小さいことを知つている．
これが，ロンドンシティホールが球に近い形をしている理由だ．
建物の不均衡も同じくエネルギー効率に貢献する：南面のオーバーハングが，
ここの窓を上階の床で陰にして，夏季の冷房需要を低下させる．ガーキンでと同じく，
コンピュータモデリングが，建物の中で気流が如何動くか示し，
自然の換気が最大になるように建物内の形が選ばれた．実際，建物は冷房を必要としない．
同程度のオフィススペースのエネルギーに比べ，たつた1/4と伝えられる．
螺旋階段さえ，単に審美的理由で選ばれたのではない．それらの分析の一部として，
ロビーの音響効果，人々の声が適切に聞こえるような建物をSMGは設計した．
初めは音響効果は，広いホール内をエコーが跳ねるという状態でひどく，
何らかの対策が必要だった．Foster＋パートナーの過去のプロジェクトの１つが手がかりを提供した：
ベルリンの Reichstag は大きいホールを含むが，大きい螺旋の傾斜路があり反響が起きない．
SMG はロンドンのシティホールに同様な螺旋階段のモデルを作り，
Arup Acoustics会社がこの新モデルの音響効果を分析した．諸君は，
以下のアニメーションで，音が階段後ろに閉じ込められ，エコーが減じるのを見ることができる．
このアイデアは最終設計に採用された． (アニメーション © Arup Acoustics.)

ロンドンシティホール
http://plus.maths.org/issue42/features/foster/gherkin_outside_web.jpg
ガーキンの全貌．平面パネルが曲面を近似していることに注意．映像 © Foster + Partners

ガーキン，ロンドンシティホール，他の多くのFoster+パートナー作品がたいへんモダーンに見えるのは，
外側が曲面であるためだ． これらは，名うての困難さで，建設費が高くなる．
そこで幾何学者のチャレンジがある：単純な形から作る一番良い方法は何か？
” これは我々の主たるチャレンジの一つだ，”De Kestelierは語る，
”我々のプロジェクトの実に99％は，いかなる曲面も使っていない．
例えばガーキン，1種類の曲面パネルはトップにあるレンズのみ．
建物が曲面という印象は，多数の多角形の平面パネルで曲面を近似的に作ることで生じる．
パネルが多いほど錯視も真実味をおびる．
複雑な表面を記述するこのような平面パネル解を見いだすことで，
SMG は専門家になった．De Kestelier が説明するように，幾何学［その形]は，
しばしば経済により決定される：”我々は矩形に近いパネルを使う傾向がある．
なぜならそれはいっそう経済的であるからだ．資材をカットするとき安くなる．
三角形では，多くの材料ロスがあるが，矩形に近いとロスが少ない．
矩形に近いと構造が少ないので，視覚的にもさらによい．”これは，
表面が完全に矩形から成り立っているロンドンシティホールで例証される．
実際、ロンドンシテイホールは，理想的な幾何学形と建設容易さのバランスをとる必要性を
よく例証している：　扱い難い丸い形はスライスに切ることで扱われた．スライス一つ一つは，
僅かに傾いたコーンで，容易に数学的に記述でき，平面パネルでの近似も容易である．

合理的な設計
数学的な方程式で記述されるコーンのスライス，トーラス，球などの表面は，
しばしば，SMGデザインの基礎となる． これらを，バーチャルモデル創造に使うときに，
数学的に生成される表面はコンピュータ上で容易に表現できるので，たいへん利点がある．
多くの個別座標を蓄え記述する構造ではなく，方程式を蓄えるだけでよい．
表面の正確な形は方程式のパラメータを変じて制御できる（例として下図を見よ）．
平面解はやはり比較的容易に設計できる：ソフトウェアはオリジナルの表面の
ノードポイント集合に直線を引くようにする．

http://plus.maths.org/issue42/features/foster/surfaces_web.jpg
これらの表面は，関数z=e^-a(x^2-y^2) のグラフである．ここで，
３次元座標系は，ｘ，ｙと垂直ｚ軸である． a は表面の形を決める．
第一の表面はa=1 ，第二の表面はa=5 ，第三の表面はa=7 ．

数学的に定義された要素の集合からなる複雑な構造を考えるのは，
バーチャル世界では有用ではない：実際にどのようにそれを建設するべきかを，
建物モデルの建設の一歩一歩のガイドにつくる．合理化のこのプロセスは，
もう一つの SMG の仕事の重要な部分だ．前と同じように，数学的な完全性は，
実用性のために道を明渡さなければならない:"２～３週間前に，
誰かが楕円の一部である壁のプランのことで私のところに来た”De Kestelierは語る．”
もちろん楕円は数学的には描くのは易しい．それをさらに合理化することをなぜ望むのか？さて，
私は楕円のこの部分を３つの円弧に合理化することを決めた．
理由は，壁の建設で，コンクリート壁用の型が要るためだ．これは全体の形を建設するのに
多くの型パネルを使ってなされる．もし諸君が楕円にしたいなら，
すべての型パネルは異なっていなければならない：楕円の周囲を進むと，
楕円の曲率はたえず変化しつづけるのだから． もし楕円をやめて３つの弧にするなら，
諸君が必要とするのは，3セットのパネルだけで，各セットのパネルは同じである．
これはずっと簡単になる．" 数学者に理想的なものは常に建築家に理想的であるわけではない．”

http://plus.maths.org/issue42/features/foster/museum.jpg
英国博物館の屋根．設計Foster+パートナー

博才の人
SMG が，建物の外見と気流・音響のような物理現象の双方をモデル化するには，
コンピュータプログラミングを使う．幾何学［形］の理解は，デザインと建設プロセスに直結する．
建築家でなく数理科学の専門家なのか？SMGメンバーの8人中７人が，プロの建築家だが，
専門的知識は，複雑な幾何学，環境シミュレーションからパラメトリックなデザイン，
コンピュータプログラミングにまで及んでいる．
グループの８番目のメンバーはエンジニアで，主プログラマーである．
こみいった数学に基づき，物理的特徴をモデリングするとなれば，
チームはしばしば専門コンサルタントを使う．”チーム内で予備的な解析を行う．
もしさらに知りたければ，別の解析を行う．我々は，専門コンサルタントとデザイナー間の接点となる，
”Petersは説明する．純粋数学，幾何学は如何？ どれぐらい複雑なのか？
"オフィスに１Ａレベルの本がある． ” とDe Kestelierが語る．結局のところ，
それはすべて建設可能な構造を作ることに関わり，古典幾何学を越えるものはここでは用いない．
SMG の大部分の活動には数学が付随しているのだが，彼らのデザインとは，
仕事に対して制限を与えるものであるとPetersとDe Kestlierは主張する．
"悟るべき重要なことは，我々はアーキテクチャで働くプログラマーではなく，
プログラミングをするアーキテクトだということだ，”De Kestlierは語る．
Ptersは同意する：”我々の主な仕事はモデリングではない．
プロジェクトのパラメータは何かを理解し，噛み砕き定義できる規則にする．
我々は，何処に適応性があり何処に制限があるかを理解できるようにする．
”制限の最適化と建設可能な物体の創造．もちろん，建築家はいつもそうしてきたし，
PetersとDe Kesteierも建築の仕事は本質的には変わっていないと思っている．
現代のデジタルツールにより，今日の建築家は，
過去の世代には夢であったデザインオプションの領域も探索できるようになっただけだ．
形と模様，科学とコンピュータの言語として，これらのツールを譲渡処分にしたのは数学だ．
数学は，確かにその料金を取り戻している． （訳：谷克彦）
－－－－－－－－－－－－－－－－－
http://plus.maths.org/issue42/features/foster/xavier_brady.jpg
Xavier(左)とBrady（右）はFoster+Partnersのモデリング専門家メンバーである．
プラスは，ロンドンの数学と芸術ブリッジ会議（2006年）で，二人に出会った．
ブリッジ会議の詳細はウエブサイトにある．
著者：Marianne Freiberger（プラス編集者）

◆編集後記
019号はa,bで完結です．ところで，
ガーキンに良く似た超高層ビルが新宿にあります．2008年に完成した
東京モード学園が入っているコクーンタワーです．コクーンとは繭のことですが
どちらかというとセミに似ているビルです．設計は丹下都市建築設計です．
新宿で大変目立つビルです．写真は以下のブログにあります．

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数学月間SGK通信 ［2014.07.08］ No.019a
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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◆HTLM形式は数式や図があるものには便利なのですが．
読みやすかったでしょうか？読みにくい場合は
http://blogs.yahoo.co.jp/tanidr/folder/545271.html
に掲載していますから．こちらでご覧ください．

今号のメルマガは，再度txt形式に戻します．
これもプラスマガジン42号からの紹介です．
感想などお寄せ下さい．
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■完全なる建物：モダーン建築術を支える数学
http://plus.maths.org/issue42/features/foster/index.html
Marianne Freiberger

建築術は，過去に，幾何学に対し素晴らしい業績を残した．
自分の住む土地を測る必要性と共に，建物を建てる必要性から，
形態と形の理論の研究が起こった．
エジプトでの偉大なピラミッド建設から4500年がたった今日，
数学は建築術に何ができるだろうか？　昨年［*2006年］の
数学と芸術・デザインの連携を探る架け橋会議（Bridges　conference）で，
プラスは， Foster ＋ パートナー専門家モデリンググループの二人の建築家
Brady PetersとXavier De Kestlierに出会っつた．彼らの作品を数学的視点から見る．

http://plus.maths.org/issue42/features/foster/LCH_web.jpg
テームス川にかかるロンドンシティホール．内部の巨大な螺旋階段ケースに注目．
映像©Foster + Partners

Foster+パートナーは，Norman Foster とシニアーパートナーグループ
が指導する国際的に著名な建築スタジオである．
ロンドンの30St Mary Axe (ガーキンGherkinとして知られる)や，
ロンドンシティホール，大英博物館の大広場のようなランドマークを作った．
進行中のプロジェクトには地上最大建設の一つワシントンDCのスミソニアン研究所の中庭，
ロンドンのウエンブリースタジアム，北京国際空港がある．
Foster+パートナープロジェクトには共通な一点がある：
巨大．これは，環境に最大限の影響を与えることを意味する．
このような巨悪のデザインは，微妙なバランスの技である．
建造物は構造的に健全で，美的に快いものであるだけでなく，
設計規制，工費の制約，目的に良く合うこと，エネルギー効率の極大化
などを遵守しなければならない．デザイン過程は，複雑な最適化問題に要約される．
この問題を解く方法が，モダーン建築術と古代エジプトの建築術とで異なる：
先進的なデジタルツールが，制約の膨大な配列を分析統合し，最適解を見出す．
数学は建設される構造の形，知っておかなければならない物理的特徴を記述する．
数学はコンピュータの言語で，モデリングのすべての段階の基礎になっている．

◆専門家モデリンググループ
Foster+パートナー専門家モデリンググループ（SMG）は，De KestelierとPetersが
メンバーになっており，1997年に設立された．SMGの仕事は，建築家を助けて，
プロジェクトのバーチャルモデルを創造することだ．
”通常，チームは概念を持って我々のもとにやって来る”と，De Kestelierは語る．
”スケッチか何かから，より発展させたものまで．そこで我々は，
CADツールを用いるかツールを開発し，モデル作りで彼らを助ける．”

http://plus.maths.org/issue42/features/foster/populated_surfaces.jpg
パネルを収めた数学的表面．映像提供 ΕBradyPeters

コンピュータの助けを借り，その物理から外観まで，建物のほぼすべての様相を
設計することができる．コンピュータ モデルで，建物の周囲を風が流れる様や，
建物内部の音波の反響をシミュレートできる．グラフィックプログラムで，
異なった数学的な表面を探究し，それらに異なった柄のパネルをはめてみることができる．
そして，これらのモデルから手に入る情報のすべては，近年の建築 CAD ツールで
最も重要な発明であるパラメトリックモデリングに連動できる

http://plus.maths.org/issue42/features/foster/gherkin_model.jpg
30St Mary Axeの建築モデル.
映像 © Foster + Partners.

パラメトリックモデリングは，１９６０年代からあった．しかし，
建築家がその力をフルに利用できるようになったのはついこの頃である．
モデルは,諸君が建物に加えた変化により影響を受ける他の特徴を再計算せずに，
建物のある特定の特徴をいじることを可能にする．
これはたいへん強力なデザインツールである．左に示されているガーキンを例にとろう．
もし，建物をもっとスリムにしようと思うなら，他の何らかの特徴が犠牲になるだろう．
外側ライニングカーブやダイヤモンド型の角度など再計算が必要となる．
これはまったくたいへんな仕事量で，もしなされたとしても，手書きであれ
再プログラミングであれ，新しいスケッチを描きなおさねばならない．
パラメトリックモデルはこれらのすべてを諸君のためにやってくれる．
変えないようにしようと決めた特性は固定されたままで，幾何学的特徴を
色々変えることができる．モデルはスプレッドシートのような働きで，
建物の特徴を変えることは， スプレッドシートの項目を変えるようなものだ．
変化に応じ，ソフトウエアは先に決めた関係を保ちつつ，モデルを再度生成する．
丁度スプレッドシートがそのすべての項目を再計算するようにSMG によって
提供されたデジタルのツールが装備され，デザインチームは，
短期間のうちにデザインオプションの莫大な範囲を探検することができる．
チームは建物の幾何学的な特徴を変えて，変化がどのように，－例えば，
気流，あるいは音響特性に－影響を与えるかを見ることができる．
建てるのが難しいようなどのような複雑な形でも，探究することができ，
単純な形へと分解することもできる．必要な材料はどれほどで，
コストはいくらかもすばやく見積ることができる．
複雑な形がほとんど建設不可能であったためと，
最良な環境への適合に科学を充分使いこなせなかったため，
数十年前には実現不可能であった建物が建設できるようになった．

◆ガーキン　［＊ガーキンとは”キュウリ”のこと］
http://plus.maths.org/issue42/features/foster/gherkin_wind_web.jpg
ガーキンの周囲の気流のモデル．映像 © Foster + Partners.

ガーキン、は SMG が関与したプロジェクトの１つで，形がどのように制約を満足
させるように選ばれたかの主要な例である．３０St mary Axe の公式名称で，
高さ180m，ナイアガラの滝の3倍の高さ．他の高層建築に比べて，３つの際立った特徴がある：
方形でなくむしろ丸い．膨らむ中央と先細るトップ．螺旋のデザインに基づいている．
これらすべてが，純粋に審美的特徴となることに容易に気づく．だがそれだけでなく，
これらは特定の制約を満足させる．
ガーキンサイズの建物の主要な課題は，周囲を吹き抜ける気流だ．
ベースから旋風がまきおこり，近隣地域を不快な地にする． この問題を扱うために，
SMG は建築家に，乱気流の数学に基づき，建物の空気力学特性を
シミュレートするコンピュータモデルを使うように助言した．
モデルは円筒状が方形のものより空気の流れへの応答が良く，旋風を減らすことを示した．
中央が太く１６階で最大直径に達するものが，スリムなものより風の低減の助けになる
ということもわかった．
強風でくちゃくちゃにならないとしても，高層ビルの隣に立つのは恐ろしい．
それは諸君を小さく見せ，低い建物の輝きを奪い，日光を奪い取る．
これらの効果を最小に抑えるのは，ガーキンの特有な形である．
膨らんだ中央と先細のトップは，下からトップが見えないようにする．
かくして諸君を小さいとは感じさせない．太陽と他の景観は底から覗き込める可能性がある．

http://plus.maths.org/issue42/features/foster/gherkin_floorplan.jpg
ガーキンの床面プラン. 映像 © Foster + Partners.

最初に決定されたこと，ガーキンが可能な限り持続可能な建物であるべきということだ．
そしてこれは，自然な換気（エアコンの節約のため）と自然の日光照射（光熱費の節約）
を最大にする形の選択を意味する．６つの三角形のくさび形を，
建物の内部に貫入するように各フロアの円形プランから切り取る．これらは光の井戸の役をする．
それらが作る光線は，自然の喚気を促進する．しかしながら，
くさび形はお互いの直上には位置していない．空気力学のモデリングは，
１つの床のプランが下の床のに対して数度回転していると，換気が最大になることを示した．
それで， くさび形が作るシャフトは建物を昇る螺旋を作り，
建物の外形により起こる空気の流れと，最適に相互作用する．
くさび形のファサドの窓が自動的に開いて，新鮮な空気を建物に引き込む．
慎重に選んだ幾何学の結果として，この建物は，同程度の他の建物に比べて，
エネルギーが50%削減されたという．

http://plus.maths.org/issue42/features/foster/gherkin_inside.jpg
ガーキンの内部．三角形のくさび形は，床面プランから切り取られる．
それらは，光の井戸の役をするし，喚気も促進する．映像 © Foster + Partners.

（次号に続く）→

◆3Dへ
http://plus.maths.org/issue42/features/lasenby/plaque.jpg
Broone橋にある記念プレート，
Hamiltonが４元数を発明したときこの橋の下を散歩していた．
数学者William Rowan Hamilton卿はDublinのTrinity学寮の最も著名な息子であろう．
彼は最後の20年，複素数が２次元の回転を表すのと同様な
３次元の回転の表現を捜し求めた．
人生の最後にHamiltonは，4元数という答えを見出した．
q=a₀+a₁i+a₂j+a₃k
ここで，i 2
=j 2
=k 2
=ijk=-1， a 0
, a 1
, a 2
, a 3
は実数．
複素数でしたように，４元数を幾何学的に記述し，回転の表現に用いよう．
今度は2次元でなく３次元の回転だ．
i, j, kは，3次元内の基本平面：iはyz平面，jはxz平面，kはxy平面で,
外側向き法線はそれぞれ x，-y，z方向である．
http://plus.maths.org/issue42/features/lasenby/planes_web.jpg

i, j, kは，３次元空間の基本平面という幾何学的解釈ができる．
点a=(a 1
,a 2
,a 3
)を，角βだけ原点を通るb=(b 1
,b 2
,b 3
)軸の回りに
回転してみよう．２つの４元数q 1
,q 2
をb, β から作る．
q 1
=cos(β/2)+sin(β/2)(b 1
i+b 2
j+b 3
k)
q 2
=cos(β/2)-sin(β/2)(b 1
i+b 2
j+b 3
k)
a (x,y,z方向の単位ベクトルの線形結合)に，これら２つの４元数を乗じて
a'=q 1
aq 2
この積で得られる点a'は，aを与えられた軸の回りに角度βだけ
回転したものだ．
複素数は平面内の回転記述，４元数は３次元空間内の
回転記述に用いられる．
ダブリンの橋の下を通りかかったとき，Hamiltonのひらめきは，
３次元で物体を回転させる最も効率の良い方法であることがわかった．
だが彼の新しい乗法で，だれも幸福にならなかった．
物理学者Kelvin卿は４元数のことを：”....美しく巧妙だが，とにかく，
これに触れるものには，純粋邪悪である...と評した．
とりわけ厄介なのは，２つの4元数を掛け合わせるとき，
答えがかける順番で変わることだ．この特性を非可換という．
Hamiltonの積則をみれば，ij=k, ji=-kが示せる．
もし，i, j, kを単位平面のように扱えば，Kelvinや彼の同時代の
人々を困らせた特性は，直接導ける．
◆映像を生活へ
Ｈａｍｉｌｔｏｎの発明はいまや多数の物体を動かしたり，
運動の創出へのｸﾞﾗﾌｨｯｸ応用に使われる．コンピュータグラフィックで
最も重要なツールの２つは，変形と補間である．
補間とキーフレーミング技術は，物体の初めと終わりの形と位置の特定と，
その間の様子をコンピュータに計算させることだ．以下に示す映像のように：
http://plus.maths.org/issue42/features/lasenby/teapots_web.jpg
一連のフレームにわたって徐々に変形するティーポットの形
諸君は，未発達のへびのアニメーション（Richard Wareham製作）を
見ることができる．
ここではへび全体が，いくつかの特定な点の運動から，
補間を用いてコンピュータで作られた．
[訳注：ファイルのダウンロード先は略]
変形は単純なものから複雑なものを作り出す方法だ．
下の映像のように，変形球を覆っている布は，
普通の球面で起こる同じ光景を数学的な変形をして得られる．
変形も補間も速くて安定な数学的技術を必要とし，
４元数関連の手法がこれを提供する．
http://plus.maths.org/issue42/features/lasenby/sphere.png
http://plus.maths.org/issue42/features/lasenby/deformed_sphere.png
◆ガーラムを信じさせる
http://plus.maths.org/issue42/features/lasenby/motioncapture1.jpg
http://plus.maths.org/issue42/features/lasenby/dots.jpg
http://plus.maths.org/issue42/features/lasenby/skeleton.jpg
データは体の色々な部分に付属しているリフレクターの運動から
キャプチャーされる．....
....骨格は，データに数学的にフィットさせる．
上で記述したテクニークは古典的なアニメーションでも基本的なツールである．
漫画キャラクターでは，我々はその結果が信じられるのはとても幸せだ．
しかし，人間のアニメーションでは，たちまち偽者とわかってしまう．
現実味ある動きを作り出すにはモーションキャプチャーが必要になる．
ロードオブザリングズのフィルムバーションから，ガーラムのような
多数のキャラクターを作るにはモーションキャプチャーによる．
これらは，身体，頭，肩，ひじ，ひざなどの回転点に，本当の人の
リフレクターを付加して作られる．それぞれは，多重のカメラによって
フィルム化されリフレクターの位置の変化をコンピュータに記録する．
骨格は３次元データでフィットされる．
最後に，上に記述された技術はすべて，骨格上に具体化し，
生活し，呼吸し，動くキャラクターを作り出す．
もしまだ諸君がタイトルロールを完全に見るために留まっているなら，
首尾よい映画作製で使われた種々の製作タレントに気づくだろう．
作者，ディレクタ，俳優，衣装デザィナー，プロップビルダー，．．．．
これらのクレジットリストが続々流れる．
しかし一つの名前がしばしばタイトルロールから忘れられている－数学だ．
今日の映画の多くは，光線追跡の幾何学，
４元数による空間内の回転なくしてはできない．
次回は，あなたの映画シートで，CGスペクタクルを楽しむために，
数学に対してポップコーンを掲げよう．ショーの隠れたスターへ．
（訳：谷 克彦）
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著者
http://plus.maths.org/issue42/features/lasenby/jl_small.jpg
Joan Lasenbyはケンブリッジ，トリニティカレッジで数学を専攻し,
電波天文学グループ物理学科のPhDをとった．
マルコーニの企業で短期間働いた後に，大学に戻り，現在，
ケンブリッジ大学工学部の信号処理グループの講師や
トリニティカレッジの研究のディレクター，研究員である．
彼女の興味は，コンピュータビジョン，コンピュータグラフィックス，
画像処理，モーションキャプチャと幾何代数の分野にある．

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数学月間SGK通信 ［2014.07.01］ No.018
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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今回も，MMP,plusマガジン42号の翻訳です．
(2007年の数学月間懇話会で配布したものです）
017号のHTML形式が正しく表示されなかったので，
018号で再度掲載します．
まだ正しく表示されない場合は，以下のホームページをご覧ください．
http://sgk2005.sakura.ne.jp/htdocs/index.php?key=jo5i1xzi0-37#_37
数学が映画に入る
http://www.plus.maths.org/issue42/features/lasenby/index.html
Joan Lasenby
ポップコーンは手に入れたか？よい席は選んだか？座り心地は良いか？
それではタイトルロール....
◆数学が誇らしげにプレゼント....
映画の中の信じられないほど真に迫ったコンピュータで作られた映像に
皆な驚く．ジュラシック・パークの恐竜，ロード・オブ・ザ・リングズの不思議 --
-- 特に，ガーラムの出演者 --- は，数学なしではできなかったということを
知らない人が何と多いことか．
どのようにして，これらの驚くべき映像が作られるのだろう？
コンピュータ・グラフィックス，コンピュータ・ビションは大きな課題だ．
この記事では，完成作品に使われる数学のいくつかを簡単に概観する．
最初に映画の世界を創造し，次にそれを生活へ持ち来たそう．
◆場面を作る
http://plus.maths.org/issue42/features/lasenby/trianglesurface_web.jpg
最初の対象物は，三角形のような単純多角形よりなる針金骨格
として作られる．
コンピュータ生成映画を作る第一ステップは，物語中のキャラクターや，
それらが棲む世界を創造することだ．これら対象物のそれぞれは，
接続された多角形（通常は三角形）で構成された表面として作られる．
各三角形の頂点は， コンピュータメモリにストアされる．
どの三角形のどちらの面が，物体やキャラクターの外側であるかを
知ることは重要だ．
この情報は， ストアされている頂点の順番として，
右ネジの規則に従い記号化される．これで，どちらが外か一意に決まる．
［頂点の順番に従い，三角形の周りを右手の指を
人差し指，中指，．．と回したとき］
諸君の親指が向いているのが三角形の外側だ．例でやってみよう．
三角形（A,B,C）の外側方向（外側法線）は，三角形（A,C,B）の外側方向と
反対であることがわかるだろう．
http://plus.maths.org/issue42/features/lasenby/rhrule_web.jpg
右ネジ規則で定義された（A,B,C)の外側法線は(A,C,B)とは反対方向
http://plus.maths.org/issue42/features/lasenby/rayfacet.jpg
諸君の視点からファセット面までの光線を追跡しよう．
光線は反射して光源を通過するか？
いまや対象物の表面は三角形の針金網で，
網のコンポーネントのそれぞれを彩色する準備ができた．
我々がモデル化している光景のライティングを，
実際と同じにすることが重要である．
これは光線追跡と呼ばれるプロセスを用いなされる．
視点から物体へと遡り光線追跡し，反射させる．もし，
目から出た光線がファセット面（針金網三角形の中の一つ）で反射され，
光源を通過するなら，そのファセット面は光源に照らされ明るい色，もし，
反射された光線が，光源を通過しないなら，
そのファセット面は暗い色の影付をする．
光線を特定のファセット面まで追跡するには，表面を数学的に記述し，
光線とファセット面の平面とが係わる幾何学方程式を解くことが必要になる．
これはベクトルを用いなされる．光景の３次元座標系に，
視点となる原点(0,0,0)を加える．
ベクトルv=(a, b, c)は，原点から発し座標 a, b, cで終わる矢である．
例えば，vにスカラー2を乗ずるのは，
規則 2v=2(a,b,c)=(2a,2b,2c)のように行う．
2vはvと同じ方向で２倍長い矢だ．
表現λvを見よう．λは変数（言い換えれば，任意の実数）．
これはもはや，ある長さの矢ではない． 長さが変数になったのだから，
矢の方向だけを表している．別の言葉でいえば，
この表現はベクトルvを含む直線を表す．
それは我々の視点からベクトルvの方向に発する光線を記述する．
三角形のファセット面で定義される平面は，３つの情報で表現される：
３頂点のうちの１つの位置頂点a 1
と，a 1
からa 2
へのベクトルと，
a 1
からa 3
へのベクトルである．
下の囲みの中に，目とファセットで決定される面から発する一本の光線の
方程式を与えた．光線がファセットをよぎるか否か，何処でよぎるかを知り，
反射された光線の方程式を計算するには，これらの2式を解かねばならぬ．
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光線の表現 r=λv
頂点 a 1
, a 2
, a 3
のファセットが定義する平面の式
r=a 1
+μ 1
(a 2
-a 1
)+μ 2
(a 3
-a 1
)
-------------------------------------------
（光線追跡の数学の詳細は，Turner Whittedの革新的な論文
”影付け表示のための改良された照明モデル”，
Communication of the ACM,Vol.23,Isuue6に見ることができる．）
光線追跡は現実味ある光景を作り出すことができるが，たいへん遅い．
これはコンピュータが作る映画の製作には用いることができるが，
コンピュータゲームのようにリアルタイムで照明を変化させることが
必要な場合問題である．
影や火線束（コースティク）［収差による回り込みでできる光像］，
多重反射のような複雑な現象は，モデル化が困難で，動的あるいは
もっと巧妙な数学的な手法，事前計算放射輝度伝搬（PRT)や
ラジオシティ（R)が使われる．
http://plus.maths.org/issue42/features/lasenby/doom3_web.jpg
http://plus.maths.org/issue42/features/lasenby/neverwinter_web.jpg
コンピュータゲームDOOM3，Neverwinter nights は
ダイナミックライティングが必要だ．
◆必要なのは若干の想像力
光景，照明が出来てしまえば，監督が”アクション！”と叫び，
キャラクターが動き出すのを待っばかりだ．
いまや，数学がイメージに命を吹き込むのを確かめよう．
最も基本的な物体の動きの一つは，
与えられた軸の回りの与えられた角度の回転である．
座標幾何学は，回転後の物体各点各点の位置を計算するツールを提供する．
だがこれらのツールは効率的で高速であることが重要だ．
これらのツールを見るにあたり，数学授業に一寸立ち寄って見る．．．．
［訳注：この後に，複素平面のこと，複素数に虚数 i を乗じると反時計回りの
90度回転になること，などの説明が続くのだが略］．．．．．．．．
http://plus.maths.org/issue42/features/lasenby/complexplane.gif
1806年にアマチュア数学者Jean Ribert Argandは複素数と i に
幾何学的な解釈を与えた．
複素数を乗ずることは，幾何学的には回転を表す．