2022年4月の記事一覧

コンスタンチン・ノップ,「クバント」«КВАНТ»No8，2020　の記事より
ただし，原文の説明は分かりにくいので，訳者が説明をすこし変えました．

ジョン・ホートン・コンウェイは著名な数学者で，組み合わせゲーム理論だけではなく，面白​​い数学への多大な貢献をしています．

パズル－－－－－－－ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
■私はバスに乗っていて，2人の魔法使の会話を聞きました：

A：私には子供が何人かいて，それぞれの年齢は正の整数であり，それらの合計はこのバス番号に等しく，それらの積は私自身の年齢です．
Ｂ：面白い！　もし，あなたの年齢と子供の数を教えていただければ，私は彼らの年齢を計算することができますか？
A：いいえ，できません．
Ｂ：ああ！　ついにあなたの年齢がわかりました．
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問: 　私たちの乗っていたバス番号はいくつですか？

■このパズルの背景
パズルの作者であるジョン・コンウェイが，バス内という場面を設定したのは，魔法使いAの年齢ａと彼の子供の数ｃの他に，もう1つの変数が必要だからで，それがバス番号ｂです．
（a,b,c）の三つ組数は，ａは魔法使いAの年齢，ｂはバス番号，ｃは魔法使いAの子供の数を表すとします．
ｂのバス番号は，私たちにはわかりませんが，魔法使いＢにはわかっています．

魔法使いAの「いいえ，できません」という意味は，魔法使いＢの知的能力に関することではなく，三つ組数（a,b,c ）が完全にわかっても，子供の年齢を明確に決めることができないということです．言い換えれば，同じ総和と積を与える［子供の年齢集合］で異なるものが存在することです．そのような年齢の集合をコンウェイ集合と呼びましょう．
訳者注）条件を満たす子供の年齢集合はｃ組数です．はじめの三つ組数と区別するために，私は［］で表示することにしました．

このパズルがめちゃくちゃ美しいのは，何から始めればよいかわからない．アプローチが非常に難しいからです．もし，魔法使いAの年齢ａが分かれば，その約数を調べて，その和のバリエーションをすべて見つけることができる．もし，バス番号ｂがわかれば，いろいろな方法でそれを総和に分解し，それらの積のバリエーションを求めることができる．もし，子供の数ｃだけ分かった場合でも，探索量はずっと少なくなる．
候補探索のプログラミングに数時間を費やし，ようやく正しい解に近づく方法を見出した人もいます．

この問題は，完全に定義されておらず，つまり，さまざまな解決策が存在するのです．

■例を示します：
21番のバス（b=21）内の会話で，魔法使いAは96歳（a=96），子供は3人（c=3）だとします．この状態を三つ組数（96, 21, 3）と書きます．
子供たちの年齢は，和が21，積が96で，この場合ｃ=３のため，たまたまですが，［3つ組数］になります．この条件を満たす子供の年齢は，［1，8，12］と［2，3，16］の2つがあり，確かに，魔法使いＢが（96,21,3）と完全な数字を知ったとしても，子供たちの具体的な年齢を割り出すことはできません．

魔法使いの会話から，条件を満たす子供の年齢が決まらないのは何故か？

同じbで異なるaを持つ数字のコンウェイ集合は他にないでしょうか？
この問いに答えるために，別の言い方をしましよう．bが小さく，aが異なるコンウェイ集合は他にないのでしょうか？なぜなら，もし見つけることができれば，それに1歳児を加えて，出来上がったコンウェイ集合の数の合計ｂを21になるようにすればよいからです．

［訳者注］子供の年齢集合に1歳を一人加えるとｂ（子どもの年齢の総和）は１つ増加しますが，積ａ（これは魔法使いＡの年齢）は変わりません．ただし，ｃは１つ増加します］．実際，このようなコンウェイ集合は簡単に見つかります．例えば，（40，14，３）の場合，［1, 5, 8］ や ［2, 2, 10］ がそうで，これに1歳児を加えると［1,1,5,8］や［1,2,2,10］で（40,15,4）に対応するコンウェイ集合が得られます（この両者で，魔法使いＡの年齢は40歳で変わりません）．
また，（36,13,3）の場合，コンウェイ集合 ［1, 6, 6］ と［2, 2, 9］があり，同様の操作で［1,1,6,6］と［1,2,2,10］のコンウェイ集合が得られ，これは（36,14,4）に対応します．この両者では魔法使いＡは36歳で変わりません．
この2つの例で，バス番号ｂ＝14が同じとき，魔法使いＡの年齢が40と36のように異なるものが作れます．

ここから，説明は冗長になり混乱しますから，ここで一息入れましょう．ここから先は，まず，自分でトライアンドエラーしてみた方が理解が深まります．各自試みてください．要するに，この問題は，［子供の年齢の集合］で，総和と積が一致する集合（コンウェイ集合）の中身に異なるものが複数存在し，子供の具体的な年齢が決まらない場合のｂ（子どもの年齢の総和でバス番号）を聞いているのです．「ああ！　ついにあなたの年齢がわかりました．」と言う発言があるので，そのとき，ａの数値は定まらなければいけません．

$$ \begin{split} 6 &= 2 + 2+2\ &(a=8) \\ \rhd 7 &= 2 + 2+ 3\ &(a=12) \\ \rhd 8 &= 2 + 2 + 2 + 2\ &(a=16) \\ \rhd 8 &= 2 + 2+ 4\ &(a=16) \\ \rhd 8 &= 2 + 3 + 3\ &(a=18) \\ \rhd 9 &= 2 + 2 + 2 + 3\ &(a=24) \\ 9 &= 2 + 2 + 5\ &(a=20) \\ \rhd 9 &= 2 + 3 + 4\ &(a=24) \\ 9 &= 3 + 3 + 3\ &(a=27) \\ \rhd 10 &= 2 + 2 + 2 + 2 + 2\ &(a=32) \\ \rhd 10 &= 2 + 2 + 2+ 4\ &(a=32) \\ \rhd 10 &= 2 + 2 + 3 + 3\ &(a=36) \\ \rhd 10 &= 2 + 2+ 6\ &(a=24) \\ \rhd 10 &= 2+3 + 5\ &(a=30) \\ \rhd 10 &= 2+4+4\ &(a=32) \\ \rhd 10 &= 3 + 3+ 4\ &(a=36) \\ \rhd 11 &= 2 + 2 + 2 + 2+ 3\ &(a=48) \\ 11 &= 2 + 2 + 2 + 5\ &(a=40) \\ \rhd 11 &= 2 + 2+ 3 + 4\ &(a=48) \\ \rhd 11 &= 2+3 + 3 + 3\ &(a=54) \\ 11 &= 2 + 2 + 7\ &(a=28) \\ \rhd 11 &= 2+3 + 6\ &(a=36) \\ 11 &= 2+4 + 5\ &(a=40) \\ 11 &= 3 + 3 + 5\ &(a=45) \\ \rhd 11 &= 3 + 4 + 4\ &(a=48) \\ 12 &= 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2\ &(a=64) \\ 12 &= 2+2+2+2+4\ &(a=64) \\ 12 &= 2+2+2+3+3\ &(a=72) \\ \rhd 12 &=2+2+2+6\ &(a=48) \\ 12 &=2+2+3+5\ &(a=60) \\ 12 &= 2+2+4+4\ &(a=64) \\ 12 &=2+3+3+4\ &(a=72) \\ 12 &= 3+3+3+3\ &(a=81) \\ \rhd 12 &=2+2+8\ & (a=32) \\ 12 &=2+3+7\ &(a=42) \\ \rhd 12 &=2+4+6\ &(a=48) \\ 12 &= 2+5+5\ &(a=50) \\ \rhd 12 &= 3+3+6\ &(a=54) \\ 12 &=3+4+5\ &(a=60) \\ 12 &=4+4+4\ &(a=64)\end{split} $$

$$\begin{split}2 &= 2\ &(a=2) \\ 3 &= 3\ &(a=3) \\ \ldots \\ 11 &= 11\ &(a=11) \\ 4 &= 2+2\ & (a=4) \\ \rhd 5 &= 2+3\ &(a=6) \\ \rhd 6 &= 3+3\ &(a=9) \\ \rhd 6 &= 2+4\ &(a=8) \\ \rhd 7 &= 3+4\ &(a=12) \\ \rhd 7 &= 2+5\ &(a=10) \\ \rhd 8 &= 4+4\ &(a=16) \\ 8 &=3+5\ &(a=15) \\ \rhd 8 &= 2+6\ &(a=12) \\ 9 &= 4+5\ &(a=20) \\ \rhd 9 &=3+6\ &(a=18) \\ 9 &= 2+7\ &(a=14) \\ 10 &= 5+5\ &(a=25) \\ \rhd 10 &=4+6\ &(a=24) \\ 10 &=3+7\ &(a=21) \\ \rhd 10 &=2+8\ &(a=16) \\ \rhd 11 &=5+6\ &(a=30) \\ 11 &=4+7\ &(a=28) \\ \rhd 11 &=3+8\ &(a=24) \\ \rhd 11 &=2+9\ &(a=18)\end{split}
$$

$$\begin{split} \rhd 5 &= 2 + 3\ &(a=6) \\ \rhd 6 &= 6\ &(a=6) \\ \\ \rhd 6 &= 2 + 2 + 2 = 2 + 4\ &(a=8) \\ \rhd 8 &= 8\ &(a=8) \\ \\ \rhd 6 &= 3 + 3\ &(a=9) \\ \rhd 9 &= 9\ &(a=9) \\ \\ \rhd 7 &= 2 + 5\ &(a=10) \\ \rhd 10 &= 10\ &(a=10) \\ \\ \rhd 7 &= 2 + 2 + 3 = 3 + 4\ &(a=12) \\ \rhd 8 &= 2 + 6\ &(a=12) \\ \\ \rhd 8 &= 2 + 2 + 2 + 2 = 2 + 2+ 4 = 4 + 4\ &(a=16) \\ \rhd 10 &= 2+8\ &(a=16) \\ \\ \rhd 8 &= 2+3 + 3\ &(a=18) \\ \rhd 9 &= 3 + 6\ &(a=18) \\ \rhd 11 &= 2 + 9\ &(a=18) \\ \\ \rhd 9 &= 2 + 2 + 2+ 3 = 2+3+4\ &(a=24) \\ \rhd 10 &= 2+2 + 6\ &(a=24) \\ \\ \rhd 10 &= 2+3 + 5\ &(a=30) \\ \rhd 11 &= 5 + 6\ &(a=30) \\ \\ \rhd 10 &= 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 2 + 2 + 2+ 4 = 2+4 + 4\ &(a=32) \\ \rhd 12 &= 2+2 + 8\ &(a=32) \\ \\ \rhd 10 &= 2 + 2+ 3 + 3 = 3 + 3 + 4\ &(a=36) \\ \rhd 11 &= 2+3 + 6\ &(a=36) \\ \\ \rhd 11 &= 2 + 2 + 2 + 2 + 3 = 2 + 2+ 3 + 4 = 3 + 4 + 4\ &(a=48) \\ \rhd 12 &= 2 + 2 + 2 + 6 = 2+4 + 6\ &(a=48) \\ \\ \rhd 11 &= 2 + 3 + 3 + 3\ &(a=54) \\ \rhd 12 &= 3+3 + 6\ &(a=54)\end{split}
$$

$$ \begin{split} \rhd 11 &= 3+4 + 4\ &(a=48) \\ \rhd 12 &= 2+2 + 2 + 6\ &(a=48)\end{split} $$