2019年11月の記事一覧

ペンローズ・タイリングとは，次のような2種類のタイルから出来ているタイル張りです．
この図の例では周期ができてしまいましたが，周期ができないように作ることもできます．

ペンローズ・タイリングは，5次元の空間格子の2次元への射影として作れます．
5次元超立方体は頂点32個，辺の数80（各頂点が５次の同次グラフ）です．
超立方体は亀井図（多元構造グラフ）で表示するとわかり易い．
https://sgk2005.org/wysiwyg/image/download/1/526/medium
我々は５次元空間を見ることができないので，５次元空間の基底を，互いに直交する２つの部分空間の基底の直和（２次元＋３次元）に分けて考察することにします．
周期的な５次元空間［単位胞（5次元超立方体）］を，その5次元空間内をよぎる２次元平面（スクリーン）に射影するには，２次元平面にできる格子の影に，この2次元平面に対する３次元直交補空間（菱形20面体）を射影すればよい．

この３次元補空間内の基底ベクトル３本は互いに直交しているのだが，この３本のすべてがスクリーンとなる２次元平面にも直交している（想像しにくい状態だが５次元の世界だから可能）．
５次元超立方体を３次元に射影してできる立体は，菱形20面体（頂点数は22個，辺の数40）だが，
５次元空間の単位胞の体対角方向が２次元スクリーンに垂直になるように置いて，スクリーンへ射影を行う．つまり，菱形20面体の１つの5回対称軸を2次元スクリーンに垂直にして見下ろしたときの外形（ペトリー多角形と言う）を図に示します．ペトリー多角形とその内部の点は5次元の超立方体の頂点に対応します．

ペンローズ・タイリングに現れる特徴的なパターンが，ペトリー多角形内に作れることを図に示しました．

5次元の周期的な空間を，単位胞（5次元超立方体）の体対角線[1,1,1,1,1]方向に垂直な2次元平面に射影すると，この2次元平面は，3次元補空間の菱形20面体をいくつかの高さのレベルで切断したいくつかのサイズのペトリー多角形内のパターンが次々に現れ，ペンローズのタイル模様が作れます．