2014年12月の記事一覧

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数学月間SGK通信 ［2014.12.02］ No.040
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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先に，「007_インドラの網と反転円」で言及したことがありますが，
円による反転鏡映について，その性質や利用例を鑑賞しましょう．

◆円による反転鏡映の性質
下図に赤い円による反転鏡映の代表的な例を２つ示します．
・反転円をよぎる直線aを反転すると，反転円の中心を通る円Aになる．
・円bを反転すると，円Bになる．
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/545271/78/16304278/img_0_m?1417183249

この性質を知っていると，色々なことに利用できます．
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/545271/78/16304278/img_3_m?1417183249
例えば，このような図形はアルベロス（靴屋のナイフ）
といいますが，この中の幾何学世界の面白さなどです．

下図のアポロニウスの窓の中にある黄色の円とピンクの円は，
緑色の円を反転円として，それぞれ反転円内の黄色とピンクの円が
鏡映像になります．これらの鏡映像は平行な直線（黒）に挟まれた
領域内に入ります．
平行直線の左はアポロニウスの窓の外周円の反転鏡映，
平行直線の右はアポロニウスの窓内にある左側の大きな円（灰）の
反転鏡映像です．なぜなら，外周円も左側の大きな円（灰）も
反転円の中心を通っているので，鏡映像はどちらも直線になるからです．
アポロニウスの窓内にある初めの黄色い円もピンクの円も，外周円と
内部の左側の大きな円（灰色）に接しているので，
それらの反転鏡映像でもそのような状態が保たれています．

このようなことがわかると，以下のパップスの定理が導かれます．
アルベロスの中で，右側の大きなピンクの円の上に生じる
黄色の円（ω1），続いて生じる灰色の円（ω2），の系列を考えると，
「円ωnの中心と直径ABとの距離は円ωnの直径のn倍である」
（パップスの定理）ことがわかります
以下の図は，ω2の場合の例です．
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/545271/78/16304278/img_2_m?1417183249
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/545271/78/16304278/img_1_m?1417183249