2018年4月の記事一覧

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
数学月間SGK通信 ［2018.04.24］ No.216
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
下の写真は，先日紹介したロマネスコです．

以下の動画も参照ください．
https://www.facebook.com/scifri/videos/10154643456998403/?t=0

向日葵の花の芯やロマネスクを見てると螺旋が見えてくると思います．
右回りの螺旋が見えたり，左回りの螺旋が見えたりします．
目がちらちらしますが，それぞれの螺旋の数を数えて見ましょう．
多分，ロマネスコでは，左回りの螺旋が13，右回りの螺旋が21見えてきたりします．
向日葵でも同様です．1,1,2,3,5,8,13,21,34,...はフィボナッチ数列で，
向日葵の花の芯，ロマネスコ，松ぼっくり，パイナップルなどなどで見られる
螺旋の数は，13,21などのフィボナッチ数です．
このような配列が成長により生まれる仕組みは次のようなものです．
中心で一定の時間間隔で次々に島が生まれるとして，
生まれた島は植物の成長と共に一定の速度で周辺方向に広がりながら押し出されて行きます．
ただし，島を押し出す方向が，360°/φだけ回転します（φ＝1.6180･･･の黄金比）．
円周を黄金比で分割しながら，その方向に向きを変えて生まれた島を押し出していく仕組みです．
このようにすると島の配列に螺旋が生じ，螺旋は対数螺旋になります．
なぜ円周を黄金分割しながらその方向に島を押し出すのかわかりませんが，
混み具合が均等になるので，成長の自然の原理でしょう．
植物が数学をしているわけではありません．

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
数学月間SGK通信 ［2018.04.17］ No.215
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
内閣支持率が30%を切るところです．30%を切ると一気に崩壊に向かったり，
サンゴ礁の環境保全臨界量（自己組織化臨界）があったり，このような現象は良く知られています．
俗にいう，「泥船から逃げる」と「勝ち馬に乗る」のせめぎ合いのバランスです．
このような二者択一の転換点(tipping point)の数学モデルが，米国数学祭り
（4月19日のオンラインQ&Aで）取り上げられるようです．
文化や環境などのシステムの定常状態が急激に変わる点が転換点です．
復元しようとする力と変えようとする力のバランスで方向が決まります．
米国の国民行事，数学祭のニュース（2018年4月）の情報です．
ワシントンDCで，2019年開催されるNational Math Festivalまであと1年！
4月19日（木）午後2-3時（東部時間）に，以下のオンラインQ&Aがあります．
「何でも聞いてください：Tipping Point 転換点と惑星地球」，
Dr. Mary Lou Zeeman (Bowdoin College）
https://www.facebook.com/nationalmathfestival/

さて，4月は新年度でいろいろ行事があります．皆様の方でニュースがありましたらご連絡ください．
今年の数学月間懇話会（第14回）は，8月22日の開催で企画しています．以下は数学と離れ私の近況です．

◆4月14日は，合同大施餓鬼会に参加しました．法話は古河の一向寺の峯崎住職がされました．人生の意味についてです．
「人の存在は他者から与えられる」当たり前の事が当たり前でなくなるのを自明性の崩壊という．
今まで何とも思わなかったことが，幸せだったなと気づくのは，自明性の崩壊によりその存在に気づいたからだ．
ミラーニューロンとよばれる脳神経細胞は，他者の行動を見たり，声を聞いたりしたことを，
自分自身がまるで同じ体験をしているように感じるという．
「他者との関わりがあって自分が存在する」のです．仏となった死者からの視線については，
次回お話されるそうです．

◆4月16日は，市村清新技術財団の50周年記念式典がありました．
たくさんの懐かしいOBの方にお会いできました．今年の産業賞7件，学術賞7件の表彰がありました．
どれも興味深い技術成果ですが，例えば，学術賞の功績賞で，全身透明化による全細胞解析の実現，
上田泰己（東大）には，ギョッとしてしまいました．透明人間ならぬマウス一匹を透明化です．
死んでいるマウス（もちろん生きてはいません）を漬けておいて透明にする処理液の技術です．
この目的が部外者には始めは良くわからなかったのですが，透明化すると，
細胞１つ１つの積み重ねが解析でき，がんが細胞をどのように伝わるかなど病理現象の研究に役立つそうです．
観察は蛍光顕微鏡によるようで，横からシート状の励起光を照射し，
照射された断面からの蛍光を顕微鏡で観測します．断層の3D画像も容易です．
サンプルが透明でなければシート状の励起光照射ができませんからね．
私はこの観察の道具に用いたシート顕微鏡の方に興味があります．
昔，走査型軟X線分光顕微鏡STXMで，化学状態のマッピングをした（3D像も得た）ことを思い出しました．
ちょっと似ている所があります．

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
数学月間SGK通信 ［2018.04.10］ No.214
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
フラクタルとフィボナッチ数列についての以下のビデオをご覧ください．
https://www.facebook.com/scifri/videos/10154643456998403/?t=0
ここに出て来る野菜のロマネスコの写真を以下に載せておきましょう．
https://blog-001.west.edge.storage-yahoo.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/572283/73/18482473/img_1_m?1523272964
https://blog-001.west.edge.storage-yahoo.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/572283/73/18482473/img_0_m?1523272964
不思議な形ができていますね．この形の成長の基になるフィボナッチ数列についての説明をしましょう．
フィボナッチ数列の定義は
F(n+2)=F(n+1)+F(n)，　F(1)=1，F(2)＝1　です．
等比数列の型F(n)=r^nの一般項を求めてみましょう．
　r^(n+2)=r^（n+1)+r^(n)
すなわち，　r^2-r-1=0　を満たすものが解です．
この解は　α＝(1+√5)/2　，　β＝(1-√5)/2
一般項は　F(n)＝cα^n+dβ^n　となります．
この解をF(1)，F(2)に代入し，次の連立方程式が得られます．
cα＋ｄβ=1＝F(1)
cα^2+dβ^2=1=F(2)

一方，α，βは2次方程式の解だから
α^2-α-1=0
β^2-β-1=0
を用いると，連立方程式は
cα+dβ=1
c(α+1)+d(β+1)=1
となり，c+d=0　を得ます．そして，ｃ＝1/(α-β)＝1/√5
つまり，一般項は　F(n)=c(α^n-β^n)＝(α^n-β^n)/√5　が答えです．

さて，|β|=0.618･･･<1なので，n→∞でβ^n→0
従って，ｎ→∞で，F(n)＝α^n/√5に最も近い整数です．なぜなら．F(n)は整数だからです．
隣り合うフィボナッチ数の比は，n→∞のときα＝(1+√5)/2=1.6180･･･
（αは黄金数）になります．

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
数学月間SGK通信 ［2018.04.03］ No.213
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
すっかり暖かになり桜も咲きました．
皆様も良いお花見を満喫されたでしょうか．
毎日，私の所にやって来たシジュウカラさん達もこの良い陽気に忙しいらしく
このところ無沙汰がちになりました．
さた，3月27日の数学月間勉強会，結晶空間群で物理と数学を学ぼう（第4回）は
15名の参加で，無事完結しました．
このシリーズのメインイベントは，第3回の結晶平面群（結晶空間群）の数学でしょう．

周期的な空間（＝結晶空間）の数学の復習をしておきましょう．

第1回では周期を扱い，第2回では有限図形の対称性=点群を扱い，
第3回では繰り返し模様（周期的な空間）の対称性ー空間群ーを扱いました．
有限図形の対称性に比べて周期的な空間の対称性はなじみのない人が多いようです．
しかし，周期的な空間はとても重要です．結晶の中は無限に繰り返す世界です．
第4回は，点群から空間群への拡大に言及しました．
2次元の繰り返し模様（＝壁紙模様）は，エッシャー〈1944頃）の作品に見られます．
(1)格子
2次元空間では，互いに独立な2つの基本並進ベクトルa1,a2がとれ，
a1,a2の整数係数の1次結合をすべて集めたT={h･a1+k･a2丨h,kは整数｝を，
この平面の格子点の集合（あるいは単に“格子”）といいます.
集合Tは無限集合になりますが， 群の条件を満たしており，Tを並進群とも呼びます．
ブラべ格子とは，結晶点群の対称性を基準に，格子のタイプ分類をしたものです．（図１）

(2)点群一有限図形の対称性一
1点の周りの対称操作（点群の対称操作）を考察しましよう．
回転対称軸には,１， 2，3，4，5，6，･･･，∞回（回転対称）軸があり得ます [何もしないのは1回軸]．
n回軸Cnとは，360°/nだけの時計回りの回転操作で，n回続けるとCn^n=360°=0°(mod 360°)，
これは恒等操作1です．回転操作Cnからは，回転群Cn={Cn，Cn^2，…，Cn^n＝1}が生成されます．
その他の2次元点群で見られる対称操作には，鏡映m [対称心-1は，2次元空間では2回軸と同じ]があります．
鏡映操作mが生成する鏡映群はm={m,m^2=1}
（注）mod360°とは360°回転したら同じものとする［360°を法として同値］という意味です．
別の例では，時計の文字盤があります．我々は13時のことを1時とも言いますが，
これは，mod12［12を法として同値］を用いた結果です．

(3)結晶点群一格子と両立できる点群一
結晶では，点群の回転対称性と並進群（格子）の対称性とが両立しなければなりません．
2，3，4, 6回軸は，それぞれに両立できる格子 がありますが，5回軸の場合はどうでしょう．
1つの5回軸が支配する局所的な作用域として正5角形タイルを描きます．
平面に周期があり複数の5回軸が配列している状態を考えると，
各5回軸は自分の局所的な作用域（正5角形タイル）内でのみ有効なのではなく，全域でも有効です．
各5回軸の局所的な作用域は，互いに他の5 回軸により変換し合い，全体として不変な配置となるべきです．
これは2次元平面を正5角形タイルで隙間なく張り詰めることと同じで，そのようなタイル張りは実現不可能です．
したがって，5回軸と両立する格子はあり得ません．7回以上の回転対称軸に関しても同様で，
結局，格子と両立できる（＝結晶空間で許される）回転対称は，2， 3，4，6回軸に限られることになります
[ただし，2次元，3次元空間 での話]．

(4)空間群の作り方〈2次元の場合）
2次元空間では，10種の結晶点群G：1，m，2=-1，2mm， 3，3m，4，4mm，6，6mm，
および，5つのブラべ格子T：clino-P (斜交単純格子)，ortho-P（直交単純格子)，ortho-C (直交C面心格子)，
tetra-P(正方単純格子)，hexa-P(六方単純格子）が数え上げられます．

周期的な空間での対称操作が作る群が結晶空間群で，結晶空間群Φの要素は，
結晶点群Gの要素と並進群Tの要素との積（結合）です．Φ＝G×T

壁紙模様の平面群17種の構成を見てみましょう．
壁紙模様は，1つの“モチーフ”（＝単位胞の中身）を無限にある格子点の上に配置して構成されています．
格子点は無限にあり，どの格子点にいても常に世界の真ん中ですから，
「格子点距離の倍数だけ移動した点はすべて同価」との見方をします．
これを“格子を法として（mod T)同値”と言います．
無限に繰り返す“モチーフ”の分布を，単位胞内の１つの “モチーフ”に還元できます．
［準同型写像で，Φ/T=G のように表現します．ただし，並進群TはΦの正規部分群であることを用いています］
この見方をさらに進めると，“モチーフ”内部の対称性を記述する結晶点群G自体も，
格子を法として(mod T)閉じればよく，G(mod T)と拡張でき，
拡張された結晶点群G(mod T)と並進群Tとの積で作られる空間群もあります．
このような夕イプの空間群には, 映進面（鏡映 ＋ 鏡面に平行に格子距離/2の並進)，
n回螺旋軸(360°/nの回転 十 軸方向に格子距離/nの並進）などの操作があります．
ただし，螺旋軸が現れるのは3次元以上の空間で，平面群にはありません．
例として，平面群P2mm, P2mg, P2ggの作り方を図示します
(注）頭のPは格子を表し，続く2mmなどが結晶点群の対称要素です．後者の2つ平面群には，映進面gが現れます．
イメージ 1
https://blog-001.west.edge.storage-yahoo.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/568617/17/17352517/img_0_m?1480929893
イメージ 2
https://blog-001.west.edge.storage-yahoo.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/568617/17/17352517/img_1_m?1480929893