2014年5月の記事一覧

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数学月間SGK通信 ［2014.05.30］ No.010
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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円盤の中の不思議な世界（エッシャーの極限としての円）
双曲幾何空間のポアンカレ・モデル

■ポアンカレ万華鏡
1951年の国際数学会でエッシャーはコクセターに出会いました．その後1958年に
コクセターはFig.2を掲載した論文をエッシャーに送りそれがことの始まりです．

Fig.1は正6角形タイルが頂点で4つ出会うように平面を埋め尽くしている世界で，
シュレーフリの記号で{6,4}と表記されます．
これらの円盤内は双曲幾何の世界（ポアンカレ・モデル）なので，
円盤内では，正6角形タイルはすべて同じ大きさなのです．
（円盤のフチに近づけば近ずくほど，どんどん縮小されるので，我々から見たら
有限な円盤内なのに，無限個の正6角形タイルが敷き詰められています）
円盤内では，Fig.1に描かれているような円盤のフチに直交する円弧が直線です．

Fig.1
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/545271/53/15820253/img_2?1401440063
Fig.2
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/545271/53/15820253/img_3?1401440063

Fig.1の正6角形タイルを12個の直角3角形に分割したものがFig.2です．
この直角三角形の内角は(π/6, π/4, π/2)で，この直角3角形を簡単に(6,4,2)と表記することにします．
この3角形の内角の和は　π/6+π/4+π/2=11π/12<πですが，
ここは双曲幾何の世界ですからπより小さくなるのは当然です．
(6,4,2)直角3角形の各辺を鏡映面として万華鏡を作ると，
Fig.2のような市松模様が得られます（鏡映操作により白黒が反転する）．
私はこれをポアンカレ万華鏡と呼んでいます．
実際にこの万華鏡を作製しましたが，円弧面による反射は原理的に収差があり，
数学の反転操作とは異なります．あまり美しい万華鏡にはなりません．

■コクセターとエッシャー
さて，コクセターからFig.2の分割図を知らされたエッシャーは，
早速「極限としての円」シリーズの制作を始めます．
エッシャーは{6,6}正則分割を用いた直線魚の作品などといろいろ工夫を重ね，
「極限としての円」のシリーズIIIで，{8,3}正則分割を用い完成します（Fig.3）．

Fig.3
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/545271/53/15820253/img_0?1401440063
Fig.4
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/545271/53/15820253/img_1?1401440063

Fig.3に描かれている魚が泳ぐ流れの白い線は直線のように見えますが，
実は違います．円盤のフチと80°で交わっています．
直線となる円盤のフチと90°で交わる円弧はFig.4に描きこんだ黒い線です．
そしてエッシャーの作品は，{8,3}正則分割を基礎にしていることがわかります．
{8,3}正則分割は,正8角形のタイルが頂点で３つ出会うような敷き詰めですが．
エッシャーの作品のトリックは，正8角形のタイルを作る直線
（絵には顕には描かれていない）と，魚の流れに沿った線を正確に使い分けて
見事な印象を与えている所です．
この解説は，1979年のコクセターの以下の論文で指摘されています．
Coxeter, H. S. M. (1979), "The non-Euclidean symmetry of Escher's picture
'Circle Limit III'", Leonardo 12: 19-25, JSTOR 1574078.

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数学月間SGK通信 ［2014.05.27］ No.009
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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◆双曲幾何のポアンカレ・モデルの世界
円盤の中に宇宙があります．
円盤のフチに近づくほど自分もどんどん小さくなるので，
歩いても歩いてもフチまで行けません．Fig.1をご覧ください．
円盤の中に描かれた円弧はすべて，フチと直交しています．
この円盤の世界では，これらは皆，直線なのです．

◆反転円による鏡像
円盤のフチと直交するこれらの円の一つ，例えば，
赤い円弧で分けられた円盤の世界は，左が大きく右が小さい
ように我々には見えます．しかし，円盤の世界（双曲幾何の世界）
に住むとどちらも同じ広さで無限に広い．
なぜかというと，赤い円で分けられた円盤内の世界は，
赤い円を反転円にすると，互いに鏡像になるからです．
(注）円による反転とは-------ｰｰｰ
反転円の半径をrとるると，互いに反転鏡像となるA,B2点の
反転円の中心からの距離をa,bとすると，a･b=r²　です．
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我々のユークリッド空間では，鏡像というと直線鏡によるものですが，
円盤内の双曲幾何の世界では，フチと直交する円弧(この世界では直線）
による反転で鏡像が作られます．

◆Fig.1は円版の世界をフチに直交する円弧（この世界の直線）で
分割した例です．鏡映が起こるたびに色が変化するように，
市松模様に塗り分けてみました．
こような分割の表記にはシュレーフリの記号が使われます．
Fig.1は[4,6]と表記しますが，これは，どの頂点も同じ状態で，
正4角形が6つ頂点に集まっているという意味です．
我々にはゆがんで見えるかもしれませんが，
円盤内の世界ではこれらは皆同じ正方形なのです．
Fig.1→https://scontent-a-sjc.xx.fbcdn.net/hphotos-frc3/t1.0-9/s640x640/1507832_578610068893584_59018908_n.jpg

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数学月間SGK通信 ［2014.05.22］ No.008
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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不思議な魔方陣
http://www.mathaware.org/mam/2014/calendar/magicsquares.html
イーサン・ブラウンは，マサチューセッツ，アンドーバーのフィリップス・アカデミィ・
アンドーバーの高校生で，数学マジシャンです．
4×4魔方陣で，観客が任意に選んだ3マスに，観客が任意に選んだ数字（1～20)を置いて
スタートです．さらに観客に，コラムの総和となる任意の数（30～80)を選ばせます．
これらの条件下で4×4の魔方陣を作ります．まるで，“ねずっち”の謎かけ問答のように
直ちに作ります．Fig.1のような魔方陣ができました．
この例では，任意に選ばれたマス位置の数字は，11, 2, 5 で,
観客の提示した総和は79でした（Fig.1のオレンジのマス）．
確かに，魔方陣の縦/横/対角線/中心４マス/4隅の４マス/外周角のマス４つ，
などの総和はすべて79になっています．第二のビデオでその作り方がわかります．

Fig.1

第三のビデオで，
Fig.2,3のようなラテン方陣の変形から作る方法も紹介されています．

Fig.2　　　　　　　　　　　　　　　　

Fig.3

4×4の色々な魔方陣を作ってみてください．

■いろいろな同期現象
http://sgk2005.sakura.ne.jp/htdocs/index.php?key=jo6zrwacj-29

独立な多数の振動子が同期する現象はいろいろな所で観察されます．
もちろん，振動子間に何らかの相互作用が存在するために起こります．
それぞれの振動子の固有振動周波数は,バラついているものの
ある程度の範囲内でほぼそろっていなければなりません．
初期状態では各振動子の位相はバラバラですが，
時間が経つと不思議なことにそろってきます．
64個のメトロノームの動画では，最後には一糸乱れぬ軍隊の
行進のようにそろいます．言論統制みたいで気持ち悪いですね．
ホタルの点滅，心臓筋肉の同期，付和雷同の心理，化学反応，等々
これは，いろいろな分野で見られる現象です．私も昔，
放電の発光点の移動で同じような現象を体験したことがあります．

■同期の観察
以下のビデオがyoutubeにありますので予備知識に，まずご覧ください．
のぼさんの実験（１）
ロウソクの炎の振動の同期
池口研究室（２）
メトロノーム同期（2個）の分岐
メトロノーム同期 (64個)
◆ロウソクの炎の実験（１）を見ていると，2本のロウソクの炎の
振動が同相になる条件と逆相になる条件があることがわかります．
どちらになるかは，2本のロウソク間の距離によるようです．
2本のロウソク間の相互作用は，炎の周囲の気流によるものですから
2本のロウソクが近いときは，同相に，
ある程度の距離範囲ならば，逆相になることは推測できるでしょう．
大きく離れると，それぞれ独立になります．
◆メトロノーム2個の同期（２）でも，同相同期と逆相同期があり，
これは２つのメトロノームを積載している共通基盤の振動周波数
によって決まるようです．
共通基盤の振動は2つのメトロノームの相互作用そのものです．
共通基盤の振動周波数が小さいときに同相同期，
大きいときに逆相同期になっているのが観察されます．
これは，もちろん理論的な推測と合致しますね．

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数学月間SGK通信 ［2014.05.20］ No.007
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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■アポロニウスの窓ApolloniusGasket
映像が果てしなく繰り返す「インドラの網」
網の上に置かれた真珠は互いに反射し合って，他の真珠を映しだすだけでなく，
他の真珠の映る自身の姿をも映します．世界全体が真珠一つ一つの上に映り，
またその姿が別の真珠に映り，これが永遠に続くのです．
”インドラの真珠”
D.マンフォード, C.シリーズ, D.ライト, 小森洋平 (翻訳)，日本評論社より

この美しい図形は２次元では，「アポロニウスの窓」とも呼ばれます．
互いに 接し合う3つの円に接する第4の円を描くのですが，
これを次々と繰り返して作られる円の中の世界です.
4つの円の曲率（半径の逆数）をa,b,c,dとすると，
2(a²+b²+c²+d²)=(a+b+c+d)² という
デカルトの発見（1643）した定理が成り立っています.
参考⇒三角形の七不思議 (ブルーバックス)， 細矢 治夫

■反転によるフラクタル構造
美しいアポロニウスの窓を見ていると，いろいろな想いが拡がります.
2つの円が互いに接し，かつそれらがアポロニウスの窓の外周円とも接しているとき.
これらの接点を通り外周円と直交する円を考えましょう．すると，
この円で分断された2つのアポロニウスの窓の世界は，この円を反転円として，
互いに鏡像となっています.　もし反転円がどんどん小さくなれば，
その小さな領域に大きな世界がどんどん繰り込まれていくので，
不思議なフラクタル世界 の美しさが見られます.
Fig.

https://scontent-b-nrt.xx.fbcdn.net/hphotos-prn2/t1.0-9/s640x640/1661263_605037739584150_251764405_n.jpg
図は　Cinderellaというフリーソフトを用いて描きました．
緑色の円の外にあるピンクと黄色の円は，緑色の円を反転円とすると，
緑色の円内のピンクと黄色の円にそれぞれ映ります．
映されたこれらの円の大きさは，その上のグレーの円と同じ大きさです．
色々な反転円を考えれば，無限にある大小さまざまな大きさの円は，
みんな同じ大きさであるとも言えます．
だから，円盤内の世界は無限に広いと言い張るのも良いでしょう．

■円による反転
原点に中心のある半径1の円による反転は，反転円内の点r→反転円外の点Rへの写像
（あるいはこの逆）で，反転像どうしは，r･R=1の関係にあります．
もし，反転円の円周上に点があれば，反転像は元の点と同じ位置です(r=R=1）．
反転操作では，円は円に写像されます．もし，反転円に直交するような円周の円を
この反転円で反転すれば，同一の円の上に写像されます．したがって，
円周に直交するような反転円で分断された円の２つの部分は，反転円による
それぞれの鏡像になります．

円が直線なら，普通の鏡映像になります．
直線鏡の組み合わせで作られる映像は，良く知られた万華鏡です．
反転円を用いたインドラの網も拡張された万華鏡の映像です．

■編集後記
仏教では，「宇宙の一切のものが,一切のものの原因になっていて，
無限の過去からの無数の原因が，どの一人にも
それぞれ反映されている」と考えます．
これはまさに単純な因果列ではなく複雑系の考え方ですね．
宮澤賢治に「インドラの網」という小品があります．
インドラの網目に縫い付けられた珠玉は，互いに映じ合うと同時に,
自分自身も輝いています.
この項目は，複雑系，双曲幾何の円盤モデル，エッシャーの不思議な世界，
平面の分割と万華鏡，などに関連があります．
これらは順次別号で取り上げる予定です．

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