タグ:解析

力学系を記述するラグランジュ方程式は作れるのだが，これが解けるとは限らない．
物理の演習では，解けるものしか扱わなかったのです．
実際の世の中は，解を関数で記述できない（解けない）方程式が大多数．
系の運動を支配する法則（ニュートン力学の方程式）は明確なのに，
解が関数で記述できないのだ．でも，コンピュータによる数値計算により，
運動は逐一決定できる．しかも，予想もつかない挙動が起こる．
このようなことを指摘したのはポアンカレでした．

1766　オイラー「変分法の原理」
オイラー，　ラグランジュ

1800　ラグランジュ「解析力学」
エネルギー散逸がない系は，オイラー＝ラグランジュ方程式が作れる
オイラー，　ハミルトン，　ヤコービ

1900　ポアンカレ
可積分の方程式はごくわずかで，大部分の方程式は非可積分（関数で記述できない）
ニュートンの法則に従う系の運動は，可積分と決めつけてはいけない．

可積分　→　予測可能，安定な軌道　互いに独立な因果列
非可積分→　カオス的　　　　　　　干渉し合う因果列

分岐理論

■2重振り子（振幅の大きいとき）

微小な振幅であるならば，解析的な解があり，あまり複雑でない周期的な運動になることを前回に学習しました．
しかし，振幅が大きくなると，ラグランジュ関数 L の近似ができませんので，ラグランジュ方程式は解けません．
しかし，将来，誰かが巧妙な方法で解くのではないかと期待し，最悪そのような解析的な解は存在しないとしても，
振動範囲が小な場合と本質的に大差はないのではないかと想像するのが自然なことでした．
系のラグランジュ関数 L は全く正しいし，ラグランジュ方程式も正しいのですから，
解析的に解けないと言っても心配ないのではと思うでしょう．

しかし，実験ではとんでもない現象が見られました．
コンピュータを用いた計算が高度になり，力ずくで動きのシミュレーションがなされるようになりました．
正しい方程式は実在するのですから，関数による軌道記述は出来なくても，動きは逐一決定されるはずです．
しかし，初期条件（初期値）により，予想もつかない挙動が見られます（カオス）．

◆第１の動画は実験
スタートする初期値によって運動の様子は異なります：

◆第２の動画はシミュレーション
Double Pendulum Chaos Light Writing (computer simulation) 1

■2重振り子（振幅の小さいとき）

図のような2重振り子の運動です．今回は物理演習のようになりましたが，
数式に囚われる必要はありません．重要なのは，振幅が小さい範囲なら
運動は線形の微分方程式に近似できるので，2種類の周波数の振動が重畳
された運動になる．つまり，関数で記述できる安定な周期的な運動になる
という事です．そして，これに対比される次に話題になる振幅の大きい
2重振り子運動では，運動は関数で記述できず，予想もつかない
とんでもない運動をするということです．

◆それでは，振幅の小さいときの2重振り子の学習をしましょう．
ここでは，ラグランジュ関数やラグランジュ方程式を説明せずに用いています．
これらを学習したい方は，EMANの物理学などが参考になります．

 

 

 

 

 

 

 

 

m1の座標は

 

 

これは，Oから釣り下がる長さ l の糸と
mから釣り下がる長さ l₁ の糸の和であるからだ．

この2重振り子のラグランジュ関数Lは

 

 

 

 

Tは系全体の運動エネルギー，Uは系全体の位置エネルギー
解Φ，ψ を求めるには，次のラグランジュ方程式を解かねばならないのだが

 

 

 

 

解析的には解けない（関数で記述できる解がない）ので，
Φ，ψ の振動範囲を微小に制限して（Φ，ψの2次までを残す近似），

 

 

 

この近似した L=T-U を用いて，ラグランジュ方程式を解く．
これは解けるのだが物理の演習問題なので（参考）に示し，結論だけ述べる．
結論
Φ, ψ は，以下の2つの固有ベクトル（基準振動）の重畳（線形結合）で表せる．　

 

 

 

微小振動の範囲では，Φ，ψは，それぞれ２つの固有振動の重ね合わせであるということは，
それほど複雑な振動ではない．いずれにしろ周期的な振動である．
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
（参考）

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

続く⇒　振幅の大きい場合