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 Fig.1

 菱形30面体と12・20面体とは互いに双対な多面体です．双対の説明はFig１に図示しました．さらに，12・20面体は互いに双対な正12面体と正20面体とを重ねたときの共通部分でもあります．

注）Fig.1の重な合わせでは，共通部分はサッカーボール［5,6,6］の半正多面体ですが，正20面体のを少しづつ大きくしていくと，［5,3,5,3］の半正多面体（12・20面体）になる点があります．

 

 

 

 

菱形30面体の頂点は，正12面体の頂点（3回軸の位置）と正20面体の頂点（5回軸の位置）とから構成されています．菱形面の短対角線（正12面体の正5角形面の辺長）をaとし，長対角線（正20面体の正3角形面の辺長）をbとすると，a:b=1:Φ＝2:1+√5　の黄金比です．正12面体の頂点のうちの8個を使い，一辺Φaの立方体を内接できるので，正12面体の外接球の半径は，R₁₂＝√3Φa/2です．
一方，正20面体の外接球の半径は，R₂₀=(b/4)√(10+2√5)です．

寸法をa=2，b=1+√5，Φ=1.618にすると，R₁₂=2.80，R₂₀=3.08が得られます．
実際の製作は展開図に記入した寸法（10倍）にすると作り易いです．

ミラー紙（厚さ0.25mm程度の厚紙）を使って，展開図の鏡を作りピラミッド（内側が鏡）のような形に組み立てます．O点は立体（ピラミッド）の中心に相当し，O点の周囲は光の窓になります．覗くのは菱形面（ピラミッドの底面）の外部からです．

 

 

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数学月間SGK通信 ［2014.12.30］ No.044
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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今年もあと2日になりました．私は部屋の大整理掃除で3日間も満足にパソコンを開けません．
皆様には，よい年末でありますように．そして良い年をお迎えください．来年もよろしく．

クバンチックの問題は如何でした．私が一番好きなのは，第2問のビリヤードの問題です．
この問題に関する連想考察は，近いうちにぜひ書きたいと思っています．

さて，私は毎年「とっとりサイエンスワールド」で万華鏡のワークショップをやらせてもらっています．
正月まもなく（1月16日，PM3～）多摩センターでも開催しますので，お近くの方はご参加下さい．
詳細は，sgktani@gmail.com　にお問い合わせください．
これからメルマガでも，万華鏡の数学について何回か連載するつもりです．
ここで紹介する万華鏡のキットは，「その道の達人派遣事業」の時に開発し，
各地の学校を回り子供たちと作った万華鏡（当時は2種類）がもとで，
その後品種を増やしてできたものです．
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◆万華鏡の原理（１）
万華鏡は合わせ鏡の原理を使っていることはご存知ですね．fig1を見てください．
平行な合わせ鏡で挟まれた室（黄色）は1次元に無限に繰り返しています．
室内にある赤い物体もfig1に示したように繰り返します．
黄色い部屋の隣はその鏡像（左右が逆）．合わせ鏡で挟まれた黄色い部屋を（黒），
隣の鏡像の部屋を（白）と思うと，黒白の帯（1次元の市松模様）ができますね．
今度は，合わせ鏡のなす角度を平行でなくθ°とすると，
市松模様の帯は直線ではなく円を描くように延びて行きます．
円の反対側で市松模様がうまくつながるためには，
黒白のペアの数が整数でなければならない．
これは360°/2θ°＝n（整数）となります．これは，万華鏡の発明者
スコットランドの物理学者ブリュースターが1817年に提出した特許にあります．

FIg.1
以上の説明は2枚鏡の合わせ鏡でしたが，複数鏡の合わせ鏡でもできます．
3枚鏡の場合を考察しましょう．fig2には鏡が作る3角形の図です．
3角形の頂点で2枚の鏡が出会うわけですが，それぞれの頂点で，鏡のなす角度は
360°を偶数で割り切る角度である必要があります．3角形の３つの頂点で
この条件が満たされているなら3角形のタイルで平面が市松模様に張り尽くされます．

Fig.2
3つのどの頂点でも整数解を持つ場合は，平面をきれいに埋め尽くす市松模様ができます（3種類あります）．
1つの頂点でも整数解にならない場合には，市松模様は乱れますが，これも万華鏡としては美しいものです．