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2024数学月間（第20回）の第3日目（2024.08.05）は，東京大学数理科学科棟002教室で開催され，最初の講演［13:40-15:10］は；
「算数・数学と生活や社会のつながりを実感 体験できる授業と，Do MATH 同志社中学校数学博物館」園田毅（同志社中学校）でした．数学月間での園田氏の講演は，2020年に続き２回目です．2020年の数学月間懇話会は，Covid19の流行拡大のために，リモートで，7月22日，23日，29日，8月22日の4日開催し，園田氏の「Do★MATH同志社中学校数学博物館の紹介」は，2日目の7月23日でした．その時の講演録は数学文化No.35(2020) にあります．

■ 同志社中学校数学博物館
Do★MATH同志社中学校数学博物館は2016年5月に開設されました．2010年のキャンパス移転で，教室の余裕ができ，全ての授業を教科専門の教室で行える教科センター方式（生徒が移動して来る）ようになりました．数学科には６つの教室があり，ふさわしい数学者の名称が付いています．2階３階の教科オープンスペースに，Do★MATH数学博物館があります．展示内容は，中学生の学習内容を中心に，教員と生徒が作成したものが多くあります．

数学博物館展示物や各教室のパネルなどで，学習する数学テーマにふさわしい教材に，いつでも生徒は触れることができます．

この廊下は，距離と縮小（相似遠近法）を体験実感できる教材になります．

数学の本質は抽象化にありますが，具体的な場に立ち，そこから生まれた抽象化前の数学概念のイメージをつかむことは，非常に大事なことです．
◆講演録筆者のコメント----------------------------------
これは数学月間の思想と同じです．我々の社会や自然に足場を置き，そこからの視点で数学の働きを紹介するのが数学月間です．同志社中学校は，算数・数学と生活や社会のつながりを実感 体験できる授業を実践しておられます．社会への応用能力を重視するロシアの数学教材にも同様な思想が見られます．以下を参照ください．

https://note.com/sgk2005/n/n1b17a8b214e9

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■ 教材例：　ひと裁ち折り
折り紙を教材に使う．近年では，折り鶴の方法も知らない人が増えているらしい．

ひと裁ち折りで作ったハートと五芒星型．　　　裁ち切る場所は，３度折られており８重に重なっている．

このひと裁ち折りで，五芒星型ができる理由は，
折り紙が10重に畳まれているからです．

■ 数学教育の問題点
OECD実施のPISA(2012)数学についての国立教育政策研究所資料によると，
65か国中，興味関心60位，道具的動機づけ64位，自己概念（自信があるか）65位と低い．数学を自分のものではなく別の世界のものと感じていて，避けられている実態がわかる．数学の本質は抽象化にあるのだが，その前に，具体的な場に立ち数学の役割に触れ，概念のイメージを把握する教育が必要である．

■ どのような数学授業をするか
絵を描かずに基本規則だけ習う絵の授業，音楽をやらずに楽譜規則だけ習う音楽の授業のような授業を数学はやっているのではないだろうか？
同志社中学校で行ったいくつかの授業教材が紹介された：

■

教材例：　素数ゼミ
12～18年周期のセミの最小公倍数を調べる．素数が入ると最小公倍数が大きくなり，13年セミと17年周期セミが残る結果が得られた．

（参考）最大公約数を見つける互除法の図形的解釈

■ 教材例：アイドルと統計
60本の中に，大吉，吉，中吉，小吉，末吉，凶の入っているおみくじを作った．生徒が2人組になり，おみくじを引き，その結果を記録する作業を繰り返す．これらの結果から，それぞれの札を引く相対度数を求め，おみくじを構成するそれぞれの札の本数を推定した．

■ 教材例：地球を測る（エラトステネス）方法と比例

エラトステネス（紀元前200年ごろ）は，アスワン（北回帰線上）の町の深井戸は夏至の日の正午にだけ太陽の光が底までさし込むということを知り，アスワンから北に920km離れたアレクサンドリアで，夏至の正午に太陽の高度を測定し7度傾いていることを得た．これから，地球の円周を46,400kmと推定した．これと同じ方法で地球の円周を測定することを課題にした．
京都の同志社中学とパラオ高校は，ほぼ同じ子午線上にあり，パラオは赤道に近いので，エラトステネスの方法で地球の大きさが測れる．9月3日の正午にパラオでは太陽が真上に来て街灯支柱の影が失せる．この瞬間に同志社中で垂直に立てた1mの棒の影の長さを測定し，52cmを得た．これから，太陽の位置が頭上から62.5度にあることが分かった．つまり，同志社中とパラオとは地球中心角として27.5度離れている．googl earthによる両地点間の距離3,073kmを用いると，地球の円周40,225kmが得られた．

◆ 講演録筆者のコメント--------------------------------
地学には数学と連携できる良いテーマがたくさんある．教科の連携は，人間生活に足場のある身に着く知識の拡大ができる．講演録筆者は，地学の教員だったことがあり，宮沢賢治の「楢の木大学士の野宿」を用いて国語科と連携したことが思い出される．以下参照ください：

https://note.com/sgk2005/n/n338b0eb931c7

https://note.com/sgk2005/n/nb2119af34295

https://note.com/sgk2005/n/n9b5f80f6d49e

https://note.com/sgk2005/n/nfc51cfc49514
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■ 数学博物館の展示物のいくつかをお持ちいただいたが，触れる時間が十分にとれずに残念だった．これらは，動画の最後の部分をご覧ください．

数学月間（第1日目）の２番目の講演［2024.7.22，15:20-16:50］は，
「世界の数学者ゆかりの地を訪ねて」仙田章雄（埼玉県立浦和第一女子高等学校）でした．仙田章雄氏は，浦和高校，浦和第一女子高校を通して，37年間，数学通信「気まぐれ」の発行を続けておられます．

講演者は，1987～2019年の32年間のほとんど毎夏休みごとに，世界の数学者ゆかりの地の旅をしています．基本的に一人旅です．本日の講演では，(1)ピタゴラス（ギリシャ，イタリア），(2)プラフマグプタ（インド），(3)オイラー他（ヨーロッパ）の旅が紹介されました．用いたスライドは140枚にもなります．

ところで，この講演を聴講した筆者は，講演録を書く段になって，思わぬ困難に直面することになりました．これらの地は，忘れ去られた辺鄙な地，廃墟のような地であったりします．これらのターゲットは，必ずしも，風光明媚な観光地と言うわけではなく，数学に興味を持つ者のみが関心をもつ地であります．
一般の人に，「ピタゴラスの洞窟」と言っても，「何だそれは」となります．「ブラフマグプタのウッジャイン天文台」と言っても，「何だそれは」．「オイラーの散歩とケーニヒスブルクの橋」と言っても「何だそれは」です．
講演を聴く側に数学的背景知識がなければ，これらの価値はわからない．
従って，講演録の筆者は，それらの背景をある程度説明せねばなりませんが最小限に留めました．できるだけ本質的な記述をしようとすると，それらの底にある数学史の大きな流れに言及せざるを得ず，講演録筆者の独断で，最後にイスラム（アラビア）の数学の役割を付け加えました．

（１）ピタゴラス
1990年（第1回）ギリシャ，2011年（第2回）ギリシャ，2019年（第3回）イタリアの3回の旅行があります．

①第１回目は，アテネ→イスタンブール→イズミール→クシャダスから30人乗りほどの小さい船でサモス島に向かいました．

 ピタゴラスの洞窟は，サモス島のカルロバシにあります．ピタゴラス（紀元前582年 - 紀元前496年）は国王から迫害されていましたので，学園の弟子たちと洞窟に隠れて生活していたこともあったでしょう．

  ②第2回目は，アテネ→ミコノスからフェリーでサモス島に向かいました．
デロス島（無人島）にはミコノスから船で日帰りします．
デロス島には倍積問題で有名な「デロスの祭壇」があります．

 デロス島にはミコノス島から日帰りします．

 ピタゴリオンは，ピタゴラスの他に，アリスタルコス，イソップのゆかりの地でもあります．

 ③第3回目は，イタリアです．ナポリ→ターラント→クロトン．
ターラント城は海軍の施設（見学もできます）．ピタゴラス通り旧市街は廃墟感が溢れています．クロトンには充実したピタゴラス博物館があります．ピタゴラス学園を見るにはタクシーに乗らないと行けません．

（２）ブラフマグプタ
ブラフマグプタ（598～665年）は，円に内接する四辺形の面積で，三角形でのヘロンの公式の一般化を発見しました．また，2次方程式の解の公式を初めて発見しました．
ムンバイ駅から寝台列車でウッジャインに向かいます．ウッジャインには野良牛がたくさんいます．

ブラフマグプタはウッジャインの天文台長を務めました．

（３）リーマン，ガウス，ラマヌジャン，ハミルトン，アーベル，ガロア，オイラー

リーマン

 ガウス

ゲッチンゲンにあるガウスの記念碑の台座の後ろにある図形が「正17角形」との記述が色々な文献で見られるが，「正17角形」ではなかった．どの文献にどのように記述されているかを，講演後に仙田氏が調査した．それらは，講演資料に追加し公開してある．

（講演録筆者注）ーーーーー
このような図形は星形正17角形と呼ぶ．星型の頂点で辺の方向は，$${16\pi/17}$$だけ向きを変え，閉じた星型図形ができたときには，辺は16回回転している．我々は，そのような星型を正17/16角形と呼んでいる．正17角形の場合は，頂点で辺は$${2\pi/17}$$だけ方向を変え，17の頂点で回り終わり閉じた図形ができると辺の向きは1回転（$${2\pi}$$）する．従って，正17/1=17角形と記述できる．
ーーーーーーーーーーーーー

ラマヌジャン

インドのクンバコナムにある
 

ハミルトン

 
アーベル

 
ガロワ

オイラー

 ケーニヒスベルク（ロシアの飛び地で，現在はカリーニングラード）にある７つの橋を全て1度ずつ通って戻ってくるルートが存在するかという一筆書きの問題で知られる．現在は工事され６つの橋になってしまった．

■補足：数学史の流れ（講演録筆者より）

古代エジプトやギリシャに始まった数学や科学は，8世紀には繁栄を極めたイスラム帝国の都バクダッドに集まっていきます．インドの数学も同様です．バクダッドはあらゆる文化の集積地，坩堝であり，数学や科学も大きな発展をしました．その時代のヨーロッパはキリスト教の中世暗黒時代であり，ルネッサンスの夜明けを待つてイスラムからの学芸が流れ込む前夜でありました．アラビアでは，エジプトやインドから伝えられたゼロの概念を取り入れて，アラビア数字や10進法が確立しました．イスラムの数学は，代数学や三角関数などの実際的な発展に特徴があります．講演録の筆者は，これらの遺跡を探す旅を想像します．しかし残念なことに，イラク戦争が起こり，かつて平和の都として栄えたバクダッドで何の痕跡も見いだせないような気がしています．
8世紀に成立したアッバース朝では，カリフや宮廷のワズィールたちが保護をうけ，第7代カリフ，マアムーンが創設した研究施設バイト・アル＝ヒクマ（智恵の館）には多くの科学者が集まり，ギリシャ科学のアラビア語への翻訳が進めらました．マアムーンに仕えた科学者・数学者のひとりが，
フワーリズミー（780頃～850頃）でした．
科学では，古代エジプトに起源を持つ錬金術の実験が繰り返され，元素記号が生まれ，文学では，アラビアン＝ナイトが生まれ，唐で発明された製紙法もキルギスの戦いの際に伝わりました．
バクダッドには100軒を越す書店があったそうです．
百花繚乱．当時のバグダッドのにぎわいと言ったらすごい．見たかったですね．イブン・シーナは最先端医学の医学典範を著し，世界初の総合病院がバクダッドに作られました．
病院は寄進され，その運営費も，周辺の市場の売り上げ寄付で行うワクフという相互扶助の制度が，公共施設を支えたそうです．
円城都市を中心に，モスク3万，多くの市場と市場には100店を超す店があったそうです．500年間繁栄したイスラム帝国は，１万２千のモンゴル軍により滅亡しました．チグリス川は血で染まり，本のインクで青く染まったそうです．
アラビア語に訳されたアリストテレスなどギリシャの古典や発展したイスラムの科学は，その後ヨーロッパに伝わりラテン語に翻訳されルネッサンスが花開きます．

「イスラムの数学と都市の発展」につては，以下の記事をご覧ください．

https://note.com/sgk2005/n/nbf7f7d38d7f8

数学月間（第1日目）の講演の１つ［2024.7.22，13:40-15:10］は，「差分法を通じて眺める連続と離散」齊藤宣一（東大数理科学研究科）でした．

人類最初の微分方程式は，I. Newton(1642-1727)による惑星運動の方程式でした．その後，流体力学，固体力学，電磁気学などで，現実現象を記述する微分方程式が，次々に発見されました．熱伝導方程式，波動方程式，Navier-Stokes方程式などです．しかし，それらを解くことは簡単ではなかった．近代的なコンピュータの発明により，実際に，これらの微分方程式を解くことができるようになり，これが私たちの生活を豊かにしています．

■熱方程式（熱伝導方程式）

針金の温度：　$${u(x,t)  (0\leq x\leq 1, t\geq 0 )}$$$${\displaystyle \frac{ \partial u}{ \partial t}=\displaystyle \frac{ \partial ^{2}u}{ \partial x^{2 } } }$$境界条件：　$${u(x,t)=0  (x=0,1)}$$

この方程式はFourierの方法で，以下の解析解が得られることが分っている．$${u(x,t)=\displaystyle \sum_{n=1}^{ \infty }2\left( \displaystyle \int_{0}^{1}u(x,0)\textrm{sin}(n\pi y)dy \right) e^{-k(n\pi )^{2}t}\textrm{sin}(n\pi x)}$$

差分法による解法

●差分商-----------------------------------------------------------------------------
$${\displaystyle \frac{df}{dx}(a)=\displaystyle \frac{f(a+h)-f(a)}{h}, \displaystyle \frac{f(a)-f(a-h)}{h } }$$

$${\displaystyle \frac{df}{dx}(a)=\displaystyle \frac{f(a+\displaystyle \frac{h}{2})-f(a-\displaystyle \frac{h}{2})}{h } }$$

$${\displaystyle \frac{d^{2}f}{dx^{2 } }(a)=\displaystyle \frac{1}{h}\left( \displaystyle \frac{f(a+h)-f(a)}{h}-\displaystyle \frac{f(a)-f(a-h)}{h} \right) =\displaystyle \frac{f(a-h)-2f(a)+f(a+h)}{h^{2 } } }$$
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$${U_{i}^{n}=u(i \Delta x, n \Delta t)}$$を用い，連続である熱方程式を差分方程式に直すと， 

$${\displaystyle \frac{U_{i}^{n+1}-U_{i}^{n } }{ \Delta t}=\displaystyle \frac{U_{i-1}^{n}-2U_{i}^{n}+U_{i+1}^{n } }{ \Delta x^{2 } } }$$

$${\lambda =\displaystyle \frac{ \Delta t}{ \Delta x^{2 } } }$$と置くと，

$${U_{i}^{n+1}=(1-2\lambda )U_{i}^{n}+\lambda (U_{i-1}^{n}+U_{i+1}^{n})}$$ が得られる．

実際，計算してみると $${\lambda \le \displaystyle \frac{1}{2} \Leftrightarrow \Delta t \le \displaystyle \frac{1}{2} \Delta x^{2 } }$$ が必要であることが分る．

$${\lambda\leq 1/2}$$は，時間に関する差分解の安定性を保証している．

［証明］$${|u_{i}^{n+1}| \le (1-2\lambda )|u_{i}^{n}|+\lambda (|u_{i-1}^{n}|+|u_{i+1}^{n}|),   (1 \le i \le N)}$$であるから， $${\displaystyle \max_{1\leq i \leq N}|u_{i}^{n+1}|\leq \max_{1\leq i \leq N}|u_{i}^{n}|}$$，従って，$${\displaystyle \max_{1\leq i \leq N}|u_{i}^{n}|\leq \max_{1\leq i \leq N}|u_{i}^{0}|}$$が成立する．

精密な解を得るには，$${\Delta x \longrightarrow 0, \Delta t \longrightarrow 0}$$とするのだが，$${\lambda \le \displaystyle \frac{1}{2} \Longleftrightarrow \Delta t \le \displaystyle \frac{1}{2} \Delta x^{2 } }$$の条件は，空間刻み幅に対して時間刻み幅を十分に小さくしなければならないことを意味する．$${ \Delta t=\alpha \Delta x^{2 } }$$に従って細分化すると，結果は正しい解に収束するが，$${ \Delta t=\beta \Delta x}$$に従って細分化すると，発散（実害はない）することも，別の解に収束（誤りに気付かない）することあり，数学理論を踏まえての計算が必要な所以である．

■三角形分割を限りなく細かくすることで，曲面の面積を求めることは出来るだろうか．

●円柱の側面積を求める

シュワルツの提灯

●『解析学序説』下巻；一松信（1964）p.119 より引用----------------

この立体を仮にシュワルツの提灯とよぼう．・・・$${m=n→∞}$$にすれば，期待の値$${2\pi rh}$$に収束するが，$${m=n^2→∞}$$とすると，$${2\pi r \sqrt{h^2+r^2\pi^4 } }$$という妙な値になり，さらに$${m=n^3→∞}$$とすると$${∞}$$になってしまう．よく考えてみればこれは当然かもしれない．$${n}$$に比べて$${m}$$をものすごく多くすれば，小三角形は激しく波うち，見掛け上狭い範囲に，おびただしい面積をもつ面がおりたたまれていることになる（提灯という名前はこれからつけた）．
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ラーデマッヘル(H. Rademacher)の条件 (1919, 1920)

適当な正の数αに対して，分割に現れる三角形の角度が，すべて，α以上となるように，分割を細かくすれば良い．これは，分割を細かくする過程において，三角形がつぶれないことを要請している．

ヤング(Young)の条件 (1921)

適当な正の数 β に対して，分割に現れる三角形の角度が，すべて，β以下となるように，分割を細かくすれば良い．$${\pi/3\leq \beta \leq\pi}$$最大角が π に近づかないことを要請しているので，結果的に，三角形がつぶれないことを要請している．

どのように三角形分割をすれば良いかについて上記２つの条件が知られている．

■有限要素法について

・計算対象を，三角形・四面体に分割し，各四面体上で，近似方程式をたてて，それを統合し，近似解（数値解）を得る．• 普通，連立一次方程式を解くことに帰着される．未知数の数は，$${10^{10 } }$$程度になることも．• 有限要素法で，正しい解が得られるかどうかを研究するのは，数学の一つの役割である．• 問題が，平面問題なら，計算対象を三角形分割する問題がでてくる．

ピタゴラス数 会場風景

  動画

 ■2024年の数学月間懇話会は、第1日目（７月22日）、第2日目（7月27日）、第3日目（8月5日）の3日間実施しました。何れの日も炎暑でしたが、ご参加いただ方々に御礼申し上げます。3日間の述べ参加人数は84人：第1日（28人；リモート率46%）、第2日（21人；リモート率100%）、第3日（35人；リモート率43%）でした。同一人の複数日参加を1回とカウントすれば43人の参加者がおり、その内分けには、学生生徒3人、非会員10人が含まれます。3日間全部出席された熱心な参加者は10人おられます。

講演内容についての詳細は、ここでは述べませんが、以下のサイトに
みんなの広場 - 数学月間の会　
講演資料へのリンクがあり、ダウンロードができます。

また、講演の録画はYouTubeに限定公開しており、そこへのリンクは以下に
YouTube4 - 数学月間の会　
あります。

https://note.com/sgk2005/n/nfb5357299ec8