平面群

空間群：Fedorov(フェドロフ）群$$\mit\Phi $$

―並進群$$T$$の結晶点群$$G$$あるいは結晶点群に同型な$$T$$を法とする群$$G^{T}$$による拡大－

前節の若干抽象的な議論を，具体例を考察して，明確にして行こう．具体例は，一般理論の発展への糸口となる．このように，３次元離散体の空間群（Fedorov群）$$\mit\Phi $$は，並進群$$T$$の結晶点群$$G$$あるいは$$G$$に同型な$$T$$を法とする群$$G^{T}$$による正規拡大であることを示そう．
　　３次元離散体中に単純ベクトル基底$$\left\{ a,b,c \right\} $$をとる．これらは，一般に斜交し，並進軸は$$a,b,c$$その座標は$$ \tilde{X}_{1}, \tilde{X}_{2}, \tilde{X}_{3} $$である．空間格子は，整数座標を持つ点すなわち並進等価な点の系［訳注：格子点］として定義される．格子を自分自身に重ねる任意の並進は，座標原点$$\left( 0,0,0 \right) $$から整数座標の点$$(m_{1},m_{2},m_{3})$$への移動に対応する．言い換えれば，任意の並進は，次のベクトル$$\tau $$で記述される．
$$\tau =m_{1}a_{1}+m_{2}a_{2}+m_{3}a_{3}$$; $$a_{1}=a, a_{2}=b, a_{3}=c$$ $$\left( k=1,2,3; m_{k}=0, \pm 1, \pm 2, \ldots \right) $$
　　　このようなベクトルの無限集合$$T=\left\{ m_{k}a_{k} \right\} $$は，数学概念での群（離散体に対する並進群）を形成する．群の演算としてベクトルの加算をとれば，集合$$T$$が４つの群公理（p201参照）を満たすことを確かめるのは容易である．
Ⅰ．引き続く２つの並進$$\tau _{i}, \tau _{j}$$は，ベクトル$$\tau _{i}+\tau _{j}=\tau _{k}$$の格子への並進と等価である：　ベクトル$$\tau _{i}, \tau _{j}$$が集合$$T$$に属するなら，ベクトル$$\tau _{k}$$は集合$$T$$に属する．
Ⅱ．ベクトルの加算演算は，結合的である：　$$\left( \tau _{i}+\tau _{j} \right) +\tau _{k}=\tau _{i}+\left( \tau _{j}+\tau _{k} \right) $$
Ⅲ．群の単位元は，ゼロベクトルである：$$\tau _{i}+0=0+\tau _{i}=\tau _{i}$$
Ⅳ．集合$$T$$の各ベクトル$$\tau _{i}$$に対して，逆ベクトル$$\tau _{i}^{-1}=-\tau _{i}$$を定義でき，$$\tau _{i}+\left( -\tau _{i} \right) =-\tau _{i}+\tau _{i}=0$$
　　　この節の冒頭に掲げた定理の証明には，各ベクトル$$\tau _{i} \in T$$を並進の演算子$$\left[ E|\tau _{i} \right] $$［訳注：Seitz(ザイツ)演算子といわれるもので，[カッコ]内の縦線の左は点群の対称操作を示し，$$E$$は単位元である．縦線の右側は並進操作を示す］に対応させ，べクトル群\$$T$$からこれに同型な演算子群へ移行するのがよい．ベクトルの《積》［訳注：加算のこと］$$\tau _{i}+\tau _{j}$$は，演算子$$\left[ E|\tau _{i} \right] \left[ E|\tau _{j} \right] =\left[ E|\tau _{i}+\tau _{j} \right] $$に対応する．ゼロベクトルは恒等操作$$\left[ E|0 \right] $$，逆ベクトルは逆操作$$\left[ E|\tau _{i} \right] ^{-1}=\left[ E|-\tau _{i} \right] $$に対応する．３次元空間の任意のベクトル$$r=x_{1}a_{1}+x_{2}a_{2}+x_{3}a_{3}$$に，演算子$$\left[ E|\tau \right] $$を作用させると，ベクトル$$r ' =x_{1} ' a_{1}+x_{2} ' a_{2}+x_{3} ' a_{3}$$に変換され；
$$r ' =\left[ E|\tau \right] r=r+\tau $$
座標$$(x_{1}, x_{2}, x_{3})$$の点は，点$$(x_{1} ' , x_{2} ' , x_{3} ' )$$に変換される：$$x_{1} ' =x_{1}+m_{1}$$,　$$x_{2} ' =x_{2}+m_{2}$$,　$$x_{3} ' =x_{3}+m_{3}$$
ここで，$$m_{1}, m_{2}, m_{3}$$はベクトル$$\tau $$の整数座標である．
　　並進群$$T$$の記述が出来たので，同様に，格子の結晶点群$$G$$に対してもこれを行おう．すなわち，各変換$$g \in G$$に，行列要素$$D_{ij}=\textrm{cos}\left( X_{i} ' , X_{j} \right) $$をもつ直交行列$$D(g)$$を対応させ，結晶群$$2/m$$に対しP.203で行ったと同様に，格子の結晶点群に同型な直交演算子あるいは直交行列の群を作ろう．
　　直交行列$$D(g)$$を作るには，直交基底$$\left\{ e_{1},e_{2},e_{3} \right\} $$をもつデカルト座標系$$X_{1}, X_{2}, X_{3}$$を用いる．これは，定めた規則（表20参照)により，斜交軸$$\tilde{X}_{1} , \tilde{X}_{2} , \tilde{X}_{3}$$に関係つけられる．直交デカルト座標系では，格子点は，一般に整数座標になるとは限らない．もし，$$\tau =\tau _{1}e_{1}+\tau _{2}e_{2}+\tau _{3}e_{3}$$なら，並進の変換は，$$x_{1} ' =x_{1}+\tau _{1} , x_{2} ' =x_{2}+\tau _{2} , x_{3} ' =x_{3}+\tau _{3}$$と書ける．軸が一致すれば，$$X_{i}=\tilde{X}_{i}$$基底は$$e_{i}=a_{i}$$,　座標は$$\tau _{i}=m_{i} (i=1,2,3)$$である．
　　　演算子$$\left[ D(g)|0 \right] $$あるいは簡潔に$$\left[ D|0 \right] $$は，行列$$D(g)$$に等価で，任意のベクトル$$r=x_{1}e_{1}+x_{2}e_{2}+x_{3}e_{3}$$に作用すると，$$r ' =x_{1} ' e_{1}+x_{2} ' e_{2}+x_{3} ' e_{3}=\left[ D|0 \right] r=Dr$$に変換し，点$$x_{1}, x_{2}, x_{3}$$は，座標$$\left( x_{1},x_{2},x_{3} \right) $$の列ベクトルを行列$$D$$に乗じて得られる点$$\left( x_{1} ' ,x_{2} ' ,x_{3} ' \right) $$に変換する．基底ベクトルの列ベクトルは，変換$$\left[ D|0 \right] $$のとき，$$D$$で行と列を入れ替えた転置行列$$\tilde{D}$$に乗じられることに注意せよ：　$$x_{i} ' =D_{ij}x_{j}$$なら,　$$e_{j} ' =D_{ij}e_{i}$$　

［訳注）複数回現れる添え字は,1,2,3について和をとる］
　　離散体の共型(symmorphic)空間群（$$\mit\Phi _{sym}$$と記す）は，$$T$$-群と$$G$$-群のそれぞれの変換を含むほか，それらの結合された演算も含む．離散体の《回転》$$\left[ D|0 \right] $$とそれに引き続き並進$$\left[ E|\tau \right] $$を行うと，結合された変換（運動）に対応する演算子$$\left[ D|\tau \right] =\left[ E|\tau \right] \left[ D|0 \right] $$になる．これは，３次元空間座標の線形非斉次(линейные неоднородные linear inhomogeneous)変換である．
$$x_{1} ' =D_{11}x_{1}+D_{12}x_{2}+D_{13}x_{3}+\tau _{1}$$
$$x_{2} ' =D_{21}x_{1}+D_{22}x_{2}+D_{23}x_{3}+\tau _{2}$$
$$x_{3} ' =D_{31}x_{1}+D_{32}x_{2}+D_{33}x_{3}+\tau _{3}$$
あるいは，演算子の形式では，座標の列をベクトルで置き換え，この線形非斉次方程式系は，(13)のように書ける：
$$ r '=\left[ D|\tau \right]r=Dr+\tau $$　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(13)
運動を記述する２つの演算の積（引き続く実行）は(14)となる：
$$\left[ D_{j}|\tau _{i} \right] \left[ D_{l}|\tau _{k} \right] =\left[ D_{j}D_{l}|D_{j}\tau _{k}+\tau _{i} \right] $$　　　　　　　 (14)
この公式が正しいことは，格子の図を描き，任意の注目点の移動を追えば，幾何学的に確かめることができる：　運動演算子の積では，右側の因子の２つの部分（《回転》と並進）は左にある演算子の行列$$D_{j}$$が乗じられ，積の並進部分には左側の因子のベクトル$$\tau _{i}$$が加えられる（行列の順序$$D_{j}D_{l}$$が本質的に重要！）．
［訳注：右側の演算を先に行うので，左側にある演算は右側の演算結果に作用する］ 
　　　空間群$$\mit\Phi _{sym}$$は，群$$T$$の群$$G$$による拡大であることを確かめるには，この具体的な群が前節の抽象群と同型であることを示せば十分である．群$$\mit\Phi _{sym}$$の全ての変換演算子は，
$$\mit\Phi_{sym}=\left\{ \left[ D_{1}|\tau _{1} \right] ,\left[ D_{2}|\tau _{1} \right] , \ldots ,\left[ D_{s}|\tau _{1} \right] ,\left[ D_{1}|\tau _{2} \right] ,\left[ D_{2}|\tau _{2} \right] , \ldots , \right. $$
$$\left[ D_{s}|\tau _{2} \right] , \ldots ,\left[ D_{1}|\tau _{m} \right] , \left[ D_{2}|\tau _{m} \right] , \ldots ,\left[ D_{s}|\tau _{m} \right] \left. , \ldots \right\} $$
これは式（４）に従い，並進群と結晶点群にそれぞれ同型な２つの群$$T$$および群$$G$$の対よりなる結合された演算$$\left( \left[ E|\tau _{i} \right] \left[ D_{j}|0 \right] =\left[ D_{j}|\tau _{i} \right] \right) $$で得られる：
$$T=\left\{ \left[ E|\tau _{1} \right] ,\left[ E|\tau _{2} \right] , \ldots ,\left[ E|\tau _{m} \right] , \ldots \right\} $$,$$G=\left\{ \left[ D_{1}|0 \right] ,\left[ D_{2}|0 \right] , \ldots ,\left[ D_{s}|0 \right] \right\} $$
生成群$$T, G$$は，唯一つの共通元，恒等元$$\left[ E|0 \right] (\tau _{1}=0, D_{1}=E$$とすればわかる）をもつ．群$$\mit\Phi _{sym}$$, $$T, G$$は，前節の（抽象）群$$G, H, G^{*}$$に対する幾何学的具体化と呼ぶことが出来る．元の対応は：
$$\left[ D_{j}|\tau _{i} \right] =\left[ E|\tau _{i} \right] \left[ D_{j}|0 \right] \leftrightarrow h_{i}g_{j} \in G$$
$$\left[ E|\tau _{i} \right] \leftrightarrow h_{i} \in H$$
$$\left[ D_{j}|0 \right] \leftrightarrow g_{j} \in G^{*}$$
それぞれの積則は，（14），（7）で，これらの群は同型であることがわかる． 
式(14)を(7)の型に書き，$$\left( \left[ E|\tau _{i} \right] \left[ D_{j}|0 \right] \ominus \left[ E|\tau _{k} \right] \left[ D_{l}|0 \right] \right) =\left[ E|\tau _{i} \right] \left[ E|\tau _{k} \right] ^{\left[ D_{j}|0 \right] }\left[ D_{j}|0 \right] \left[ D_{l}|0 \right] $$
自己同型（автоморфизм, automorphism)は，$$\left[ E|\tau _{k} \right] ^{\left[ D_{j}|0 \right] }=\left[ D_{j}|0 \right] \left[ E|\tau _{k} \right] \left[ D_{j}^{-1}|0 \right] =\left[ E|D_{j}\tau _{k} \right] $$　と計算される．群$$T$$は空間群$$\mit\Phi _{sym}$$の正規部分群であるから，任意の$$\left[ D_{j}|\tau _{i} \right] \in \mit\Phi $$と$$\left[ E|\tau _{k} \right] \in T$$に対し，群$$T$$は自分自身上へ変換され：$$\left[ D_{j}|\tau _{i} \right] T\left[ D_{j}^{-1}|-D_{j}^{-1}\tau _{i} \right] =T, \left[ E|D_{j}\tau _{k} \right] \in T$$)であり, 他方，(14)則は運動の演算の半直積に対応する．$$\left[ E|\tau _{k} \right] ^{\left[ D_{j}|0 \right] }=\left[ E|D_{j}\tau _{k} \right] $$を等式の右辺へ代入し，群$$T$$と群$$G$$で積則に従い，すべての演算子を乗じ，$$\left[ E|D_{j}\tau _{k}+\tau _{i} \right] \left[ D_{j}D_{i}|0 \right] =\left[ D_{j}D_{i}|D_{j}\tau _{k}+\tau _{i} \right] $$を得る．こうして，共型空間群は並進群$$T$$と格子の自己同型の点群$$G$$（あるいはその部分群）との半直積であることがわかった：$$\mit\Phi _{sym}=T \ominus G$$　［訳注：$$G^{*}$$の替りに$$G$$と書く］．
　　　格子$$T$$の各計量系は,もとの群だけではなく，$$G$$の部分群（Table20と比較せよ）によっても保存される．７つのケースでは，積$$T \ominus G$$は因子の対称要素の相互方位に依存する*．これに注意して，14の並進群$$T$$（Fig..191を見よ）と32の結晶群$$G$$（Fig..69）の半直積により，73の共型群$$\mit\Phi _{sym}=T \ominus G$$が得られる．結果は，すでに表12に示したものである．
　　　拡大理論の基礎定理に従い（p.208、図.204を見よ）、空間群$$\mit\Phi _{sym}=T \ominus G$$の存在は，群間の同型対応(изоморфизм, isomorphism)と準同型対応(гомоморфизм，homomorphism)の結果で，群は以下を満たす： 
　　 　　$$\mit\Phi _{sym}=\left\{ \left[ D_{j}|\tau _{i} \right] \right\} $$
　　　　　　$$ \swarrow \searrow $$
$$\mit\Phi /T=\left\{ T\left[ D_{j}|0 \right] \right\} \leftrightarrow \left\{ \left[ D_{j}|0 \right] \right\} =G$$
もし，例えば，共型群$$P2/m$$を，並進群$$P=\left\{ \left[ E|\tau _{i} \right] \right\} $$に関し，剰余類に分解すると，
$$P2/m=\left\{ \left[ E|\tau _{i} \right] \right\} \left[ D(1)|0 \right] \cup \left\{ \left[ E|\tau _{i} \right] \right\} \left[ D(2)|0 \right] $$
$$ \cup \left\{ \left[ E|\tau _{i} \right] \right\} \left[ D(\overline{1})|0 \right] \cup \left\{ \left[ E|\tau _{i} \right] \right\} \left[ D(m)|0 \right] $$
あるいは，もっと単純な表記法で，$$ \dagger $$　$$P2/m=P1+P2+P\overline{1} +Pm$$
剰余類（商群 の元）の乗積表と群 の演算は同一の構造 ［訳注：同型対応］であることがわかる： 

$$ \begin{array}{c|cccc} P2/m/P & P1 & P2 & P\overline{1} & Pm \\[0mm] \hline P1 & P1 & P2 & P\overline{1} & Pm \\[0mm] P2 & P2 & P1 & Pm & P\overline{1} \\[0mm] P\overline{1} & P\overline{1} & Pm & P\overline{1} & P2 \\[0mm] Pm & Pm & P\overline{1} & P2 & P1 \end{array} $$ $$ \longleftrightarrow $$ $$ \begin{array}{c|cccc} 2/m & 1 & 2 & \overline{1} & m \\[0mm] \hline 1 & 1 & 2 & \overline{1} & m \\[0mm] 2 & 2 & 1 & m & \overline{1} \\[0mm] \overline{1} & \overline{1} & m & 1 & 2 \\[0mm] m & m & \overline{1} & 2 & 1 \end{array} $$

もう一つ明らかなのは，準同型対応（homomorphism）　$$P2/m \longrightarrow 2/m$$であり，
ここでは，空間群$$P2/m$$の並進等価（"平行"）な対称要素　$$2,m,\overline{1}$$の無限族は，その生成群となった点群$$2/m$$の要素$$2,m,\overline{1}$$に写像される（すべての並進$$\tau \in P$$は恒等元$$1 \in 2/m$$に写像される）．
　　非共型群$$\mit\Phi _{nsym}$$は，その共型なモデル$$\mit\Phi_{sym}=T \ominus G$$から，点群$$G$$を同型な$$T$$を法とする群$$G^{T}$$で置き換えて得られる．
$$ \mit\Phi_\textrm{nsym}={\{}\left[ D_{1}|\alpha _{1}+\tau _{1} \right] ,\left[ D_{2}|\alpha _{2}+\tau _{1} \right] , \ldots ,\left[ D_{s}|\alpha _{s}+\tau _{1} \right] , \ldots $$

$$ \ldots,[D_{1}|\alpha_{1}+\tau_{m}],[ D_{2}|\alpha_{2}+\tau_{m}], \ldots,[ D_{s}|\alpha_{s}+\tau_{m}], \ldots \right\} $$

群$$\mit\Phi _{\textrm{nsym } }$$は，２つの群の元の対$$\left( \left[ E|\tau _{i} \right] \left[ D_{j}|\alpha _{j} \right] =\left[ D_{j}|\alpha _{j}+\tau _{i} \right] \right) $$よりなる元（演算子）の系である．
$$T=\left\{ \left[ E|\tau _{1} \right] ,\left[ E|\tau _{2} \right] , \ldots ,\left[ E|\tau _{m} \right] , \ldots \right\} $$ $$ G^{T}=\left\{ \left[ D_{1}|\alpha _{1} \right] ,\left[ D_{2}|\alpha _{2} \right] , \ldots ,\left[ D_{s}|\alpha _{s} \right] \right\} $$

非共型群の演算に対する積則は，規則（14）の一般化である：
$$\left[ D_{j}|\alpha _{j}+\tau _{i} \right] \left[ D_{l}|\alpha _{l} + \tau _{k} \right] =\left[ D_{j}D_{l}|D_{j}\alpha _{l}+D_{j}\tau _{k}+\alpha _{j} + \alpha _{i} \right] $$      (15) 
この積則で，集合$$\mit\Phi _{nsym}$$は群をなす．群$$\mit\Phi _{nsym}$$中で，恒等元$$\left[ D_{1}|\alpha _{1} + \tau _{1} \right] \equiv \left[ E|0 \right] $$と逆元$$\left[ D_{j}|\alpha _{j}+\tau _{i} \right] ^{-1}=\left[ D_{j}^{-1}|-D_{j}^{-1}\alpha _{j}-D_{j}^{-1}\tau _{i} \right] $$
が定義される．部分群$$T \subset \mit\Phi_{nsym}$$の不変性は自己同型(автоморфизм，automorphism)変換から導かれる．
$$\left[ D_{j}|\alpha _{j}+\tau _{i} \right] \left[ E|\tau _{k} \right] \left[ D_{j}^{-1}|-D_{j}^{-1}\alpha _{j}-D_{j}^{-1}\tau _{i} \right] =\left[ E|D_{j}\tau _{k} \right] $$
群$$G^{T}$$と$$G$$の同型対応は，以下の元の対応*と
$$\left[ D_{1}|0 \right] \leftrightarrow \left[ D_{1}|0 \right] , \ldots ,\left[ D_{i}|0 \right] \leftrightarrow \left[ D_{i}|0 \right] $$
$$\left[ D_{i+1}|\alpha _{i+1} \right] =\left[ E|\alpha _{i+1} \right] \left[ D_{i+1}|0 \right] \leftrightarrow \left[ D_{i+1}|0 \right] $$,
$$ \ldots ,\left[ D_{s}|\alpha _{s} \right] =\left[ E|\alpha _{s} \right] \left[ D_{s}|0 \right] \leftrightarrow \left[ D_{s}|0 \right] $$
集合$$G^{T}$$に，還元積則 
$$\left[ D_{j}|\alpha _{j} \right] \left[ D_{l}|\alpha _{l} \right] =\left[ E|\tau _{jl,n} \right] \left[ D_{n}|\alpha _{n} \right] \equiv \left[ D_{n}|\alpha _{n} \right] \left( \textrm{mod}\left[ E|\tau _{jl,n} \right] \right) $$    (16)
を導入することで，保証される．

ここで，量$$\left[ E|\tau _{jl,n} \right] $$は，合同式の法の第2系(вторую систему модулей сравнения second system of congruence moduli)を構成する．演算子は$$\left[ E|\alpha _{i+1} \right] , \ldots ,\left[ E|\alpha _{s} \right] \notin T$$である．
群$$G^{T}$$の演算子を$$\left[ E|\alpha _{j} \right] \left[ D_{j}|0 \right] $$の形式で書き，前節の（抽象）群$$G^{H}$$の元$$g_{j}^{H}=\alpha _{j}g_{j}$$と比較し，（１６）は（９ｂ）に相当することを見出す．同様に，元の比較

$$\left[ D_{j}|\alpha _{j}+\tau _{i} \right] =\left[ E|\tau _{i} \right] \left[ D_{j}|\alpha _{j} \right] \leftrightarrow h_{i}\left( \alpha _{j}g_{j} \right) $$
により，（１５）は（１２）に対応する．すなわち，群$$\mit\Phi _{nsym}$$は，抽象群$$G_{nsym}=H \bigcirc G^{H}$$の幾何学的具体化である．具体形で記述される図204の三角関係を用い
　　　　$$\mit\Phi _{nsym}=\left\{ \left[ D_{j}|\alpha _{j} + \tau _{i} \right] \right\} $$
　　　　　　　　　 $$ \swarrow \searrow $$
$$\mit\Phi /T=\left\{ T\left[ D_{j}|\alpha _{j} \right] \right\} \leftrightarrow \left\{ \left[ D_{j}|\alpha _{j} \right] \right\} =G^{T} \leftrightarrow G=\left\{ \left[ D_{j}|0 \right] \right\} $$

非共型空間群は，条件半直積で作られる$$\mit\Phi _{nsym}=T \bigcirc G^{T}$$ことがわかる．

直積，半直積，条件積による群の拡大．
 回転群の拡大としての結晶群．

　　　与えられた部分群$$H$$を含む任意の群$$G$$を，$$H$$の拡大と呼ぶ．部分群（右剰余類）による展開を；
$$G=Hg_{1} \cup Hg_{2} \cup \ldots \cup Hg_{s}=\left\{ h_{1},h_{2}, \ldots ,h_{m} \right\} g_{1} \cup \left\{ h_{1},h_{2}, \ldots ,h_{m} \right\} g_{2} \cup \ldots $$
$$ \ldots \cup \left\{ h_{1},h_{2}, \ldots ,h_{m} \right\} g_{s}$$ 　　（１） 
とすると，展開から次のことがわかる．元 $$\left\{ g_{1},g_{2}, \ldots ,g_{s} \right\} $$が剰余類の代表系を作っているときは，群$$H$$の拡大$$G$$が存在する．これは次のことを意味する：
１°元$$h_{1}=g_{1}=e$$ は，$$G$$ にも$$H$$ にも共通な単位元である．従って，系$$\left\{ g_{1},g_{2}, \ldots ,g_{s} \right\} $$ の単位元でもある．
２°系$$\left\{ g_{1},g_{2}, \ldots ,g_{s} \right\} $$の元は，$$g_{j} \neq g_{l}$$ なら，剰余類$$Hg_{j} \neq Hg_{l}$$ すなわち任意の$$h_{i},h_{k} \in H$$ に対して，$$h_{i}g_{j} \neq h_{k}g_{l}$$ であるから，すべて異なる．
３°元$$h_{i}g_{j} \in Hg_{j}$$と$$h_{k}g_{l} \in Hg_{l}$$の積は，群$$G$$ の展開（１）に現れる或る１つの剰余類$$Hg_{q}$$ に含まれる．
　　　条件１°，２°，３°は各剰余類から１つ１つ選んだ代表元の種々な組にも成り立つ．群$$H$$の同一の拡大$$G$$を導くこのようなすべての組を，我々は同値とみなす．群拡大定理*では，非同値な拡大$$G$$を作る非同値な代表系$$\left\{ g_{1},g_{2}, \ldots ,g_{s} \right\} $$ を見出す特別な方法が複数研究されているが，ここではその一部の紹介にとどめる．
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*この説明は，A.G.Kurosh(クローシュ)（1970）やM.Hall(ホール)（1959）の一般群論の教科書に見られる．結晶群の拡大に関するZassenhaus(ツァセンハウス)(1948)やAscher(アッシャー)およびJanner(ヤンネル)（1965-1969）の研究にも見られる．非正規の拡大はB.L.Van der Waerden(バンデルワルデン)とJ.J.Burckhardt (ブルックハルト)(1961），A.M.Zamorzaeb(ザモルザエフ)(1967)， V.M.Busarkin(ブサルキン)とYu.M.Gorchakov(ゴルチャコフ)(1968)，V.A.Koptsik(コプツィク)(1967)の研究に見られる; V.A.Koptsik, G.N.Kotzev, Zh.N.M.Kuzhukeev(1973)が英語版では追加された． 
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　　　最初に，もし展開（１）中の剰余類 を，積（２）が定義されている群の元$$\left\{ Hg_{1},Hg_{2}, \ldots ,Hg_{s} \right\} $$ とみなせるなら，条件１°，２°，３°は満たされていることに注意しよう． 
$$Hg_{j} \cdot Hg_{l}=Hg_{q}$$　（$$Hg_{q} \neq Hg_{j} , Hg_{l}$$ 　ただし，$$g_{j}, g_{l} \neq g_{1}=e$$）　　　　　　　（２）
非正規な拡大（ $$H$$が群$$G$$の正規部分群でないとき）の一般の場合，これは剰余類の置換群となる．正規な拡大のときは，剰余類の代表元は条件１°，２°，３°の他に次の可換条件を満足しなければならない：
４° $$g_{j}H=Hg_{j}$$　または $$g_{j}Hg_{j}^{-1}=H$$
つまり，任意の$$h_{k} \in H$$ ，$$g_{j} \in G$$ に対して $$g_{j}h_{k}g_{j}^{-1} \in H$$
この場合，部分群$$H$$は$$G$$において不変あるいは正規となり，系$$\left\{ Hg_{1},Hg_{2}, \ldots ,Hg_{s} \right\} $$ は，商群$$G/H$$を作る．積則（２）は次のようになる． 
$$Hg_{j} \cdot Hg_{l}=Hg_{j}g_{l}$$　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（３）
剰余類の組が，積（２）あるいは（３）で群を作ると仮定すれば，条件３°は強められて，
$$h_{i}g_{j} \cdot h_{k}g_{l}=h_{p}g_{q} \in Hg_{q}$$ または $$ \in Hg_{j}g_{l}$$，ただし，$$h_{i}g_{j} \in Hg_{j}$$，$$h_{k}g_{l} \in Hg_{l}$$となる．
正規拡大の場合には，さらに進んだ結果が導かれる．元$$g_{j}$$を剰余類$$Hg_{j}$$に比較考察すると，各剰余類から１つづつ取った代表元の任意の組において，系$$\left\{ g_{1},g_{2}, \ldots ,g_{s} \right\} $$ は商群$$G/H$$と同型な群を作ることがわかる：
$$Hg_{j} \leftrightarrow g_{j} , Hg_{l} \leftrightarrow g_{l} , Hg_{j}g_{l} \leftrightarrow g_{j}g_{l}$$
同型の条件は，群\$$G$$の積則に現れる元の積$$g_{j}g_{l}=g_{n}$$ が，剰余類$$Hg_{n}$$ に属することを要請する．
$$g_{j}g_{l}=h_{jl,n}g_{n} \in Hg_{n}$$, $$h_{jl,n}=h_{1},h_{2}, \ldots ,h_{m} \in H$$, $$g_{n} \in \left\{ g_{1},g_{2}, \ldots ,g_{s} \right\} $$
一般に，$$h_{jl,n} \neq h_{1}$$のとき，元$$h_{jl,n}g_{n} \notin \left\{ g_{1},g_{2}, \ldots ,g_{s} \right\} $$である．還元積の法則
$$g_{j}g_{l}=h_{jl,n}g_{n} \equiv g_{n}\left( \textrm{mod}h_{jl,n} \right) $$，$$h_{jl,n} \in H$$
を導入する．すなわち，元$$h_{jl,n}g_{n}$$ と元$$g_{n}$$とを$$h_{jl,n}$$を法として合同と見ると，
還元積に関して，系$$\left\{ g_{1},g_{2}, \ldots ,g_{s} \right\} $$ は閉じている．つまり，$$H$$を法とする群$$ G(\textrm{mod}H ) $$を作っている．
　　　剰余類の代表系への，すべての我々の要請は，法による(modulus)群の概念に統合される．正規の拡大の存在条件は，次のような形にまとめることができる．《群$$H \vartriangleleft G$$の拡大$$G$$は，もし剰余類の代表元の組が，商群$$G/H$$に同型な$$H$$を法とする群$$G(\textrm{mod}H)$$を作るならば，存在する．》　組$$\left\{ g_{1},g_{2}, \ldots ,g_{s} \right\} $$ の同値性の問題は，対応する群の同型の問題に帰着する．積の法則が違うために，群$$G(\textrm{mod}H) $$は一般には$$G$$ の部分群ではない．特に，もし，全係数が$$h_{jl,n} \equiv h_{1}$$ となるような，代表系を選ぶことができるなら，法による群は，普通の群$$G^{*}=\left\{ g_{1},g_{2}, \ldots ,g_{s} \right\} $$ （$$G$$ の部分群）になる．群$$G$$は，このとき共型(symmorphic)と呼ばれる．もしそのような選択が不可能なときは，群$$G$$は非共型(nonsymmorphic)である．拡大$$G$$は群$$H$$ と群$$G(\textrm{mod}H)$$の《積》として作ることができる．全元$$h_{1},h_{2}, \ldots ,h_{m} \in H$$ を１つづつ元$$g_{1},g_{2}, \ldots ,g_{s} \in G(\textrm{mod}H)$$ に乗じて集めると集合$$G$$ が得られる：
$$G=\left\{ h_{1}g_{1},h_{2}g_{1}, \ldots ,h_{m}g_{1},h_{1}g_{2},h_{2}g_{2}, \ldots ,h_{m}g_{2},h_{1}g_{s},h_{2}g_{s}, \ldots ,h_{m}g_{s} \right\} $$ 　　　　　　（４）
拡大を作るために利用した群において，唯一の共通元は 
$$H \cap G(\textrm{mod}H)=h_{1}=g_{1}=e \in G$$ であることを思い出そう．　$$G(\textrm{mod}H)$$ は$$G$$の部分群ではないので，拡大（４）を条件積と呼び次の記号を用いることにする．
$$G=H \bullet G(\textrm{mod}H), H \vartriangleleft G, G(\textrm{mod}H) \not\subset G, H \cap G(\textrm{mod}H)=e \in G$$ 　　　　（５）
共型(symmorphic)群$$G$$に対しては，条件積（５）は法による群を普通の群
$$G^{*}=\left\{ g_{1},g_{2}, \ldots ,g_{s} \right\} $$ （$$G$$の正規あるいは非正規な部分群）に入れ換えることにより作られ，さらに簡単な直積あるいは半直積となる．
　　　　２つの群の直積 $$G=H \otimes G^{*}, H \vartriangleleft G, G^{*} \vartriangleleft G, H \cap G^{*}=e \in G$$は，２連元$$h_{i}g_{j} \in G$$ に対する次の積則から定義される：
$$h_{i}g_{j} \otimes h_{k}g_{l}=h_{i}h_{k}g_{j}g_{l}$$，$$h_{i}h_{k} \in H$$，　$$g_{j} , g_{l} \in G^{*}$$　　　　　　　　　　　　　　　　　　（６）
半直積$$G=H \bullet G^{*}, H \vartriangleleft G, G^{*} \vartriangleleft G, H \cap G^{*}$$ は，積則：
　$$h_{i}g_{j} \bullet h_{k}g_{l}=h_{i}h_{k}^{g_{j } }g_{j}g_{l} , h_{i}h_{k}^{g_{j } }=g_{j}h_{k}g_{j}^{-1} \in H , g_{j} , g_{l} \in G^{*}$$　　　　　　　　　　　　　（７） 
で定義される．直積は（６）で，任意の２つの群$$H$$と$$G^{*}$$に対して完全に定義される；半直積は（７）に従い自己同型変換$$g_{j}h_{k}g_{j}^{-1}h_{f}$$ （すべての$$h_{k} \in H, g_{j} \in G^{*}$$ に対して）を求める問題として定義される．一般に，（５）－（７）のすべての場合にわたって，$$G(\textrm{mod}H)$$あるいは$$G^{*}$$は$$H$$に対して自己同型群である（$$H \vartriangleleft G$$ を保つ：任意の$$h_{k} \in H, g_{j} \in G$$に対して $$g_{j}Hg_{j}^{-1} \in H$$）．$$G^{*}$$の元を$$h_{1}g_{j} , h_{1}g_{l}$$の型で表すと，積則（６），（７）は部分群$$G^{*} \subset G$$ 内で積の閉性が保存されていることを確認できる：　$$h_{1}g_{j} \cdot h_{1}g_{j}=h_{1}g_{j}g_{l}$$ なぜなら$$h_{1}^{g_{j } }=g_{j}h_{1}g_{j}^{-1} \equiv h_{1}$$
　　　非共型(nonsymmorphic)群$$G$$は，元$$g_{j} \in G^{*}$$の部分を次のような新しい元で置き換えることにより，直積，半直積の型に作れる：　$$g_{j}^{H}=\alpha _{j}g_{j} \equiv g_{j}(\textrm{mod}\alpha _{j})$$
$$g_{1}^{H}=\alpha _{1}g_{1} \equiv g_{1}(\textrm{mod}\alpha _{1}), g_{2}^{H}=\alpha _{2}g_{2} \equiv g_{2}(\textrm{mod}\alpha _{2}), \ldots , g_{s}^{H}=\alpha _{s}g_{s} \equiv g_{s}(\textrm{mod}\alpha _{s})$$　（８）
一般に，$$\alpha _{1} \equiv h_{1}$$であるが，合同式の法となる第1系の残りの係数は$$\alpha _{j} \notin H$$である．しかしながら，$$m$$を元$$g_{j}$$の位数とするとき，$$\left( \alpha _{j}g_{j} \right) ^{m}=\alpha _{j}^{m}g_{j}^{m}=h_{1}g_{1}, \alpha _{j}^{m}=h_{1} \in H$$となる．　（８）の置き換えで，群$$G^{*}$$はすでに学んだ還元積による$$H$$を法とする同型な群$$G^{H}=\left\{ g_{1}^{H},g_{2}^{H}, \ldots ,g_{s}^{H} \right\} $$に変る*．
-------------------------------------------------------------
*非共型(nonsymmmorphic)拡大$G$を得るための法による(modulus)群$$G(\textrm{mod}H)$$を$$G^{H}$$と記す．
------------------------------------------------------------- 
$$g_{j}^{H}g_{l}^{H}=h_{jl,n}g_{n}^{H} \equiv g_{n}^{H}(\textrm{mod}h_{jl,n})$$, $$h_{jl,n} \in H, g_{n}^{H} \in G^{H}$$ (9)
あるいは，直積と半直積にそれぞれ対応して
$$\left( \alpha _{j}g_{j} \right) \left( \alpha _{l}g_{l} \right) =\alpha _{j}\alpha _{l}g_{j}g_{l}=\alpha _{j}\alpha _{l}\alpha _{n}^{-1}\left( \alpha _{n}g_{n} \right) \equiv \left( \alpha _{n}g_{n} \right) \left( \textrm{mod}h_{jl,n} \right) $$ (9a)
$$\left( \alpha _{j}g_{j} \right) \left( \alpha _{l}g_{l} \right) =\alpha _{j}\alpha _{l}^{g_{j } }g_{j}g_{l}=\alpha _{j}\alpha _{l}^{g_{j } }\alpha _{n}^{-1}\left( \alpha _{n}g_{n} \right) \equiv \left( \alpha _{n}g_{n} \right) \left( \textrm{mod}h_{jl,n} \right) $$ (9b)
(9a)と(9b)から，合同式の法となる第２の係数系が求まる：
$$h_{jl,n}=\alpha _{j}\alpha _{l}\alpha _{n}^{-1}$$　および　$$h_{jl,n}=\alpha _{j}\alpha _{l}^{g_{j } }\alpha _{n}^{-1}$$
ここで，$$\alpha _{j}^{g_{j } }=g_{j}\alpha _{l}g_{j}^{-1}=\alpha _{k}$$は，$$\alpha _{j}$$の自己同型共役元(automorphism transformations of the moduli)であり，$$\alpha _{k}g_{k}=g_{k}^{H} \in G^{H}$$, $$\alpha _{j}^{g_{j } }=\alpha _{j}$$　（定義から）となる．
群$$G^{H}$$において単位元の役割は元$$g_{1}^{H}=h_{1}g_{1}$$が果たす．逆元は，それぞれ，
$$\left( \alpha _{j}g_{j} \right) ^{-1}=\alpha _{j}^{-1}g_{j}^{-1}$$　および　$$\left( \alpha _{j}g_{j} \right) ^{-1}=\left( \alpha _{j}^{-1} \right) ^{g_{j}^{-1 } }g_{j}^{-1}$$
量$$\alpha _{j}$$の系は，それ自身で，群$$G^{H}=\left\{ g_{1}^{H},g_{2}^{H}, \ldots ,g_{s}^{H} \right\} $$と同型な，$$h_{jl,n}$$を法とする群$$A^{H}=\left\{ \alpha _{1},\alpha _{2}, \ldots ,\alpha _{s} \right\} $$をつくることに注意しよう．元間の対応は：　$$\alpha _{j} \longleftrightarrow g_{j}^{H}$$,　$$\alpha _{l} \longleftrightarrow g_{l}^{H}$$および, $$\alpha _{j}\alpha _{l}=h_{jl,n}\alpha _{n} \equiv \alpha _{n}(\textrm{mod}h_{jl,n}) \longleftrightarrow g_{j}^{H}(\textrm{mod}h_{jl,n}) \equiv h_{jl,n}g_{n}^{H}=g_{j}^{H}g_{l}^{H}$$
これから，上記の式で用いた逆元記号が正当であるとわかる：　$$\alpha _{j}\alpha _{j}^{-1}=\alpha _{j}^{-1}\alpha _{j}=\alpha _{1}=h_{1}$$
　対応　$$g_{j}^{H}g_{l}^{H}=h_{jl,n}g_{n}^{H} \equiv g_{n}^{H}\left( \textrm{mod}h_{jl,n} \right) \longleftrightarrow g_{n}=g_{j}g_{l} \longleftrightarrow Hg_{n}=Hg_{j}g_{l}$$から導かれる群$$G^{H} \longleftrightarrow G^{*} \longleftrightarrow G/H$$の同型は，非共型(nonsymmorphic)拡大の存在を保証する．
非共型(nonsymmorphic)群を，２つの群の条件積(準積：условное произведениеquasi-product)で作ろう：
$$G=H \bigcirc G^{H}=$$
$$=\left\{ h_{1}\left( \alpha _{1}g_{1} \right) ,h_{2}\left( \alpha _{1}g_{1} \right) , \ldots ,h_{m}\left( \alpha _{1}g_{1} \right) , \ldots ,h_{1}\left( \alpha _{s}g_{s} \right) ,h_{2}\left( \alpha _{s}g_{s} \right) , \ldots ,h_{m}\left( \alpha _{s}g_{s} \right) \right\} $$ (10) 
このとき条件直積(準直積：прямыхquasi-direct)$$ \odot $$と条件半直積(準半直積：полупрямых условных произведенийquasi-semidirect)$$ \bigcirc $$を区別して：
$$h_{i}\left( \alpha _{j}g_{j} \right) \odot h_{k}\left( \alpha _{l}g_{l} \right) =h_{i}h_{k}\left( \alpha _{j}g_{j} \right) \left( \alpha _{l}g_{l} \right) =h_{i}h_{k}h_{jl,n}\left( \alpha _{n}g_{n} \right) $$
$$h_{jl,n}=\alpha _{j}\alpha _{l}\alpha _{n}^{-1} \in H$$ (11)

$$h_{i}\left( \alpha _{j}g_{j} \right) \bigcirc h_{k}\left( \alpha _{l}g_{l} \right) =h_{i}h_{k}^{\left( \alpha _{j}g_{j} \right) }\left( \alpha _{j}g_{j} \right) \left( \alpha _{l}g_{l} \right) =h_{i}h_{k}^{\left( \alpha _{j}g_{j} \right) }h_{jl,n}\left( \alpha _{n}g_{n} \right) $$　　　　　　　　　(12)

ここで，$$h_{jl,n}=\alpha _{j}\alpha _{l}^{g_{j } }\alpha _{n}^{-1} \in H$$
$$h_{k}^{\left( \alpha _{j}g_{j} \right) }=\left( \alpha _{j}g_{j} \right) h_{k}\left( \alpha _{j}g_{j} \right) ^{-1}=h_{f} \in H$$    for all $$h_{k} \in H, \left( \alpha _{j}g_{j} \right) \in G^{H}$$
　(11)，(12)と（６），(7)を比較し，共型(symmorphic)群(4)のモデルから作られた非共型(nonsymmorphic)群(10)は，それと同型でないことがわかる．これは積則(11)，(12)の中に同型を破る量$$h_{jl,n}$$が現れるからである†．
--------------------------------------------------------- 
†英語版注］　（４）と（１０）による群は，式（１１），（１２）で$$h_{jl,n} \equiv h_{1}\left( \textrm{mod}h_{jl,n} \right) $$なら，同型である．
--------------------------------------------------------- 

　与えられた共型(symmorphic)群に関して，非共型(nonsymmorphic)群を実際に作ることは，法となる係数(congruence moduli)の第１系と第２系を決定することに帰着する（p207の文献）．あまり大きくない位数の群$$G^{H}$$に対しては，もし同型群$$G^{*}$$の乗積表がわかっていて，$$\alpha _{j}$$が決まっているなら，係数$$h_{jl,n}$$の表は目の子選択で簡単に求めることができる．
表挿入
$$ \begin{array}{c|ccccc} G^{*} & g_{1} & \cdots & g_{l} & \cdots & g_{s} \\[0mm] \hline g_{1} & g_{1} & \cdots & g_{l} & \cdots & g_{s} \\[0mm] \vdots & \vdots & & \vdots & & \vdots \\[0mm] g_{j} & g_{j} & \cdots & g_{n} & \cdots & g_{p} \\[0mm] \vdots & \vdots & & \vdots & & \vdots \\[0mm] g_{s} & g_{s} & \cdots & g_{q} & \cdots & g_{r} \end{array}$$ $$\longrightarrow$$ $$\begin{array}{c|ccccc} h_{jl,n} & g_{1}^{H} & \cdots & g_{l}^{H} & \cdots & g_{s}^{H} \\[0mm] \hline g_{1}^{H} & h_{1} & \cdots & h_{1} & \cdots & h_{1} \\[0mm] \vdots & \vdots & & \vdots & & \vdots \\[0mm] g_{j}^{H} & h_{1} & \cdots & h_{jl,n} & \cdots & h_{js,p} \\[0mm] \vdots & \vdots & & \vdots & & \vdots \\[0mm] g_{s}^{H} & h_{1} & \cdots & h_{sl,q} & \cdots & h_{ss,r} \end{array} $$

表中に$$h_{1}$$が現れるのは，単位元への《法係数のない》積の結果である：
$$\left( \alpha _{j}g_{j} \right) \left( h_{1}g_{1} \right) =h_{j1,j} \times \left( \alpha _{j}g_{j} \right) =\left( \alpha _{j}g_{j} \right) $$，　$$\left( h_{1}g_{1} \right) \left( \alpha _{j}g_{j} \right) =h_{1j,j}=\left( \alpha _{j}g_{j} \right) $$， 
ただし，$$h_{j1,j}=h_{1j,j}=h_{1}$$,$$j=1,2, \ldots ,s$$
量$$h_{1}$$は，表中で，《係数のない》元$$g_{i}^{H} \equiv g_{i}$$,　$$g_{k}^{H} \equiv g_{k}$$（このような元は全部で単位元$$g_{1}^{H} \equiv g_{1}$$とともに群$$G^{*}$$の部分群$$G_{1}^{*}$$を作る）の積に対応する行と列の交点に現れる．
表14挿入
表　14 回転群の拡大としての結晶点群
$$ \begin{array}{ccc} \hline 回転群 & 反転群 & 鏡映群 \\[0mm] \hline 1 & \bar{1}=1 \otimes \bar{1} & m=1 \otimes m \\[0mm] 2 & 2/m=2 \otimes \bar{1} & mm2=2 \otimes m \\[0mm] 3 & \bar{3}=3 \otimes \bar{1} & \bar{6}=3 \otimes m \\[0mm] - & - & 3m=3 \ominus m \\[0mm] 4=2 \odot 4\left( \textrm{mod}2 \right) & 4/m=4 \otimes \bar{1} & \bar{4}=2 \odot \bar{4}\left( \textrm{mod}2 \right) \\[0mm] - & - & 4mm=4 \ominus m \\[0mm] 6=3 \otimes 2 & 6/m=6 \otimes \bar{1} & 6mm=6 \ominus m \\[0mm] 222=2 \otimes 2 & mmm=222 \otimes \bar{1} & \bar{4}2m=222 \ominus m \\[0mm] 32=3 \otimes 2 & \bar{3}m=32 \otimes \bar{1} & \bar{6}m2=32 \otimes m \\[0mm] 422=4 \ominus 2=222 \ominus 2 & 4/mmm=422 \otimes \bar{1} & - \\[0mm] 622=6 \ominus 2=32 \otimes 2 & 6/mmm=622 \otimes \bar{1} & - \\[0mm] 23=222 \otimes 3 & m\bar{3}=23 \otimes \bar{1} & \bar{4}3m=23 \ominus m \\[0mm] 432=23 \ominus 2 & m\bar{3}m=432 \otimes \bar{1} & - \\[0mm] \hline \end{array} $$
（注意）　反転群でもなく対称心をもたない群は，鏡映群に分類した．

　　非正規拡大(noninvariant extensions реинвариантных расширений)の理論を残したが，32結晶群を回転群の拡大とみなし，直積，半直積，条件積への分解表を導いた．表14は全結晶群が8つの生成群の対の積によつて得られることを示している．
$$H=1,2,3,   G^{*}=2,m,\overline{1},   G^{H}=4(\textrm{mod}2),   \overline{4}(\textrm{mod}2)$$
これらのうち，法による群は次の乗積表で定義される．

$$ \begin{array}{c|cc} 4(\textrm{mod}2) & \texttt{1} & 4^{H} \\[0mm] \hline \texttt{1} & \texttt{1} & 4^{H} \\[0mm] 4^{H} & 4^{H} & 2 \equiv 1(\textrm{mod}2) \end{array}　 $$　　　　　 

$$ \begin{array}{c|cc} \overline{4}(\textrm{mod}2) & \texttt{1} & \overline{4}^{H} \\[0mm] \hline \texttt{1} & \texttt{1} & \overline{4}^{H} \\[0mm] \overline{4}^{H} & \overline{4}^{H} & 2 \equiv 1(\textrm{mod}2) \end{array} $$

これらの群（$$4^{H}=4^{-1}2$$　と　$$\overline{4}^{H}=4\overline{1}$$）の元$$g_{j}^{H}=\alpha _{j}g_{j}$$の積は，(9a)に従う：
$$\left( 4^{-1}2 \right) \left( 4^{-1}2 \right) =4^{-1}4^{-1}22=21 \equiv 1\left( \textrm{mod}2 \right) , \left( 4\overline{1} \right) \left( 4\overline{1} \right) =44\overline{1}\overline{1}=21 \equiv 1\left( \textrm{mod}2 \right) $$
　　　更なる例を後に見ることになるが，生成群間の積の方法は，新しい群を導く効果的な手段であることがわかる．この節を終えるにあたり，もとの群と最後の群を結び付けている準同型および同型対応の図と正規拡大を得る道筋をを辿ってみよう（図204）． 
図204挿入

図204. 
正規（不変）拡大の説明図に見られる群の間の準同型（$$ \to $$）と同型（$$ \leftrightarrow $$）．
説明図$$G^{*} \leftrightarrow G/H \gets G$$に従い，任意の群$$G^{*}=\left\{ g_{1},g_{2}, \ldots ,g_{s} \right\} $$を商群
$$G/H=\left\{ Hg_{1},Hg_{2}, \ldots ,Hg_{s} \right\} $$のモデルとして選び，$$H=\left\{ h_{1},h_{2}, \ldots ,h_{m} \right\} $$を準同型
$$G^{*} \gets G$$の核（$$H$$は$$G$$の部分群で恒等元$$g_{1} \in G^{*}$$の上に写像される）として，共型拡大$$G=G \otimes G^{*}$$あるいは非共型拡大$$G=H \ominus G^{*}$$を作る．$$G/H$$において，元$$Hg_{i}$$を元の集合$$\left\{ h_{1}g_{i},h_{2}g_{i}, \ldots ,h_{m}g_{i} \right\} $$で置き換え，求める拡大$$G$$を得る：
$$ \left\{h_{1}g_{1}, \ldots ,h_{m}g_{1}, \ldots ,h_{1}g_{s}, \ldots ,h_{m}g_{s}\right\} $$
                                    $$ \swarrow \searrow $$                                              (4)
$$ \left\{Hg_{1},Hg_{2}, \ldots ,Hg_{s}\right\}$$  $$\leftrightarrow$$  $$\left\{g_{1},g_{2}, \ldots g_{s}\right\} $$
ここで，群の間に必要な対応があることは，以下の写像：
$$h_{i}g_{j}\left( i=1,2, \ldots ,m \right) \to Hg_{j} \leftrightarrow g_{j}\left( j=1,2, \ldots g_{s} \right) $$
および，群$$G$$に対する積則（６），（７），$$G/H$$に対する積則（３）により確かめられる．
非共型群$$G=H \odot G^{H}$$または$$G=H \bigcirc G^{H}$$は，
置換$$G^{*} \longleftrightarrow G^{H}=G_{1}^{*}g_{i} \cup G_{1}^{*}g_{i+1}^{H} \cup \ldots \cup G_{1}^{*}g_{i+p}^{H}$$により得られ，$$G_{1}^{*}=\left\{ g_{1},g_{2}, \ldots ,g_{i} \right\} $$は群$$G^{*}$$と$$G^{H}$$の共通部分群，元$$g_{i+1}^{H}=\alpha _{i+1}g_{i+1}, \ldots ,g_{i+p}^{H}=\alpha _{i+p}g_{i+p}$$, $$p + i=s/i$$は部分群$$G_{1}^{*}$$の指数（法による群$$G^{H}$$の$$G_{1}^{*}$$に関する展開における）である．置換$$G^{*} \longleftrightarrow G^{H}$$は，共型群（４）を非共型群（１０）に，積則（６），（７）を（１１），（１２）に換える．ダイヤグラム中で，群$$G^{*}$$と$$G^{H}$$の元は同じ記号$$h_{i}g_{j}$$で標記する：元の間の対応は$$h_{i}g_{j} \longrightarrow Hg_{j} \longleftrightarrow g_{j}$$同様に標記される円のセクター間の対応に反映される．$$g_{1}=h_{1}=e$$であるので，群$$\overline{G}^{*}=\left\{ h_{1}g_{1},h_{1}g_{2}, \ldots ,h_{1}g_{s} \right\} $$は，$$G^{*}$$と同一で群$$\overline{H}=\left\{ h_{1}g_{1},h_{2}g_{1}, \ldots ,h_{m}g_{1} \right\} $$は$$H$$と同一である．

1０．群論の基礎．古典結晶群

これまでの章で，形而下の幾何学図形や物質形態の対称性に関する古典論の基礎を，複雑な数学ぬきで説明した．近年，対称性の研究は広汎な新領域で充実が見られ，多くの新分野に応用されている． 
これらについて語るために，まず数学的知識を少しく補足し，群論の思想と表現を一貫して利用できるようにしよう．読者は最初に読む時は，この章と次の章の難しい所は，絵と例を見るだけにして飛ばしても良い． 

群概念の定義.
幾何学的あるいは物理学的対象物の変換群．抽象群．

現代の数学，物理学における群概念は，数，集合，関数と言った概念と同様に，基本的な概念である．既に何度も（対称）図形の対称変換群［（有限または無限の）図形において，各部分は互いに入れ換えるが，図形全体は不変であるような対称変換の作る有限群あるいは無限群］について言及したので，部分的にではあるがそれを知っている．不変性（変換が図形の構造を保存する）の要請は，図形の対称変換群の定義の基礎となっている． 
どのような図形変換を許すかにより，等長変換(isometric)群か非等長変換(nonisometric)（アフィン， 射影，トポロジ－，等）群かになる．回転群（第１種の変換），回転と鏡映の群（第２種の変換）のような直交群や，運動群（第１種と第２種の変換と並進の結合）は図形の計量特性（すべての線分の長さとそれらのなす角度）を保存する．いままでの所では，我々は変形のない（計量保存）図形変換である直交群と運動群とを扱つていた． 
アフィン変換群は，無限な図形，媒質で許される一様変形（伸張，圧縮，ずり）の集合からなる．等方で一様な空間はアフィン対称である。相似変換群（アフィン変換群の特殊な場合）は植物や動物の構造や成長の対称を記述する；相似変換は建築物の細部や，遠近法に従って描いた絵画に見られる． 
重要な非直交群の例は，図形の等価な部分の任意の置換である．この置換は図形を自分自身に変換する（例えば，結晶構造における同価な原子の置換全部が作る群，原子核構造における中性子の置換全部が作る群など）．特殊な場合には，置換群は直交群に同型となることを後に知るであろう． 
変換の概念は，幾何学的対象（有限図形，連続体，離散体）に関してだけでなく，物質図形，スカラ－，ベクトル，テンソル場のような（物理的性質を担っている形而下の）物理的対象に関しても定義できる．このような対象は，直交変換群だけでなく，次のようなさらに一般的な変換群に従う：　結晶物理や結晶の構造解析で利用する反対称群と色対称群（次の章でこれらの群を学習する）；素粒子理論で使われるユニタリ－群（ユニモジュラ－群を含む）；斉次，非斉次の線形群；相対論で用いるLorentz(ローレンツ)群, Poincare(ポアンカレ)群；などである．これらのどの群も，それぞれの空間で，不変量（保存量）の集合と結び付けられている．しかし，その変換群が成り立つ対称の性質がどのようなものであろうとも，また変換そのものがどのような性質であろうとも，すべての変換群には，抽象群の公理的定義を満たす共通の特性が存在する*． 
-------------------------------------------------------------- 
*群論の基礎の平易な説明は，例えば，P.S.Aleksandrov(アレクサンドロフ)の本（1951）を見よ． 
--------------------------------------------------------------- 
　　　何らかの性質の元 $$g_{1},g_{2}, \ldots $$の集合が，群{$$g_{1},g_{2}, \ldots$$ }$$=G $$を作るとは，この集合で結合的な《積》という演算（$$G$$中の任意の２元$$g_{i},g_{j} \in G$$の対に，元$$g_{k} \in G$$を対応させる：$$g_{i}g_{j}=g_{k}$$）が定義でき，次の２つの条件を満足することである：　a）集合$$G$$には，任意の$$g_{i} \in G$$に対して$$g_{i}e=eg_{i}=g_{i}$$となる単位元$$e$$が存在する．b）任意の$$g_{i}$$に対して，$$g_{i}g_{i}^{-1}=g_{i}^{-1}g_{i}=e$$となる逆元$$g_{i}^{-1}$$が集合$$G$$に存在する．まとめると次の４条件になる．
Ⅰ. 　　　$$g_{i},g_{j} \in G$$　なら，$$g_{i}g_{j}=g_{k} \in G$$
Ⅱ. 　　　$$\left( g_{i}g_{j} \right) g_{k}=g_{i}\left( g_{j}g_{k} \right) $$
Ⅲ.　　　　$$g_{i}e=eg_{i}=g_{i}$$
Ⅳ.　　　　$$g_{i}g_{i}^{-1}=g_{i}^{-1}g_{i}=e$$
これらの関係は抽象群を定義する．Ⅰは$$G$$が演算に関して閉じていることを示し，Ⅱは結合法則，Ⅲは単位元の存在，Ⅳは逆元の存在を示す．積の演算を何にするかは，具体的な群に応じて定義する． 

例：結晶群　$$2/m$$
群$$2/m$$に同型な置換群と直交行列群

　　有限図形の対称点群を定義している一様な直交変換の積は，これらの演算を引き続き行うことと理解する．この定義を用い，集合$$2/m$$では４つの群公理が満たされていることを確かめよう． 

　　　

結晶点群$$2/m$$の対称を与えるのは，例えば，つぶれたマッチ箱の形（平行四辺形を底面とする直角プリズム）である．図203に示したごとく図形の面に番号をつける．図形の許される対称変換に対応する数字の置換を書くと： 
$$1 \leftrightarrow \left( \begin{array}{@{\,} cccccc @{\, } }
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\[0mm]
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
\end{array} \right)$$  ，$$2 \leftrightarrow \left( \begin{array}{@{\,} cccccc @{\, } }
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\[0mm]
3 & 4 & 1 & 2 & 5 & 6
\end{array} \right) $$ ，$$\overline{1} \leftrightarrow \left( \begin{array}{@{\,} cccccc @{\, } }
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\[0mm]
3 & 4 & 1 & 2 & 6 & 5
\end{array} \right) $$ ，$$m \leftrightarrow \left( \begin{array}{@{\,} cccccc @{\, } }
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\[0mm]
1 & 2 & 3 & 4 & 6 & 5
\end{array} \right)$$

各置換の上の行には，自然の順序で数字が書かれている；下の行には，対称変換を行った後の順序が書かれている．例えば，軸２による180°の回転によって，面１は面３の位置に，面２は面４の位置に移ることなど明らかである．対称演算 $$1$$，$$2$$ ，$$\overline{1}$$ ，$$m$$ （対称要素と同じ記号で標す）と置換の間の対応は，1:1であり，それを両側向きの矢印で示した．得られた対応を使って，置換の積の演算を定義しよう．例として，右に書かれた演算を先に実行することにして，積 $$\overline{1}2$$ を求めてみよう：
$$\overline{1}2 \leftrightarrow \left( \begin{array}{@{\,} cccccc @{\, } }
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\[0mm]
3 & 4 & 1 & 2 & 6 & 5
\end{array} \right) \left( \begin{array}{@{\,} cccccc @{\, } }
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\[0mm]
3 & 4 & 1 & 2 & 5 & 6
\end{array} \right) =\left( \begin{array}{@{\,} cccccc @{\, } }
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\[0mm]
1 & 2 & 3 & 4 & 6 & 5
\end{array} \right) \leftrightarrow m$$

回転$$2$$ により面１は面３の位置に，反転$$\overline{1}$$ により面３は面１の位置に来る；従って，変換の積 $$\overline{1}2$$ は面１を面１に移す．同様にして，積 $$\overline{1}2$$ は面２，３，４を，それ自身に移すが，面５を面６に，面６を面５に移す．結局，変換の積 $$\overline{1}2$$ は，変換$$m$$ と同価である（等式の形で$$\overline{1}2=m$$と書く）という興味ある結果を得る．２つの演算の積$$g_{i}g_{j}$$ （右から左への順）を見つけていくと，結果を群$$2/m$$の乗積表の形にまとめることが出来る：

$$\begin{array}{c|cccc}
& 1 & 2 & \overline{1} & m \\[0mm]
\hline
1 & 1 & 2 & \overline{1} & m \\[0mm]
2 & 2 & 1 & m & \overline{1} \\[0mm]
\overline{1} & \overline{1} & m & 1 & 2 \\[0mm]
m & m & \overline{1} & 2 & 1
\end{array} $$            $$\begin{array}{c|ccc}
& \cdots & g_{j} & \cdots \\[0mm]
\hline
\vdots & & \vdots & \\[0mm]
g_{i} & \cdots & g_{i}g_{j} & \cdots \\[0mm]
\vdots & & \vdots &
\end{array}$$

この表を見れば，今問題にしている図形（図203）で許される対称変換の集合が閉性の公理「任意の２つの変換の積はやはりこの集合に属する」を満たしていることがわかる．結合則「３つの積$$g_{i}g_{j}g_{k}$$において，積は右から左に行うということを守りさえすれば，どのように括弧をつけてもかまわない」が満たされることを確かめることもさして困難ではない．群の単位元として働くのは恒等変換$$1$$ である．表から，$$2/m$$の各元に対して逆元が存在することもわかる（各元は自分自身が逆元になっている：$$g_{i}g_{i}=1$$).

　　表を用いれば，演算を繰り返し行った結果を知ることもできる．例えば，演算$$2$$ の３乗は演算$$2$$ に等しいことがわかる：
$$2^{3}=2 \cdot 2 \cdot 2=2^{2}2=2$$，　ただし，$$2^{2}=2 \cdot 2=1$$ を用いる．
同一の結果になる演算の冪は同一と見なすから，群$$2/m$$は４つの異なった演算から成ることになり，位数は４となる． 
$$2/m=\left\{ 1,2,\overline{1},m \right\} $$
　　群$$2/m$$の生成元として$$1$$ を含まない任意の元の対をとることができる．生成元 に対する定義関係　$$2^{2}=1$$，$$m^{2}=1$$，$$2m=m2$$ が与えられれば，元　$$m$$，$$2$$，$$2m=\overline{1}$$ をかけ合せることにより，群$$2/m$$の乗積表を完全に作ることが出来る． 
　　　上で調べた対称演算と６つの数字の置換の対応から，対称群$$2/m$$と４つの置換から成る群とが同型となる．一般に，群$$G=\left\{ g_{1},g_{2}, \ldots \right\} $$ と $$F=\left\{ f_{1},f_{2}, \ldots \right\} $$とは，元間に１：１対応があり乗積表が一致するとき同型であるという．すなわち
$$g_{i} \leftrightarrow f_{i}$$，$$g_{j} \leftrightarrow f_{j}$$ 　なら，$$g_{i}g_{j} \leftrightarrow f_{i}f_{j}$$
群が同型であることが判ると，積の法則とこれから導かれるような結論は，すべて１つの群について確認されたものなら，同型の群に移し変えることができる．これは研究の範囲が限定できるということである．Cayley(ケイリー)の定理「あらゆる有限群は適当な置換群と同型である」が成り立つため，有限群の研究は置換群の研究に帰着する．
　　　置換群の集合は，直交結晶群の集合より大きい．例えば置換$$P=\left( \begin{array}{@{\,} cccccc @{\, } }
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\[0mm]
4 & 3 & 6 & 2 & 5 & 1
\end{array} \right) $$ の冪で作られる位数５の巡回群，すなわち群$$\left\{ P, P^{2}, P^{3}, P^{4}, P^{5} \right\} $$ ，
ただし$$P^{5}=\left( \begin{array}{@{\,} cccccc @{\, } }
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\[0mm]
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
\end{array} \right) =1$$，は結晶群のどれとも同型でない．
　　　逆に，結晶群は置換群とのみ同型という訳ではない．結晶物理への応用で重要な，直交変換に同型な３次の直交行列群を考察しよう．我々の図形の結晶軸$$a, b, c$$と直交座標系$$X_{1}, X_{2}, X_{3}$$の関係は図203に示してある．図形のすべての対称変換それぞれに対応して座標系の変換がある．例えば，回転群$$２$$は軸$$X_{1}, X_{2}, X_{3}$$ を$$X_{1}^{ ' }, X_{2}^{ ' }, X_{3}^{ ' }$$ にもちきたす．行列要素を$$D_{ij}=cos\left( X_{i}^{ ' }, X_{j} \right) $$ で定義すれば，３次の行列
$$\left( \begin{array}{@{\,} ccc @{\, } }
D_{11} & D_{12} & D_{13} \\[0mm]
D_{21} & D_{22} & D_{23} \\[0mm]
D_{31} & D_{32} & D_{33}
\end{array} \right) $$ を得る．
回転２ を表すのは$$\left( \begin{array}{@{\,} ccc @{\, } }
-1 & 0 & 0 \\[0mm]
0 & -1 & 0 \\[0mm]
0 & 0 & 1
\end{array} \right) $$ となる．
同様にして，以下の行列と対称変換の対応が定まる：
$$1 \leftrightarrow \left( \begin{array}{@{\,} ccc @{\, } }
1 & 0 & 0 \\[0mm]
0 & 1 & 0 \\[0mm]
0 & 0 & 1
\end{array} \right) , \overline{1} \leftrightarrow \left( \begin{array}{@{\,} ccc @{\, } }
-1 & 0 & 0 \\[0mm]
0 & -1 & 0 \\[0mm]
0 & 0 & -1
\end{array} \right) , m \leftrightarrow \left( \begin{array}{@{\,} ccc @{\, } }
1 & 0 & 0 \\[0mm]
0 & 1 & 0 \\[0mm]
0 & 0 & -1
\end{array} \right) $$
良く知られた行列の積の定義（左の行列の行と右の行列の列を乗ずる：
$$D_{ij}=D_{i1}D_{1j}+D_{i2}D_{2j}+D_{i3}D_{3j}$$）を使い，演算の積に対応する行列の積を見つけよう： 
$$\overline{1}2 \leftrightarrow \left( \begin{array}{@{\,} ccc @{\, } }
-1 & 0 & 0 \\[0mm]
0 & -1 & 0 \\[0mm]
0 & 0 & -1
\end{array} \right) \left( \begin{array}{@{\,} ccc @{\, } }
-1 & 0 & 0 \\[0mm]
0 & -1 & 0 \\[0mm]
0 & 0 & 1
\end{array} \right) =\left( \begin{array}{@{\,} ccc @{\, } }
1 & 0 & 0 \\[0mm]
0 & 1 & 0 \\[0mm]
0 & 0 & -1
\end{array} \right) \leftrightarrow m$$ ，　etc.
結局，対応する行列群と群$$2/m$$とは同型となる．
　　　行列群を用いると，３次元空間における点あるいはその位置ベクトルの座標変換が記述できる．例えば，斉１次変換は，３つの等式の形にも，行列の形にも書くとことが出来る：

$$\begin{array}{@{\,} c @{\, } }
x_{1} ' =D_{11}x_{1}+D_{12}x_{2}+D_{13}x_{3} \\[0mm]
x_{2} ' =D_{21}x_{1}+D_{22}x_{2}+D_{23}x_{3} \\[0mm]
x_{3} ' =D_{31}x_{1}+D_{32}x_{2}+D_{33}x_{3}
\end{array}$$ または $$\left( \begin{array}{@{\,} c @{\, } }
x_{1} ' \\[0mm]
x_{2} ' \\[0mm]
x_{3} '
\end{array} \right) =\left( \begin{array}{@{\,} ccc @{\, } }
D_{11} & D_{12} & D_{13} \\[0mm]
D_{21} & D_{22} & D_{23} \\[0mm]
D_{31} & D_{32} & D_{33}
\end{array} \right) \left( \begin{array}{@{\,} c @{\, } }
x_{1} \\[0mm]
x_{2} \\[0mm]
x_{3}
\end{array} \right) $$

$$D$$で行列$$\left( D_{ij} \right) $$ を，$$r$$で$$x_{1}, x_{2}, x_{3}$$ のベクトルを標せば，この等式はもっと簡潔なテンソルあるいは演算子の形に書くことができる：
$$x_{i} ' =D_{ij}x_{j} , (i,j=1,2,3)$$ 　または，$$r '=Dr$$
（テンソル方程式で繰り返される添え字$$j$$は，1から3までの和を意味する：
$$x_{i} ' =D_{i1}x_{1}+D_{i2}x_{2}+D_{i3}x_{3}$$　ここで，$$i=1, 2, 3$$)

群のいくつかの性質
部分群．商群．群の準同型対応．

$$H=\left\{ h_{1},h_{2}, \ldots \right\} $$が，群$$G=\left\{ g_{1},g_{2}, \ldots \right\} $$ の部分群と呼ばれるのは， $$H$$が$$G$$の部分集合であり，かつ$$G$$の演算に関して群を作るときである．そのような性質は，例えば，結晶群$$2/m$$の部分群：$$ 1=\left\{ 1\right\}, 2=\left\{ 1, 2 \right\} , \overline{1}=\left\{ 1,\overline{1} \right\} , m=\left\{ 1,m \right\} $$で確かめることができる．有限群のすべての部分群は， Lagrange(ラグランジュ)の定理《有限群$$ G $$ の部分群$$H$$ の位数は，$$G$$の位数の約数である》によって，容易に見つけることが出来る．部分群$$H=\left\{ h_{1},h_{2}, \ldots \right\} $$の元は，同時に群$$G=\left\{ g_{1},g_{2}, \ldots \right\} $$の元でもある．このため，必然的に，群とその部分群は共通の単位元をもつ．これを，$$h_{1}=g_{1}=e$$ としよう．群$$G$$ の部分群$$H$$ を決めれば，我々は，左（右）剰余類を定義することができる． $$g_{i}H=\left\{ g_{i}h_{1},g_{i}h_{2}, \ldots \right\} $$または $$Hg_{i}=\left\{ h_{1}g_{i},h_{2}g_{i}, \ldots \right\} $$，ただし，$$h_{1}=e$$ ，元$$g_{i}$$ は部分群$$H$$ に属さない（$$g_{i} \neq e$$，$$g_{i} \notin H$，$g_{i} \in G$$）．１つの剰余類に属す元は全て異なり， $$g_{i} \neq g_{j}$$ならそれぞれの剰余類$$g_{i}H, g_{j}H$$の元もまたすべて異なることを示すことが出来る．これを用いれば，部分群に関して，群を展開し，すなわち，各剰余類に群の元を分類することができる．もし，群$$G$$ が有限（位数$$ n $$ ）ならば，部分群$$H \subset G$$ は有限なる位数$$m<n$$ をもつ．従って，群$$G$$ の，例えば，左剰余類での展開は有限回で尽きる．

$$G=g_{1}H \cup g_{2}H \cup \ldots \cup g_{j}H=\left\{ h_{1},h_{2}, \ldots ,h_{m} \right\} \cup \left\{ g_{2}h_{1},g_{2}h_{2}, \ldots ,g_{2}h_{m} \right\} \cup \ldots $$
$$ \ldots \cup \left\{ g_{j}h_{1},g_{j}h_{2}, \ldots ,g_{j}h_{m} \right\} $$
群$$2/m$$の場合には，部分群$$２$$に関する展開は次のようになる．
$$2/m=1\left\{ 1,2 \right\} \cup \overline{1}\left\{ 1,2 \right\} =\left\{ 1,2 \right\} \cup \left\{ \overline{1},m \right\} $$
部分群に関する群の展開での剰余類の数$$j$$を部分群の指数という．あきらかに，群$$2/m$$の部分群$$2=\left\{ 1,2 \right\} $$の指数は２である．
部分群$$H \subset G$$は，もしこの部分群に関する右と左の剰余類が一致するなら，不変部分群または正規部分群と呼ばれる（$$H \vartriangleleft G$$ と書く）：$$Hg_{i}=g_{i}H $$ （$$g_{i} \in G$$，$$H \vartriangleleft G$$）
群$$2/m$$の部分群$$2$$は正規である．なぜなら，$$\overline{1}\left\{ 1,2 \right\} =\left\{ 1,2 \right\} \overline{1}$$ となるからである．可換性 の条件$$Hg_{i}=g_{i}H$$から，新たな群，商群が定義できる．これを$$G/H$$と標記する．商群の元となるのは，左（あるいは右）剰余類である：（左）剰余類の場合の積則を次のように定式化する： $$g_{i}H \cdot g_{j}H=g_{i}g_{j}H$$ （$$g_{i}g_{j}H=g_{k}H$$，ただし$$g_{i}g_{j}=g_{k}$$ ）
可換性の条件は，$$g_{j}$$ を$$H$$ の右側から左側に移すときに使われた．$$g_{1}=e$$ とすると，有限指数$$j$$ の部分群に関する商群$$G/H$$ の乗積表は次のようになる：

$$\begin{array}{c|cccc}
& g_{1}H & g_{2}H & \ldots & g_{j}H \\[0mm]
\hline
g_{1}H & g_{1}H & g_{2}H & \ldots & g_{j}H \\[0mm]
g_{2}H & g_{2}H & g_{2}^{2}H & \ldots & g_{2}g_{j}H \\[0mm]
\ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\[0mm]
g_{j}H & g_{j}H & g_{j}g_{2}H & \ldots & g_{j}^{2}H
\end{array}$$

特に，商群$$(2/m)/2$$の乗積表は次のようである．

$$ \begin{array}{c|cc} & \left\{ 1,2 \right\}  & \left\{ \overline{1},m \right\} \\[0mm] \hline \left\{ 1,2 \right\} & \left\{ 1,2 \right\} & \left\{ \overline{1},m \right\} \\[0mm] \left\{ \overline{1},m \right\} & \left\{ \overline{1},m \right\} & \left\{ 1,2 \right\} \end{array}  $$

　　商群の概念は，群論において最も重要なものであり，無数の応用が存在する．群論におけるもう１つの重要な概念は，大きい群$$G=\left\{ g_{1},g_{2}, \ldots \right\} $$から小さい群$$F=\left\{ f_{1},f_{2}, \ldots \right\} $$ への準同型写像である．この写像は一方向で，次のように定義される：
$$g_{i} \to f_{i}, g_{j} \to f_{j}$$　なら　$$g_{i}g_{j} \to f_{i}f_{j}$$
群が準同型なことは，記号$$G \to F$$ で標す．正規部分群$$H$$ に関する商群$$G/H$$は群$$G$$の準同型像であることを示すことができる：$$G \to G/H$$ これらの群の準同型は，群$$G$$の元$$g_{i}$$ を商群$$G/H$$ の元$$g_{i}H$$ に一方向に対応させることにより得られる：
$$g_{i} \to g_{i}H$$，$$g_{j} \to g_{j}H$$，$$g_{i}g_{j} \to g_{i}Hg_{j}H=g_{i}g_{j}H$$
このような対応の１方向性は，１つの剰余類が，$$G$$のいくつかの元と対応する．例えば，$$g_{1}^{*}=g_{i}h_{1}, g_{2}^{*}=g_{i}h_{2}, \ldots , g_{m}^{*}=g_{i}h_{m}$$ 　$$\left( h_{1}, h_{2}, \ldots , h_{m} \in H \vartriangleleft G, g_{i} \notin H, g_{i} \in G \right) $$が剰余類$$g_{j}H$$ に属することによる．
準同型対応があると，群$$G$$における積法則の研究を，小さい群$$G/H$$における積法則の研究に帰着させることが可能になる．
準同型写像は物理学で応用される群$$G$$の既約表現というものに関係がある．まずこれは演算子あるいは行列の群であつて，これらが準同型写像で表現している群$$G$$の積法則を保存しているような群である．

１．群$$G$$の2つの部分群$$H,K$$の共通部分は部分群である．
$$H \cap K=D \ni ^{ \forall }a,^{ \forall }b \Rightarrow \left\{ \begin{array}{@{\,} cc @{\, } }
H \ni ab \in K & \Rightarrow ab \in D \\[0mm]
H \ni a^{-1} \in K & \Rightarrow a^{-1} \in D
\end{array} \right. $$

2．2つの正規部分群$$H, K$$の共通部分は，$$H, K$$の正規部分群である．
$$\left. \begin{array}{@{\,} cc @{\, } }
H=k^{-1}Hk & k^{-1}Kk=K \\[0mm]
H \supset k^{-1}Dk & k^{-1}Dk \subset K
\end{array} \right\}  \Rightarrow k^{-1}Dk=D, \left( h^{-1}Dh=D \right) $$

３．$$H, K$$が正規部分群なら，$$^{ \forall }h \in H$$と$$^{ \forall }k \in K$$は可換である．ただし，$$H \cap K=e$$とする．
$$\left. \begin{array}{@{\,} ccc @{\, } }
K正規部分群 & \Rightarrow & \left( h^{-1}k^{-1}h \right) k=k'k=k'' \\[0mm]
H正規部分群 & \Rightarrow & h^{-1}\left( k^{-1}hk \right) =h^{-1}h'=h''
\end{array} \right\} \Rightarrow k''=h''=e$$とすると，
$$h^{-1}k^{-1}hk=e$$だから，$$hk=kh$$が結論できる．
（逆）
①　$$H, K$$が部分群で，$$^{ \forall }h \in H, ^{ \forall }k \in K$$に対して，$$hk=kh$$ならば，$$HK$$は群を作る．
②　$$H, K$$は，$$HK$$の中で正規である． 
（証明） 
$$^{ \forall }h_{1}k_{1}, ^{ \forall }h_{2}k_{2} \in HK \Rightarrow h_{1}k_{1} \cdot h_{2}k_{2}=h_{1}h_{2} \cdot k_{1}k_{2} \in HK$$ ① 
$$^{ \forall }hk \in HK$$に対し，$$hkHk^{-1}h^{-1}=H$$　　　　　　　　　　　　 　② 

４．群$$\mit\Phi $$の部分群$$\mit\Phi ^{ \ast }, \mit\Gamma , D$$の指数関係
$$\left. \begin{array}{@{\,} c @{\, } }
\mit\Phi \supset \mit\Phi ^{ \ast } \supset D \\[0mm]
\mit\Phi \supset \mit\Gamma \supset D
\end{array} \right\} $$, $$\mit\Phi ^{ \ast } \cap \mit\Gamma =D$$ならば，　$$\left( \mit\Phi :\mit\Phi ^{ \ast } \right) \ge \left( \mit\Gamma :D \right) $$

$$\left\{ \begin{array}{@{\,} c @{\, } }
\mit\Gamma =D+\gamma _{2}D+\gamma _{3}D+ \cdots +\gamma _{p}D \\[0mm]
\gamma _{i}D \cap \gamma _{j}D= \phi \left( i \neq j \right)
\end{array} \right. $$である．
もし，$$\gamma _{i}\mit\Phi ^{ \ast } \cap \gamma _{j}\mit\Phi ^{ \ast } \neq \phi $$とするなら，適当な$$\phi _{i}^{ \ast }, \phi _{j}^{ \ast } \in \mit\Phi ^{ \ast }$$があり，
$$\gamma _{i}\phi ^{ \ast }_{i}=\gamma _{j}\phi _{j}^{ \ast } \Rightarrow \mit\Gamma \ni \gamma _{j}^{-1}\gamma _{i}=\phi _{j}^{ \ast }\phi _{i}^{ \ast -1} \in \mit\Phi ^{ \ast }$$
ゆえに，$$\gamma _{j}^{-1}\gamma _{i} \in D \Rightarrow \gamma _{j}^{-1}\gamma _{i} \in \mit\Phi ^{ \ast } \Rightarrow \gamma _{i}\mit\Phi ^{ \ast }=\gamma _{j}\mit\Phi ^{ \ast }$$同一な剰余類になり矛盾．
ゆえに，$$\gamma _{i}\mit\Phi ^{ \ast } \cap \gamma _{j}\mit\Phi ^{ \ast }= \phi $$

2次元結晶空間（平面）の場に適用される群論の基礎概念をまとめる．

１．　準同型写像
　　　写像の核

２．　同値関係
　　　同値類
　　　剰余類

３．　群
　　　部分群
　　　正規部分群

群$$G$$の中に，部分群$$H$$が決まれば，その左（右）剰余類展開（直和分解）は，ただ１通り決まる．
左剰余類と右剰余類が一致する場合は，部分群$$H$$は，正規部分群$$H \vartriangleleft G$$で，剰余類は群（商群）をなす．これは，群$$G$$から，正規部分群$$H$$を法とする［準同型写像の核］商群$$G/H$$への準同型写像である．