平面群

X線の入射波および散乱波に対してはBorn近似が適用でき，入射波$$ \Psi_{k}(r) $$，散乱波$$\Psi_{k'}(r)$$の状態関数をそれぞれ平面波で近似してよい．空間$$V$$で規格化されたこれらの状態関数を下に示す．
$$ \textrm{exp}[i\omega t] \Psi_{k}(r)=(1/\sqrt{V})\textrm{exp}[i(\omega t-2\pi k \cdot r)] $$
$$ \textrm{exp}[i\omega t]\Psi_{k ' }(r)=(1/\sqrt{V})\textrm{exp}[i(\omega t-2\pi k ' \cdot r)] $$

ここで，$$2\pi k, 2\pi k ' $$はそれぞれ入射波，散乱波の波数ベクトルである．散乱ベクトル$$q$$は
$$q=k' -k$$で定義される．
構造解析の対象となるのは，X線の弾性散乱分である．
弾性散乱では，$$\left| \begin{array}{@{\,} c @{\, } }
k
\end{array} \right| = \left| \begin{array}{@{\,} c @{\, } }
k '
\end{array} \right| =1/\lambda $$，$$q=2\textrm{sin}\theta /\lambda $$が成立する（ここで，$$2\theta $$は散乱角；$$\lambda $$は実験に用いたX線の波長；$$V$$は散乱体の体積）．X線の散乱を惹き起こす原因となるポテンシャルは物質の電子分布密度$$\rho (r)$$であるので，散乱振幅$$F(q) \equiv <k|\rho (r)|k ' >$$は：
$$ F(q)=\displaystyle \int_{- \infty }^{+ \infty }\rho (r)\Psi ^{*}_{k}(r)\Psi _{k ' }(r)d^{3}r=(1/V)\displaystyle \int_{- \infty }^{+ \infty }\rho (r)\textrm{exp}(-i2\pi q \cdot r)d^{3}r $$
このように，散乱振幅$$F(q)\equiv<k|\rho (r)|k ' >$$は，$$\rho (r)$$のFourier変換$$Tr$$にほかならないことが理解される．
$$F(q)=Tr\left[ \rho (r) \right] $$

$$\rho (r)=Tr^{-1}\left[ F(q) \right] $$

Fourier変換で結ばれる$$\rho(r)$$と$$F(q)$$の対称性は同一である．

結晶格子$$Ш(r)$$は，$$ \displaystyle \lim_{N \to \infty }Ш_{N }(r) $$

$$ Ш_{N}(r)=\displaystyle \sum_{1}^{N1}\displaystyle \sum_{1}^{N2}\displaystyle \sum_{1}^{N3}\delta [r-(m_{1}a_{1}+m_{2}a_{2}+m_{3}a_{3})] $$

$$\delta(x)=\displaystyle \int_{- \infty }^{+ \infty }\textrm{exp}(-i2\pi x \cdot y)dy$$

$$\rho_{0}(r)$$を単位胞とする周期的な電子分布は，コンボリューション★を用いて次式のように表現できる．
$$ \rho (r)=\rho _{0}(r)★Ш(r) =\displaystyle \int_{- \infty }^{+ \infty }\rho_{0} (r)Ш(r-\tau)d^3\tau$$

$$Tr［\rho(r)］=Tr[\rho_{0}(r)★Ш(r)]=Tr[\rho_{0}(r)]･Tr[Ш(r)]=Tr[\rho_{0}(r)]･\bar{Ш}(q)]$$

$$\bar{Ш}(q)=Tr[Ш(r)]$$　結晶格子のFourier変換は逆格子を与える．結晶格子と逆格子は互いに双対である．

すなわち，単位胞の電子分布が結晶格子の周期で繰り返されている結晶からのX線の散乱振幅は，単位胞のFourier変換を逆格子点でサンプリングしたものである．

群$$G$$はその部分群$$H$$に関して剰余類の直和に展開（ラグランジュ展開）できる．特に，$$H$$が正規部分群である場合が重要で，剰余類は$$H$$を法として群（商群）$$G/H$$をなす．

逆に，$$\{a_1,a_2, \dots,a_r\}=G^*$$とし，正規部分群$$H$$を群$$G^*$$で拡大して群$$G$$を得る．

正規部分群$$H$$を群$$G^*$$で拡大して群$$G$$が得られるのだが，$$G^*$$も正規部分群である場合は直積；$$G^*$$が非正規の部分群である場合には半直積；$$G^*$$が$$H$$を法として群となる（モジュラー群）の場合には条件積；で表現する．

結晶格子を黒格子，その逆格子を赤格子で図示した．結晶格子で水色で塗った部分は単位胞．結晶によるX線の散乱はボルン近似（平面波）が成り立つから，結晶の電子分布$$ρ(r)$$をFourier変換したものが，この結晶によるX線の散乱振幅$$F(q)$$である．

変数$$q$$は観測空間（逆空間）のベクトル，$$r$$は結晶空間のベクトルで，逆空間と結晶空間は，互いにFourier変換で結ばれた「双対空間」である．

結晶の電子分布$$ρ(r)$$は，単位胞の電子分布$$ρ_0(r)$$と格子$$ Ш(r) $$とのコンボリューションであるから，結晶によるX線の散乱振幅$$F(q)$$は，単位胞の電子分布$$ρ_0(r)$$のFourier変換$$F_0(q)$$と，逆格子の積．つまり，$$F_0(q)$$を，逆格子点でサンプリングしたものになる．Fourier変換で結ばれた$$F_0(q)$$と$$ρ_0(r)$$の対称性は同一だが，X線回折像の対称性は，逆格子点のみを問題にするので，$$F_0(q)$$の対称性は回折像の対称性より低い可能性があり，特殊な結晶軌道の対称性が関与する．

結晶構造の対称性とX線回折像の対称性の関係は，ピエール・キューリーの原理「現象が起こる舞台の対称性は，すべて現象に反映されるべきである」という因果律の一例である．

部分構造の重畳で構成された全体系の対称性は，部分構造の対称性より全体系の対称性が上昇する場合も減少する場合もある．これには，非正規の拡大が必要で未解決の困難な課題である．

黒白群や多色群の応用を見てみよう．Feなどの磁性原子は磁気モーメントを持つ．原子の位置は空間の座標で指定されるが，原子の磁気モーメントはスピンで決まり，原子の座標とは独立の空間次元となる．各原子の磁気モーメント（軸性ベクトル量で極性ベクトルではないが）を赤い矢印で表現している．この例の6回対称のFe原子配置で考えられる磁気モーメントの6種類の配置が図示されている．ここには，古典群，反対称(黒白)群，3色群，6色群が登場する．

右図はFe2O3の結晶構造．この構造中のFe原子（磁気モーメントをもつ）だけを取り出して，その磁気モーメントの配置を図示したものが左図．
構造Aと構造Bは，全体として磁気モーメントが打ち消しあう反強磁性相．構造Cは全体として磁気モーメントが残る強磁性相．

右図は反強磁性の構造例だが，左図は強誘電体の構造例で，この図に示した小さな矢印は空間内の原子のわずかな変位を示し，磁性体の場合の磁気モーメントとは状況が異なることに注意．

1945年のシュブニコフによる反対称概念の導入で起こる超幾何空間の新しい発展について述べる．
A.V.シュブニコフ（1887-1970）の反対称概念の導入は新しい結晶群の発展をもたらした．この分野はソビエト結晶学派の業績が著しい．2次元平面（単面）で，周期が1次元のもの（帯）と，周期が2次元のもの（面）を考察する．
これらの図形で，模様のモチーフ◥を，黒・白(赤)の2色に塗わけたSpeiserやWeberの図は，単面である2次元平面を，表裏のある層（厚みのある3次元図形）と解釈するきっかけになった．
◆周期が1次元の2次元平面（単面）を単面帯と呼ぶが，その対称群は$$G_{2,1}$$と表示され,7種類ある．7種類の単面帯群$$G_{2,1}$$の模様のモチーフを，2色（この図では黒・赤）に塗り分ける模様は17種類ある．
これは，$$G_{2,1}^{1}$$の型の群である．$$G_{2,1}$$の模様のモチーフに，1′（反恒等操作：位置を動かさずに色だけ変える）を施すと，モチーフは黒でもあり同時に赤でもある状態「灰色」（ただし，群の位数は倍になる）の中性群ができる．これは，$$G_{2,1}$$と同数だけ（7種類）できる．出発となった単面帯群（7種類）から，黒白両面帯群（17種類）と中性両面帯群（7種類）が導ける．

一般群の表記法で，下添え字$$r,t,s$$は，幾何空間の次元，保存される部分空間を表示する．上添え字$$l,p$$は，幾何空間とは異なる性質数，その性質の取り得る値（色数）を表示する．

$$G_{3}^{1,2}$$は，3次元の空間群に，超幾何的性質次元を１つ追加し，その値は2値をとる．これは，3次元より次元が1つ増えるが，増えた次元は空間次元とは異なる．追加された超幾何空間次元は2値しかとれないので，4次元空間群で，3次元空間を保存するものより狭い概念となる．このような特性次元を１つ付加したものは，空間次元を１つ上げた高次元の空間群への準備となった．

[演習］2次元の結晶点群（古典点群）$$G_{2,0}$$は10種であることを図で確認する．
2次元結晶黒白点群$$G^1_{2,0}$$の32種の内訳は，古典点群と中性点群と黒白点群である．