平面群

フェドロフの平行多面体（Parallelohedron）と非対称要素立体（Stereohedron）

Параллелоэдры(Parallelohedra)и стероэдры(Stereohedra) Федорова

一つの平行多辺形で，平面を隙間なく埋めるという問題は，3次元空間に対しても提起できます．空間では，平行多辺形の役割は，平行多面体が担っています．代表的な平行多面体には，立方体，2つの底面を持つ６角柱，菱形12面体，細長い菱形12面体，立方8面体（切頂８面体）の5種類があります（図198）．隣接する平行多面体の面が完全に一致するように，同一の平行多面体を充填し，すべての平行多面体が平行になるようにすると，重なりや隙間のない空間充填ができます．5つの典型的な平行多面体から，それを伸ばしたりずらしたりすることで，無限の派生平行多面体を得ることができます．
立方体から変形させると，直方，および，斜方の平行多面体，６角柱から変形させると，斜方の6角柱などになります．平行多面体にある種の対称性を持たせれば，一般的には非平行に配向した等価な部分に分割できます．分割された部分をStereohedron非対称要素立体と呼びます．３次元空間における非対称要素立体は，2次元平面におけるプラニゴン（非対称要素）Planigonに相当し，非対称要素立体は，3次元離散体の最小不可分な部分を表しています．それは，さらに小さい等価部分に分割することはできませんが，それらの部分は直交変換によって互いに変換し合います．ここでは，すべての非対称要素立体のカタログを作ることはせず，いくつかの例を挙げるにとどめます．
平行多面体が対称心を持たない斜方の平行六面体（対向面は異なる色とする）である場合，その図形を等価部分に分割できず，それ自体が非対称要素立体です．平行六面体の中心に対称心がある場合は，その図形は2つの非対称要素立体に分割することができます．立方体は，対称面によって48個の非対称要素立体に分割できます（図189のa参照）．E.S.Fedorovが離散体（結晶空間）の230種類の対称類を導出した際に，Stereohedron非対称要素立体は大きな役割を果たしました．球などの最密充填の問題は，非対称要素立体や平行多面体による空間充填の問題に還元できる部分もあります（B.N.Delaunay, 1934参照）．

図198

球の密な充填（積層）．結晶学と構造工学における重要性

球の3次元充填でこれがが最密であるというKepler予想は肯定的に証明されました．この予想の証明は難問で400年もかかりました．しかし，ここでは，その構造が最密であるという断定はあえて避け，密な充填というレベルにとどめます．さらに，ここで考察するのは，厳密に言うと，球のランダムな充填は検討外で，球の最密配列層の積層（規則的）の範疇に留めていますです．そのため，充填ではなく積層という言葉を使うようにしています．

（注）ケプラーはまた、球を敷き詰めたときに、面心立方格子が最密になると予想した。 この予想はケプラー予想と呼ばれ、規則正しく敷き詰める場合に関してはカール・フリードリヒ・ガウスによって早々に証明されたが、 不規則な敷き詰め方に関しては、400年もの間未解決の問題であった。ケプラー予想は1998年に、トーマス・C・ヘイルズによって、コンピュータを駆使して解決された。wikiより引用－－－－
現在，離散体（＝結晶空間）の対称性は，結晶学や固体物理学で関心を持たれていますが，その理由は，すべての結晶は離散体であるからです．しかし，この問題は，他の学問分野や工学分野からも少なからず関心を集めています．特に，建築美術では，空間的な構造を計算する方法がなく，「平面的な問題」にとどまっていましたが，今日では，離散体の対称性理論は，建設工学に応用されるようになりました．ここでは，レンガ積みやトラス構造などや，物体を最も密に詰めるという問題に係わります．隙間や重なりなく平面を充填したり分割する様式や球の密な充填様式は，N.V. Belov（1947年）とToth（1953年）の問題提起が参考になります．

一見すると，球を高密度に充填する方法は1つしかないように見えますが，実際には無限にあります．これを理解するために，同一の球を，それぞれの球が6つの球に接するようにして1層並べてみましょう（図195のa）［パチンコ珠をトレィに並べた様子です］．この配置は平面では，最も密度の高いものになることがわかっています．これを，第１層として層の積み重ねを考えます．第2層の球を，第1の層の上に，最も密な配置となるような唯一の方法で配置することができます：第2層の球の 1 つは，2の位置または 3の位置の窪みを占めることができますが，これらは，どちらも同じ結果になります．次に，第3層を，出来上がった2層系の上に積み重ねるわけですが，2つの方法があります：第3層の球は，第1層の球と同じ位置を占めるか，第2層の球が2の位置にある場合は3の位置（第２層の球が3の位置にある場合は２の位置）を占めるかです．このようにして得られた2種類の3層系の違いは，第3層の層の球を投影した時，第1層の球と一致するかしないかにあります．
球の中心を平面に投影すると3種類の位置ができますが（図195のb），どのような積み重ねであろうとも，この3つの位置以外に球は存在しないことがわかります．したがって，球の最も密な充填は，数字の1,2,3からなる記号で表すことができ，これらの数字の有限または無限の列のなかで，同じ数字が2つ続かないようにします．明らかに，この条件を満たす3つの数字の配列様式は無限です．したがって，球の最密充填は無限にあります．無限に続く数字の列が，ある同一の有限の組み合わせを周期的に繰り返すならば，その構造は対称的（周期的）です．そうでなければ，同じように球を高密度に積み重ねても，少なくとも層に垂直な方向には，非対称（非周期的）な構造になります．例えば，12312 12312 12312....は，12312という組み合わせが周期的に繰り返されていることから，対称的（周期的）な5層構造と定義されます．この列の2つの数字の間に，1つの余分な数字を挿入すると，構造の並進対称性が一気に崩れます．
対称的（周期的）な積層において，すべての球（半径は等しい）の構造中で占める位置は，互いに同価ではないことに注意しましょう（同価性は3層構造の場合にのみ当てはまります）．多層構造のすべての球には，構造のすべての層ではないが，異なる層にある並進同価な球の無限集合があります．非対称な積層では，同じ球は同じ層の同じ位置にしか入りません．
球の最密充填は，どのような対称群になるでしょうか．ある対称的な積層に対応する数字の配列を見ましょう．数の列が，左から右に読んでも、右から左に読んでも同じなら，構造には対称面となる層平面が存在します．例えば，列1213121312.....では，対称面は層2と層3にあります．もし，順方向と逆方向の読み取りで，数の並びが違っているなら，構造に層（水平方向）に沿った対称面はありません．水平方向の対称面を持つすべての構造は，同じ６方対称（$$P6_{3}mmc$$）を持っています． 例えば，6方対称の２層積層12（図196のa）は，このような対称性です．

対称要素と球の積層構造の投影図を重ね合わせ，第1層の球を実線で，第２層の球を破線で示します．第1層から第2層への変換は，紙面に垂直な螺旋軸$$6_{3}$$と$$2_{1}$$の回転（単位胞への投影はこれらの軸のよぎる点で，それぞれ羽付きの黒い6角形とレンズで表示），反転（紙面から$$c/4$$上にある白丸），並進$$c/2$$を伴う回映（破線）の垂直な映進面（破線で表示）が担う．これらの要素に加えて，この投影図には，垂直方向と水平方向の対称面が描かれています（後者は1番目の層の球の中心と一致しています）．水平な対称面間を通過する水平な2回軸は，投影図には表示しません．
水平な対称面を持たない球配列（立方体の3層配列を除く）は，すべて3方対称性を持つ．例えば，12132の3方対称の5層積層は，空間対称群が$$P\bar{3}m1$$である（図196, b）．与えられた投影図は，各層1,2,3の球をそれぞれ長短の点線と実線で表しています．
4番目の層の球は1番目の層の球と，5番目の層の球は2番目の層の球と，投影が一致しています．紙面上にある対称心（小さな白い円）は，3番目の層の球の中心と接点に一致しています．同じ中心で，4番目の層の球（紙面上）は2番目の層の球（紙面より下）に，5番目の層の球は1番目の層の球に映されます．
この投影図には，対称心のほかに，垂直方向の対称面（実線），映進面，垂直方向の単純軸と回反軸$$3, \bar{3}$$が示されています．水平方向の対称軸$$2, \bar{2}$$は，投影されていません．

図196のcは，立方面心格子の対称性を持つ3層構造の投影図です$$Fm\bar{3}m$$．図193のcとは対照的に，このグループの対称要素は，垂直軸$$3$$に沿って図面上に投影されており，点群$$m\bar{3}m$$のステレオ投影の中心は，球の中心と一致しています．1番目の層の球の中心は紙面の中心にあります．1番目の層の球から2番目の層および3番目の層の球（図中に数字で示されている）への移行は，垂直な螺旋軸$$3_{1}, 3_{2}$$で回転させることによって行うことができます（それらの投影は，羽付きの小さな黒い3角形で示されています）．また，対称心（レベル$$c/6$$および$$c/3$$の小さな白い円）で反射させることもできます．2番目の層と3番目の層の球の中心は，投影図に対応する数字で示されているように，レベル$$c/3$$と$$2c/3$$にあります．さらに，この投影図では，レベル$$c/2$$にある対称心が，2番目の層と3番目の層3の球と映進の垂直面を結んでいます．群$$Fm\bar{3}m$$の対称要素の一部は，投影図には表示されていません．

立方および6方の高密度充填の3次元モデルを図197のa,bに示します．2層積層では、位置3（図195のa参照）が球で占められておらず，層に垂直に走る構造的なチャネルが，6次の$$6_{3}$$の3方向のらせん軸とその方向で一致している．立方積層には，構造上のチャンネルがありません．この2つの積層は，ほとんどの化学元素の結晶構造や，多くの無機化合物や鉱物の構造における陰イオンの積層に対応しています． 

「帯」（バンドやリボン）とは，1次元に周期のある2次元面の呼び名とすることにします．
帯には表面と裏面の2面がありますが，それは，我々が３次元空間にいて，帯の2次元面を見るからです．
帯自体が厚みの次元のない2次元世界ですので，２次元世界にいれば表面も裏面もありません．

帯の模様の対称性を考察するにあたり，1面(片面)帯と2面(両面)帯に分けて，それぞれの空間で空間群を調べます．

■1面(片面)帯の７種の空間群
1面帯(周期は1次元)を記述する空間群は，以下の7種類あります．

  1面(片面)帯の７つの空間群
赤記号は対称要素．緑のモチーフは非対称単位．
1面帯の模様を，モチーフの分布で表現している．

片面帯の対称操作には，周期$$a$$の他に，映進面$$\tilde{a}$$，鏡映$$m$$，2回軸$$2$$が可能です．
周期$$ a $$は除き，他は皆，位数２の対称操作です．このほかに対称心（反転）$$\bar{1}$$があるように思うかもしれませんが，反転操作は，裏表のある3次元以上の世界で可能な操作で，片面だけの2次元平面には存在しません．
これらの組み合わせで生成される群は，上記の7種類になることがわかるでしょう．
もし，位数２の対称操作以外（例えば，4回軸など）の対称操作が加わった集合を考えると，帯（1次元だけ周期がある）の世界では，群を生成できません．

■下図のイスラム模様は，
Ahmed Saad　Analysis of the arabian geometric patterns　より引用

Ahmed Saad作品より引用

このイスラームの模様の作品には，９本の片面帯からできています．

各帯には，局所的な，4回軸，6回軸，8回軸が見られます．しかしながら，このような位数が２より高い対称操作が，1次元周期の世界の全域に作用することはできないので，群の生成に寄与することはできません．結局，これらのイスラームの模様の空間群は，以下のようになります．

イスラームの模様の特徴は，局所的に，対称性の高いロゼットが嵌め込まれていることです．空間群で記述すると，これらの局所的な対称性は反映できないので残念ですが，これらの1面帯から受ける印象は，高次元の影を見るような不思議な魅力があります．

■演習
説教壇の階段手摺模様に見られる片面帯の空間群は，7種類のうちのどれでしょうか．

Analysis of the arabian geometric patterns 　より引用

■非座標式標記法（ロシア式）と座標式標記法（国際式）

結晶空間群$$\mit\Phi $$は，並進群$$T$$と結晶点群$$G$$（あるいは，並進群$$T$$を法として拡張された結晶点群$$G^{T}$$）の積で作られます．
結晶点群$$G$$を用いた場合に生じる空間群をシンモルフィック，拡張された結晶点群$$G^{T}$$を用いた場合に生じる空間群を非シンモルフィックといいます．
空間群の標記法は，基本的には，群の生成元を列挙することです．まず，格子のタイプを表す記号を冒頭に置き，続いて結晶点群の生成元を並べます．国際的な標記法では，点群の生成元を，座標系の$$x, y, z$$に対応する順番で配列しますので，これを座標式標記法と言います．ロシア式標記法では，前の対称要素の方位とそれに続く対称要素の方位の関係を標記します．直前の対称要素の方向に対して，続く対称要素の方向が，直角な場合は（$$:$$），平行あるいは同一面内にある場合は（$$･$$），直角以外の角度で斜交する場合は（$$/$$）を，間に置きます．国際記号はInternational Tableで用いられているもので，この標記法れが標準ですが，群の構造情報が詳細明瞭に表現できるロシア式は，空間群の理論を扱うのに欠くことはできません．
230種類ある結晶空間群を分類する7つの晶系の内から，Orthorhombic晶系（慣用的に”斜方晶系”と呼ばれる）をとり上げ，説明します．

■Orthorhombic晶系の部
単純格子のタイプは，互いに直角な$$a, b, c$$軸よりなる．単位胞の形は，直方体（レンガのような形）です．

結晶空間（＝3次元の離散体）のブラベー格子は，14種類ある．ブラベー格子とは，結晶の内部構造の並進性とその対称性により，結晶構造を分類する概念である．
結晶空間は，無限に広がる3次元周期をもつ離散体（デジタル化された空間）なので，
①並進性（並進群で記述）：並進で移動できる点（格子点）はすべて同価．
②格子点自体には，点群で記述される対称性がある．

結晶空間の全域に作用し，これを不変に保つ対称操作の集合が，その結晶空間の結晶空間群であり，結晶空間群の対称操作は，結晶点群と並進群の対称操作の組み合わせである．もちろん，並進群だけで結晶空間群の部分群を作る．結晶空間全域に作用し，結晶空間を不変に保つ結晶点群の対称操作は，当然，局所の格子点自体が従う対称操作でもある．

注）
並進群：3次元結晶空間には，互いに独立な基本並進ベクトル$$a, b, c$$があり，$$n,m,l$$を任意の整数として，1次結合$$n･a+m･b+l･c$$を格子点といい，すべての格子点の集合（無限集合）を格子という．格子は並進群の図的表現でもある．
結晶点群：結晶空間の対称操作（変換の前後で空間を不変に保つ操作）で，かつ，空間の1点を不動（特異点）にする対称操作の全体が作る群．

無限に広がる結晶空間で，並進で移動した位置はすべて同値（格子点はすべて同値）と考えると，無限個ある格子点を1点に還元でき，結晶空間群を結晶点群に還元することができる．

■石英，岩塩，ダイヤモンドの結晶構造の例．

石英
低温水晶α-quartzの構造を観察すると，図面に垂直な３回らせん軸（風車のような記号）が，正3角形の格子点に分布しているのがわかる．これらの3回らせん軸は，1つの空間群のなかでは，すべて右まわりか左まわりに統一されている：空間群の記号で$$P3_{1}21$$（右），$$P3_{2}21$$（左）．
石英の組成はSiO₂だが，この図に描かれているのはSiだけで，Si位置の紙面レベルからの高さを，黒丸，白丸，半黒丸で区別している．紙面に垂直方向の周期をc=1とすると，黒丸（+1/3レベル），白丸（-1/3レベル），半黒丸（0レベル）である．
紙面の矢印は，水平面内にある2回軸で，その高さレベルの数字が記されている．
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岩塩
上図はNaCl結晶の単位胞を示す．Naイオン（黒丸）とClイオン（白丸）が，立方体の辺に沿って，あるいは，面の対角線や体対角線に沿って，交互に並んでいる．黒丸と白丸は，イオンの種類が異なるので互いに同価点ではないが，両者のペアは同価点になれる．例えば，白丸だけをペアの代表（格子点）と考えると面心格子Fになっていることが理解できる．
NaCl結晶構造の対称性は，並進（格子）だけではない．黒丸，および，白丸位置の対称性（点群）は，ともに$$ m\bar{3}m $$（非座標記法では$$\tilde{6}/4$$）である．この点群のステレオ投影図を，格子点である白丸の位置に配置したものを上図に示した．NaCl結晶構造の空間群は$$Fm\bar{3}m$$である．
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ダイヤモンド
上図に示すのは，ダイヤモンドの結晶構造である．これは，2つの面心立方格子$$F$$を，立方体の体対角線の方向に1/4だけ相対的にずらし重ねたものを考え，両方の面心立方格子の格子点に炭素原子を置いたものである．両方の面心格子の格子点をペアで代表点とすると考えれば，ダイヤモンド構造の格子は，やはり，面心立方格子$$F$$であることがわかる．

2つの面心格子の複合
ダイヤモンド構造の場合，２つの面心格子の格子点には同価な原子があり，２つの面心格子（黒と赤）は，例えば，映進面dにより互いに変換し合う．黒の面心格子を，$$d$$で鏡映し，かつ，$$(1/4)a＋(1/4)c$$だけ平行移動すると，赤の面心格子に変換され，この逆も成立する．ここで現れた$$d$$をダイヤモンド映進面と呼ぶ．
面心格子の格子点の点群は$$\bar{4}3m=3/\tilde{4}$$で空間群は$$F\bar{4}3m$$であるが，ダイヤモンド構造では，2種類の炭素原子がこれらの２つの副格子の格子点を占めていて，ダイヤモンド構造の空間群は$$Fd\bar{3}m$$である．

空間群$$Fm\bar{3}m$$と$$Fd\bar{3}m$$には，共通な部分群$$F\bar{4}3m$$を含み，点群$$m\bar{3}m$$と$$d\bar{3}m$$（格子を法とする点群）は，互いに同型な点群である．結局，空間群$$Fd\bar{3}m$$は空間群$$Fm\bar{3}m$$から，鏡映面$$m$$を映進面$$d$$に置き換えて得られる．