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Семёном Гиндикинымへインタビュー

Интервью с Семёном Гиндикиным
«Троицкий вариант» №10(229), 23 мая 2017 года

撮影は，Natalia Demina

Natalia Demina が，Semyon G. Gindikin（ロシア系アメリカ人の数学者、教師、数学の普及者）に，モスクワ生涯数学教育センターで，インタビューをしました．
反ユダヤ運動が才能ある若者にどのように影響したか，I. M. ゲルファントのセミナーについて語る．

О том, как отразилась на талантливых ребятах антисемитская кампания, о семинаре И. М. Гельфанда Наталия Демина поговорила с Семёном Григорьевичем Гиндикиным, российско-американским математиком, педагогом, популяризатором математики. Беседа с этим веселым, остроумным человеком состоялась в Московском центре непрерывного математического образования.

--------- 以下用紙抜粋----------

◆ピーター・セルゲイビッチ・ノビコフは素晴らしい人でした。彼に会えてとても幸運でした。彼は数理論理を学び、素晴らしい数学者になりました。しかし、彼の才能の輝きは、記事でも講演でも十分に伝えられていません。多くの優れた数学者と共に、彼は特異点でした。あらゆる点で最も賢く、最も興味深い人物。彼のアパートの壁に「前代未聞」のアーティスト（フォーク、クリモフなど）の絵を見たのを覚えています。

彼は驚くほどオープンで、あらゆるトピックに関する会話を喜んでサポートしました。私は P.S. が行っていたこととはかけ離れた (そして彼にとってあまり興味深いことではありませんでした!) ことを選択しましたが、何年もの間彼に十分近いことをしようと試み、数年間彼と一般セミナーを行い、関連して出版しました。これらのいくつかの記事、さらに論理に関する本「Algebra of Logic in Problems」を書きました。

すぐに、イスラエル・モイセビッチ・ゲルファンドに会いました。そして、私の学生生活のほとんどは、私の 2 人の主要な数学教師の 1 人である Gelfand の周りで過ごしました。もう一人はイリヤ・イオシフォビッチ・ピャテツキー・シャピロでした。それもまた嬉しい出来事でした。

私は、人々がモスクワ州立大学の力学数学学部（мехмат）で反ユダヤ主義について話し始めるのが嫌いでした。数学者になり、「暗い20代」を強い人々が生き残ることができたという例です. それは本当ではない。これらの出来事によって人生が完全に台無しになった多くの人々を知っています。そして、入ることを許されなかった人々は、絶対に本物の数学者になることができたように私には思えます. 私は本当にラッキーでした。まず第一に、すぐに私の仲間と素晴らしい数学者の両方が私の近くにいることがわかったからです。

◆ イスラエル・モイセービッチ・ゲルファントについて一言いただけますか? 彼のセミナーに参加したことがありますか？

- もちろん。彼の90歳の誕生日に、これらのセミナーに関する記事を書きました。ゲルファントはこれについて議論するのをためらっていましたが、ランダウの物理学セミナーが彼のセミナーに強い影響を与えたように私には思えます。ある時点で、ゲルファントは物理学を学びたいと思っていたので、セミナーでは多くの物理学のプレゼンテーションがありました。レフ・ダビドビッチ・ランダウはイスラエル・モイセビッチ・ゲルファントをやや見下そうとしたと思います。

ランダウを初めて見たときのことを正確に知っています。これは1955年のことです。関数解析に関する会議があり、国内で最高の数学者がすべて集まりました - モスクワでの大きなイベントです。その時まで、実質的に会議はありませんでした。最初は戦前に行われました。モスクワ全体がこの会議の開会式に参加しました。そして、イスラエル・モイセエビッチはそこで君臨しましたが、彼のセミナーではいつもより少し控えめに振る舞いました。最初の報告は、ランダウによって行われました。そして、彼らはそれぞれのパートを完璧にリードした 2 人の偉大なアーティストであることがわかりました。その時までに、Israel Moiseevich は Bob Minlos と一緒に、経路積分と呼ばれるものを考え出していました (Bob は私の友人であり、素晴らしい人物であり、数学者でもあります)。

Landau の報告の後、Gelfand は、これらの積分はおそらく場の理論を作成する正しい方法であると彼に非常に穏やかに説明しようとしました。そしてランダウはこっそりと彼に答えました：「イズレール・モイセエビッチ、鶏は秋に数えます（捕らぬ狸の皮算よ）」。このフレーズは、ピョートル・セルゲイヴィッチ・ノヴィコフが好んで言ったことを覚えています。

ところで、私は、レニングラードで開催された数学会議 (1960 年頃) で、ゲルファントとランダウの間の別の会話を目撃しました。I. M. と一緒にネフスキーに沿って、Baltiyskaya Hotel の近くを歩き、Landau に会いました。真剣な現代数学を再び適用する可能性についての話題が会話の中で生じたことを覚えています。I. M. はいくつかの例 (ローレンツ群の表現だと思います) を引用しましたが、L. D. は断固として彼に同意しませんでした。彼は、何年にもわたって「数理物理学の方程式」に関するセクションがあったが、物理学への本格的な数学の重要な応用を知らないと述べた.

今日、現代の理論物理学でどのような精巧な数学が使用されているかを見ると、ゲルファントが正しかった可能性が高いように思えます。どうやら、ランダウは将来の物理学における数学の役割を過小評価していたようです (私の物理学者の友人から聞いたところによると、おそらく彼の学生の何人かはこれに多額のお金を払ったようです)。

ゲルファントのセミナーに戻ったら、私の見解を繰り返します。イスラエル・モイセービッチが民主主義を認めなかったことに多くの人が腹を立てた。彼にとってセミナーは、ある意味で彼の人生の本業でした。

第一印象は、セミナーのすべてが即興であるということでした。セミナーは大幅に遅れて始まりました。Gelfand 氏は、セミナーを待つことがコミュニケーションの最適な時間であると説明しました。これは、人々が（無意識のうちに！）互いに話し合う、科学的コミュニケーションにとって貴重な時間でした。

そのような完全に意識的な混乱は、彼の性格の特徴でした。彼はすべてを時間通りに行う必要があるとは考えていませんでした。彼は、自分にとって都合の良いことをする権利を獲得し、一般に受け入れられている規則を考慮しないと信じていました。少し大げさですが、あなたは素晴らしい人なので、導かれるように振る舞う必要があります。そして、これは最良の結果をもたらします。礼儀正しさは、イスラエル・モイセヴィッチの強みではありませんでした。しかしいつもではない。彼は誰とどのように話すかを知っていました。それでも、彼はスターリン時代を生き抜いた男でした。しかし、しばしばある時点で彼は崩壊し、すべての宝石外交は裏社会に陥りました.

セミナーに関しては、彼にとってそれは人生の主な仕事でした。それは彼自身が数学のほとんどを理解した場所であり、彼は他の人にこの数学を理解する機会を与えたと信じていました. そして、彼は完全にリラックスしていました。彼の態度は、すべての人に適しているとは限らなかったかもしれませんが、このセミナーから利益を得たいと思った場合、他の人が支払わなければならない種類の賛辞でした.

セミナーの数日前、彼はセミナーの内容について考え始めました。ゼミにいた有名な数学者で、普及にも携わったポール・ハルモス（ポール・リチャード・ハルモス）の思い出がある。セミナー、ゲルファントとの交流、彼がクレムリンをどのように案内したかについての章全体があります。そこでハルモスはセミナーに来て、綿密なレポートを作成しました。彼は偉大な達人であり、彼の本は高い教育レベルで書かれていました。そして、ここで外向きに-ある種の完全な障害：Gelfandは、スピーカーに発言権を与える代わりに、彼に質問をし、他の人と話します。

しかし、ゲルファントの世界モデルでは、そのような無秩序はありませんでした。最初のセミナーは彼にとってトランスのようなものでした。彼は数学を際限なく聞く準備ができていました。このため、彼は交霊会のように、導かれたように振る舞いました。そして、誰もがそれを気に入ったわけではありません。さらに、数学者は他の人のためにゲルファントに腹を立てることがありました。

しかし、イスラエル・モイセビッチは、名誉ある教授に「あなたは何も理解していない！」と言うことができれば、常に信じていました。-これは、彼が彼を平等に扱っていることを意味します。そして、彼が丁寧に彼に話しかけると、彼は彼を人として、そして確かに数学者として保持していないことがわかります。それがスタイルでした。

Gelfandは、人々が自分のキッチンに入るのを許可した場合、数学をどのように聞いたか、それについてどう考えたかを隠さなかった場合、そのように振る舞う権利があると信じていました。これは、このセミナーの心理学を再構成したものです。すでに説明しました。外国の数学者にとって、ゲルファントのセミナーに出席することは、ボリショイ劇場に出席することと同じくらい義務的でした。それはその娯楽の一部でした。

私が西側でアーノルドとマスロフと一緒に行った最初のことの 1 つは、モスクワとレニングラードでの一連のセミナーの開会式でした。彼女のアイデアは、モスクワのセミナーのスタイルを伝えようとする試みでした。西洋では、セミナーは短い純粋にビジネス的なものです。若い科学者たちは大学院での研究を完了し、博士号を擁護し、独自の軌跡に沿って世界のさまざまな場所に行きました。そしてモスクワでは、彼らは永遠に残りました。彼らはどこにも連れて行かれず、実際、彼らの専門分野で働くことができず、「箱」に座って、夕方にはアーノルドまたはゲルファンドのセミナーに来て、彼らの職業生活の最良の部分が始まりました。

そして、その学校は永遠のように見えました-それは決して終わらない学校でした. しかし、それは皆の個人的な選択であり、彼らは予期せずそこで厄介になる可能性がありました... I.M.にとってセミナーは本当に彼の人生でした. 私が見つけられなかった困難な時期がありました。しかし、大学とステクロフカを追放されたとき、彼が戦った唯一のことは、セミナーを開いたままにすることでした。

彼はセミナーで見知らぬ人が現れて最前列に座る様子を語った. 彼らはショルダーストラップを着用していませんでしたが、すべてが見えました。クルチャトフ研究所で働いていたミハイル・アレクサンドロヴィッチ・レオントヴィッチから、「私服を着た男が歩いていて、肩に何か青いものを持っている」という非常に適切なフレーズを聞いた。

生物セミナーもありました。これも面白かったです。私たちが若い頃、私たちはすべてを理解していると思っていました-どうすればそれを少し改善できるか、そして人々がそれほど引っ張られないようにすることができます.

Izrail Moiseevich はこれらのセミナーをほとんど欠席しませんでした。非常に気分が悪いとき、彼はしばしば彼らを導きました。かつて、実験として、彼が私と A. A. キリロフにこのセミナーを行うように指示したことを覚えています。セミナーは短く、素晴らしく、すぐに終了し、すべてのレポートはスムーズに進み、誰にも邪魔されませんでした。しかし、それはゲルファントのセミナーではありませんでした!

すでにアメリカにいますか？

— いいえ、モスクワです。アメリカでのセミナーについても、ご希望があればお伝えできます。私はラトガース大学でイスラエル・モイセービッチと一緒に仕事をしました。そして、このセミナーは行きませんでした...

――社会に民主主義がなければ、科学は正常に発展しないという命題があります。一方、スターリン主義ロシアにおける数学の隆盛は、このテーゼと矛盾するように思われる現象です。これらの「メールボックス」、「鉄のカーテン」がなければ、ゲルファントのセミナーはそれほど成功しなかったでしょうか?

- いいえ。Gelfand のセミナーの成功は、主に彼の人柄によるものだと思います。彼はこの数学的生活様式を発明しました。私は、モスクワの数学が独特で、他に類を見ない現象であったことを強調します。私たちの会話の時までに、私が行ったことのない場所と私が見たことのないもの。しかし、私はこれを他の場所で見たことがありません。この現象の起源と性質は、別の議論のトピックです。

数学は単なる科学ではありません。私にとっては、最高の状態で、ハイアート、音楽、詩に近いです。アルキメデスの時代から適用された側面は、しばしば重要で注目に値するものでした。権力者との関係は異なり、長い歴史があります。数学がアテネで栄えたのにスパルタでは栄えなかった理由、プラトンが未来の王たちのアカデミーで数学を教えた理由、ギリシャの衰退とともに幾何学が消えた理由、ギリシャから多くを奪ったローマは数学なしでした...

ソビエト連邦では、数学は生物学や言語学と同じようには破壊されませんでした。一番上には、政府の問題、主に軍事的な問題を解決するために、少なくともしばらくの間、数学が必要であるという幻想があったからです。多くの人にとって、当時の数学はそのようなはけ口でした。まず、この世界ではなく、「眼鏡をかけた」若者が常にそこに引っ張られていました。一方で、マルクス・レーニン主義に言及せずに記事を書くことができる、比較的非政治的な場所はほとんどここだけでした。他のどの科学でこれを行うことができますか?

そして、一般的に民主主義は複雑なものです。彼女の原始的な理解は、彼女の不在よりもはるかに優れているわけではありません. 彼らが理解しているように、彼らの権利のために戦う暴徒。民主主義の大部分を大金で買う能力...

- 民主主義に関するテーゼの確認は、科学の分野で最も先進的な国が民主主義の例と見なされている国であるという事実である可能性があります: 米国、英国、フランス、ドイツ。

-主なことは、これらの国の若者は数学があまり得意ではないということです. それが問題です！私が推測するように、あなたはさまざまな数学者に会いました。そして、ユーリー・イワノビッチ・マニンのように、人道的に才能のある人々を何人見ましたか? 非常に人道的に才能のある人々は、しばしば数学に進みました。他の地域に行くのはほとんど自殺行為でした。

ソ連で何が起こったのですか？数学は、通常の状況下では、通常の社会では絶対に数学に入ることはなかったであろう一定数の人々を食い物にしてしまった。この国に数学に専念する準備ができている若者がどれだけいるのか、私は今でも驚いています. 米国では同様のことは何も起きていません。民主主義があるように見えますが。

- アメリカでは、数学サークルが盛んに行われていないのですか? 最近、アメリカでは子供向けの数学的教育が発展しているという記事がありました。アメリカ全土で非常に多くのサークルが作成されており、子供たちが数学に興味を持っているということです...

「見えない。誰が言っているのかわからない。

――丸ごと記事でした。もしよろしければリンクを送ります... [2]

- しましょう。あなたが知っている、彼らはしません。しかし、去った人々のほとんどは、私たちがソ連で行ったことを開始する必要があると考えていました。サークル、数学の学校...アメリカでは、これらすべてが利用可能ですが、これは比較的小さいです。ソ連では、まだ行くことができる「誘惑」はありませんでした。素晴らしい音楽があり、素晴らしいアーティストが登場しました。選択肢はあまりありませんでした。

アメリカでは、数学を勉強した人は銀行やビジネスに行きます。そして、私は悲しみでそれをする人を知っています. しかし、社会におけるそのような価値観。彼らは家族や将来を犠牲にしたくないので、そのような選択をしなければなりません。私の見解では、数学をするのにより助長している国があります。いいえ、この社会の好みの尺度では、純粋な科学はかなり低い位置にあります.

— 科学や数学の大衆化に関わった経緯を教えてください。Kvant にすばらしい記事があります [1] . このコラボレーションはどのように始まったのですか？

- 私はオリンピック関係者です。さまざまな種類のオリンピックに常に参加してきました。これには常に関心がありました。数学の普及は、さまざまな数学サークルへの参加を通じて自然に生じました。

科学の大衆化の中で、私は自分自身のために別のニッチを思いついた. 「物理学者と数学者の話」という本が生まれた最初の記事は、数学の歴史に関する記事でした。当時、数学の歴史は公式イデオロギーが数学に圧力をかけようとするトロイの木馬でした。

そして、私はこのトリックを思いつきました。私は、数学についてのように、数学の歴史について書こうと決心しました。みんながガウスの最初の2つの発見について理解できるように、正直に書くことにしました。ガウスは、彼が数学者になることをまだ決めていなかった時代に、ほぼ男の子として、通常の 17 角形の構築に関する作業を行いました。数学。

そして、私はそれを正直に受け止めて、この証明をどこからでもどこへでも書いてみようと思いました。それがクヴァントでの私の最初の出版物でした。そして、それは良い考えだったと思います。それから私は互恵の法則について書きました。

数学者は最も興味深い思想家ではありませんでした。難しい問題やパズルを解けるメガネ男子がいたからです。でもすごい人もいました。そして、私が最初に書いた人物はブレイズ・パスカルでした。

そして始まりました。私は普及者の役割を選びました。私は数学史家ではなく、数学史を語る数学者です。

セミョン・ギンディキン (1984) (「TrV」No. 10 (229), 05/23/2017)
セミョン・ギンディキン (1984)
- 現在、そのようなアクセスしやすいスタイルで、科学に関する本物の科学者の話が不足しています。

- アクセスしやすいだけではありません。つまり、科学の人間的側面です。私たちはすでにこの方向に進んでいたので、ある少年またはその両親が私に何か言ってくれたことを思い出しました。私の記事について、「彼は偉大な科学者を人として語る」と言われました。そして、それはまさに私の自己注文であり、私が望んでいたものでした. 数学の普及の分野での私の仕事はしばらく続きましたが、その後終了しました。

- なぜ？最後の記事は、1985 年から 1986 年に Kvant で公開されましたか?

「それから私は別のことを書きました。私はロシアを離れました。他の言語で書きたくないことに気づきました。数学について英語で書くことはできますが、ノンフィクションの物語や本はできません。たまに講義で話します。私はまだこれらすべてに興味があります。

- 雑誌はたくさんありますが、ロシアには同じKvantが存在します。仕事を続けたいですか？

— 今日の Kvant が何であるかはわかりませんが、当時は単なる人気のある科学雑誌ではありませんでした...

- 過ぎ去った時代...

— アメリカで開催された Gelfand のセミナーについては十分に話しませんでした。アメリカでのセミナーは失敗しました。イスラエル・モイセビッチは楽観主義者でしたが、うまくいかないと確信していました。私はこの失敗にとても腹を立てていたので、行くことさえしませんでした。第一に、モスクワでのゲルファンドのセミナーは無期限に続く可能性があり、その後、夜にモスクワを散歩しました。先日、レニンスキー大通りを車で走っていたとき、昔の考えがよみがえってきました。毎週月曜日は苦痛でした。

そしてアメリカでは反射神経があります。カップルが終わったら、全員が立ち上がって去りました。廊下で出会った方法を覚えています。まったく理解できなかったゲルファンドを完全に失いました。

アメリカの同僚に最初に言ったのは、私は I. M. Gelfand の教師ではなく、彼についての苦情は受け付けないということでした。しかし、イスラエル・モイセビッチはあらゆる種類のトリックを投げ出しました。そこでの生活のすべての民主的な性質のために、セミナーで話す人に「何も理解していない」と言うのは習慣的ではありません。そしてゲルファントは、「はい、彼は素晴らしい人物であり数学者です。私は数学者として彼にこれを話しました。」

非線形方程式を扱った有名で非常に優秀な数学者、Martin David Kruskal がいました。これは、I. M. と同じ強さと気質の男です。 Gelfand が Kruskal の宿題を出したことがあります。彼はレポートを作成し、優秀な学生のように最初の机に座って、マスターの先生が彼に電話するのを待ちます。そして彼は別のことを話します... クラスカルはゲルファントに思い出させます：「イスラエル、あなたが私に仕事を与えたことを覚えていますか？」I.M. は彼にすべてを覚えていると厳しく言います。そして時間が経ちます。ペアがなくなると、全員が去ります。マーティンは再び彼に思い出させます。I. M. は、彼がこれに興味を失ったと彼に話します。しかし、クルスカルのような男でさえ、そのような態度を理解するユーモアのセンスに欠けていました...

それにもかかわらず、セミナーは引き続き運営されており、さまざまな人がそこに来ました。そして、私ははっきりと理解していました。別の言語でいくつかのことを行うのは非常に難しいということです。一番下の息子が結婚したとき、突然、息子の結婚式で外国語を話すのはただの悲劇だと痛感しました。「シンメトリー」という本（この本は非常に数学的な本です）の冒頭で、ヘルマン・ヴェイユは私に非常に近い言葉を言いました。

- ロシアでの科学の普及は盛んです。人気のある科学の講義や科学の祭典に参加する人がますます増えています。同時に、優れた科学はもはや成り立たなくなり、科学に対する一般の関心が高まっているようです。もしかしたら、科学は人々にとってある種のはけ口になるのでしょうか？

- プロレベルではなく、アマチュアレベルで普及が行われています...

「科学者もこれをやっています。たとえば、ゲルファントの孫は講義をよく読んでいます。

- 私は彼の博士論文の監督者でしたが、彼の論文が何について書かれているかはよく知りませんでした. ミーシャはおしゃべりがうまい。教育的能力は彼の祖父から彼に受け継がれました、それは素晴らしいです!

ロシア社会はますます西洋社会に似てきており、同じ価値観を持っていますが、これは非常に危険なことです。科学者が後援を必要とするとき、それは非常に危険です。応用もいいのですが、文化にとって基礎科学はとても重要だと思います。絵画は常に抽象的だったわけではなく、音楽は必ずしもメロディーなしではありませんでした。

数学も比較的遅く抽象化されました。80歳までに、数学のような私たちの生活の驚くべき現象の何かを理解したいと思っています. 今日、このすべてについて書くとしたら、社会の生活についてすべてを説明する強力な教えがあったソビエト時代の生活がどれほど良かったかについて話すでしょう。

また、ある時点ですべての数学者が、あることを研究し始め、別のことを研究しなくなる理由についても考えます。たとえば、17 世紀になると、誰もが突如として微分積分や積分計算、つまり解析幾何学を取り上げるようになったのです。そして、これらの分野で働いている膨大な数の数学者がいました。世紀ごとの分布さえありました-各世紀に何人の偉大な数学者がいました. 18世紀にはほとんどいませんでしたが、6人の名前を付けることができます.

なぜピエール・ド・フェルマーだけが数論に従事し、次の世紀になって初めてこれに関心が現れたのですか? 不明。物理学者はこれを理解しています。彼らは、素粒子の理論や場の理論を、それが可能だと思われる瞬間に構築したいと考えています。あるいは、日本人が首都を放棄して新しい首都を建設したように、なぜ数学者は特定の分野の知識を放棄するのでしょうか?

— 数学的オブジェクトは、ある種の理想的な世界に存在すると思いますか?

「存在は危険で曖昧な言葉です。しかし、少なくともある時点で、何かがあなたの選択を後押しし、目的が達成され、定理が証明されると信じ込ませるような感覚を避けることはできません。数学は、最低限、論理的な結論を伴う形式的な真珠のゲームです。上のどこかからたくさん来ているような気がします。偉大な人でさえありませんが、平均的な数学者です。

詩人たちは、詩がどこから来ているのかを理解しようとし続けました...なぜ、特定のアイデアが数学者の生涯を悩ませているのでしょうか? I. M. Gelfand がこのことについて教えてくれました。もちろん、彼に会うことは私の人生の主な成功です。偉大な人がとても近くにいると、彼はあなたを悩ませ、時には些細なことをあなたに話しますが、一時的なものはすべて排除されます. そして、この人が別の世界と直接通信したことがわかります。これについては他に説明がない場合があるためです。彼はどのようにしてこれまたはあれを知ったのですか？

あなたは彼と一緒に本を書きました。彼は扱いが難しいと聞きました。

「彼と一緒に仕事をするのは難しくありませんでした。でもまた… 50年前に聞いていたら、彼と一緒に仕事をするのは無理だと言っていたでしょう！あなたが彼の家に来ると、彼は電話で誰かと話し、それから別のことをします。私はあなたに、彼は仕事を組織するという点であまり自分自身をコントロールしていなかったと言いました. それはあなたが望む誰のためでもあります。彼は、おそらく、私に向かって叫んだことはなく、誓うこともありませんでした。私自身、性格が悪いのでしょう。

最近、モスクワの数学者の 1 人が、I. M. Gelfand がかつて彼に (彼を仕事に呼んだとき)、Semyon Gindikin と一緒に仕事をすることの否定的な側面について話すことができると言ったことを思い出しました。でも今日、あなたがそのことを私に話してくれたとき、私は少し驚きました。その瞬間、この殻がすべてなくなったとき、彼は数学について話し始めました...そしてそれは奇跡でした! 特にしばらくすると、これの価値が理解できます。

今、私は以前に彼にしようとしたことを何とかすることができました. この本以外にも、かなりの数の作品を書いています。その時、いくつかのことがうまくいかなかった理由がわかりました。

あなたは現在教えていますか、それとも引退しましたか？

-正式にはまだ引退していません。しかし、私は健康上の問題を抱え始めました。両手がうまく動かない。新しい技術がたくさんあるので、ボードに書くのをやめる時が来たと思います。どうやら、もうすぐ教え終わるらしい。

- 何を教えていますか？

- 私の教育活動は狭い枠組みの中で行われています。これはモスクワ大学でも、プリンストン大学でもハーバード大学でもありません。それでも、ここの学生の入学はあまり良くありません。しかし、私は最善を尽くそうとしています。私はよく旅行をし、さまざまなイベントで数学について話すのが好きです。日本やオーストラリアに共著者がいると、全く違う人生が開けます。

- あなたが持っている？

- もちろん。そういう意味で、私は世界の一部になりました...

— ロシアの数学は、この解散によって何かを失ったり、得たりしたと思いますか?

— 他のどの国でも、モスクワにあったような数学的生活の集中はないと思います。しかし、常識の観点からは、すべての数学が巨大な国の 1 つの中心に集中することは悪夢のように見えます。そして、モスクワに原爆を投下してすべての科学を失う可能性があるという理由だけでなく、一般的に。しかし、結果は素晴らしかったです。

今日でも、モスクワ生涯数学教育センターの建物の周りを歩いていると、よく知っている数学者や数学学校や数学大学の卒業生にいつも会います。昨日、ここで働いている女性が私に近づき、50 年前に私が第二高校で彼女を教えていたことを思い出させてくれました。モスクワのような数学者の集中は、どこにも見当たりません。パリでは夏に集まることもあります。しかし、1990 年代初頭以前にモスクワにあったようなものは、どこにもありませんでした。しかし、それは消えました。

はい、ロシアの数学は存在し続けています。数学を教え、学び続けている人がいるからです。私たちが会話をしているMTsNMO、ドゥブナのサマースクールがあります - これらすべてが存在します。そして、世界にはそのようなプロジェクトはあまりありません。数学の教え方を知っている数学者がここに残っていますが (私の仲間はほとんどいなくなりました)、これを行うのは非常に困難です。

ニュージーランドやオーストラリアにも行ったことがありますが、シベリアやコラ半島の景色も悪くなく、若い頃に欠けていたという感覚はありません。はい、私は多くの外国の数学者を見たことがありませんでしたが、ここにいた人たちは本当に楽しかったです。私はこの偉大な時代の同時代人であったことを嬉しく思います.

ピーター・セルゲイビッチは素晴らしい人でした。彼に会えてとても幸運でした。彼は数理論理を学び、素晴らしい数学者になりました。しかし、彼の才能の輝きは、記事でも講演でも十分に伝えられていません。多くの優れた数学者と共に、彼は特異点でした。あらゆる点で最も賢く、最も興味深い人物。彼のアパートの壁に「前代未聞」のアーティスト（フォーク、クリモフなど）の絵を見たのを覚えています。

私は、人々がモスクワ州立大学のメフマートで反ユダヤ主義について話し始めるのが本当に好きではありません。私が例として挙げられているのは、彼が数学者になり、強い人々が「黒い20代」で生き残ることができたということです.それは本当ではない。私は、これらの出来事によって人生が完全に台無しになった多くの人々を知っています。そして、入ることを許されなかった人々は、絶対に真面目な数学者になることができたように私には思えます.本当にラッキーでした。まず第一に、すぐに私の同僚や素晴らしい数学者が私の近くにいることがわかったからです。

— Я увидела в «Википедии», что Вы не поступили в МГУ. Вы стали жертвой антисемитской кампании?

— Так я подозреваю. Я никогда не пытался собрать точные доказательства, но...

— Золотая медаль — и не быть принятым на мехмат?!

— Золотая медаль, а еще вторая премия на Московской математической олимпиаде, и не приняли.

— Вас на экзамене заваливали?

— Да, конечно, заваливали!

— Давали сложные задачи?

— Просто нерешаемые. Либо ты знал решение задачи, либо решить ее не мог. Это был не экзамен, это было собеседование. Но мой год был уже сравнительно вегетарианский. Если за пару лет до меня при таких начальных параметрах на мехмат не поступал никто, то в тот год поступили уже несколько человек. А у меня была золотая медаль — и разочарование. Я немало слышал об антисемитизме при приеме, о том, что происходит, но думал, что у меня есть запас прочности и меня это не коснется.

— А как Вы решили, куда поступать, если не в МГУ?

— У меня не было особых советчиков, у меня была довольно простая семья. Я настолько был настроен на мехмат и уверен в положительном исходе... В итоге я поступил в Ленинский пединститут. И более того, для медалиста было уже поздно поступать на физико-математический факультет. Это был случайный выбор от полной безысходности (в 16 лет!).

Я начал учиться на дефектологическом факультете, там было что-то связанное с математикой. Семестр я там проучился. Потом с большим трудом меня перевели на физмат. К тому времени к моей судьбе уже подключились несколько математиков. В учебе в педагогическом институте было много положительных сторон. Во-первых, там работали несколько очень хороших математиков. Из них наиболее ярким был Пётр Сергеевич Новиков. Знаете ли Вы его сына Сергея Петровича?

— Конечно!

— Пётр Сергеевич был удивительным человеком. Мне так повезло с ним встретиться. Он занимался математической логикой и был совершенно фантастическим математиком. Но яркость его таланта не передается полностью ни через статьи, ни через лекции. При множестве хороших математиков он был сингулярной точкой. Умнейший, интереснейший человек во всех отношениях. Помню, на стенах его квартиры я увидел картины «неслыханных» художников (Фальк, Крымов...).

Он был удивительно открыт, охотно поддерживал разговоры на любые темы. Хотя я выбрал заниматься вещами далекими от того, чем занимался П. С. (да и не очень интересными ему!), я много лет пытался сделать что-нибудь достаточно ему близкое, несколько лет вел с ним общий семинар, и опубликовал в связи с этим несколько статей, и даже написал книгу по логике «Алгебра логики в задачах».

Довольно скоро я познакомился с Израилем Моисеевичем Гельфандом. И больше всего моя студенческая жизнь проходила около Гельфанда, которого я считаю одним из двух главных своих математических учителей. Другим был Илья Иосифович Пятецкий-Шапиро. Это был тоже счастливый случай.

Я очень не люблю, когда начинаются разговоры про антисемитизм на мехмате МГУ; меня приводят в пример, мол, он-то стал математиком и сильные люди могли выжить в «черное двадцатилетие». Это неправда. Я знаю многих людей, которым эти события полностью сломали жизнь. И мне кажется, что те, кому не дали поступить, могли стать абсолютно серьезными математиками. Мне действительно повезло. В первую очередь потому, что довольно быстро около меня оказались и мои сверстники, и замечательные математики.

— Вы учились в Педагогическом институте им. Ленина. Вы встречали там Юрия Визбора, Юлия Кима и других?

— Конечно, я многих из них знал, хотя и не очень близко. Многие мои однокурсники стали поэтами, замечательными артистами. Это был один из бонусов той жизни. Культурная жизнь бурлила и интересовала меня, но я участвовал в ней ограниченно, тратя основное время на математику. Рядом был туризм, который увлек меня на всю жизнь.

Там были хорошие очень математики, и там были замечательные ребята, которые поступили туда по разным причинам. Там учился, например, Петя Фоменко, известный режиссер... Вдруг вспомнил, как оказался в конце 1960-х в Алибеке на горных лыжах с Петей Фоменко. Он только что ушел с Таганки. Вижу его на втором этаже двуспальных нар, читающего «Бесов» и уверявшего меня (пессимиста), что он поставит это! А еще его фантастические экспромты... Кстати, и Визбора я встретил — на лыжах, на Кольском полуострове. Он был уже звездой! Мы успели поговорить один вечер, а на следующее утро он страшно сломался, пытаясь съехать с крутого ледяного склона.

— Можете несколько слов сказать об Израиле Моисеевиче Гельфанде? Посещали ли Вы его семинары?

— Конечно. Я написал статью про эти семинары к его 90-летию. Израиль Моисеевич неохотно это обсуждал, но мне кажется, что на его семинары оказал сильное влияние физический семинар Ландау. Гельфанд в какой-то момент хотел заниматься физикой, и поэтому на семинаре было много физических докладов. Я думаю, что Лев Давидович пытался несколько свысока смотреть на Израиля Моисеевича.

Я точно знаю, когда увидел Ландау в первый раз. Это было в 1955 году. Была конференция по функциональному анализу, на которую съехались все лучшие математики страны, — большое событие в Москве. До того времени практически не было конференций. Первая проходила еще до войны. Вся Москва пришла на открытие этой конференции. И Израиль Моисеевич там царствовал, но вел себя чуть сдержаннее, чем обычно на своем семинаре. Первый доклад делал Ландау. И это надо было видеть, это были два великих артиста, которые прекрасно вели свои партии. К тому моменту Израиль Моисеевич придумал вместе с Бобом Минлосом то, что они назвали континуальными интегралами (Боб — мой друг, замечательный человек и математик).

После доклада Ландау Гельфанд пытался ему очень мягко объяснять, что, наверное, эти интегралы — правильный путь для создания теории поля. А Ландау хитро ему отвечал: «Израиль Моисеевич, цыплят по осени считают». Помню, что эта фраза понравилась Петру Сергеевичу Новикову, который сказал: «Да И. М. любит считать цыплят весной!»

Кстати, я был свидетелем еще одного диалога Гельфанда и Ландау во время математического съезда в Ленинграде (около 1960 года). Мы гуляли с И. М. по Невскому, около гостиницы «Балтийская», и встретили Ландау. Помню, что в разговоре опять возникла тема возможности применения серьезной современной математики. И. М. приводил какие-то примеры (кажется, представления группы Лоренца), а Л. Д. был категорически с ним не согласен. Он говорил, что много лет существует раздел «Уравнения математической физики», но он не знает ни об одном существенном применении серьезной математики к физике.

Сегодня мне кажется, что Гельфанд скорее был прав, если посмотреть, какая изысканная математика применяется в современной теоретической физике. По-видимому, Ландау недооценил роль математики в будущей физике (я слышал от моих друзей-физиков, что, возможно, некоторые его ученики дорого заплатили за это).

Если вернуться к семинару Гельфанда, то повторю свою точку зрения. Многих раздражало, что Израиль Моисеевич не допускал никакой демократии. Для него семинар был в некотором смысле главным делом жизни.

Первым впечатлением было, что всё на семинаре происходило экспромтом. Семинар начинался с огромным опозданием. Это Гельфанд объяснял тем, что ожидание семинара было лучшим временем для общения. Этот был ценный для научной коммуникации час, когда люди (поневоле!) разговаривали друг с другом.

Такая абсолютно осознанная неорганизованность была чертой его характера. Он не считал нужным делать всё вовремя. Он полагал, что заслужил право делать то, что ему удобно, и не считаться с общепринятыми правилами. Несколько утрируя: раз ты великий человек, то нужно вести себя так, как тебе ведется. И это даст лучшие результаты. Вежливость не была сильной стороной Израиля Моисеевича. Но не всегда. Он понимал, как и с кем говорить. Все-таки это был человек, который пережил сталинские годы. Впрочем, часто в какой-то момент он срывался и вся ювелирная дипломатия проваливалась в преисподнюю.

Что касается семинаров, для него это было главным делом жизни. Это было место, где он сам понимал большую часть математики, и он считал, что дает другим возможность разобраться в этой математике. И там он был абсолютно раскован. Его манеры, которые, может быть, не всех устраивали, были такой данью, которую должны были заплатить остальные, если хотели получить бенефиты от этого семинара.

За несколько дней до семинара он начинал обдумывать, что на нем будет. Есть воспоминания Пола Халмоша (Paul Richard Halmos), известного математика, занимавшегося также популяризацией, который бывал на семинаре. Там есть целая глава о семинаре, о взаимодействии с Гельфандом, как он его по Кремлю водил. И вот Халмош пришел на семинар, подготовил тщательно доклад; он был большим мастером, его книги были написаны на высоком педагогическом уровне. А тут внешне — какой-то полный беспорядок: Гельфанд задает ему вопросы, разговаривает с другими, вместо того чтобы дать слово докладчику.

Но в модели мира Гельфанда этого беспорядка не было. Сначала семинар был для него как транс, он был готов слушать математику бесконечно; для этого он, как на спиритическом сеансе, вел себя так, как ему велось. И совершенно не всем это нравилось. Причем иногда математики обижались на Гельфанда за других людей.

Но Израиль Моисеевич всегда считал, что, если он позволяет себе сказать какому-то заслуженному профессору: «Ты же ничего не понимаешь!» — то это означает, что к нему он относится хорошо, как к равному. А если он с ним вежливо будет разговаривать, то получается, что он его за человека не держит, и уж точно не за математика. Таким был этот стиль.

Гельфанд считал, что если он допускает людей в свою кухню — не скрывает, как он слушает математику, что он о ней думает, — то имеет право вести себя так. Это моя реконструкция психологии этого семинара, я ее уже описывал. Для любого зарубежного математика посещение семинара Гельфанда было не менее обязательным делом, чем посещение Большого театра. Это было частью такого entertainment’а.

Одной из первых вещей, которую я сделал на Западе вместе с Арнольдом и Масловым, было открытие серии трудов семинаров в Москве и Ленинграде. Ее идеей была попытка передать стиль московских семинаров. На Западе семинары — это короткая чисто деловая вещь. Молодые ученые закончили аспирантуру, защитили PhD и отправились в разные места мира по своим траекториям. А в Москве они оставались навечно. Их не брали никуда, фактически они не могли работать по специальности, они сидели в «ящике», а вечерами приходили на семинар Арнольда или Гельфанда, и начиналась лучшая часть их профессиональной жизни.

И та школа казалась вечной — это была школа, которая никогда не кончалась. Но это был личный выбор каждого, там могли неожиданно нахамить... Для И. М. семинар был действительно его жизнью. Были трудные времена, которых я не застал. Но единственное, за что он боролся, когда его выгнали из университета и из Стекловки, — это сохранить возможность работы семинара.

Он рассказывал, как на семинаре появлялись и садились в первом ряду незнакомые люди. Они погон не носили, но по ним всё было видно. Я слышал от Михаила Александровича Леонтовича, который работал в Курчатовском институте, очень меткую фразу: «Идет человек в штатском, а у него что-то синее на плечах».

Еще был биологический семинар. Это тоже было интересно. Мы по молодости думали, что всё понимаем — как можно было бы это чуть-чуть улучшить и чтобы людей так не дергало.

Израиль Моисеевич эти семинары почти не пропускал; часто он их вел, когда очень плохо себя чувствовал. Помню, один раз в качестве эксперимента он нам с А. А. Кирилловым поручил провести этот семинар. Семинар прошел коротко, с блеском, быстро закончился, все доклады шли гладко, никто никого не прерывал. Но это не был семинар Гельфанда!

— Уже в США?

— Нет, в Москве. Про семинары в США, если Вы хотите, я тоже могу рассказать. Я же с Израилем Моисеевичем работал в Ратгерском университете (Rutgers University). И там этот семинар не пошел...

— Есть такой тезис, что наука не может нормально развиваться без демократии в обществе. Между тем расцвет математики в сталинской России — феномен, который, казалось бы, противоречит этому тезису. Если бы не было этих «почтовых ящиков», «железного занавеса», то семинар Гельфанда не был бы таким успешным?

— Нет. Думаю, что успех семинара Гельфанда был прежде всего обусловлен его личностью. Он придумал такой способ математической жизни. Подчеркну, что московская математика была уникальным, неповторимым феноменом. К моменту нашего разговора где я только не был и чего только не видел. А вот этого я нигде больше не встречал. В чем истоки и природа этого феномена — тема для отдельного разговора.

Математика — это не только наука; для меня она в своих лучших проявлениях ближе к высокому искусству, музыке, поэзии. Ее прикладные аспекты со времен Архимеда часто бывали существенны и замечательны. Взаимоотношения с власть имущими бывали разными и имеют давнюю историю. Почему математика цвела в Афинах, но не в Спарте, почему Платон учил математике в Академии будущих королей, почему геометрия исчезла с закатом Греции, а Рим, взяв многое из Греции, без математики обошелся...

В Советском Союзе математика не была разгромлена так, как биология или лингвистика. Потому что наверху была такая иллюзия (может, и не совсем иллюзия!), что математика хоть на какое-то время нужна для решения государственных задач, в первую очередь военных. Для многих математика в те времена была такой отдушиной. Во-первых, туда всегда тянулись молодые люди «в очках», не от мира сего. А с другой стороны, э

数学は眼鏡だ-世界が明確に見える

«Кот Шрёдингера» №1–2(39–40), 2018，Математика как очки より
数学者Igor KricheverにGrigory Tarasevichがインタビュー

Igor Krichever:
宇宙の法則は内部のどこかで保護されているように思えてならない．

■証拠に基づく世界
数学者は日常生活の中でどのように決定を下すのですか？誰と結婚するか，休暇にどこに行くか，夕食に何を買うか，ジャーナリストとの会合に同意するかなど．このような問題の解決には，スーパーコンピューターが1日動作しても足りない複雑な多基準モデルの構築が必要です．そのような場合，数学者はどのように行動するのでしょうか？

皆さんと同じです．私は，人生においては数学者も普通の人でなければならないと信じています．そして数学はこれを妨げるべきではありません．

知り合いの数学者の多くは，どんな決定も痛々しいほど受け入れます．そして，それを痛々しいほど後悔します．私にとってすべて簡単なことです．子供の頃，両親が読んでくれたマルシャークの詩（*注）を覚えています．猟師の網に引っかかった鳥についての物語です．鳥は猟師に言います：私は小さく，一口で食べてしまう肉しかありません．放してください．私はあなたに貴重な３つのアドバイスができます．持っていないものを後悔する必要はありません．

私はこのルールに従い，何が欠けているのかではなく，何が先にあるのかを考えようとしています．しかし，これは私が数学者であるということと関係はありません．

（*訳者注）サムイル・マルシャークは，「森は生きている（12か月）」で，私たち日本の子供にも知られている児童文学者，詩人です．ここに引用されている鳥と猟師の会話は，詩「愚かさの物語」の一節にあることを探し当てました．たいへん哲学的な詩なので，私の語学力では十分に理解ができないのですが，概略は以下のようです：３つのアドバイスがあるというので，猟師は鳥を自由にしてあげます．３つのアドバイスとは：
持っていないものを後悔する必要はありません．
過去を取り戻すために無駄なことをして血を流さないよう．
ナンセンスを信じるな世界に奇跡はありません．
ということでした．鳥は猟師をだましたようです．

Самуил Маршак　サムイル・マルシャーク
Сказка о глупости　「愚かさの物語」

http://www.world-art.ru/lyric/lyric.php?id=4351

確かに，引用されている一節があります．
Я ростом с ноготок, Всего комочек пуха Да мяса на глоток.
Пусти меня на волю, Доволен будешь сам.
Хороших три урока Тебе за это дам.

Запомни мой совет;
Жалеть о том не надо,
Чего уж больше нет.

この詩全体は，上記ウエブサイトをご覧くださいーーーーーーーーーーー

■数学は、考え方を変えますか？

「数学はあなたに考えることを教えます．どんなステートメントも批判的に知覚し，それが何で構成されているか，それがどのように受け取られたか，そしてそれから何が続くのかを分析することを教えます．「証明する」の意味を，人々が常に理解しているとは限りません．
レーニンの古典的な言葉「マルクスの教えは真実であるので全能だ」は，数学者の観点からすると，悪循環です．そのような発言は信頼できません．
数学は私たちにすべてのことを当然と思わないように教えています．丸ごと信じることはできません．

私はアメリカのコロンビア大学でたくさん働きました．
初等数学のコースでは：数式を与え，生徒に何かを計算させます．その後，上級コースが始まります．これは証明がベースのコース，つまり，証明とは何かを説明するコースです．すでに証明されているか，証明されているものから直接派生した要素の連鎖に，ステートメントを分解することは素晴らしい芸術です（*注）．これは長くて難しい旅であるに違いありません．特に，学生時代ではなく，大人としてこの芸術を理解し始めた場合はなおさらです．
（*訳者注）あるステートメント（声明，命題）を，証明済みとその証明から派生するものの連鎖に分解することは，論理的な推論に必要な構造化です．

■ロシアの学校では，「人文科学」という言葉がよく使われます．これは賢いようだが，正確な科学との関係が築かれていないのです．数学を必要としないのでしょうか？

数字を操る機能としての数学は，おそらく必要ありません．統計は社会学や心理学で使われていますが．私の意見では，思考を発達させる科学としての数学は誰もが必要としています．

個人的な例を挙げましょう．私の孫は第57学校の数学の授業を卒業し，現在は高等経済学部の言語学部で勉強しています．数学は彼にとって非常に有用であり，モデルを構築し，何かを計算します．数字を操る算術はまったく役に立たなかったと信じています．彼は論理的に推論し，パターンを特定し，構造化することを学びました．それが最も重要なことであり，算術能力ではありません．退屈な算術は数学ではありません．

繰り返しますが，これは証拠に基づく考え方です．数学は良い眼鏡のようなものです．絵がぼやけないように世界をよりはっきりと見たい場合は，数学を学びましょう．

■信仰と公式

ここでは，厳密な証拠に基づくことがいかに重要であるかを繰り返します．数学的思考は道徳的な選択をするのを邪魔しませんか？会議で手を挙げて，道徳的に間違った決定に反対する必要があるとしましょう．人はこれをしません：論理的な根拠が十分ではないと言って...

この場合，数学的証明を持ち出す必要はないと思います．これは市民の勇気の問題です．あなたの人間の感性で，これが正しいとか間違っているとか感じます．

道徳的な選択は数学的な正当化を必要としませんか？

おそらくそうではありません．宇宙の法則は私たちの内部のどこかで保護されているように見えることがあります．数学は，独自の規則と公理に基づいて，純粋に内部法に従って発展しているように思われます．実験や観察は使用しません．論理のみを使用します．これらはゲームのルールです．しかし，結局のところ，数学は現実の世界を不思議な方法で表現していることがわかりました．つまり，自然の法則は私たちの思考の中に非常に深く隠されています．どのように？誰によって？なんで？私にとって，これは私が答えを見つけることができない謎です．ここであなたは神について考え始めさえします．誰かがそれを私たちの中に置いたのです．おそらく，道徳の法則は同じカテゴリーのものです：それらは私たちの内側のどこかにあります．あなたは何かを信じ，あなたの良心に従って，あなたの考えに従って行動します．少なくともそれが私がそれを理解する方法です．

信仰と証拠の必要性は互いに矛盾していますか？

はい，それらは矛盾しています．しかし，私の仕事では，私はしばしば原則に導かれます：それは美しいので，それは正しくなければなりません．これらは形式化できない概念です．何かがあるという信念，私たちの世界を定義する調和．ただそれを神の奇跡についての素朴な考えと混同しないでください．むしろ，それは世界の正しさへの信念です．私はそれを持ってます．

あなたは世界が正しく配置されていると信じますか？それともあなたはそれを知っていますか？

「信じる」または「知っている」と言うのは完全に正しいわけではありません．私は自然の法則が合理的であると信じています．同時に，私たちの社会の世界は私には深く間違っているように見えます．それは間違った方向に進んでいます．すべてが悪化します．しかし，おそらくこれはただの時代への不平でしょう．

私たちの世界の何が問題になっていますか？例を

人々の考えがシフトし引き裂かれているのは間違っているように思えます．これは特に子供に顕著です．彼らが一人でいることはますます難しくなっています．人々はただ座って考える時間がますます少なくなっています．それは正しくありません．しかし，それは避けられないことだと私は理解しています．

進歩はありませんか？

進歩はそれが進むところに行くのは，自然なプロセスです．それが正しいかどうかはわからない．私はそれが好きではありません．誰もが本は死ぬだろうと言います．本は何か他のものに置き換えられるでしょう．私はそのようなことは好きではありません．しかし，これについて議論することは，風に逆らって唾を吐くようなものです．

避けられない事故
当初は，世界の構造における偶然と必然性の比率をインタビューのメイントピックにしたかったのです．たとえば，シュレディンガーの猫の運命は，粒子の完全にランダムな振る舞いによって決定されることが知られています．そして，ローレンツ蝶はブラジルで羽ばたき，それによってテキサスでハリケーンを引き起こします．それが非常に複雑であっても，非常に異なる現象の間に因果関係があるという事実についての話です．あなたの意見では，チャンスと必然性はどのように相関していますか？

新しい数学的解決策を提案するとき，あなたは創造するようです．しかし，その一方で，あなたはただ何であるかを発見します．会議で，私の偉大な同僚は，詩人がその行を書かなければ，それは二度と現れないだろうと言いました．しかし，あなたが定理を証明しなければ，遅かれ早かれ他の誰かがそれを証明するでしょう．結局のところ，それなしでは，あなたは先に進むことができません．ある意味で，これは必然性であり，数学の発展における予定説です．ここにはランダムなものは何もありません．

しかし，ランダム性は時間の文脈に存在します．発見が今日行われなかった場合，それは後，たぶん5年後，あるいは50年後，あるいは150年後かもしれません．科学の発展は事前に決定されていますが，科学が進む道はほとんど偶然です．

物理プロセスの数学的モデルを構築する場合，ランダムな要素はどの程度重要ですか．

それはすべて，モデル，実際のプロセスの必要な単純化の程度に依存します．コインを投げるとしましょう．実際，表または裏がでるのは常に事前に決定されています．それは，体の初期位置，指によって加えられる力，風，および他の多くの要因に依存します．しかし，表裏のどちらかが偶然にでると想定します．これは実際のプロセスの近似です．十分に正確な場合もあれば，そうでない場合もあります．

あなたの伝記では，偶然と必然性はどのように相関していますか？

私の人生はかなり退屈で，まっすぐです．私がモスクワ州立大学のコルモゴロフ寄宿学校を卒業した後，すべてが比較的明確でした．したがって，おそらく，私は人生における事件の重要性を誇張する傾向はありません．私には，すべてが論理的であり，一方が他方に続いているように思われます．ランダム性は，一般的な背景の小さな波紋です．

あなたがこの寄宿学校に行き着かなかったら？

わかりません...私はタガンログで最高の学校の1つであるチェーホフ学校で勉強しました．数学の先生が，コルモゴロフ寄宿学校に入学した元生徒と一緒に私を連れてきました．もしこれが起こらなかったら，私はモスクワにたどり着くことはなかっただろうし，私の人生は違ったものになっていただろう．しかし，これを証明するのは非常に困難です．私はやはり数学者になると思います．道のりが長くなるでしょうけれど．

物理学など，他の分野の科学者になることもできます．

はい，私は現在の専門分野の数学物理学者です．しかし実際，私はもちろん数学者です．そして，物理学が常に私にとって問題の発生源であったというだけです．

昔々，上司，そして同僚で友人のセルゲイ・ペトロヴィッチ・ノヴィコフと私はボソン弦の量子化の問題に取り組みました．そして彼らはよく言いました：結果として物理理論が何を得るのかは不明であり，任意の代数曲線のために私たちが思いついたローラン-フーリエ基底は数学に永遠に残ります．

同時に，私は問題は外の世界から来るべきだと信じている数学者のその部分に属しています．原則として，それらは最も興味深いものです．過去20〜30年間で，数学の最も注目すべき成果が物理学から生まれたアイデアに関連していることは不思議ではありません．

現代数学教科書：コルモゴロフの改革

今日の日本でも，大学教育はグローバル化，ユニバーサル化に対応する必要があり，高校教程で学ぶべきミニマム数学の内容やその達成度テストも適切なものでなければならない．これらの議論は教育数学の研究集会の記事をご覧ください．カリキュラム改革はいつの時代でもなかなか難しい．
改革では今日の数学（統計学やデータ解析など）に目配りする必要があるでしょう．６0年前に遡り，その時代に議論された新数学教科書改革；ソ連，フランス，欧米の先行事例を知ることは大事ではないでしょうか．以下の記事(アレキサンドル･ブヘトフ)からコルモゴロフの改革は何だったか学びましょう．

Падение преобразователя: четыре вопроса о реформе Колмогорова
Александр Буфетов, профессор РАН
«Троицкий вариант» №2(346), 25 января 2022 года

Падение преобразователя: четыре вопроса о реформе Колмогорова • БиблиотекаПятьдесят лет назад в советских средних школах появился учебнelementy.ru
■学校教育の数学コースの改革の一環として，アンドレイ・ニコラエヴィッチ・コルモゴロフが編集した幾何学の教科書がソビエトの中等学校に登場したのは60年前だった．

10年制学校の6年生から8年生向けの幾何学の教科書

学校の数学授業を20世紀の数学に近づけたいという願望は，戦前から叫ばれており，1950年代に活発に議論されました．この論説の著者が10歳の少年の頃，学校の数学の授業が17世紀の数学者の業績(*)で終わっているのを，どこかで偶然読み，非常に驚いたことを覚えているという．その後に行われたことを知る時間はいつあるのでしょうか？（*訳者注）ニュートン，ライプニッツ，デカルト，ベルヌーイ，フェルマーなどの時代.
この論説の著者の生まれる20年前も，アレキサンダー大王の継承戦争の時代の数学者の業績(*)で学校の幾何学コースが終わっていることを知っていたら，もっと驚いたことでしょう．（*訳者注）アレキサンダー大王の死は紀元前323年です．アルキメデス，ピタゴラス，ユークリッドなどの時代．

ユーリ・アレクサンドロヴィッチ・ネレチンは次のように書いています．「私たちの3次元空間は，私たちの考え方と同様に，その時以来，あまり変わっていません」しかし，私たちの3次元空間の考え方が，ユークリッドやアルキメデスの考え方と同じではありません．その時代には，ベクトル計算，平面運動の分類，第5公準の独立性の証拠がありませんでした（ユークリッドの第5公準の解釈はロバチェフスキーの驚くべき業績です）．3つのトピックのうち，キセリョフの注目すべき教科書（改革前の好評な教科書）で触れられているのはそのうちの1つだけ(ロバチェフスキーの幾何学は，キセリョフの教科書の余白に現れています）です．それ以来，学校のコースでの議論はこれ以上詳細にはなりませんでした．その一方，学校の幾何学コースにベクトルと幾何学変換が欠けているのは古くさいとの認識は，戦前からありました．

改革の主な熱狂者の1人は，RSFSRの教育副大臣であり，解析関数の理論に関する古典的な大学の教科書の著者であり，多くの言語に翻訳され，今日まで積極的に使用されている著名な数学者Алексей Иванович Маркушевичアレクセイ･イヴァノビッチ･マルクシェビッチでした．

1960年代初頭，コルモゴロフは改革の作業に参加しました．彼のリーダーシップの下で，新しいカリキュラムが作成され，その後，彼自身が共著者の小さなチームと協力して，非常に短い時間で，代数と解析入門と，幾何学に関する新しい教科書を書きました．

しかし，特に幾何学の教科書は厳しい批判を受け，批判は改革全体に広がりました． 1978年，ソ連科学アカデミーの数学科は，数学の教科書と学校のカリキュラムの現状は不十分であると認識し，コルモゴロフの改革は公式に却下されました．

一方、コルモゴロフによって編集された代数と解析入門教科書は，学校に残り，ソビエト連邦時代を無事に生き延びました．昨年，卒業前と卒業のクラスのための教科書の第26版が出版されました．幾何学の教科書の方は，取り返しのつかないほどの後退をしました．
コルモゴロフの改革は，西側の改革，つまり米国の新数学，そして特にフランスの急進的な数学の近代よりも比類のないほど穏やかでした．たとえば，フランスのリセウムの大学院クラスの1972年の幾何学教科書の目次を開いてみましょう：ベクトル空間，線形写像，多重線形形式，行列式があります．

フランスの最新数学の研究は，膨大な（そしてあまり簡単に見ることができない）文献に結び付けられている．詳細なモノグラフ「新数学の政治史」が最近米国で出版されました．3)
Yu.A.Neretinの注目すべき最近の論文は，コルモゴロフの改革に捧げられています．4)

3） The New Math: A Political History by Christopher J. Phillips. University of Chicago Press, 2015.
4） Ю.А. Неретин, Реформа Колмогорова математического образования, 1970–1980-е годы. arxiv.org/abs/1911.06108

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コルモゴルフ　wikiより抜粋ーーーーー
(1903年4月25日 - 1987年10月20日）は、ロシアの数学者。確率論および位相幾何学の大きな発展に寄与した。彼以前の確率論はラプラスの『確率の解析的理論』に基づく古典的確率論が中心であったが、彼が『測度論に基づく確率論』『確率論の基礎概念』（1933年）』で公理主義的確率論を立脚させ、現代確率論の始まりとなった。
1931年に彼はモスクワ大学で教授になり、1935年に、コルモゴロフはモスクワ大学で第1代議長になった。1939年に、彼はソ連科学アカデミーの正会員に選出された。ーーーーーーーーーー

結局，コルモゴロフの教科書改革は失敗でした．改革が不徹底の原因背景について種々論じられています．ここで取り上げたАлександр Буфетовブヘトフの論説の後半部分でも，４つの問題点が語られています．
例えば，数学に割り当てられた時間の15〜20％の大幅な削減．8年制から10年制への移行にともない，なぜ時間を短縮されたのかわかりません．週に６時間の数学を決めたのは誰でしょうか？幾何学試験の廃止を決定したのは誰でしょうか？
制約がいろいろあったようです．コルモゴロフが非常に急いでプロジェクトを進めたのは何故でしょうか？健康問題もあったようです．費用も少なかったようです．しかし，当時の時代背景や状況の理解が十分にできていない筆者にはわからない点が多く，現時点でのこれ以上の深入りは止めておきます．もう少し調べる必要があります．
詳細な調査を掲載している別の論説も以下にあります：

Реформа Колмогорова (Kolmogorov reform)mat.univie.ac.at

Замыслы Колмогорова о школьном курсе геометрии • ВидеотекаПоселок Московский, 29.06.2009. Конференция лауреатов Всероссelementy.ru

Вспоминая Колмогорова • ВидеотекаПоселок Московский, 04.07.2006. II конференция лауреатов Всерelementy.ru

https://elementy.ru/nauchno-populyarnaya_biblioteka/431665/Aleksandr_Shen_Uchenikom_Kolmogorova_ya_ne_byl?from=rxblock

Александр Шень: «Учеником Колмогорова я не был» • БиблиотекаАлександр Ханиевич Шень — кандидат физико-математических наукelementy.ru
■50年代後半から60年代前半にかけて，さまざまな人々が，微分積分，幾何学変換，ベクトル代数，組み合わせ論，確率論（および統計），複素数，集合論的アプローチ，数理論理学を，詰め込む可能性について議論しました．学校のカリキュラムは，現在のプログラムから何かを省略する必要があり困難な問題です．リストのほぼすべての要素を押し込むことが比較的合理的な方法でできました（統計，積分，および論理を除く）．しかし，いくつかの夢を犠牲にしなければならない難しい決断でした...
幾何学変換で不変となる量に注目していろいろな幾何学（ユークリッド，非ユークリッド，アフィン，射影，トポロジー等々）が定義できます．幾何学的変換の概念に基づいて幾何学のコースを作成するというアイデアは，1905年にエミール･ボレルによってフランスで成功裏に実装され，ソビエト連邦では戦前でも詳細に繰り返し議論されました．ベクトルは，キセリョフにも，ニキチンの初等教科書（コルモゴロフの前身）にも，1969年のポゴレロフの教科書にも含まれていないが，コルモゴロフの改革の枠組みの中で学校の幾何学コースに入りました．

■ポゴレロフの教科書が完成し，使用されました．これは，早くも1969年に行われた可能性があります．

Atanasyan-Butuzov-Kadomtsev-Poznyak-Yudinaの教科書，A.D.Aleksandrov-Werner-Ryzhikによる教科書が書かれ発売されました．教科書の全連合大会が開催されました．

作家が誰にでも好かれることはないのと同じように，1冊の教科書が誰にでも愛されることはありません．すべての教科書には欠点があることがわかります．Wernerによると，教師は教科書を選択できました．1980年代初頭，サンクト・ペテルブルグ市のさまざまな地区で3つの異なる教科書が使用されました．

https://note.com/sgk2005/n/naa3e06512eb1

Gauss積分

ガウス積分

$$I^{2}=\displaystyle \frac{1}{4}\displaystyle \int_{- \infty }^{ \infty }\displaystyle \int_{- \infty }^{ \infty }e^{-(x^{2}+y^{2})}dxdy=\displaystyle \frac{1}{4}\displaystyle \int_{0}^{2\pi }\displaystyle \int_{0}^{ \infty }e^{-r^{2 } }rdrd\theta =\displaystyle \frac{2\pi }{4}\displaystyle \int_{0}^{ \infty }e^{-r^{2 } }rdr$$
$$r^{2}=X$$とおく，　$$2rdr=dX$$
$$I^{2}=\displaystyle \frac{\pi }{4}\displaystyle \int_{0}^{ \infty }e^{-X}dX=\displaystyle \frac{\pi }{4}$$, $$I=\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{\pi }$$
--------------------------------------------
$$\displaystyle \int_{- \infty }^{ \infty }e^{-\alpha x^{2 } }dx=\sqrt{\displaystyle \frac{\pi }{\alpha } }$$
$$\displaystyle \frac{d}{d\alpha }\displaystyle \int_{- \infty }^{ \infty }e^{-\alpha x^{2 } }dx=\displaystyle \int_{- \infty }^{ \infty }dx\displaystyle \frac{d}{d\alpha }e^{-\alpha x^{2 } }=\displaystyle \int_{- \infty }^{ \infty }dx(-x^{2})e^{-\alpha x^{2 } }$$
$$\displaystyle \frac{d}{d\alpha }\sqrt{\displaystyle \frac{\pi }{\alpha } }=\sqrt{\pi }\displaystyle \frac{d}{d\alpha }\alpha ^{-1/2}=\sqrt{\pi }\left( -1/2 \right) \alpha ^{-3/2}$$
$$\displaystyle \int_{- \infty }^{ \infty }x^{2}e^{-\alpha x^{2 } }dx=\displaystyle \frac{1}{2\alpha }\sqrt{\displaystyle \frac{\pi }{\alpha } }$$

Fresnel積分

フレネル積分　　$$I=\displaystyle \int_{0}^{ \infty }e^{ix^{2 } }dx=\displaystyle \lim_{R \to \infty }\displaystyle \int_{0}^{R}e^{ix^{2 } }dx$$を求めなさい．
ただし，$$S(x)=\displaystyle \int_{0}^{x}\textrm{sin}t^{2}dt$$, $$C(x)=\displaystyle \int_{0}^{x}\textrm{cos}t^{2}dt$$もFresnel積分と呼ばれる．
ただし，$$S( \infty )=C( \infty )=\displaystyle \int_{0}^{ \infty }\textrm{sin}x^{2}dx=\displaystyle \int_{0}^{ \infty }\textrm{cos}x^{2}dx=\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{\displaystyle \frac{\pi }{2 } }$$を既知とすると，
$$I=\displaystyle \int_{0}^{ \infty }e^{ix^{2 } }dx=\displaystyle \int_{0}^{ \infty }\textrm{cos}x^{2}dx+i\displaystyle \int_{0}^{ \infty }\textrm{sin}x^{2}dx=\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{\displaystyle \frac{\pi }{2 } }\left( 1+i \right) $$が得られます．
（参考）Gauss積分　$$\displaystyle \int_{0}^{ \infty }\textrm{exp}[-t^{2}]dt=\sqrt{\pi }/2$$

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これを複素積分法で計算してみます：
$$I=\displaystyle \int_{0}^{ \infty }\textrm{exp}[ix^{2}]dx=\displaystyle \int_{0}^{ \infty }\textrm{exp}[-(e^{-i\pi /2})x^{2}]dx$$
$$z=xe^{-i\pi /4}$$とおくと，$$dz=dxe^{-i\pi /4}$$だから，　$$I=e^{i\pi /4}\displaystyle \lim_{R \to \infty }\displaystyle \int_{0}^{Re^{-i\pi /4 } }\textrm{exp}[-z^{2}]dz$$

被積分関数$$\textrm{exp}[-z^{2}]$$は，周回積分の領域$$C$$で正則だから，コーシー・リーマンの定理により周回積分は０になる：
$$0=\displaystyle \int_{(C)}^{}\textrm{exp}[-z^{2}]dz=\displaystyle \int_{(C_{1})}^{}\textrm{exp}[-z^{2}]dz+\displaystyle \int_{(C_{2})}^{}\textrm{exp}[-z^{2}]dz+\displaystyle \int_{(C_{3})}^{}\textrm{exp}[-z^{2}]dz$$
$$z=te^{i\theta }$, $dz=dte^{-i\pi /4}$, $dz=d\theta iRe^{i\theta }$$
$$C_{1}$$
$$\displaystyle \lim_{R \to \infty }\displaystyle \int_{(C_{1})}^{}\textrm{exp}[-z^{2}]dz = e^{-i\pi /4}\displaystyle \lim_{R \to \infty }\displaystyle \int_{0}^{R}\textrm{exp}[-t^{2}e^{-i\pi /2}]dt=e^{-i\pi /4}\displaystyle \lim_{R \to \infty }\displaystyle \int_{0}^{R}e^{it^{2 } }dt$$
$$C_{2}$$
$$\displaystyle \lim_{R \to \infty }\displaystyle \int_{(C_{2})}^{}\textrm{exp}[-z^{2}]dz = \displaystyle \lim_{R \to \infty }iR\displaystyle \int_{-\pi /4}^{0}\textrm{exp}[-R^{2}e^{i2\theta }]e^{i\theta }d\theta =$$
$$=\displaystyle \lim_{R \to \infty }iR\displaystyle \int_{-\pi /4}^{0}e^{-R^{2}\textrm{2cos}2\theta }e^{-iR^{2}\textrm{sin}2\theta }e^{i\theta }d\theta \leqq \displaystyle \lim_{R \to \infty }iR\displaystyle \int_{-\pi /4}^{0}|e^{-R^{2}\textrm{cos}2\theta }|d\theta \leqq $$
$$ \leqq \displaystyle \lim_{R \to \infty }iR\displaystyle \int_{-\pi /4}^{0}|e^{-R^{2}(4\theta /\pi +1)}|d\theta =\displaystyle \lim_{R \to \infty }iRe^{-R^{2 } }\displaystyle \int_{-\pi /4}^{0}e^{-(4R^{2}/\pi )\theta }d\theta =\displaystyle \lim_{R \to \infty }iRe^{-R^{2 } }\left[ \displaystyle \frac{e^{-(4R^{2}/\pi )\theta } }{-4R^{2}/\pi } \right] _{-\pi /4}^{0}$$
$$=\displaystyle \lim_{R \to \infty }iRe^{-R^{2 } }\left( 1-e^{R^{2 } } \right) /\left( -4R^{2}/\pi \right) =\displaystyle \lim_{R \to \infty }i\pi (1-e^{-R^{2 } })/4R=0$$

$$\displaystyle \lim_{R \to \infty }\displaystyle \int_{(C_{3})}^{}\textrm{exp}[-z^{2}]dz = \displaystyle \lim_{R \to \infty }-\displaystyle \int_{0}^{R}\textrm{exp}[-t^{2}]dt=-\sqrt{\pi }/2$$
従って，$$\displaystyle \lim_{R \to \infty }\displaystyle \int_{(C_{1})}^{}=-\displaystyle \lim_{R \to \infty }\displaystyle \int_{(C_{2})}^{}$$ より，
$$\displaystyle \frac{\left( 1-i \right) }{\sqrt{2 } }\displaystyle \int_{0}^{ \infty }e^{it^{2 } }dt=\sqrt{\pi }/2$$
$$\displaystyle \int_{0}^{ \infty }e^{it^{2 } }dt=\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{\displaystyle \frac{\pi }{2 } }(1+i)$$