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数学月間SGK通信 ［2023.03.07］ No.464
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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「数学の弁明」．原題「Апология математики」(初版2007)，2017年に第2版が出版されています．著者はウラジミール・ウスペンスキー（Владимир A. Успенский）．著名な数学者A.N.コルモゴロフの弟子で数学者，言語学者，1966 年から 2018 年まで，モスクワ大学の数理論理およびアルゴリズム理論の学部長．
この出版物は読者から高く評価され，2007 年の「新世界」賞を受賞しました．数学と人文科学の間の障壁を克服し，非数学者が数学の基本的な概念と問題のいくつかに親しむことができます．

■先行する似た題名の本に，次のものがあります．そちらの本は，英国の数学者G.H.ハーディが1940年に出版したもので，全く異なる内容です．
そちらの本の内容もnoteの別の記事として取り上げていますので，そちらをご覧いただければ幸いです．https://note.com/sgk2005/n/n9fbb5b7fd9de

■ウラジミール・ウスペンスキーの本Апология математикиの内容に触れましょう：

第 1 章 ワトソン対ホームズ
第 2 章 ピタゴラスの定理とフェルマーの定理
第 3 章 未解決の問題と解決不可能な問題
第 4 章 長さと数
第 5 章 円と正方形
第 6 章 質量の問題とアルゴリズム
第 7 章 ガリレオのパラドックス、コルタザール効果、および量の概念
第 8 章 神話における平行線現実と数学
第9章 100万ドル問題
第10章 計量幾何学から位置の 幾何学へ
第11章 位置の幾何学からトポロジーへ
第12章 私たちの宇宙はどのようなものになるでしょうか?
第1章の付録 読者の意見
第3章の付録ゴールドバッハ問題の歴史について
「集合」「順序組」「対応」「関数」「関係」 の概念について

以下のサイトで公開されている内容から抜粋します：

Читать онлайн «Апология математики (сборник статей)», В. А. Успенский – Литрес
Читать онлайн книгу «Апология математики (сборник статей)» ав
www.litres.ru
現代社会では，どんな専門分野にも数学が係わっています．「数理物理学」を筆頭に，「数理生物学」,「数理言語学」，「数理経済学」，「数理心理学」等々．今や数学は流行の職業になっています．

これは，数学の応用の計り知れない可能性のためです．数学は，人文科学と見なされてきた分野にも浸透しています．

数学は，現実に適合した一般的でかなり明確なモデルを提供します．これは，他の科学によって提供される一般的でなく漠然としたモデルとは対照的です．

自然科学と人文科学の区分がいつまでも続くとは限りません．数学が自然科学に帰属することの反省が起こっています．数学は物理学の一部であると言われますが，物理の世界の特性記述に数学が成功したからで，人文科学の他の分野でも同じ成功を収めるに違いありません．

数学の人文科学への係わりについて

列車の乗客は窓越しに無数の白い羊の群れを見ています．そして，彼らは
電車に横向きに黒い羊がいるのに気づく．「ぁぁ，ここにも黒い羊が！」と 一人が叫ぶ．「片面の黒い羊が少なくとも 1 頭はいる」と，別の数学者が彼を訂正します．
この逸話は，過度の正確さが有害であり，適切な内容認識を妨げる可能性があることの例です．ここには，人文科学と数学の間の双方にとって有益な対話の基礎が​​あります．この対話では，数学者が（人文科学）非数学者に教えたりしませんが，構文構造の構築の正確さがいかに重要であるかの共有がなされます．数学者は，論理的枠組みを理解する能力を非数学者に伝えようとしています． 一方，非数学者は，不正確さの重要性の考えを数学者と共有します．非数学者は数学に対して，その論理的枠組みを包み込む肉付けと文脈の両方が，言及された枠組みと同じくらい重要であると示しています． 非数学者は，周囲の世界は不定形で曖昧であるため，数学的に正確な文言よりも，不正確で曖昧な文言の方が適切に反映されると思っています．
数学者と（人文科学）非数学者は異なる思考スタイルを持っており，異なるスタイルに触れることで両者が豊かになります．たとえば，「公理に明示的に記録された情報のみ推論に使用できる」という数学で広く普及している公理的方法の研究は，厳密な思考の習慣を植え付けます．そして，「無限集合の性質」を知ることは想像力を育みます．歴史家は公理的方法や無限集合を必要としないと思うかもしれません．しかし，思考と想像力の厳しさは彼の思考の妨げにはなりしません．
一方，数学の方にも学ぶべきことがたくさんあります．
人文科学者は数学者より他人の意見に寛容です．数学的な概念は明確に定義されていますが，人文科学的な概念は曖昧です． それゆえ，私たちの曖昧な世界を説明するのに適しています．
私たちは，情報を冷静に伝達する機能に関心があります．それは文言に具現化されます．国内プログラミングの創始者の一人であるアンドレイ・ペトロヴィッチ・エルショフは，これを「ビジネス散文Деловая проза」と呼びました． ビジネス散文には，特に，自然科学のテキスト (主に数学)，法律のテキスト，事務のテキストおよび指示（マニュアル）が含まれます．ビジネス散文は私たちの生活の中でますます重要な位置を占めるため，母国語のレッスンや，感情を伴わない純粋な情報に特化した特別クラスで教えられる可能性があります．
ビジネス散文を教えることは，ビジネステキストの正しい編集と正しい認識のスキル，つまり，言葉で考えを正しく表現し，言葉で表現された考えを正しく解釈する能力を養成します．

（私のコメント）
数学は物理学の一部であるという思いは，私も同様に実感しています．
しかし，人文科学にも，数学の浸透が進んでいるのは事実です．
むろん，以前から数学の人文科学との係わりはありました．A.A.Баpсов（モスクワ大，数学）は，ロシア語文法，正書法の提案を行いました(1755）．
数学の論理は，自然科学も人文科学も係わります．数学を人文科学に帰属させても不思議ではありません．
ブラックボックスとしてAIが用いられる現代では，現象の数学モデルを作ったり，得られた解析結果を解釈するのは，正しい読解力が必要であると思います．解釈次第でとんでもない結果も恣意的に導くことが可能ですから．

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数学月間SGK通信 ［2023.02.28］ No.463
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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YouTube動画で色々な発明開発の動画があり，製作過程の面白さに惹かれてつい見てしまいますが，そのほとんどが時間の無駄です。
永久機関もあれば，まわりくどく原理がなんだかなぁとがっかりするものです。このようなものには次の２つのタイプがあります：
①投稿者自身が，意図的にトリックがある（詐欺，マジックの部類）ことを自覚している。
②投稿者自身が発明と信じていて，改良を進めればものになると思ってい
る。

①は詐欺の部類です。これはアイディアが面白ければ，受け狙いと割り切て，マジックのように楽しめばよいのです。しかし，かなりの人が騙されるようです（見る人の知識不足が原因です）。
ここで，私が気になるのは②の場合です。
視聴者のコメントを見ると大部分（９割）は肯定的で賞賛さえしています。その一方，正しい批判的コメントや親切なアドバイスも少数（１割程度）だがあるのは救いです（他人が一所懸命にやっていることへの否定や批判は言い難いし，そのようなコメントへの返信を見ると，発明者当人は聞く耳を持たないようです）。

当人は真摯に取り組んでいるとしても，このような動画は，多くの人を発明者と同じ泥沼に引き込むし，無駄な投資をさせたりするでしょう。
このようなことが起こる原因は，発明者の物理のその分野の知識不足にあります。発明品の不思議に見える動作原理は，生半可な知識の混沌とした状態の利用です。よく利用される現象の例は，ファラディやマックスウェルをはじめとする多くの科学者により既に解明された電磁誘導；コイルの周りで磁場が変化すればコイルに電流が生じ，電流が変化すれば磁場が変化するという現象です。この現象は，広大な応用分野をもち，モーター，電子レンジ，リレー，トランス，回路まで含めればほとんどの電子デバイスを作り出しました。ワイヤレス給電などもこの現象の利用です。抵抗に電流が流れれば加熱されるのは、既知の別の現象です。
「配管のそばで磁石をモーターで回転させて，配管に誘導電流を発生させ加熱する」という暖房装置のYouTube 動画があります。見世物として面白いと思う多数の視聴者がいます。これが石油の節約だと信じている人もいます。私はモーターを回転する電力で抵抗過熱をした方がよほど良いと思います。
開発を続けエネルギー変換効率の改良を進めれば，シンプルな現存装置に帰着してしまうことが見えています。

原子炉をボイラーの熱源代わりにする原子力発電もこの部類に入ります。100万kWの原発を１日稼働すると約3.7kgのウラン235が核分裂し，引き取り手のないおびただしい放射性核種が生じるというのに。

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数学月間SGK通信 ［2023.02.21］ No.462
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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■数学月間とは　　　　　　　　　　　　　　　　　(たに・かつひこ/NPO数学月間の会）
米国のMAM（数学月間）は，上院の共同決議「1986年４月14～20日を数学週間とする」に基づくレーガン大統領宣言で1986年にスタートした．レーガン宣言は格調高く，「およそ5千年前に始まった数学的叡智は進歩を遂げ，今日の社会を支えている」と述べ，すべてのアメリカ人に対し，数学と数学的教育の重要性を実証する活動への参加を要請している．米国が国家的行事のMAMを決断した背景には，国民の数学力の低下で，産業力も低下するとの焦りがあったといわれる（小林昭七「顔をなくした数学者」）．1950年代の日本は，Dr. Demingの品質管理手法を，TQCやQCサークルに発展させ，生産性向上を達成していた．1980年NBC放送はIf Japan Can, Why Can’t We?と呼びかけ，Dr. Demingのセミナーが米国で展開されたが，さらにこれを数学全般の啓蒙MAMへと発展させたのは米国の叡智であった（竹内淳実）．バークレーの地域数学サークルなどの学校外活動も効果を上げている（小林昭七）．米国MAMは，数学系学協会が参加するJPBM（Joint Policy Board for Maths）が，毎年，社会を反映した数学テーマを選定し，4月に種々の数学イベントが展開される．国民からの事後評価も受ける．時局の数学を，種々のレベルで学習できるウエブ・サイトが充実し，そこにエッセイや論文が集積され，数学を基礎から最先端まで，学生が独習できる優れたガイドになる．日本の数学月間（7/22-8/22）は，片瀬豊（表紙写真）の日本数学協会への提案(2005年)でスタートした．片瀬豊は，日本版JPBMが国家的行事として数学月間を展開すべきだと考えていた．「数学月間」活動は，数学同好者の内部にとどまらず，数学が係わるあらゆる分野を横断し，一般市民に働きかけ，数学（論理）が社会を支えている事例を踏まえ，数学への共感を獲得することを目的としている．
■孤高な数学では共感を得られない
理系でも数学と結びつきの薄い分野に生徒が流れる傾向がある．数学まつりを実施しても，教材の基礎にある数学へ言及することは少ない．「数学によってのみ外界（森羅万象の法則の起源）が認識できる（デカルト，ホッブス）」のだが，数学はこのように避けられ嫌われている．数学への共感が得られない原因を考えるに，数学の孤高姿勢にある．完成した数学体系を学べというのではなく，相手の現場に立ち入り数学論理を見出し適用して見せることで共感が得られる．教育数学においても各学科分野にふさわしい数学を提供するのが良い．マーフィーの法則で，「言葉が通じなければそれは数学」と揶揄的に定義されるようではいけない．完成された数学体系は美しいが，それぞれに，その数学概念が生まれた源泉があり，その過程を見せること，および，その数学の適用現場を見せることが共感に繋がる．数学者でない一般社会人の共感を得るには，地に足がついているという意味から，数学は物理学の一部であると考えた方が良い．（クーラン&ヒルベルト「数理物理学の方法」，イアン・スチュアート「無限をつかむ」）．

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数学月間SGK通信 ［2023.01.03］ No.455
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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2023年になりました。新年おめでとうございます。
今回のメルマガは、前回の続きで、数学者Edward Frenkel著の「愛と数学」-隠された現実の心 の紹介です。
歳を跨ぐ形になりましたが、この本の主張は、「数学者ではない一般の人に数学への共感を広げようという数学月間の趣旨」と一致します。
数学月間の考え方は、この本のどこに共感するのかをまとめてみましょう：
数学は、社会のあらゆる分野を支えて（いろいろな分野で登場します）いますが、一般の人は数学を嫌って避けようとします。
それは、数学が孤高で孤立しているからです。マーフィーの法則で、「言葉が通じなければそれは数学」と揶揄されたりします。
数学者は、出来上がった論理体系の数学を教えるだけでなく、相手のいろいろな分野に入り込みその分野の数学を組み立てて
見せる必要があります。数学科への数学があるように、工学、薬学、医学、経済、などにはそれぞれの数学があります。
ユークリッドやニュートン、ライプニッツの数学に留まらず、それ以降発展した数学分野をどんどん取り入れる必要があります。
定義、定理、証明の形式を軽視するものではありませんが、その繰り返しの簡潔な数学ではなく、その数学の適用分野や
その数学の発生現場も十分に言及してほしいと思います。
数学者には論理としての抽象的な数学が醍醐味でしょうが、一般の共感を得て普及するには、
数学は物理学の一部であると見た方が良いのです。この本の著者もそのように述べていたと思います。
前回の趣旨を数学月間流に解釈すると以上のようです。

次に、今回の趣旨を述べるのですが、素粒子の例がほとんどで冗長です。数学月間の会ホームページに移ってお読みください。
https://sgk2005.saloon.jp/bbses/bbs_articles/edit/232/d86e61800257d893cd1018ad509a8e1f?frame_id=328
https://sgk2005.saloon.jp/　は、年末にリホームしたいへん読み易くなりましたので、ぜひご訪問ください。

今回の部分の趣旨を一言で述べると、Edwardがなぜ数学を好きになったかが述べられています。
それは、優れた指導者に巡り合ったことから始まり、幸運な特殊なケースです。
素粒子物理に興味を持っていた子供が、良き数学指導者に会い、SU(3)群の学習へと導かれるわけです。
これは、Edwardの場合の例で、人によって必要とするものはそれぞれ異なり、数学のどの分野の話でもあり得ますので
これ以上の言及は避けます。
（注）SU(3)群とは、3次のユニタリー行列の作る群　

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第1章
どうやって数学者になるの？方法や手段はいろいろあると思います。これが私(Edward Frenkel)にどのように起こったかをお話ししましょう。

驚かれるかもしれませんが、学校では数学が嫌いでした。いいえ、「嫌われている」という言葉は強すぎるかもしれません。数学があまり好きではなかった。数学はつまらないと思いました。すべてのタスクを熱心に完了しましたが、なぜこれを行っているのかわかりませんでした。クラスで話し合った資料は、私には無意味で役に立たないように思えました。私は物理学、特に量子物理学に魅了されました。私は、この主題に関するすべてのノンフィクションの本をむさぼり食いました。私はロシアで育ちましたが、そのような文献を入手することは問題ではありませんでした。

量子の世界に魅了されました！古代から、科学者や哲学者は、宇宙の基本的な性質を説明することを夢見てきました。すべての物質は原子と呼ばれる小さな粒子で構成されている。原子の存在は 20 世紀初頭に証明され、ほぼ同時期に、科学者は各原子がその構成要素に分解できることを発見しました。原子は原子核であり、その周りを電子が回っていることがわかりました。原子核自体は、図のように陽子と中性子からできています。
-----------略-------------------

ゲルマンによれば、クォークには「アップ」と「ダウン」の 2 種類があります。中性子と陽子は、アップ クォークとダウン クォークのさまざまな組み合わせによって形成されます。中性子は 2 つのダウン クォークと 1 つのアップ クォークで構成され (図 1.2)、陽子は 2 つのアップ クォークと 1 つのダウン クォークで構成されます (図 1.3)。

図1.3.陽子のクォーク構造

これはすべて非常に明確でした。しかし、陽子と中性子が不可分の粒子ではなく、さらに小さな粒子で構成されていることを物理学者がどのように推測できたのかは、私には謎のままでした。

1950 年代後半、科学者たちはハドロンと呼ばれる多数の素粒子を発見しました。中性子と陽子はハドロンのクラスに属し、物質の構成要素であり、日常生活で大きな役割を果たしています。残りのハドロンについては、その目的は明らかではありませんでした。科学者たちは、それらが何のためにあるのか（または、研究者の一人が言ったように、「誰がそれらを注文したのか」）をまったく理解していませんでした。宇宙には非常に多くの種類のハドロンが存在するため、影響力のある物理学者であるヴォルフガング パウリは、物理学が植物学に変わりつつあると冗談を言ったことさえあります。科学者たちは、ハドロンの分類に秩序をもたらし、ハドロンの振る舞いを支配し、この驚異的な多様性を説明できる根底にある原理を突き止めようと必死に努力しました。

ゲルマンと独立したユヴァル・ネーマンは、素粒子の革新的な分類を提案しました。どちらも、ハドロンが自然に小さなファミリーに分類され、それぞれが 8 ～ 10 個の粒子であることを示しました。これらのファミリは、オクテットおよびデキュプレットと呼ばれます。同じファミリーに属する粒子は、似たような性質を持っています。

私が当時好きだった人気の本では、オクテットは図を使って描かれていました (図 1.4)。

図1.4.オクテッドのダイアグラム

図では、陽子はp + (プラス記号は正の電荷を示す)、中性子はn 0 (ゼロはこの粒子が電荷を持たないことを意味する) で表され、ギリシャ文字の奇妙な名前を持つ残りの 6 つの粒子があります。

しかし、なぜ 7 と 11 ではなく、8 と 10 の粒子なのでしょうか? 私が自由に使える本では、この現象の首尾一貫した説明を見つけることができませんでした。それは、ゲルマンによって開発された神秘的な理論に言及しています - ある種の「八正道」(仏教の聖なる八正道に似ています)。しかし、この理論が何であるかはどこにも述べられていませんでした。

この誤解は私を悲しくさせました。物語の重要な部分は、私の目から隠されたままでした。この謎を解明したかったのですが、方法がわかりませんでした。

幸いなことに、私たちの家族の古くからの友人から助けがありました。私は約 15 万人が住むコロムナという小さな工業都市で育ちました。コロムナはモスクワから約 115 キロ、電車で 2 時間強の場所にあります。私の両親は大規模な重工作機械工場でエンジニアとして働いていました。

コロムナは、2 つの川の合流地点に建設された古代都市です。それは1177年に設立されました（モスクワの設立からわずか30年後）。コロムナの建築遺産にはいくつかの美しい古い教会があり、コロムナ クレムリンの壁は今でも過去の歴史を思い起こさせます。しかし、コロムナは教育的または知的センターとは言えません。当時、市内には学校の教師を養成する小さな研究所が 1 つしかありませんでした。この教育機関の教授の 1 人である数学者の エフゲニー・エフゲニエビッチ・ペトロフは、私の両親の親友でした。ある日、母は通りで彼に会いました。彼らは長い間お互いに会っていなかったので、当然のことながら、彼らには多くの話題がありました。ママはいつも友達に私のことを話すのが好きだったので、彼らも私を無視して会話をすることはありませんでした。科学に興味があると聞いて、

- 私は彼に会わなければなりません。それを数学に置き換えてみます。
母は反対しました。彼は量子物理学を勉強したいと思っています。
「心配しないで」とエフゲニー・エフゲニエビッチは答えた。

彼らは会うことに同意した。私はあまり楽観的ではありませんでしたが、それでもエフゲニー・エフゲニエビッチと一緒に仕事をしました。

私はもうすぐ 15 歳になり、最後から 2 番目の 9 年生を終えようとしていました (1 年生をスキップしたため、クラスメートより 1 歳年下でした)。40代のエフゲニー・エフゲニエビッチは、フレンドリーで気取らない人物の印象を与えました。眼鏡をかけて無精ひげを生やした彼は、数学者という私の考えを具現化したものでしたが、彼の大きく開いた目の鑑定的な表情には、すぐに注目を集める何かがありました。彼らは好奇心を放ちました-彼は彼の周りで起こったことすべてに興味を持っていました。

エフゲニー・エフゲニエビッチは私を数学信仰に改宗させる狡猾な計画を本当に持っていました。私が彼のオフィスに入るとすぐに、彼は次の質問で私を驚かせました。

— 量子物理学が好きだと聞きました。ゲルマンの八正道とクォークモデルについて聞いたことがありますか?
はい、私はいくつかのポピュラー本で読んだことがあります.
しかし、このモデルが何に基づいているか知っていますか?
科学者はどのようにしてこれらのアイデアを思いつきましたか?
SU (3)群って何か知っていますか？
 SU (3) 群に精通していない場合、どのようにクォークモデルを理解できますか?
*****************訳者注）*************
SU(3)群とは3次のユニタリー行列の作る群です。２次の行列が，パウリの４つの行列の線形結合で表現できるように，３次のユニタリー行列は８つのゲルマン行列の線形結合で表現できます。ここで登場する８という数字はSU(3)を生成する 8 つのゲルマン行列とかかわっています。
*****************************************

彼は本棚から数冊の本を取り出し、それらを開き、数式で満たされたページを見せてくれました。上記のようなおなじみのオクテット図に気付きましたが、それらは単なる美しい写真ではありませんでした。図は、一貫性のある詳細なプレゼンテーションの一部でした。

もちろん、式自体は何も理解していませんでしたが、これらのページで、私を真剣に悩ませていた質問への答えを見つけることができることがすぐにわかりました。気づきの瞬間でした。公式と言葉に魅了され、言葉では言い表せない、これまでなじみのない感覚に襲われました。エネルギー、インスピレーションが沸き起こるのを感じました。これは、音楽を聴いたり、なじみのない写真を見たりして、印象に残っているときに感じる方法です。「うわー！」という一つの考えが頭の中で渦巻いていた。

- 数学は学校で教えてくれるものだと思っていたでしょう - エフゲニー・エフゲニエビッチは続けました。彼は頭を振った。「いいえ、ここです」と彼は本の「真の数学」の公式を指さした。量子物理学を真に理解したい場合は、ここから始めるべきです。ゲルマンは美しい数学的理論でクォークの存在を予言しました。実際、それは数学的発見でした。
――でも、なかなか難しいですよね…。
式は本当に威圧的に見えました。
- 心配しないでください。最初に学ぶべきことは「対称群」です。ここからすべてが始まります。数学や理論物理学の大部分は、この概念に基づいています。私はあなたにいくつかの教科書をあげます。それらを読み始め、理解できない文に印を付けます。週に一度、あなたと会って、読んだ内容について話し合うことができます。

彼は私に対称群に関する本と数冊の本をくれました。彼らは、いわゆるp -進数 (私たちが子供の頃からよく知っている通常の数とはまったく異なる数体系) とトポロジー (基本的な幾何学的形状の科学) について話しました。エフゲニー・エフゲニエビッチは非の打ちどころのない趣味を持っていることが判明しました。彼はトピックの完璧な組み合わせを見つけたので、私はこの神秘的な怪物 -数学 -をまったく新しい視点から見て、恋に落ちました。

学校では、２次方程式、初歩の微分、基本的なユークリッド幾何学、三角法などを学びました。私には、すべての数学がどういうわけかこれを中心に展開しているように思えました-問題は時間の経過とともにより複雑になる可能性がありますが、それらは常に、私がすでに慣れ親しんでいるすべての同じ一般概念の枠組み内にとどまります。しかし、エフゲニー・エフゲニエビッチの本は、私にとってまったく異なる世界を開きました。

私はこの瞬間に転向しました。

https://etudes.ru/etudes/reuleaux-triangle/

■円以外に，定幅曲線はあるでしょうか？
上記のリンクの動画をみるとわかります。

ルーロー・フランツ（1829—1905）は、ドイツの科学者で、初めて（1875年）、機構の構造と運動学の主な問題を明確に定式化しました。工学的物体の美学の問題をとりあげました。
正3角形を考えましょう。各頂点で、辺の長さに等しい半径の円弧を描きます。この曲線はルーロー3角形と呼ばれます。これは定幅曲線であることがわかります。円の場合と同様に、2 つの接線を描画し、それらの間の距離を固定して回転を開始します。ルーローの３角形は常に両方の線に接しています。実際に、1 つの接点は常にルーローの三角形の「角」の 1 つにあり、もう 1 つは円の反対側の弧にあります。これは、この曲線図形の幅が常に円の半径、つまり元の正３角形の辺の長さに等しいことを意味します。

ルーローの3角形で作ったコンベア

奇数の正多角形で定幅曲線図形を作る

非対称の定幅曲線図形

マツダのロータリーエンジン

映写機の機構への応用

定幅曲線は無限に作れます
頂点の数が奇数の任意の正 n 角形は、ルーロー３角形が構築されたのと同様な方法で，定幅曲線を構築できます。イギリスの 20 ペンス硬貨は、7 角形の上に定幅曲線が描かれています。

非対称曲線も作れます。交差する線の任意のセットを考えてみましょう。セクターの1つを考えてみましょう。この扇形を定義する線の交点を中心として、任意の半径の円の弧を描きましょう。隣接するセクターを取り、それを定義する線の交点を中心にして、円を描きましょう。半径は、曲線の既に描かれた部分と連続して続くようにします。次々と続けていくと、この構造は、曲線が閉じて定幅になることがわかります。要証明

定幅曲線はすべて、周囲が同じです。同じ定幅の円とルーローの３角形を比べると、円は最大面積、ルーロー３角形は最小面積。周囲の長さは円でもルーロー3角形でも同じです。要証明

■ルーローの３角形は、数学界でよく研究されます。この幾何学図形は、力学で興味深い用途があることがわかりました。
マツダ RX-7です。ほとんどの量産車とは異なり、(RX-8 モデルと同様に)ヴァンケルのロータリーエンジンを使っています。内部の配置をみると、ローターに使われているのはルーローの３角形。これと壁の間に3つの部屋が形成され、それぞれが燃焼室になります。ここで青いガソリン混合物が飛散し、ローターの動きにより圧縮され、点火され、ローターを回転させます。ロータリーエンジンには、ピストンの場合にあるいくつかの欠点がありません。回転が直接軸に伝達され、クランクシャフトを使用する必要はありません。

■これが映写機に使われているクラムシェル機構です。モーター軸は均一に回転します。スクリーン上に鮮明な画像を表示するには、フィルムをレンズに 1 フレーム通過させ、止まり、再び急激に引き抜く、という作業を 1 秒間に 18 回行う必要があります。 . クラムシェル 機構が解決するのは、この動きです。これは、正方形に内接するルーロー３角形と、正方形が側面に傾かないようにする二重平行４辺形を使います。反対側の長さが等しいので、すべての動きの間、中央のリンクは底面と平行のままで、正方形の辺は常に中央のリンクと平行です。グラブの爪の動きは正方形です。

文献
Болтянский В. Г., Яглом И. М. Выпуклые фигуры. — М.—Л.: ГТТИ, 1951.
Радемахер Г., Теплиц О. Числа и фигуры: Опыты математического мышления. — М.: ОНТИ, 1936. — (Библиотека математического кружка; Вып. 10). — [Переиздания: 1938, 1962, 1966, 2020].

Фигуры постоянной ширины // Математическая составляющая / Ред.-сост. Н. Н. Андреев, С. П. Коновалов, Н. М. Панюнин. — Второе издание, расширенное и дополненное. — М. : Математические этюды, 2019. — С. 84—85, 319—320.

「定幅曲線」の他の研究

・https://etudes.ru/etudes/drilling-square-holes/?ref=calso

・https://etudes.ru/etudes/wheel-inventing/?ref=calso

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数学月間SGK通信 ［2023.03.14］ No.465
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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先週は、京都大学の教育数学研究集会3/6-9に参加しました．そこで，ChatGPTとDuolingoの話がでました．
皆様はご存じだったかもしれませんが、私はこれらを知りませんでした．
ウエブで探して使ってみるとどちらも非常に面白い．
ChatGPTとは対話型のAI，Duolingoはゲーム感覚で英語の学習ができます．

さて，今回のメルマガで取り上げるのは，デュードニーのタイル張りパズルです．これは；

正3角形を多角形に分割してそれらの全部品を組み合わせて正方形が作れます．このようなことのできる最小の分割数はいくつですか?
この問題は、1905 年 2 月 1 日と 8 日の問題で Henry Dudeney によって Daily Mail の読者に提示されました。
寄せられた何百もの回答の中で、正解は 1 つだけでした。4 つの部分で十分です。

https://etudes.ru/models/dudeney-dissection/
上記のリンクにあるアニメーションを見ると正解がわかります．しかし，この解の仕組みを見つけるのはなかなか難しいので，解説用の図を以下に２つ作りました．重ねた図形の2回回転対称性に注目すれば，非常に簡単に解けます．

Fig.1　正方形と正3角形は同一の面積です．2つ並んだ正方形と２つ並べた正3角形を，それぞれの中点の上で重ね合わせます．この点は2回回転対称軸があります．これだけでは，重ね方にまだ任意性がありますから，正3角形を連ねて作った帯の上側の辺，下側の辺が，それぞれ，２つ並べた正方形の右側の正方形の右側の縦の辺の中点，および，左側の正方形の左側の縦の辺の中点を通過するようにします．これらの条件は同時に満たされることは，2回回転対称性から明らかです．

Fig.1

Fig.2

Fig.2を見ると，正方形の中は、赤，黄，緑，青のパーツで構成されることがわかります．一方，正3角形は，赤，黄，グレーのパーツで構成され，正3角形と正方形は面積が等しいから，部品の面積について，グレー＝緑＋青　の等式が成立します．従って，正3角形も赤，黄，緑，青のパーツで構成できることがわかります．

ビデオ⁠⁠「回転するルーロー3角形」で、定幅の特性形状について話します。正方形の穴を開けるのに役立つのは、定幅の最も単純な図形，ルーロー３角形です。この「３角形」の中心を特定の経路に沿って移動すると、その頂点はほぼ正方形を描きます。

https://etudes.ru/etudes/drilling-square-holes/

⁠得られた図の境界線は、角の小さな　部分を除いて、厳密にまっすぐになります。 線分を延長しコーナーを追加すると、正確に正方形になります。

上で説明した図形を得るには、ルーロー３角形の中心を、4 つの同一の楕円弧を繋いだ軌道に沿って移動する必要があります。楕円の中心は正方形の頂点にあり、半軸（正方形の辺に対して45°）は、$${k(1+1/\sqrt{3})/2}$$と$${k(1-1/\sqrt{3})/2}$$、ここで$${k}$$は正方形の一辺の長さ。

角を丸くする曲線も、正方形の頂点を中心とする楕円の弧で、その半軸（正方形の辺に対して45°）は、$${k(\sqrt{3}+1)/2}$$と$${k(1/\sqrt{3}-1)/2}$$の長さです。
角が丸まったために減少した面積は正方形の約2%です。
ルーロー３角形のドリルを使い、角がわずかに丸みを帯びた正方形の穴をドリルで開けることができますが、正方形の辺は完全にまっすぐです。

そのようなドリルを作ることは難しくありません。断面がルーローの三角形に似ていて、刃先はその頂点と一致します。
難点は、前述のように、ドリル中心の軌道が 4 つの楕円の弧で構成されなければならないという事実にあります。視覚的には、この曲線は円に非常に近いが、円ではありません。そして、工学で使用されるすべての中心がずれた異なる半径の円は、厳密に円の中で動きを与えます。

1914 年、英国のエンジニア、ハリー ジェームズ ワットは、そのような掘削する方法を考え出しました。表面的には、彼は、「ドリルが自由に浮いている」状態でカートリッジに挿入された、ドリルが入る正方形の形のスロットを備えたガイドテンプレートがあります。このようなカートリッジの特許は、1916 年にワット ドリルの製造を開始した会社が保有していました。

四角いガイド枠に配置されたルーロー三角形にドリルをしっかりと取り付けます。フレーム自体はドリルに固定されています。ドリル チャックの回転をルーローの３角形に伝える必要があります。
この技術的な問題を解決するのに役立つのは、通りを通過するトラックの底でおそらく何度も見たことがあるデザイン、カルダン シャフトです。このプログラムは、ジェロラモ・カルダノに敬意を表してその名前が付けられました。

ジェロラモ・カルダノ1501年～1576年
1541 年、皇帝カール 5 世が勝利を収めて征服したミラノに入ったとき、カルダノ医科大学の学長が天蓋の横を歩いていました。示された名誉に応えて、彼は王室の馬車に2本のシャフトのサスペンションを供給することを提案しました。そのようなシステムのアイデアは古代にまでさかのぼり、少なくともレオナルド・ダ・ヴィンチのコーデックス・アトランティックスには、ジンバルを備えた船のコンパスの図があります。このようなコンパスは、明らかにカルダノの影響なしに、16 世紀前半に広く普及しました。Гиндикин С. Г.「物理学者と数学者についての物語」

これでドリル​​の準備が整いました。合板のシートを取り、... 四角い穴を開けます！すでに述べたように、正方形の辺は厳密にまっすぐで、角だけがわずかに丸みを帯びています。必要に応じて、すりで修正できます。

文献
・Weisstein E. Reuleaux Triangle.
・Гиндикин С. Г. Рассказы о физиках и математиках. — М. : МЦНМО, 2006.
・Фигуры постоянной ширины // Математическая составляющая / Ред.-сост. Н. Н. Андреев, С. П. Коновалов, Н. М. Панюнин. — Второе издание, расширенное и дополненное. — М. : Математические этюды, 2019. — С. 84—85, 319—320.

「定幅曲線（図形）」の他の研究

Круглый треугольник Рело / Этюды // Математические этюды Рассмотрим правильный треугольник (с равными сторонами). На к etudes.ru
Изобретая колесо / Этюды // Математические этюды Может ли повозка ехать без тряски по ровной поверхности на не etudes.ru
 

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数学月間SGK通信 ［2023.03.21］ No.466
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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ルーローの3角形という形があります．これは，正3角形の各頂点で正3角形の辺の長さを半径として円弧を描き，
これら３つの円弧で囲まれた形です．ルーローの3角形は定幅曲線です．
https://etudes.ru/etudes/reuleaux-triangle/　のサイトにあるアニメを見れば，ルーローの3角形の形や
それが定幅曲線であるという意味が理解できるでしょう．

円はもちろん定幅曲線ですが，ルーローの3角形も定幅ですから，
アニメにあるように，どちらもベルトコンベア用のコロに使えます．
ベルトコンベアは地面と平行な動きをしますが，ルーローの3角形のコロの中心の軌跡は波を打ちます．

奇数の正多角形からも同様な定幅曲線を作れ，定幅曲線の外周の長さは同じという性質があります．
また，非対称な定幅曲線も作ることができます．

最も単純な定幅曲線であるルーローの3角形をガイドに沿って運動させることで，いろいろな装置を作ることができます．
このアニメでは，マツダのロータリーエンジンと映写機の機構に使われていることが紹介されていて興味深い．
（注）ルーロー・フランツ（1829—1905）は、ドイツの科学者．幾何学図形と運動機構を研究しました．

ルーローの3角形は，正方形の穴をあけるドリルの歯にも利用されています．
1914年，英国のエンジニア，ハリー ジェームズ ワットは，そのようなドリルを考案し特許をとりました．
https://etudes.ru/etudes/drilling-square-holes/　のサイトにあるアニメを見れば，その仕組みをよく理解できるでしょう．

今回の記事は，幾何学概念である図形の運動（軌跡）が，色々な機械を作り出す例を紹介することでした．

今回の記事の内容の詳細や図は，数学月間の会のHPをご覧ください．
https://sgk2005.org/bbses/bbs_articles/view/232/98ee6233dfe52dd32de7602e9b3f82c0?frame_id=328
https://sgk2005.org/bbses/bbs_articles/view/232/d2d592f20b8032d1c0af70aea42240ed?frame_id=328

以下のサイトもとても参考になります：
http://ikuro-kotaro.sakura.ne.jp/koramu2/16479_t8.htm

ジェームズ・ワットの蒸気機関の発明以来，円の動きを直線の動きに変換するヒンジ機構を構築することが課題でした．
色々なヒンジ機構を組み合わせてできる運動の軌跡の問題は，私の特に好きな分野です．円による反転を作図できるヒンジ機構は，
最も興味のあるものです．
この装置の仕組みは，https://etudes.ru/etudes/lipkin-inversor/?ref=calso にある動画を見れば理解されるでしょう．
証明は２つのペン先と反転円の中心は常に一直線上に乗りますから，この時出来る2つの相似な三角形に注目すれば容易です．

■説明が遅れましたが，円による反転の定義を以下に示します．

引用：美しい幾何学

■1864 年に、フランス軍の工兵部隊の将校であるポセリエ (Charles Nicolas Peaucellier, 1823-1913) の個人的な手紙で、反転円機構は初めて報告されましたが、彼はメカニズムの詳細を提供しませんでした。1868 年、P. L. Chebyshev の学生、Lipman リプキン (1846-1876) が、反転円機構を発明しました。彼の詳細な記事は 1870 年に出版され、1873 年になってようやく、リプキンの研究を引用したポセリエの記事が登場しました。

反転円機構（その美しさと優れた機械的特性をもつ特別なヒンジ機構）は、エンジニアリングで多くの用途が見出されています。
引用: https://etudes.ru/etudes/lipkin-inversor/?ref=calso

チェビシェフは色々な機械のヒンジ機構の動作軌跡の研究をした。彼は初の歩行機械の発明を行った。宇宙ロケットの制御でも、ソ連はコンピュータは遅れているが、機械的制御が進んでいると言われた時代があった。これは、チェビシェフ以来の伝統によるものだ。
歩行機械の仕組みがどのようなものか、以下のサイトにある動画を見ると良くわかります．
円運動をキノコの帽子型（歩行する足の軌跡）に変換する「ラムダ・メカニズム」がミソです．キノコの帽子型の軌跡をたどる足をつければできる．

https://sgk2005.org/bbses/bbs_articles/view/26/a8442c2c249394d42c8ad839c315e51a?frame_id=76