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https://etudes.ru/etudes/reuleaux-triangle/
■円以外に，定幅曲線はあるでしょうか？
上記のリンクの動画をみるとわかります。
ルーロー・フランツ（1829—1905）は、ドイツの科学者で、初めて（1875年）、機構の構造と運動学の主な問題を明確に定式化しました。工学的物体の美学の問題をとりあげました。
正3角形を考えましょう。各頂点で、辺の長さに等しい半径の円弧を描きます。この曲線はルーロー3角形と呼ばれます。これは定幅曲線であることがわかります。円の場合と同様に、2 つの接線を描画し、それらの間の距離を固定して回転を開始します。ルーローの３角形は常に両方の線に接しています。実際に、1 つの接点は常にルーローの三角形の「角」の 1 つにあり、もう 1 つは円の反対側の弧にあります。これは、この曲線図形の幅が常に円の半径、つまり元の正３角形の辺の長さに等しいことを意味します。
ルーローの3角形で作ったコンベア
奇数の正多角形で定幅曲線図形を作る
非対称の定幅曲線図形
マツダのロータリーエンジン
映写機の機構への応用
定幅曲線は無限に作れます
頂点の数が奇数の任意の正 n 角形は、ルーロー３角形が構築されたのと同様な方法で，定幅曲線を構築できます。イギリスの 20 ペンス硬貨は、7 角形の上に定幅曲線が描かれています。
非対称曲線も作れます。交差する線の任意のセットを考えてみましょう。セクターの1つを考えてみましょう。この扇形を定義する線の交点を中心として、任意の半径の円の弧を描きましょう。隣接するセクターを取り、それを定義する線の交点を中心にして、円を描きましょう。半径は、曲線の既に描かれた部分と連続して続くようにします。次々と続けていくと、この構造は、曲線が閉じて定幅になることがわかります。要証明
定幅曲線はすべて、周囲が同じです。同じ定幅の円とルーローの３角形を比べると、円は最大面積、ルーロー３角形は最小面積。周囲の長さは円でもルーロー3角形でも同じです。要証明
■ルーローの３角形は、数学界でよく研究されます。この幾何学図形は、力学で興味深い用途があることがわかりました。
マツダ RX-7です。ほとんどの量産車とは異なり、(RX-8 モデルと同様に)ヴァンケルのロータリーエンジンを使っています。内部の配置をみると、ローターに使われているのはルーローの３角形。これと壁の間に3つの部屋が形成され、それぞれが燃焼室になります。ここで青いガソリン混合物が飛散し、ローターの動きにより圧縮され、点火され、ローターを回転させます。ロータリーエンジンには、ピストンの場合にあるいくつかの欠点がありません。回転が直接軸に伝達され、クランクシャフトを使用する必要はありません。
■これが映写機に使われているクラムシェル機構です。モーター軸は均一に回転します。スクリーン上に鮮明な画像を表示するには、フィルムをレンズに 1 フレーム通過させ、止まり、再び急激に引き抜く、という作業を 1 秒間に 18 回行う必要があります。 . クラムシェル 機構が解決するのは、この動きです。これは、正方形に内接するルーロー３角形と、正方形が側面に傾かないようにする二重平行４辺形を使います。反対側の長さが等しいので、すべての動きの間、中央のリンクは底面と平行のままで、正方形の辺は常に中央のリンクと平行です。グラブの爪の動きは正方形です。
文献
Болтянский В. Г., Яглом И. М. Выпуклые фигуры. — М.—Л.: ГТТИ, 1951.
Радемахер Г., Теплиц О. Числа и фигуры: Опыты математического мышления. — М.: ОНТИ, 1936. — (Библиотека математического кружка; Вып. 10). — [Переиздания: 1938, 1962, 1966, 2020].
Фигуры постоянной ширины // Математическая составляющая / Ред.-сост. Н. Н. Андреев, С. П. Коновалов, Н. М. Панюнин. — Второе издание, расширенное и дополненное. — М. : Математические этюды, 2019. — С. 84—85, 319—320.
「定幅曲線」の他の研究
・https://etudes.ru/etudes/drilling-square-holes/?ref=calso
・https://etudes.ru/etudes/wheel-inventing/?ref=calso