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真空の屈折率は１です．例えば，ダイヤモンドの屈折率は2.42で，物質の屈折率は，波長589.3 nm（振動数$$5×10^{14}$$Hz）の光（ナトリウムD線589.0nmと589.6nmの平均値）で測定するのが慣例です．屈折率nの物質に入ると光の位相速度は真空中の光速の1/nで伝播します．屈折率が１より小さいならば真空中の光速より速くなると心配する必要はありません．ここでいう光速は位相速度のことです．物質（ダイヤモンドでも）の屈折率は，X線領域では，1よりわずかに小さく$$n=1-δ，δ～10^{-6}$$になります．何故でしょうか？

■X線，可視光，電波などは，電磁波（振動電場）の仲間です．可視光に比べてX線の周波数は$$10^4$$倍も大きく，30keVのX線の周波数は$$10^{19}$$Hzです．
ダイヤモンドに限らず，物質は原子が集まって構成されており，物質が振動電場に置かれると，物質中に種々の振動する双極子が生じ，これらが物質の置かれた振動電場と同じ周波数で振動し，同じ周波数の電磁波を放射します．これが物質による電磁波の散乱現象です．
物質中に生じる分子分極やイオン分極による双極子の固有振動は赤外や可視光の領域にあります．これらの種々の分極は赤外や可視光領域の誘電率（振動電場に対する応答）に寄与しますが，振動電場の周波数が高くなると，これらの振動は追従できずに次々に落ちていきます．特に，X線の周波数域になると，原子内に束縛されている電子の振動による「電子分極」だけが追従できます．

さて，電子分極だけに注目しましょう．原子内のいろいろな軌道に束縛された電子の固有振動数は10^15Hz程度（この振動数の付近では共鳴が起こります）です．

$$n^{2}=\varepsilon =1-4\pi \left( \displaystyle \frac{q^{2 } }{m\omega ^{2 } } \right) \displaystyle \sum_{j=1}^{N}\displaystyle \frac{\omega ^{2 } }{\omega ^{2}-\omega _{0j}^{2}-i\mit\Gamma _{j}\omega } \cong \left\{ \begin{array}{@{\,} cc @{\, } }
1+4\pi \displaystyle \sum_{j=1}^{N}\left( \displaystyle \frac{q^{2 } }{m\omega ^{2}_{0j } } \right) & for \omega <<\omega _{0} \\[0mm]
1-4\pi N\left( \displaystyle \frac{q^{2 } }{m\omega ^{2 } } \right) & for \omega _{0}<<\omega
\end{array} \right. $$

以下の式を見ると，（１）電子の固有振動数よりはるかに小さい周波数の可視光の領域では，屈折率は１よりわずかに大きく，（２）束縛電子の固有振動数より遥かに大きい周波数のX線領域では屈折率は１よりわずかに小さいことがわかります．

結局，電子分極だけが振動に追従できるX線領域での物質の屈折率nは，１よりごくわずか小さいことになります．

■応用
X線に対する物質の屈折率は１より小さいので，空気中（≒真空中）から，物質表面へ臨界角以内ですれすれに入射するX線ビームは，表面で全反射します．X線を曲げるレンズの光学系は作れませんが，全反射を使うと，適当な形状のミラーを組み合わせてX線ビームを集光させる光学系を作ったり，光ファイバーのようなX線導波路を作ったりすることが可能になります．

全反射するX線は，スキンデプスと呼ばれる物質の極表面しか侵入しませんから，極表面の分析に利用できます．
物質の深さ方向に種々の屈折率層の積層モデルを作り，フレネル反射率をシミュレーションできます．これは，種々の入射角で反射率の測定を行い，物質表面の深さ方向の情報を得る反射率測定実験で利用されています．

$$n^{2}=\varepsilon =1-4\pi \left( \displaystyle \frac{q^{2 } }{m\omega ^{2 } } \right) \displaystyle \sum_{j=1}^{N}\displaystyle \frac{\omega ^{2 } }{\omega ^{2}-\omega _{0j}^{2}-i\mit\Gamma _{j}\omega } \cong $$
$$ \cong \left\{ \begin{array}{@{\,} cc @{\, } }
1+4\pi \displaystyle \sum_{j=1}^{N}\left( \displaystyle \frac{q^{2 } }{m\omega ^{2}_{0j } } \right) & for \omega <<\omega _{0} \\[0mm]
1-4\pi N\left( \displaystyle \frac{q^{2 } }{m\omega ^{2 } } \right) & for \omega _{0}<<\omega
\end{array} \right. $$

«НАУКА ИЗ ПЕРВЫХ РУК» №3, 2020
Sergey Viktorovich Netesov
- Corresponding Member of the Russian Academy of Sciences, Doctor of Biological Sciences, Head of the Laboratory of Bionanotechnology, Microbiology and Virology, Faculty of Natural Sciences, Novosibirsk State University.

公式の統計から判断すると、パンデミックの最初の6か月におけるSARS-CoV-2コロナウイルスの犠牲者の数は、2009年から2011年の1年半の悪名高い豚インフルエンザの流行を越えました。さまざまな推定によれば、7〜14億件の症例のうち、15万人から50万人が死亡しました。COVID-19については、9月の公式症例数は3,300万人を超え、死亡者数は100万人を超えました。[訳者注）11月26日現在，症例数6,030万人，死亡者数142万人]

SARS-CoV-2は、人類にとっては困難な問題であることが判明しました。一方、COVID-19の大流行では、当初から前例のない急速な証拠の積み上げとこの問題に関する科学出版物数の増加を惹き起こしている（2020年6月の初めまでに、その数は20万を超えました）、WHOは150以上の候補ワクチンを登録しました。一方で、この病気の原因物質に対して本当に効果的な薬はまだ1つも現れておらず、SARS-CoV-2と身体との相互作用のメカニズム、および広範な病理学的症状の出現はまだ研究中です。

過去数か月にわたって、専門家は新しいコロナウイルス感染について多くの有用な情報を学んだだけでなく、私たちが慣れ親しんでいる急性呼吸器ウイルス感染症（ARVI）についても 、たとえば、以前はあまり注目されていなかった無症候性のよく知られた現象など、違った見方になりました。現在、このような現象はコロナウイルスだけでなく固有のものであることが明らかになりました。

私たちがパンデミックとの戦いから学び、どのように進むかを考える時が来ました。いずれにせよ、人類の最優先事項は、この病気が日常生活と経済に与える影響を最小限に抑えるために可能な限りのことをすることです。

■先駆病原体SARS-COV-2
今世紀の初めまで、コロナウイルスは通常の季節的なSARSの原因になっていましたが、2000年代になり状況は変わり始めました。非定型肺炎の原因物質であるSARS-CoV-1は、2002年11月に中国の広東省で最初に「特定」されました。それはコウモリのコロナウイルスに由来し、その中間の宿主は明らかにヒマラヤのコガネムシ（ウィーバーラ）だったようです。これらの動物は、コーヒー［世界で最も高価なコーヒーの品種の一つであるliuvak kopiになる］の果実を食べ、肉が美味しく、毛皮も美しい。その内臓や体の部分は、中国の民間療法で使用されています。そのため、かつては中国など東南アジア諸国で集中的に飼育されていました。コウモリから、そして次に人間にもたらされたウイルスの偶発的な適応は、2003年に世界37カ国で8000件以上の感染と800人近くの死をもたらしました。

SARS-CoV-2が属するOrthocoronavirinaeサブファミリーは、広範なCoronaviridaeファミリーのメンバーです（Science First Hand No. 3（88）、2020）。

SARS-CoV-2が属するOrthocoronavirinaeサブファミリーは、広範なCoronaviridaeファミリーのメンバーです。それはいくつかの亜属を含む4つの属で構成されています。これらのうち、SARS-CoV-2、SARS-CoV-1に加えて、重度の急性呼吸症候群（SARS）を引き起こす2002- 2003年のSARSウイルス、および中東を引き起こす肺肺炎の原因物質であるMERS-CoVは、人間にとって特に危険です。呼吸器症候群。他のヒトコロナウイルスは、肺および中等度のARVIの原因物質です

MERS-CoVは、2012年にサウジアラビアで最初に特定されました。これは、エジプトのロゼットコウモリコロナウイルスに由来し、中間宿主である片こぶのラクダを通過した後、ヒトに感染し始めました。この病原体は8年間（2012年9月から2020年1月まで）、実験で確認された感染症例を2.5千件以上引き起こし、そのうち約800件（35％以上！）が致命的でした。ラクダと接触した人のほとんどが病気になりましたが、人から人への感染の事例も知られています。韓国でのこの病気の発生は広く知られ、1人の患者から150人以上が連続して感染しました。

■コウモリから人間へ
コロナウイルスは1960年代半ばに発見されました。その名前（ラテンのコロナから'太陽コロナ'）は、英国のウイルス学者で顕微鏡学者のジューンアルメイダによって電子顕微鏡で最初に見られたウイルスの形状に由来します。「クラウン」は、表面タンパク質、スパイクによって形成され、膜貫通受容体 （アンギオテンシン変換酵素2（ACE2、またはACE2）の分子）に結合することにより、ウイルスが細胞に浸透することを保証します。

同じ1960年代以来、長い間人間に感染してきた一般的なコロナウイルスが徐々にわかってきました。それらのうちの2つはアルファコロナウイルスNL63と229Eです。さらに2つ-ベータコロナウイルスHKU1およびOC43。後者には、SARS-CoV- 1SARSウイルスと現在のSARS-CoV-2が含まれます。

過去10年間、中国とアメリカの科学者たちは、コロナウイルスを含む数十種類のカブトコウモリウイルスのゲノムを詳細に研究してきたので、かなり早く新しい病原体を特定することができました。2020年1月10日までに、中国疾病管理予防センター（北京）の専門家は、患者から得られたSARS-CoV-2の9つの分離株のゲノムを解読した。新型ウイルスは、SARS-CoV-1（約79％の類似度）とMERS-CoV（約50％の類似度）の両方とは遺伝的に異なることが判明した。その違いは非常に深刻です。

SARS-CoV-2を分離する（ "Science First Hand" No. 3（88）、2020）
米国で最初の症例からSARS-CoV-2（球状ウイルス粒子、青）を分離します。粒子の内側に黒い点が表示され ます-ウイルスゲノムの断面。透過電子顕微鏡法。写真：疾病管理センター

ただし、SARS-CoV-2はスナッフボックスの悪魔［訳注）キノコ］ではありません。その特徴づけられた分離株はすべて、2018年に中国東部で発見された2つの既知のコウモリコロナウイルスに遺伝的に近く（88％以上の類似性）、このウイルスのヒト細胞との結合部位は、SARSウイルスのものと類似していました。少し後に、RatG13株がコウモリで同定されました。これは、新しい病原体にさらに近く、96％以上の類似性があります。

SARS-CoV-2の最初の8つの完全なゲノムは、互いに99.98％以上同一であり、ヒト集団における最近の出現を示しています。同時に、コウモリがこのウイルスにとって「孵卵器インキュベーター」であったかどうかはまだ決定されていません。このウイルスの起源については多くの仮説が提唱されていますが、最も現実的なのは、ウイルスが人間にとって病原性になり、中間宿主、おそらくパンゴリン（アルマジロの遠い「相対的」）の生物を「通過」するというものです。

SARS-CoV-2の人工的な起源をめぐる論争については、この理論に賛成して、「ソファーに座った」ウイルス学者は、2015年のNature誌の記事に記載されているハイブリッドを指摘しています。これはコロナウイルスの自然な進化を模倣する実験に言及しています。この研究の主な目的は、SARS-CoV-1ウイルスのスパイクタンパク質をコードするわずかに修飾された遺伝子が挿入されたコウモリコロナウイルスの1つです。主な変更は、科学者がそのゲノムにヒトACE2受容体への結合に関与する領域を挿入したという事実にありました。

北京の動物園のコウモリ（Science First Hand No. 3（88）、2020）
コウモリは、人間にとって潜在的に危険な多くのウイルスのキャリアですが、コウモリ自体は病気にならず、ウイルス感染で死亡することもありません。写真 は北京（PRC）の動物園のコウモリです。写真：愚かなウサギ、トリックスは子供向けです

この組換えウイルスは、ノースカロライナ大学（米国）で構築され、ウーハンウイルス学研究所（PRC）でテストされました。そのようなキメラの特徴は細胞培養でテストされ、それが人間にとって潜在的に危険であることが判明しました。ちなみに、Gain-of-Functionという英語名のこのような実験は、過去10年間で2回禁止され、世界の科学界によって2回許可されています。

ただし、このハイブリッドウイルスは、パンデミックなSARS-CoV-2とは大きく異なります。遺伝的類似性は87％以下です。別の「陰謀」シナリオによると、別のコウモリウイルスであるRatG13が誤ってウーハンの中心から放出される可能性があり、SARS-CoV-2の類似性ははるかに高くなっています。

陰謀研究は魅力的で非常に伝染性の高い活動ですが、新しい感染性物質の起源と拡散に関する有能な科学的調査とは異なり、病原体との戦いには役立ちません。

たとえば、人間と接触して生活しているさまざまな動物のSARS-CoV-2に対する感度をテストすると、犬、豚、鶏、アヒルの生物では再現性が非常に低いが、フェレットや猫ではよく再現され、呼吸管によって、そして感染した動物から人間へ。これはデンマークや他のいくつかの国のミンク農場で起こり、ミンクは人間からのウイルスにしか感染できませんでした。したがって、コロナウイルス感染の可能性のある貯蔵所として、野生動物と家畜をさらに研究する必要があります。

人への道
ウイルスは、人間と家畜のすべての感染症の70％以上を引き起こします。工業用抗ウイルスワクチンがなければ、人間の寿命ははるかに短くなり、人類が動物性食品を提供することは非常に困難になります。

数十年前、いわゆる新規または新たな感染症はすべて、野生動物から飼いならされた動物、そして人間への「飛躍」による動物病原体の適応進化の結果であることが示されました。人間と動物のウイルスゲノムの分子遺伝学的研究によって証明されるように、これは、はしか、おたふく風邪、風疹、C型肝炎、HIVの古くから知られているウイルスに関しても当てはまります。したがって、戦略的な目的のために、人間の病気を防ぐために、最も危険な病気に対して動物にワクチンを接種するだけでなく、野生動物の病原体の全範囲を特定するためのモニタリング研究を実施し、その後、人間の新たな感染を防ぐための対策を開発する必要があります。

家畜の産業繁殖において、野生の親類の病原体から動物を保護することも同様に重要です。同時に、閉鎖状態でのみ家畜を飼育する必要があり、生きた動物を販売するための「野生の」市場は禁止されるべきです。現代の養鶏場では、空気がフィルターを通って鳥に入り、労働者は完全に着替え、飼料は消毒されます。中国の同じ手のひらのシベットも、コウモリがそこに行けないように、閉鎖された保育園でのみ飼育されています。

■氷山の水面下

2020年のSARS-CoV-2コロナウイルスのパンデミックは、前例のないものです。このウイルスが、季節性インフルエンザや他の急性呼吸器ウイルス感染症を引き起こすウイルスと相互作用をし、惹き起こす多くの問題が明るみに出たのは意外ではありません。

例えば、インフルエンザの予防接種を受けて、流行期に健康を維持していれば、感染を回避できていると考えられます。それでも、インフルエンザウイルスはまだ上気道の少数の細胞に感染している可能性があり、明らかな病気の兆候を引き起こすことなく、そこで「軽く」増殖しています。もしそうであれば、SARS-CoV-2のケースですでに証明されているように、ワクチンを接種した人でも無症候性の感染キャリアになる可能性があります。

COVID-19の患者は、最初の症状が現れる2日前に感染を広げ始める。無症状の場合でも、感染した人は呼吸やくしゃみ、咳だけでなく、糞便と一緒に最大2週間ほど環境中にウイルスを放出します。そのため、患者はウイルスの検査で陰性になって初めて隔離所から解放されるのです。

現在、人類は呼吸器感染症の90％を診断することができます。しかし、少なくともロシアでは、実際にはこれを実施していません。急性呼吸器ウイルス感染症ARVIとインフルエンザの診断は、症状によってのみ行われます。そして、ARVIの症状のほとんどはほとんど同じであるため、これではわかりません。インフルエンザはほとんどの場合、鼻水が出ずに消えますが、これはCOVID-19を含む他のいくつかの感染症でも一般的です。ARVIの特定の原因（病因）についての答えは、正確な実験室診断によってのみ与えられます。これは可能ですが、現在有料です。ARVIのPCR診断は、強制医療保険の資金調達には含まれていません。

「かぜ」やインフルエンザの特定の症例は目で判断されるため、わが国で実際に特定の病原体に一度に感染したと思われるARVI患者数を知ることはできません。これらの感染のそれぞれからの真の損傷を評価することと、最も危険で疫学的に重要なものを決定することの両方を妨げます。したがって、インフルエンザウイルスを除いて、これらの病原体に対する新しいワクチンや抗ウイルス薬を開発したり、それらの進化の長期的な傾向を追跡したりすることができません。ARVI病原体のグループに新しいウイルスがどのように侵入しているかにすぐに気付かないのは当然でした。

フランス． 2020（ "Science First Hand" No. 3（88）、2020）
2020年の写真：Jacques Paquier

 ただし、一部の国では、関連する研究がいわゆるパイロット都市で実施され、PCRを使用して、いくつかの総合病院からのSARSの兆候があるすべての患者のサンプルが分析されます。それは非常に費用がかかり、1つのサンプルのそのような分析は、現在7〜8千ルーブルの費用です。しかし、病原体の全範囲を見ると、どの感染症に対してワクチンを開発する価値があるのかが明らかになります。

ちなみに、これらの病気の原因のうち、細菌感染症はわずか20％、残りはウイルス性です。今日のワクチンはインフルエンザに対してのみ開発および生産されており、ARVIの病因におけるその割合は10〜15％です。さらに、一部の国では同じコロナウイルス感染がより一般的です（15-30％）。そして、これらの「習慣的な」コロナウイルスは無害とはほど遠い。COVID-19のように、重度を含む3種類の病気があり、感染自体の結果と機械的換気による二次性肺炎の両方で死亡する患者もいます。

もちろん、ARVIのすべての患者に対して一般的な診断を行ってそのようなウイルス感染を検出することは意味がありません。特定の抗ウイルス治療がないため、今のところ症状があるものだけです。通常の治療コースは、診断自体よりも約7倍安くなります。ウイルス感染の場合、上記の理由で選択的研究を行う必要がありますが、どのワクチンを開発し、どの診断をCHIに導入する必要があるかを理解するためです。

モスクワでのそのような研究は、適切に組織された場合、1年以内に数千人の患者をテストするために約1500万ルーブルを必要とします。モスクワの「3DKマンション」の価格ほどで，最も高価なベントレークロスオーバーほどではありません。しかし、保健省はそのような提案に対する答えを1つだけ持っています-お金がありません。

新しいコロナウイルス感染によって引き起こされたパンデミックが私たちに教えてくれた主な教訓は、実際、私たちはウイルスの流行と感染一般についてほとんど知らないということです。それは、そのような将来の出来事に備える方法と、それらに対処する効果的行動方法を私たちは学ばねばなりません。そして、それはCOVID-19自体についてだけに留まらず、危険な季節的な感染ではありますが、別のものになる可能性があります。自然界に動物や鳥がいる限り、新しい未知の病気のパンデミックのリスクは残ります-「野生の」病原体の自然の貯蔵所。

そして、私たちが本当に人口を保護したいのであれば、私たちが今しなければならない最初のことは、私たちがまだ病気であるもの、私たちの中で最も危険なSARSを引き起こす病原体、ロシア人を見つけることです。モスクワ、サンクトペテルブルク、ノボシビルスク、クラスノダール、イェカテリンブルク、カザン、ウファ、ウラジボストークなど、SARSが特に多い主要都市でモニタリング研究を実施するためには、まず、健康問題の解決に今よりも有能かつ効果的に多くのお金を費やす必要があります。他の百万以上の都市と同様に。

SARS-CoV-2に関しては、明らかに、抗流行作用だけでそれを根絶することはほとんど不可能でしょう。おそらく、少なくとも効果的なワクチンが広く実践に導入されるまで、それは人間の集団で循環し続けるでしょう。しかし、私たちはまた、この病気を簡単にまたは無症状で経験し、おそらく免疫を持っている人々の層が徐々に増えています。ワクチン接種は彼らの数を増やすべきであり、そうすれば流行は減少するでしょう。

その間、マスマスキングと社会的距離は感染の拡大を減らすことができ、それは人口の最も脆弱なセグメントを保護します。厳しい対策（企業、学校、大学、カフェ、レストラン、ショップの仕事をやめること）に戻ることは経済の崩壊につながり、ひいてはヘルスケアの状況を悪化させることになることを心に留めておくべきです。

Литература
1. Bendavid E., Mulaney B., Sood N. et al. COVID-19 Antibody Seroprevalence in Santa Clara County, California // MedRxiv. 2020. DOI: 10.1101/2020.04.14. 20062463.
2. Logunov D. Y., Dolzhikova I. V., Zubkova O. V. et al. Safety and immunogenicity of an rAd26 and rAd5 vector-based heterologous prime-boost COVID-19 vaccine in two formulations: two open, non-randomised phase ½ studies from Russia // Lancet. 2020. V. 396. N. 10255. P. 887–897.
3. Moghadas S. M., Fitzpatrick M. C., Sah P. et al. The implications of silent transmission for the control of COVID-19 outbreaks // PNAS. 2020. V. 117(30). P. 17513–17515.
4. Peccia J., Zulli A., Brackney D. E. et al. SARS-CoV-2 RNA concentrations in primary municipal sewage sludge as a leading indicator of COVID-19 outbreak dynamics // MedRxiv. 2020. DOI: 10.1101/2020.05.19.20105999.
5. Zhanga R., Li Y., Zhang A. L. et al. Identifying airborne transmission as the dominant route for the spread of COVID-19 // PNAS. 2020. V. 117(26). P. 14857–14863.

著者について
Sergey Viktorovich Netesov- ロシア科学アカデミーの対応するメンバー、生物科学の博士、ノボシビルスク州立大学自然科学部のバイオナノテクノロジー、微生物学およびウイルス学の研究所の責任者。国際的に引用されたジャーナルと10以上のモノグラフで150以上の出版物の著者。生物医学の分野でロシア政府賞を2回受賞。

疫学において、次世代行列（じせだいぎょうれつ、英: next-generation matrix）は、感染症の流行に関する区画モデルの基本再生産数を得るのに用いられる。個体群動態においては、構造化個体群モデルの基本再生産数を計算するのに用いられる[1]。マルチタイプの分岐過程でも、同様の計算に用いられる[2]。

次世代行列を用いて基本再生産数を計算する方法はDiekmann et al. (1990)[3] と van den Driessche and Watmough (2002)[4]によって与えられた。次世代行列を用いて基本再生産数を計算するために、集団全体を n 個の区画に分割し、はじめの m 個を感染集団の区画とする。時刻 t における区画の個体数を$$  {\displaystyle x=(x_{1},\dotsc ,x_{n})^{T } }   $$とおき、流行モデル

$$ {\displaystyle {\frac {dx_{i } }{dt } }={\mathcal {F } }_{i}(x)-{\mathcal {V } }_{i}(x)\qquad ({\mathcal {V } }_{i}(x)={\mathcal {V } }_{i}^{-}(x)-{\mathcal {V } }_{i}^{+}(x))} $$
を考える。ここで $${\displaystyle {\mathcal {F } }_{i}(x)}$$  は i 番目の区画における新規感染の発生率を表しており、$${\displaystyle {\mathcal {V } }_{i}^{+}(x)}$$  は他のコンパートメントから i 番目の区画への遷移率を、$${\displaystyle {\mathcal {V } }_{i}^{-}(x)}$$  は i 番目の区画から他の区画への遷移率を表している。このとき

$${\displaystyle {\mathcal {F } }(x)=({\mathcal {F } }_{1}(x),\dotsc ,{\mathcal {F } }_{n}(x))^{T},\qquad {\mathcal {V } }(x)=({\mathcal {V } }_{1}(x),\dotsc ,{\mathcal {V } }_{n}(x))^{T } }$$ 
とおけば、上のモデルは

$$ {\displaystyle {\frac {dx}{dt } }={\mathcal {F } }(x)-{\mathcal {V } }(x)} $$ 
と書くこともできる。いま $$x0$$ を感染症のない定常状態とする。このとき $${\displaystyle {\mathcal {F } }(x)}$$  と $${\displaystyle {\mathcal {V } }(x)}$$  のヤコビ行列は $$x0$$ において

  $$ {\displaystyle D{\mathcal {F } }(x_{0})={\begin{bmatrix}F&0\\0&0\end{bmatrix } },\quad D{\mathcal {V } }(x_{0})={\begin{bmatrix}V&0\\J_{3}&J_{4}\end{bmatrix } } }{\displaystyle D{\mathcal {F } }(x_{0})={\begin{bmatrix}F&0\\0&0\end{bmatrix } },\quad D{\mathcal {V } }(x_{0})={\begin{bmatrix}V&0\\J_{3}&J_{4}\end{bmatrix } } } $$

となる。ここで F と V は

$$ {\displaystyle F={\begin{bmatrix}{\frac {\partial {\mathcal {F } }_{i } }{\partial x_{j } } }(x_{0})\end{bmatrix } }_{1\leq i,\,j\leq m},\quad V={\begin{bmatrix}{\frac {\partial {\mathcal {V } }_{i } }{\partial x_{j } } }(x_{0})\end{bmatrix } }_{1\leq i,\,j\leq m } } $$

で定義される m 次正方行列である。このとき K = FV −1 は次世代行列と呼ばれる。その最大固有値、すなわちスペクトル半径 R0 = ρ(K) がこのモデルの基本再生産数である。

 
plus magazine（November 5, 2020）を要約した

11月18日の東京都のCOVID19新規陽性者数は493人となり，指数関数的な増加予測グラフに乗りました．予断を許さない状況になりました．
ここで紹介する（plusmagazine，Nov.５，2020）記事は，マスク着用の効果とエアロゾルを介しての伝染を予防するための換気について語っています．たぶん，皆様の常識になっている事実の確認で新規性はないので，この記事は圧縮して紹介します．

■　COVID-19を引き起こすウイルスは、主に大きな液滴と小さなエアロゾルを介して伝染する。これらは、呼吸、会話、咳、または笑いの際に排出され、「ウイルスを含む小さな呼吸エアロゾルは、呼吸によって生成された二酸化炭素と一緒に、換気の流れによって部屋の周りに運ばれる」とリンデンらは論文で言う［Paul Linden, Rajesh Bhagat, Stuart Dalziel, and Megan Davies　Wykesによる］。「換気が不十分だと二酸化炭素濃度が高くなり、ウイルスにさらされるリスクが高まる可能性がある」

オフィス、病院、レストランなどの多くの近代的な屋内スペースの換気システムはさまざまです：　風と熱によって駆動される自然換気、または機械システムによります。混合換気は、空間内の空気を十分に混合して維持することを目的とし、置換換気は、部屋の上部から暖かい空気を抽出し、床近くの通気口から冷たい空気を供給することで、より涼しい下部ゾーンとより暖かい上部ゾーンを生成します。

COVID-19の感染に関しては、空気を混ぜることは望ましくない。「混合換気は、すべてを空中に浮遊させてかき混ぜることを目的としています」とリンデン氏は説明します。「置換換気ならば、私たちが吐き出す暖かく潜在的に危険な空気は天井に上がり、そこで抽出することができます」。

置換換気を使用しても問題が発生する可能性があります。部屋にさまざまな熱源がある場合、呼気は暖かい天井層の下に閉じ込められ、他の人によって再び吸い込まれる可能性があります。

人々の呼気の正確な挙動と病気の伝染におけるその役割を予測することは非常に難しいので、リンデンと彼の同僚は、流体力学研究所（ケンブリッジ大学の数学科学センター）で実験を行いました。

■　呼吸、会話、笑い
人がじっと座って息を止めているときでさえ、彼らの体の熱は天井に上がる暖かい空気のプルームを生成します。人が呼吸を始めたり、口を開いて話したり、歌ったり、咳をしたり、笑ったりすると、吐き出された息が2番目のプルームを生成します。伝達に関しては、この2番目のプルームが本体のプルームに同伴されて天井に運ばれるのが最善です。

もちろん、空気は見えませんが、リンデンと彼のチームは、暖かい空気を追跡できる画像技術を使用しました。「誰かが暖かい空気を吐き出すと、温度と密度の変化を見ることができます。それは光を屈折させ、あなたはそれを測定することができます」とバガットは説明します。

チームが作成した画像を以下に示します。左側の画像では、人は静かに座って鼻から呼吸し、中央の画像では通常の音量で話し、右側の画像では笑っています。各画像では、体のプルームが穏やかに上昇していることもわかります。3つのケースのそれぞれで、吐き出されたプルームが体のプルームに吸収されていないことがわかります。

上段の写真はマスクなし．下段の写真はマスクありです．

■　実験と数学

このような実験は非常に重要ですが、実験はリンデンと彼のチームの研究の一部に過ぎません。同様に重要なのは、ガスやその中の汚染物質の挙動を記述する数学モデルで、ウェルズ・ライリーの方程式があります。これは、空気感染性の病気にかかっている人と部屋を共有することで感染する人の予想される数I　を推定しています。

ここで、Sは、部屋の中で病気にあらたに感染可能な人の数であり、Γは部屋の中の既に感染している者がウイルスを排出する率を記述し、qは一人当たりの平均呼吸率、tは人々が部屋を共有している時間幅を記述する。Qは部屋の換気率、つまり新鮮な空気が部屋に入る率です。

この式をよく見てみると、Qが大きいほど（部屋の換気が良いほど）感染する人の数Iが少ないことがわかります。ウェルズ-ライリー方程式は、換気 Q は空間全体で均一であることを前提としており、リンデンと彼のチームが示したように、これは通常、人や家電製品によって生じる空気の流れも問題になり現実にはそうではありません。しかし、ウェルズ-ライリー方程式（他の多くの関連する数式とともに）は、現実の生活をより正確に記述する、より複雑なモデルの一部を形成するでしょう。

■　結論

置換換気システムは、適切に設定されている場合は、より良い選択である。
マスクは有益である。

この研究はまた、もう一つの興味深い可能性を示唆している。ウイルスを含んだエアロゾルは、私たちが息を吐くCO₂と同じように振る舞うので、部屋のCO₂レベルは警告システムに使える。CO₂レベルは非常に簡単に測定することができ、それが高い場合は、空気感染のリスクも高くなるので、リンデンらは、信号機のような警報システムを考えている。