SGK通信2014年

■2014/05/01------------------------------------------------------------------------------------------

 事故のなだれが大事故になる複雑系
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　数学月間SGK通信第2号［2014.05.21］
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■「複雑系とは何か」は，別号で取り上げるとして，大規模送電網や原発は複雑系です．
2011年７月の数学月間懇話会（第７回）では，これを取り上げました．
2011年４月の米国MAMのテーマは「複雑系」でした．
米国で何度か起きた大規模停電の仕組みを解析しています．
ほんのささいな原因（多分，樹木が送電線に触れスパーク）により，
送電網に局所的停電が起きた．⇒送電網の残りの部分に過剰な負荷がかかり，健全だった部分の電線が切れる．⇒
⇒あっという間に,次々と送電網全体に停電が拡がる．

「小さな事故が雪崩となり，大きな事故を生む」という複雑系での事故の特徴です．

2011.3.11の日本の原発事故でも、同じようなことになりました．
今回の事故の引き金は地震・津波だったかも知れませんが，引き金になるのは，地震・津波だけではありません．
組織やエージェントを含め、何処に発端があるか予測できません．
複雑系は,＜バタフライ・エフェクト＞が起こり得る世界です．     image1

  複雑系の特徴
送電網ネットワーク中にある節点の次数(=その節点に集まる経路の数)の頻度分布図を作ったとき，節点の次数の高いものも残っているような（べき乗則分布）ネットワークですと，次数の高い節点が攻撃されると故障の雪崩につながります．         image2  　　 image3

●べき乗則
大規模停電，巨大地震，所得の分布，....　いろいろな頻度分布に＜べき乗則分布＞が見られます．正規分布，ポアソン分布，ワイブル分布など，中心値のまわりに釣鐘型の分布を作りますが，べき乗則分布では，規模の大きい事象が起こる確率もいつまでも残っています．
被害コストの期待値は，被害コストと確率の積であり，巨大地震は巨大な被害コストをもたらすので，巨大地震の確率が小さいと言って無視することは間違いです．原発事故も同様です．

（引用文献）ーーーーー
１．2011MAM、http://www.mathaware.org/mam/2011/essays/
Cascading Failures: Extreme Properties of Large Blackouts in the Electric Grid
２．数学文化（2011）,16,p113-127
今年の米国MAMの話題と日本の原発事故
３．SGK通信（2011-06）数学月間懇話会報告
http://www.sugaku-bunka.org/modules/journal/journal_main.php?block_id=514&journal_id=22&page_no=2#514

■2014/10/01---------------------------------------------------------------------------------------------- 

化学の日について 
「化学の日」10月23日は，化学4団体が昨年制定しましたが， アボガドロ数$$6.02×10^{23}$$に因んでいます．これもやはり米国が 先でNational Mole Foundationが10月23日をMole Dayと定め盛んな活動が行われているそうです．

以下は，化学と工業,Vol67-9,2014,玉尾皓平氏（日 本化学会前会長）の記事からの抜粋です・・・・・・・
◆2年前の会長就任時に提案した2つの具体的提案を紹介します。
「全国一斉オープンキャンパス」：これが 「化学の日」と直結する提案です。各大学. 研究機関や化学企業で独自に行っているオープンキャンパスやオー プンファクトリーを，「化学の日」「化学週間」にできるだけ 曰程を合わせて一斉に実施いただくことで，国民的イベントとして 認知度を高めようとの取組みです。
「『夢・化学-21』の全国統一ブランド化」： 「夢・化学-21」キャンペーンの強化策として，そのロゴマークを意匠登録し，上で述ベたようなこれまでの すべての化学啓発活動にロゴマークを付してビジビリティの向上を 目指すものです。

いずれもいわば全国区の活動ですが，期間限定型で集中的に盛り上 げる企画と，通年活動型で全国津々浦々いつでも「夢・化学-21 」ロゴマーク付きのイベントが行わ れている，という性格の異なる活動を2つ準備し，足並みをそろえ て最大の効果を狙おうとする点が特徴です。提案4団体だけではな く，経済産業省や文部科学省，さらにはマスコミ関係者の賛同も得 ており，産学官一体となった初めての本格的な取組みで，化学の啓 発活動，市民権獲得にとっての決め手となるものと期待しています 。

◆「化学の日」「化学週間」のイベントは？
「化学の日」を長く定着させるためには. 活動現場に新たなロードを課さないことが 重要と考えます。新たに企画するのではな くて，現在行われているイベントの開催日 をできるだけ「化学の日」「化学週間」の 日程に合わせていただくことで.最大の効 果を上げようとの考えです。すでに，各支 部や産業界に対して，日程調整のご協力を お願いしています。
ただ，初年度の今年は，「化学の日@開成学園」「化学週間@東京 大 学」「子ども実験ショー@近畿」などのキックオフイベントを企画 中です。
また，各種一般紙や月刊誌「ニュートン」「化学」「現代化学」「 子供の科学」などへのPR記事掲載の企画も進んでいます。

■2014/06/30-------------------------------------------------------------------------------------------

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数学月間SGK通信 ［2014.07.01］ No.018
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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今回も，MMP,plusマガジン42号の翻訳です．
(2007年の数学月間懇話会で配布したものです）
017号のHTML形式が正しく表示されなかったので，少し長くなりますが，018号は全文通しで掲載します．
数学が映画に入る
http://www.plus.maths.org/issue42/features/lasenby/index.html
Joan Lasenby
ポップコーンは手に入れたか？よい席は選んだか？座り心地は良いか？
それではタイトルロール....
◆数学が誇らしげにプレゼント....
映画の中の信じられないほど真に迫ったコンピュータで作られた映像に皆な驚く．ジュラシック・パークの恐竜，ロード・オブ・ザ・リングズの不思議 ---- 特に，ガーラムの出演者 --- は，数学なしではできなかったということを知らない人が何と多いことか．どのようにして，これらの驚くべき映像が作られるのだろう？  
コンピュータ・グラフィックス，コンピュータ・ビションは大きな課題だ．
この記事では，完成作品に使われる数学のいくつかを簡単に概観する．
最初に映画の世界を創造し，次にそれを生活へ持ち来たそう．
◆場面を作る
http://plus.maths.org/issue42/features/lasenby/trianglesurface_web.jpg
最初の対象物は，三角形のような単純多角形よりなる針金骨格として作られる．
コンピュータ生成映画を作る第一ステップは，物語中のキャラクターや，それらが棲む世界を創造することだ．これら対象物のそれぞれは，接続された多角形（通常は三角形）で構成された表面として作られる．
各三角形の頂点は， コンピュータメモリにストアされる．
どの三角形のどちらの面が，物体やキャラクターの外側であるかを知ることは重要だ．この情報は， ストアされている頂点の順番として，右ネジの規則に従い記号化される．これで，どちらが外か一意に決まる．
［頂点の順番に従い，三角形の周りを右手の指を, 人差し指，中指，．．と回したとき］
諸君の親指が向いているのが三角形の外側だ．例でやってみよう．
三角形（A,B,C）の外側方向（外側法線）は，三角形（A,C,B）の外側方向と反対であることがわかるだろう．
http://plus.maths.org/issue42/features/lasenby/rhrule_web.jpg
右ネジ規則で定義された（A,B,C)の外側法線は(A,C,B)とは反対方向
http://plus.maths.org/issue42/features/lasenby/rayfacet.jpg
諸君の視点からファセット面までの光線を追跡しよう．光線は反射して光源を通過するか？
いまや対象物の表面は三角形の針金網で，網のコンポーネントのそれぞれを彩色する準備ができた．
我々がモデル化している光景のライティングを，実際と同じにすることが重要である．
これは光線追跡と呼ばれるプロセスを用いなされる．
視点から物体へと遡り光線追跡し，反射させる．もし，目から出た光線がファセット面（針金網三角形の中の一つ）で反射され，光源を通過するなら，そのファセット面は光源に照らされ明るい色，もし，反射された光線が，光源を通過しないなら，そのファセット面は暗い色の影付をする．
光線を特定のファセット面まで追跡するには，表面を数学的に記述し，光線とファセット面の平面とが係わる幾何学方程式を解くことが必要になる．
これはベクトルを用いなされる．光景の３次元座標系に，視点となる原点(0,0,0)を加える．
ベクトル$$v=(a, b, c)$$は，原点から発し座標 $$ a, b, c$$で終わる矢である．
例えば，$$v$$にスカラー2を乗ずるのは，規則 $$2v=2(a,b,c)=(2a,2b,2c)$$のように行う．
$$2v$$は$$v$$と同じ方向で２倍長い矢だ．表現$$λv$$を見よう．$$λ$$は変数（言い換えれば，任意の実数）．
これはもはや，ある長さの矢ではない．  長さが変数になったのだから，矢の方向だけを表している．別の言葉でいえば，この表現はベクトルvを含む直線を表す．それは我々の視点からベクトルvの方向に発する光線を記述する．
三角形のファセット面で定義される平面は，３つの情報で表現される：
３頂点のうちの１つの位置頂点$$a_1$$と，$$a_1$$から$$a_2$$へのベクトルと，
$$a_1$$から$$a_3$$へのベクトルである．
下の囲みの中に，目とファセットで決定される面から発する一本の光線の方程式を与えた．光線がファセットをよぎるか否か，何処でよぎるかを知り，反射された光線の方程式を計算するには，これらの2式を解かねばならぬ．
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光線の表現 $$ r=λv $$
頂点  $$ a_{1},a_{2},a_{3} $$のファセットが定義する平面の式
$$ r=a_1+μ_1(a_2-a_1)+μ_2(a_3-a_1) $$
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（光線追跡の数学の詳細は，Turner Whittedの革新的な論文
”影付け表示のための改良された照明モデル”，Communication of the ACM,Vol.23,Isuue6に見ることができる．）
光線追跡は現実味ある光景を作り出すことができるが，たいへん遅い．
これはコンピュータが作る映画の製作には用いることができるが，コンピュータゲームのようにリアルタイムで照明を変化させることが必要な場合問題である．
影や火線束（コースティク）［収差による回り込みでできる光像］，多重反射のような複雑な現象は，モデル化が困難で，動的あるいはもっと巧妙な数学的な手法，事前計算放射輝度伝搬（PRT)やラジオシティ（R)が使われる．
http://plus.maths.org/issue42/features/lasenby/doom3_web.jpg
http://plus.maths.org/issue42/features/lasenby/neverwinter_web.jpg
コンピュータゲームDOOM3，Neverwinter nights はダイナミックライティングが必要だ．
◆必要なのは若干の想像力
光景，照明が出来てしまえば，監督が”アクション！”と叫び，キャラクターが動き出すのを待っばかりだ．
いまや，数学がイメージに命を吹き込むのを確かめよう．
最も基本的な物体の動きの一つは，与えられた軸の回りの与えられた角度の回転である．
座標幾何学は，回転後の物体各点各点の位置を計算するツールを提供する．
だがこれらのツールは効率的で高速であることが重要だ．
これらのツールを見るにあたり，数学授業に一寸立ち寄って見る．．．．
［訳注：この後に，複素平面のこと，複素数に虚数 $$ i$$ を乗じると反時計回りの90度回転になること，などの説明が続くのだが略］．．．．．．．．
http://plus.maths.org/issue42/features/lasenby/complexplane.gif
1806年にアマチュア数学者Jean Ribert Argandは複素数と $$ i$$ に幾何学的な解釈を与えた．
複素数を乗ずることは，幾何学的には回転を表す．
◆3Dへ
http://plus.maths.org/issue42/features/lasenby/plaque.jpg
Broone橋にある記念プレート，
Hamiltonが４元数を発明したときこの橋の下を散歩していた．
数学者William Rowan Hamilton卿はDublinのTrinity学寮の最も著名な息子であろう．
彼は最後の20年，複素数が２次元の回転を表すのと同様な３次元の回転の表現を捜し求めた．
人生の最後にHamiltonは，4元数という答えを見出した．
$$ q=a_{0}+a_{1}i+a_{2}j+a_{3}k $$
ここで，$$i^2=j^2=k^2=ijk=-1$$，   $$a_0, a_1, a_2, a_3$$は実数．
複素数でしたように，４元数を幾何学的に記述し，回転の表現に用いよう．
今度は2次元でなく３次元の回転だ．
$$i, j, k$$は，3次元内の基本平面：$$i$$はyz平面，$$j$$はxz平面，$$k$$はxy平面で,
外側向き法線はそれぞれ  x，-y，z方向である．
http://plus.maths.org/issue42/features/lasenby/planes_web.jpg
$$i, j, k$$は，３次元空間の基本平面という幾何学的解釈ができる．

点$$a=(a_1,a_2,a_3)$$を，角$$β$$だけ原点を通る$$b=(b_1,b_2,b_3)$$軸の回りに
回転してみよう．２つの４元数$$q_1,q_2$$を$$b,β$$から作る．
$$ q_1=cos(β/2)+sin(β/2)(b_{1}i+b_{2}j+b_{3}k) $$
$$ q_2=cos(β/2)-sin(β/2)(b_{1}i+b_{2}j+b_{3}k) $$
a(x,y,z方向の単位ベクトルの線形結合)に，これら２つの４元数を乗じて
$$a'=q_1aq_2$$
この積で得られる点$$a'$$は，$$a$$を与えられた軸の回りに角度$$β$$だけ回転したものだ．
複素数は平面内の回転記述，４元数は３次元空間内の回転記述に用いられる．
ダブリンの橋の下を通りかかったとき，Hamiltonのひらめきは，３次元で物体を回転させる最も効率の良い方法であることがわかった．だが彼の新しい乗法で，だれも幸福にならなかった．
物理学者Kelvin卿は４元数のことを：”....美しく巧妙だが，とにかく，これに触れるものには，純粋邪悪である...と評した．とりわけ厄介なのは，２つの4元数を掛け合わせるとき，答えがかける順番で変わることだ．
この特性を非可換という．Hamiltonの積則をみれば，$$ij=k, ji=-k$$が示せる．
もし，$$i, j, k$$を単位平面のように扱えば，Kelvinや彼の同時代の人々を困らせた特性は，直接導ける．
◆映像を生活へ
Hamiltonの発明はいまや多数の物体を動かしたり，運動の創出へのｸﾞﾗﾌｨｯｸ応用に使われる．コンピュータグラフィックで最も重要なツールの２つは，変形と補間である．
補間とキーフレーミング技術は，物体の初めと終わりの形と位置の特定と，その間の様子をコンピュータに計算させることだ．以下に示す映像のように：
http://plus.maths.org/issue42/features/lasenby/teapots_web.jpg
一連のフレームにわたって徐々に変形するティーポットの形
諸君は，未発達のへびのアニメーション（Richard Wareham製作）を見ることができる．
ここではへび全体が，いくつかの特定な点の運動から，補間を用いてコンピュータで作られた．
[訳注：ファイルのダウンロード先は略]
変形は単純なものから複雑なものを作り出す方法だ．
下の映像のように，変形球を覆っている布は，普通の球面で起こる同じ光景を数学的な変形をして得られる．
変形も補間も速くて安定な数学的技術を必要とし，４元数関連の手法がこれを提供する．
http://plus.maths.org/issue42/features/lasenby/sphere.png
http://plus.maths.org/issue42/features/lasenby/deformed_sphere.png
◆ガーラムを信じさせる
http://plus.maths.org/issue42/features/lasenby/motioncapture1.jpg
http://plus.maths.org/issue42/features/lasenby/dots.jpg
http://plus.maths.org/issue42/features/lasenby/skeleton.jpg
データは体の色々な部分に付属しているリフレクターの運動からキャプチャーされる．....
....骨格は，データに数学的にフィットさせる．
上で記述したテクニークは古典的なアニメーションでも基本的なツールである．
漫画キャラクターでは，我々はその結果が信じられるのはとても幸せだ．
しかし，人間のアニメーションでは，たちまち偽者とわかってしまう．
現実味ある動きを作り出すにはモーションキャプチャーが必要になる．
ロードオブザリングズのフィルムバーションから，ガーラムのような多数のキャラクターを作るにはモーションキャプチャーによる．これらは，身体，頭，肩，ひじ，ひざなどの回転点に，本当の人のリフレクターを付加して作られる．それぞれは，多重のカメラによってフィルム化されリフレクターの位置の変化をコンピュータに記録する．
骨格は３次元データでフィットされる．
最後に，上に記述された技術はすべて，骨格上に具体化し，生活し，呼吸し，動くキャラクターを作り出す．
もしまだ諸君がタイトルロールを完全に見るために留まっているなら，首尾よい映画作製で使われた種々の製作タレントに気づくだろう．
作者，ディレクタ，俳優，衣装デザィナー，プロップビルダー，．．．．これらのクレジットリストが続々流れる．
しかし一つの名前がしばしばタイトルロールから忘れられている?数学だ．
今日の映画の多くは，光線追跡の幾何学，４元数による空間内の回転なくしてはできない．
次回は，あなたの映画シートで，CGスペクタクルを楽しむために，数学に対してポップコーンを掲げよう．ショーの隠れたスターへ．（訳：谷 克彦）
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著者
http://plus.maths.org/issue42/features/lasenby/jl_small.jpg
Joan  Lasenbyはケンブリッジ，トリニティカレッジで数学を専攻し，電波天文学グループ物理学科のPhDをとった．
マルコーニの企業で短期間働いた後に，大学に戻り，現在，ケンブリッジ大学工学部の信号処理グループの講師や
トリニティカレッジの研究のディレクター，研究員である．
彼女の興味は，コンピュータビジョン，コンピュータグラフィックス，画像処理，モーションキャプチャと幾何代数の分野にある．

■2014/05/01--------------------------------------------------------------------------------------------

 数学月間SGK通信No002
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　数学月間SGK通信 ［2014.05.03］ No.002
　<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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■お知らせ
数学月間とは
2014年数学月間懇話会（第10回）

■大規模データの解析困難さ！
　2012年の米国MAMのテーマは，＜数学，統計学とデータの洪水＞でした．
統計学は，品質管理，医療・創薬・臨床，経済金融，統計調査，データマイニングなどの分野に係わり，現在ますます必要性が増しています．.
　大規模データ（データの洪水）といっても，被験者1人から大量（P個）の特性データを採集できるのだが，解析する特性数より被験者の数（N個）がはるかに少ない（N<<P）という状態で，推論を行うのはとても困難である．
これを「新NP 問題」という．
　つまり，大規模データがあっても，データがむしろ不足している状況で，このような状態に適用できる統計的推論の新手法が必要とされています．

■不確かさで満ち溢れた世界！
私達は，観測データからモデル（現象を起こす仕組み）を推定する．
このモデルが，全ての観測データをよく説明したとしても，このモデル（サイバー世界）が真実であるがどうか誰にもわからない．将来，このモデルで説明できないデータが観測される可能性は消せないのだから．
かように私達の世界は，不確かなことで満ち溢れています．

■■編集後記　
　私達は，yes/noのデジタル思考に毒されているので，数学や科学は，yes/noの答えを出せるはずと思い込んでいます．あるいは，判断できないと知りつつ「専門家の判断」と言って責任転嫁に利用するのは政治の常套手段です．
真実はあるのだが，yesでもnoでもないのが真実．それを，「yes/noに2値化」するのは科学ではない．まことに理不尽な要求です．このようなグレーゾーンを，自分に都合の良いように2値化するのは，似非科学．
これを報道する大手メディアの数学リテラシーの欠如を憂います．論理に忠実に，不確かなものは不確かと言うのが正しいのです．
例えば，安全/危険のデジタル区分は何処にありますか？
これは，数学や科学で答えを出せません．その判断は，国民がどのような価値を選択するかの問題です．
これは，科学を超えて判断する＜トランス・サイエンス＞の課題になります．
数学や科学の結果を恣意的に利用されて，科学の信用を落とすことが心配です．
数学月間が今ほど必要な時代はありません．

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数学月間の会(SGK)
sgktani@gmail.com
http://sgk2005.org/
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SGK通信No001
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　数学月間SGK通信 ［2014.05.03］ No.001
　<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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■■数学月間を知っていますか
7月22日?8月22日は数学月間です．
日本数学協会は，2005年に，7月22日?8月22日を数学月間と定めました．
この期間は，数学の基礎定数 π(22/7=3.142..) とe(22/8=2.7..) に因みます．
「数学が社会を支えていることを知り，逆に，社会の課題を数学が知る」機会です．この期間に，数学への関心を高めるイベントが各地で開催されるよう応援しています．SGK通信に情報をお寄せください．
毎年，月間初日の7月22日には，数学月間懇話会を開催しています．

■■お知らせ
数学月間懇話会（第10回）
日時●７月２２日，14:00-17:10
プログラム●
1.人口の集合関数としての「民力指数」
　松原望（東京大学名誉教授，聖学院大学）
2.スパゲッテイを巡る旅，
　中西達夫（株・モーション）
3.数学月間の狙と効用，今年の米国MAM
　片瀬豊，谷克彦（日本数学協会）
会場●東京大学（駒場）数理科学研究科棟，002号室
最寄り駅●京王井の頭線「駒場東大前」
参加費●無料
問合せ先●日本数学協会，数学月間の会（SGK）
sgktani@gmail.com，谷克彦（SGK世話人）
一般の方が対象ですご参加お待ちしています．直接会場においでください．．
17:30からは，構内で各自払いの懇親会も予定しています．
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■■数学に関心を（第１回）

■米国MAMはレーガン宣言から始まった
連載第1回目は，米国MAMのスタートとなったレーガン宣言です．
全文を掲載します．
どなたの草稿か知りませんが，格調高く今日でも心を打ちます．
米国MAMのスタート時は月間行事ではなく，週間行事MAWでした．
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アメリカ合衆国大統領による宣言5461
　｢国家的数学週間」1986年4月17日

宣言(National Mathematics Awareness Week)

　およそ5000年前，エジプトやメソポタミアで始まった数学的英知は，
科学･通商･芸術発展の重要な要素である．
ピタゴラスの定理からゲオルグ･カントールの集合論に至る迄，目覚ましい進歩を遂げ，さらに，コンピュータ時代の到来で，我々の発展するハイテク社会にとって，数学的知識と理論は益々本質的になった．
　社会と経済の進歩にとって，数学が益々重要であるにも拘わらず，数学に関する学課が米国教育システムのすべての段階で低下する傾向にある．
しかし依然として，数学の応用が医薬，コンビュータ･サイエンス，宇宙探究，ハイテク商業，ビジネス，防衛や行政などの様々な分野で不可欠である．
数学の研究と応用を奨励するために，すべてのアメリカ人が，日常生活において，この科学の基礎分野の重要性を想起する事が肝要である．
　上院の共同決議261で，国会が1986年4月14日から4月20日の週を，国家的な数学週間に制定し，この行事に注目する宣言を出す事を大統領に要請した．
　今日，アメリカ大統領，私ロナルド･レーガンは，
1986年4月14日から4月20日の週を国家的数学週間とする事を，ここに宣言する．
私はすべてのアメリカ人に対して，合衆国における数学と数学的教育の重要性を実証する適切な行事や活動に参加する事を勧告する．
その証拠として，アメリカ合衆国の独立から210年の西暦1986年の４月17日，ここに署名する．ロナルド･レーガン(Ronald Reagan)
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■米国MAM活動の様子（2006年当時の記事）

　各地の大学を中心に，講演会，講習会，展示会等が展開される．
婦人向け数学講習会，女性数学者の伝記奨励，数学に関する優れた記事を書いたジャーナリストの表彰，教え方の優秀な高校の数学教師と大統領が食事を共にする等々の行事が報告されています．［いかにも米国らしい］
　毎年，国家的に統一テーマが選定され，開発されたテーマ用素材は，電気自動車［2006年当時は先端だった］を使って配られる．
活動の総括と結果集計は、毎年，春に行い，次年度への企画の検討に入る．

力を結集し参加を奨励するために，AMS，MAA，SIAMのリーダー，部門長，選ばれた高校の先生，公共政策の代表者，関係する団体のリーダー達へ，その年のMAMの小包が送付される．これには，カラーポスター，はがき，現地の活動に役立つ素材のリスト，特別なMAM行事を行うにあたりメディア報道等を含んでいる．
　MAMの活動は，学部，先生，諸学年の生徒，両親，他の公共社会のメンバー，公的政策リーダーやビジネスマン達の幾千人もの意見で評価される．
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■MAMの年度別テーマ

1986数学----基礎的訓練
1987美と数学の挑戦
1988米国数学の100年
1989発見のパターン
1990通信数学
1991数学----それが基本
1992数学と環境
1993数学と製造業
1994数学と医学
1995数学と対称性
1996数学と意思決定
1997数学とインターネット
1998数学と画像処理
--MAWからMAMへ------
1999数学と生物学
2000数学は全次元に
2001数学と海洋
2002数学と遺伝子
2003数学と芸術
2004ネットワークの数学
2005数学と宇宙
2006数学とインターネット保全
2007数学と脳
2008数学と投票
2009数学と気候2013持続可能性の数学
2010数学とスポーツ
2011解明進む複雑系
2012統計学とデータの洪水
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注）略語表
MAM：Mathematics Awareness Week
MAM: Mathematics Awareness Month(4月)
AMS：American Mathematical Society米国数学会
MAA: Mathematical Association of America米国数学協会
SIAM: Society for Industrial and Applied Mathematics工業応用数学会
ASA: American Statistical Association米国統計学協会
JPMB: Joint Policy Board for Mathematics米国連結政策協議会
*）2006年から、ASAが加盟することになった．

■■編集後記
　数学月間は数学者のものではなく，一般人が対象です．
数学は，ものごとの本質を追求し，装飾を剥ぎとり，その本質をあぶりだします．
出来上がった抽象化された概念体系（定理）を，数学者は美しいと感じます．
数学とは，そのような理論体系であるべきことは確かです．
しかし，このようにして出来上がった抽象的な数学を見せられても，一般人は興味が湧かない．そこで，数学月間は＜数学と社会の架け橋＞として，数学が実際の課題に使われていることを示して行こうと考えています．

　大学の数学では，完成され抽象化された数学を，数学科の先生が教えます．
これは，数学科の学生に対する教程としてはオーソドックスなものですが，数学科でない学生には不親切であります．工学，薬学，経済学など，それぞれの専門に適した内容の数学が必要であると考えられ始めました．
このような議論は，英国のMMPや日本の「教育数学の構築」などで見られます．

■2014/05/01---------------------------------------------------------------------------------------------

数学月間SGK通信
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数学月間SGK通信　[2014.05.01]　No.000
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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■■数学月間を知っていますか
7月22日~8月22日は数学月間です．日本数学協会は，2005年に，7月22日?8月22日を数学月間と定めました．
この期間は，数学の基礎定数 π(22/7=3.142..) とe(22/8=2.7..) に因んでいます．
「数学が社会を支えているのを知るとともに，逆に，社会の課題を数学が知る」機会でもあります．この期間に，数学への関心を高めるイベントが各地で開催されるよう応援しています．月間初日の7月22日には，数学月間懇話会を開催します．

■■お知らせ
数学月間懇話会（第10回）
日時●７月２２日，14:00-17:10
プログラム●
1.人口の集合関数としての「民力指数」
　松原望（東京大学名誉教授，聖学院大学）
2.スパゲッテイを巡る旅，
　中西達夫（株・モーション）
3.数学月間の狙と効用，今年の米国MAM
　片瀬豊，谷克彦（日本数学協会）
会場●東京大学（駒場）数理科学研究科棟，002号室
最寄り駅●京王井の頭線「駒場東大前」
参加費●無料
問合せ先●日本数学協会，数学月間の会（SGK）
sgktani@gmail.com，谷克彦（SGK世話人）
直接会場においでください．ご参加お待ちしています．
17:30より構内で各自払いの懇親会も予定しています．

■■数学に関心をもとう（連載）
米国MAMの紹介，英国MMPの紹介，日本の数学月間，数学まつりの紹介などを予定4月は，米国Mathematics Awareness Month（MAM）の実施月でした．
今年は，マーティン・ガードナー（サイエンス誌で長期にわたり数学コラムを連載）の生誕百年に当たるため，Maths, Magic and Mysteryがテーマでした．
米国MAMは，1986年4月18日のレーガン宣言により始まったもので，数学への関心を喚起し産業や社会への数学の融合を狙っています．米国MAMは毎年統一テーマを決めて国家を上げて実施されます．
選ばれるテーマは，複雑系，べき乗則，大量データの解析，など現代社会にタイムリーなもので，これらは，次号から順次紹介して行く予定です．
英国でも同じような活動 Millennium Maths Project (MMP)が実施され，生徒や学生，一般人への数学の啓蒙が行われています．これらも紹介しましょう．我々の数学月間や数学まつりの話題も紹介します．

■■編集後記
「漢字が読めないのは恥だが，数学は出来なくても構わない」と平気で語る大人たちのいる社会は問題です．
そのような両親では子供は数学嫌いになります．論理を軽視する社会では正義が成り立ちません．
私たちの世界は不確かで危うい．今，皆が信じている科学法則でも例外が発見されないとは限りません．
yes/noの答えを求めてもかないません．私たちは，デジタル思考ではなく確率を正しく理解し判断する必要があります．

■
数学月間の会(SGK)片瀬豊・谷克彦
sgktani@gmail.com
https://sgk2005.org/

■2014/09/30--------------------------------------------------------------------------------------------

化学の日
「化学の日」に関する情報を数学月間応援者から頂きました：
日本化学会，化学工学会，日本化学工業協会，新化学技術推進協会の4団体が，
10月23日を「化学の日」，その日を含む月曜日から日曜日までの1週間を
「化学週間」と昨年制定しました．
早速今年は産官学一体となって，化学の普及活動が国民亭イベントとなるように
呼びかけています．数学月間でもこのような取り組みが必要です．

＊今年の「化学の日」活動記事はCCI_67_787(1).pdf
イベント一例
＊「化学週間」君たちの将来と化学の未来＠東京大学
http://www.s.u-tokyo.ac.jp/info.html?id=4165
の高校生向きの催しの情報もあります．

2014/07/23
数学月間懇話会（10）
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◆数学月間懇話会（第１０回）
日時●７月２２日，14:00-17:10

1.人口の集合関数としての「民力指数」

　松原望（東京大学名誉教授，聖学院大学）
　14:10-15:10
2.スパゲッテイを巡る旅，
　中西達夫（株・モーション）
　15:20-16:20
3.数学月間の狙と効用，今年の米国MAM
　片瀬豊，谷克彦（日本数学協会）
　16:30-17:10
ーーーー
会場●東京大学（駒場）数理科学研究科棟，002号室
最寄り駅●京王井の頭線「駒場東大前」
参加費●無料
問合せ先●日本数学協会，数学月間の会（SGK）
sgktani@gmail.com，谷克彦（SGK世話人）
直接会場においでください（開場13:30）．ご参加お待ちしています．
17:30より構内で各自払いの懇親会も予定しています．

2014/04/13
Globe朝日新聞記事

http://globe.asahi.com/feature/100201/memo/06.html

「0」を教えない罪

算数や数学を教える「遠山真学塾」を主宰する小笠毅（69）は、いまの学校での算数教育を嘆く。
小笠が例に挙げるのは、小学1年生の教科書の最初に出てくる数字だ。海外では、0（ゼロ）、1、……9と教えることが多い。しかし日本の教科書には、1、2、…9、10と並ぶ。
算数教育で最初に子どもがつまずくのが「位取り」の概念だが、「0」を教えずに「10」を示す。だから「じゅういちを書いてごらん」と言うと、「101」と書いてしまう子もいる。「0」を教わらずに、「10」を一つの数字として教わるから、「20」や「100」など、「0」が出てくる数字をどう理解したらよいのか戸惑ってしまうのだという。

本来、ものの仕組みを調べ、実態に迫ろうとするのが、数学だ。いまの教育は、理屈も説明せずに覚えさせる。覚えられなかったり、なぜそうなるのか躊躇したりしていると置いていかれる。
小笠は言う。「本当は、数は楽しい『数楽（すうがく）』。現状は、『数が苦』になってしまっている」

2014/04/13
Globe朝日新聞記事

http://globe.asahi.com/feature/100201/memo/05.html
友愛は無限か

数をめぐっては、未解決の問題がたくさんある。

（1）「双子素数」は無限に存在するか
双子素数とは、11と13、857と859など、差が2の素数の組のこと。「素数が無限個ある」ことは、紀元前から証明されているが、双子素数が無限に存在するのかは、今もわかっていない。

（2）4以上のすべての偶数は、2つの素数の和で表すことができる
ゴールドバッハ予想と呼ばれる未解決問題だ。6＝3＋3、8＝3＋5、10＝3＋7…というように、4以外の偶数は、2つの素数の和で表されることが、コンピュータにより、20桁ぐらいまでのすべての偶数について成り立つことは確認されている。

（3）「友愛数」は無限に存在するか
友愛数は、小川洋子の小説『博士の愛した数式』にも登場する。異なる自然数の組で、自分自身を除いた約数の和が、相互に等しくなる数の組をいう。
一番小さな友愛数は、220と284。220の自分自身を除いた約数は、1、2、4、5、10、11、20、22、44、55、110で、足すと284。一方、284の自分自身を除いた約数は、1、2、4、71、142で、その和は220となる。友愛数の組が無限に存在するのかは、証明されていない。

2014/04/13
Globe朝日新聞記事
 
http://globe.asahi.com/feature/100201/memo/04.html

ヒマワリとダビンチ

自然界には、多くの「数学」が潜む。
例えば「フィボナッチ数」。0、1、1、2、3、5、8、13、21……。1＋2＝3、2＋3＝5というように、隣り合った数の和が次の数になる数列だ。実は、このフィボナッチ数が、ヒマワリに姿を現す。ヒマワリの種は、中心に向かってらせん（渦巻き）状に並ぶが、このらせんの本数は決まってフィボナッチ数のどれかに一致すると言われている。
梅や桜の花びらは5枚、コスモスの多くは8枚だ。あたかも植物が数学を知っているかのようだ。

このフィボナッチ数の隣り合う比をとると、数が大きくなるにつれ、1.618に近づく。1対1.618…は黄金比と呼ばれ、「もっとも美しく見える比」として、レオナルド・ダビンチの絵画など、芸術の世界に頻繁に登場する。人間の「美的感覚」にも数学が潜んでいる

2014/04/13
Globe朝日新聞記事
 
http://globe.asahi.com/feature/100201/memo/03.html

数学と社会／「数学の誤用」 監視も必要

産業と数学の急接近を、数学界全体が歓迎しているわけではない。特に、美や真理に魅せられた数学者にとっては「数学は実社会に役立たないからこそ、純粋で美しい」との美意識が根強い。

近代日本の代表的な数学者、高木貞治は、数学の社会への貢献の必要性を説きつつ、「『実用』と言っても、本当には実用にはならない。実用的というのは、つまり融通が利かないということだ」と語った。目先の実利で「応用」を考えた数学は、大成しないというわけだ。

コンピューターの原理を考案した数学者フォン・ノイマンは、原爆開発のマンハッタン計画で中心的役割を果たした。一方で、同時期に活躍した数学者、ノーバート・ウィナーは戦後、「もし研究が無責任な軍関係者の手に渡れば、必ず害になる」として、軍や兵器開発への協力を拒絶し、医療分野などへの応用を望んだとされる。

数学者で哲学者のバートランド・ラッセルは反核・反戦運動を展開。「ラッセル・アインシュタイン宣言」を出した。これには湯川秀樹も参加した。学生時代に物理を専攻した応用数学者の津田一郎・北大教授は「核分裂を自然現象として記述するのはいいが、爆弾に使うといった瞬間に悪魔になる。数学や科学が持つ『美意識』とは違うモラルが要求される」と話す。

数学者の遠山啓はかつて「数学の役割の増大に伴い、数学者の社会的役割も増大する。社会的にどのような責任をとるべきか、議論せねばならない」と主張。「数学の誤用がいかに大きな害を社会に及ぼしうるかも知っておかねばならない」と指摘した。

2014/04/13
Globe朝日新聞記事

http://globe.asahi.com/feature/100201/memo/02.html

数学と社会／他分野との連携模索

日本の文部科学省科学技術研究所も06年、「忘れられた科学―数学」という報告書で、産業分野における数学を「構図や構造を支配する原理を見いだすための強力なツール」と位置づけた。

大学での取り組みも始まっている。

九州大は06年、数学科の博士課程の一部で、企業での実習を義務づける「インターンシップ制」を導入。当初、260社に案内したが、「何をさせたらいいのかわからない」と受け入れはゼロ。しかし徐々に浸透するうち、特許や共同研究にも発展する成果も生まれている。若山正人・数理学府長は「企業側にもようやく、社会インフラとして数学に注目しようという風潮が芽生えてきた」と語る。

文科省から委託を受けた九大、東大と日本数学会、新日鉄は、人文系も含めた国立大学の研究者5000人（数学、物理は除く）に、「数学と科学・産業」の問題意識を探るアンケートを実施。回答者の約3分の2が「自分の研究に数学の力を借りたい」と答えたという。

北大では、数年前から「数学質問箱」を設け、学内の他分野の研究者からの相談に乗っている。社会紛争を研究する経済学者、たんぱく質の結晶構造の生物科学者、一票の格差を検証しようとする法学者などが訪れた。08年には「数学連携研究センター」を設置した。

日本数学会では「様々な科学を縦糸とすれば、数学は横糸。同じような壁にぶつかっている課題に、横のネットワークで連携する仕組みを作りたい」（坪井俊・理事長）と、他分野や産業界と連携する枠組みを検討しているという。

2014/04/09
SGK通信(2014-16)数学月間について_片瀬

片瀬豊氏から，「数学月間」について以下の投稿がありました．
数学月間の栞.docx
〈数学月間）の狙いと効用.docx
クリックしてお読みください．

プレセンテーションs-数学月間の狙いと効用_片瀬豊.pdf

資料　日・米数学月間物語_片瀬.pdf

2014/03/26
SGK通信(2014-08)公開シンポジウム報告

「数理モデリング（数学と諸科学・産業）との連携の観点から）」
3月26日（13:00-15:30）日本学術会議にて，以下の５つのプレゼンテーションがあった．
楠岡成雄（東大），高田章（旭ガラス），山本昌宏（東大），長松昭男（キャテック），三村昌泰（明大）．［このあと引き続きパネルディスカッションが行われたが報告は略］

****　これらをまとめて，その要点を以下に報告する(谷）　****
◆
諸科学分野の研究者（モデリング発案）と数理解析の連携が望まれる．
連携で生れるのは，「現象数理科学」と呼べるような分野である．
◆
工業（産業界）では，現場で使えるシミュレータを望んでいる．
これは，オーダー評価ができることが重要で，真実追求とも違う筋書のようである．
このためのモデリングは，経験則と第一原理（＝物理や数学理論）でもなく，この両極端の中間にある．
少しでも現実に合った単純化されたモデリングは，その分野の研究者と数理解析者との連携でできる．
◆示された実例
・ガラスの結晶化のシミュレーションに結晶化を加速するために，変換されたポテンシャル地形を用いた．
・高炉の熱伝達のシミュレーション．数十か所のモニター・センサーのデータから，異常な温度変動の事前予知ができる．
・粉じん拡散のシミュレーション．セシウム137の拡散シミュレーション．実データを説明できる．

2014/02/23
SGK通信(2014-06)公開シンポジウム情報

3月には数学連携のいくつかの公開シンポジウムがあります．
以下の情報は， 出口隆之さんからです．
???
◆情報環境と人
-「突き抜ける」さきがけ研究の成果から-　
http://www.human.jst.go.jp/index.html
日時：3月１日（土）14:00?17:15
場所：7階 みらい館HALL（デモ展示は、１Fのインタラククティブ発表と連携）
主催：独立行政法人　科学技術振興機構振興機構（JST）
問い合わせ：さきがけ「情報環境と人」研究領域　領域事務所
e-mail: sympo@human.jst.go.jp　TEL:075-315-5261
事前登録制となっておりますが当日参加も受け付けます。
こちらの詳細ページhttp://www.human.jst.go.jp/index.html　から登録をお願いします。

◆数学連携ワークショップ
---生命科学、材料科学における数理---
日時3月16日（日）9:30-12:00
会場学習院大学北1号館201教室
主催文部科学省、統計数理研究所
共催日本数学会

プログラム
9:30--12:00 背景説明（文部科学省）
9:40--10:10 発表１「転写機構解明のための数理モデルとシミュレーション」
（大田佳宏 東京大学大学院 数理科学研究科 数理科学連携基盤センター/生命動態システム科学推進拠点/特任准教授）
10:10--10:20 質疑応答
10:20--10:50 発表２「Mixing time of molecules inside of nanoporous gold」
（Daniel M. Packwood 東北大学 原子分子材料科学高等研究 機構 助教）
10:50--11:00 質疑応答
11:00--11:30 発表３「生物と数学とロボットと」
（小林亮 広島大学大学院理学研究科 数理分子生命理学専攻/生命動態システム科学推進拠点/教授）
10:30--10:40 質疑応答
11:40--12:00 総合討論
参加費無料　事前予約不要
http://mathsoc.jp/meeting/gakushuin14mar/renkeiWS.html

◆日本学術会議公開シンポジウム
「数理モデリング（数学と諸科学・産業との連携の観点から）」が開催されます。
会場は日本学術会議講堂で、13時開催です。事前申し込み等は不要ですので、参加を希望される方は直接会場へお越し下さい。

公開シンポジウム
「数理モデリング（数学と諸科学・産業との連携の観点から）」
日時：2014年3月26日（水）１３：００?１７：３０
会場：日本学術会議講堂
主催：日本学術会議
共催：日本応用数理学会、日本統計学会、日本数学会　
参加費無料　事前申し込み不要
http://www.scj.go.jp/ja/event/pdf2/184-s-3-1.pdf
ーーー以上

2014/02/20
SGK通信(2014-05)サイエンスカフェ情報

「サイエンスカフェみたか」の以下の情報を岡崎昌史さんから頂きました：
?????
日本の伝統的な文化である折り紙は数学でも研究されています。太陽電池パネルを小さく畳み、宇宙で広げる際に折り紙の手法が使われている他、産業界やファッションでも採用されています。折り紙が意外なところで使われていることや「折り畳みの数学」について、石田さんからわかりやすく話していただきます。また、いろいろな試作品を持って来られますのでご覧ください。最後に、折り紙で簡単なフラワーポットを作ってみましょう。コーヒーなどソフトドリンクとクッキーを食べながら気楽に話をお聞きいただき、自由に質問をしてください。ご参加をお待ちしています。
　折り紙の手法を使った試作品は石田さんの下記のサイトで見ることができます。
　　http://sachi7.webnode.jp/
　◆期日：３月６日（木）午後６時半?８時半
　◆場所：三鷹ネットワーク大学　三鷹駅南口徒歩2分　三鷹駅前協同ビル３階　　　　　　　　0422?40?0313
　◆ゲスト：石田祥子（いしだ・さちこ）さん
明治大学先端数理科学インスティテュート研究員。2004年京都大学大学院航空宇宙工学専攻修士課程修了。数値流体力学と流体の安定性を学ぶ。民間企業で振動と騒音を研究。東京工業大学大学院機械物理工学専攻研究員を経て、12年4月より現職。折り紙の数理に基づいた構造設計と折り紙構造物の振動音響解析を研究。
　◆定員：25人（先着順）　ネットワーク大学事務局（0422?40?0313、
　　E-mail：info@mitaka-univ.jp）へお申込みください
　◆参加費：800円（茶菓子代を含みます）

2014/02/16
Globe朝日新聞記事
 
http://globe.asahi.com/feature/100201/memo/01.html
数学と社会／「数学力」が国力を左右

「数学が戦争に勝たせた。数学者が日本軍の暗号を解き、原子爆弾を作った。君らもその数学者だ。アメリカの未来は、君らの手の中にある」。映画「ビューティフル・マインド」の一幕。第2次世界大戦直後、数学者の卵たちを前に、大学教授が語った言葉だ。

国家と数学の密かなかかわり。そして、数学が新分野を切り開き、「産業の核」になるのではないか。ここ数年、産業界は「数学の実用化」への期待感を、にわかに高めている。

経済協力開発機構（OECD）は2007年、ワークショップ「産業における数学」を初めて開いた。翌年にまとめた報告書では、産業界が直面している問題の多くに数学的要素が含まれている、と指摘。数学と産業が協力することが双方の利益になり、国家経済にもメリットがあると強調している。

米国でも06年、ブッシュ大統領（当時）が、国際競争力の強化策として、数学教育の向上を一般教書演説で打ち上げた。これは98年に「米国での数学研究が欧州に後れを取っている」と危機感をあらわにした全米研究会議の報告書が出たのがきっかけだ。

ドイツでは08年、ダイムラーやルフトハンザなど様々な分野の企業トップらが数学の有用性を語った『数学が経済を動かす』（邦訳はシュプリンガー・ジャパン）という本を出版。前書きで、教育・研究相は「数学は私たちの日常生活にどれだけ浸透しているか。数学によって、現在住む世界をよりよく理解できる」と熱っぽく語る。

同じく数学の「先進国」であるフランスの高等科学研究所も09年、「産業と数学」に関するシンポジウムを開いた。

2014/02/15
SGK通信(2014-03)RIMS研究集会の様子

◆教育数学の一側面?“高等教育における数学の規格とは”
RIMS研究集会，研究代表者：岡本和夫（2014.2.12?2.14，京都大学RIMSにて）が開催されました．
最終日は雪でしたが，3日間熱心な議論が行われました．
プログラム→program　pdf
主に学習の質保証・参照基準の観点から，教育数学への意見交換がなされました．
-------------------
◆以下は，数学月間の会（SGK)から見た感想です：
工学部においても数学科で教える内容の数学で間に合わせるのではなく，それぞれの専門に必要なレベルにあった教育数学が望ましい．非数学系に対しての数学も同様に必要である．
数学月間の視点からは，工学や社会の課題に直面して既成の数学を学習せよという姿勢ではなく，数学者の方が入り込み，ニーズに合った数学を示し解いて見せることが，数学の信頼獲得に非常に重要であると考える．今回の教育数学の提案の中にもそのような方向性がうかがえる議論が多かった．
-------------------

2014/02/15
SGK通信(2014-04)世界は計算されている-ご案内

数学協働プログラムシンポジウムのご案内
??世界は計算されている？，　3月9日
詳しくは，　http://kuba.jp/~math/　をご覧ください．

2014/01/09
SGK通信(2014-02)教育数学の研究集会

教育数学の研究集会があります．
公開ですので興味ある方，一緒に考えることをお勧めします．
今日，学生にどのような内容の数学が必要であるのか？
他教科との連携や数学の体系としての完備の考慮が必要でしょう．
「数学と社会の架け橋」数学月間の立場からも参加します．
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RIMS研究集会
教育数学の一側面
―高等教育における数学の規格とは?
京都大学数理解析研究所の共同研究事業の一つとして下記のように研 究集会を催しますのでご案内申し上げます.
岡本和夫（大学評価・学位授与機構)， 蟹江幸博
日時：2014年2月12曰（水）9:30〜2月14曰（金）17:00
会場：京都大学数理解析研究所420号室
プログラムprogram_RIMS.pdf
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2014/01/06
SGK通信(2014-01)今年のMAMと数学月間懇話会予定

◆　2014年の米国MAMのテーマは，
“Mathematics, Magic and Mystery”
に決まりました．おもしろそうですね．
この３Mは切っても切れない縁がありますね．
http://mathplace.org/news/mathematics-awareness-month-april-2014

◆数学と社会の架け橋＝数学月間は7/22~8/22です．
この期間に数学に関心を持つイベントが活発になることを願っています．
2014年の「数学月間懇話会（第10回）」は，
例年通り7月22日午後に，東大（駒場）で実施予定です．

本年もよろしくお願いいたします．

2014/10/01
化学の日について

「化学の日」10月23日は，化学4団体が昨年制定しましたが，アボガドロ数$$6.02×10^{23}$$に因んでいます．これもやはり米国が先でNational Mole Foundationが10月23日をMole Dayと定め盛んな活動が行われているそうです．

以下は，化学と工業,Vol67-9,2014,玉尾皓平氏（日本化学会前会長）の記事からの抜粋です・・・・・・・
◆2年前の会長就任時に提案した2つの具体的提案を紹介します。
「全国一斉オープンキャンパス」：これが 「化学の日」と直結する提案です。各大学. 研究機関や化学企業で独自に行っているオープンキャンパスやオープンファクトリーを，「化学の日」「化学週間」にできるだけ 曰程を合わせて一斉に実施いただくことで，国民的イベントとして認知度を高めようとの取組みです。
「『夢・化学-21』の全国統一ブランド化」： 「夢・化学-21」キャンペーンの強化策として，そのロゴマークを意匠登録し，上で述ベたようなこれまでのすべての化学啓発活動にロゴマークを付してビジビリティの向上を目指すものです。

いずれもいわば全国区の活動ですが，期間限定型で集中的に盛り上げる企画と，通年活動型で全国津々浦々いつでも「夢・化学-21」ロゴマーク付きのイベントが行わ れている，という性格の異なる活動を2つ準備し，足並みをそろえて最大の効果を狙おうとする点が特徴です。提案4団体だけではなく，経済産業省や文部科学省，さらにはマスコミ関係者の賛同も得ており，産学官一体となった初めての本格的な取組みで，化学の啓発活動，市民権獲得にとっての決め手となるものと期待しています。

◆「化学の日」「化学週間」のイベントは？
「化学の日」を長く定着させるためには. 活動現場に新たなロードを課さないことが 重要と考えます。新たに企画するのではな くて，現在行われているイベントの開催日 をできるだけ「化学の日」「化学週間」の 日程に合わせていただくことで.最大の効 果を上げようとの考えです。すでに，各支 部や産業界に対して，日程調整のご協力を お願いしています。
ただ，初年度の今年は，「化学の日@開成学園」「化学週間@東京大 学」「子ども実験ショー@近畿」などのキックオフイベントを企画中です。
また，各種一般紙や月刊誌「ニュートン」「化学」「現代化学」「子供の科学」などへのPR記事掲載の企画も進んでいます。

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数学月間SGK通信 ［2014.07.01］ No.018
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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今回も，MMP,plusマガジン42号の翻訳です．
(2007年の数学月間懇話会で配布したものです）
017号のHTML形式が正しく表示されなかったので，少し長くなりますが，018号は全文通しで掲載します．
数学が映画に入る
http://www.plus.maths.org/issue42/features/lasenby/index.html
Joan Lasenby
ポップコーンは手に入れたか？よい席は選んだか？座り心地は良いか？
それではタイトルロール....
◆数学が誇らしげにプレゼント....
映画の中の信じられないほど真に迫ったコンピュータで作られた映像に皆な驚く．ジュラシック・パークの恐竜，ロード・オブ・ザ・リングズの不思議 ---- 特に，ガーラムの出演者 --- は，数学なしではできなかったということを知らない人が何と多いことか．
どのようにして，これらの驚くべき映像が作られるのだろう？  
コンピュータ・グラフィックス，コンピュータ・ビションは大きな課題だ．
この記事では，完成作品に使われる数学のいくつかを簡単に概観する．
最初に映画の世界を創造し，次にそれを生活へ持ち来たそう．
◆場面を作る
http://plus.maths.org/issue42/features/lasenby/trianglesurface_web.jpg
最初の対象物は，三角形のような単純多角形よりなる針金骨格として作られる．
コンピュータ生成映画を作る第一ステップは，物語中のキャラクターや，それらが棲む世界を創造することだ．これら対象物のそれぞれは，接続された多角形（通常は三角形）で構成された表面として作られる．
各三角形の頂点は， コンピュータメモリにストアされる．どの三角形のどちらの面が，物体やキャラクターの外側であるかを
知ることは重要だ．
この情報は， ストアされている頂点の順番として，右ネジの規則に従い記号化される．これで，どちらが外か一意に決まる．
［頂点の順番に従い，三角形の周りを右手の指を人差し指，中指，．．と回したとき］
諸君の親指が向いているのが三角形の外側だ．例でやってみよう．
三角形（A,B,C）の外側方向（外側法線）は，三角形（A,C,B）の外側方向と反対であることがわかるだろう．
http://plus.maths.org/issue42/features/lasenby/rhrule_web.jpg
右ネジ規則で定義された（A,B,C)の外側法線は(A,C,B)とは反対方向
http://plus.maths.org/issue42/features/lasenby/rayfacet.jpg
諸君の視点からファセット面までの光線を追跡しよう．
光線は反射して光源を通過するか？
いまや対象物の表面は三角形の針金網で，網のコンポーネントのそれぞれを彩色する準備ができた．
我々がモデル化している光景のライティングを，実際と同じにすることが重要である．
これは光線追跡と呼ばれるプロセスを用いなされる．
視点から物体へと遡り光線追跡し，反射させる．もし，目から出た光線がファセット面（針金網三角形の中の一つ）で反射され，
光源を通過するなら，そのファセット面は光源に照らされ明るい色，もし，
反射された光線が，光源を通過しないなら，そのファセット面は暗い色の影付をする．
光線を特定のファセット面まで追跡するには，表面を数学的に記述し，光線とファセット面の平面とが係わる幾何学方程式を解くことが必要になる．
これはベクトルを用いなされる．光景の３次元座標系に，視点となる原点(0,0,0)を加える．
ベクトル$$v=(a, b, c)$$は，原点から発し座標 $$ a, b, c$$で終わる矢である．
例えば，$$v$$にスカラー2を乗ずるのは，規則 $$ 2v=2(a,b,c)=(2a,2b,2c)$$のように行う．
$$2v$$は$$v$$と同じ方向で２倍長い矢だ．表現$$λv$$を見よう．$$λ$$は変数（言い換えれば，任意の実数）．
これはもはや，ある長さの矢ではない．  長さが変数になったのだから，
矢の方向だけを表している．別の言葉でいえば，この表現はベクトル$$v$$を含む直線を表す．
それは我々の視点からベクトル$$v$$の方向に発する光線を記述する．
三角形のファセット面で定義される平面は，３つの情報で表現される：
３頂点のうちの１つの位置頂点$$a_1$$
と，$$a_1$$から$$a_2$$へのベクトルと，$$a_1$$から$$a_3$$へのベクトルである．
下の囲みの中に，目とファセットで決定される面から発する一本の光線の方程式を与えた．光線がファセットをよぎるか否か，何処でよぎるかを知り，反射された光線の方程式を計算するには，これらの2式を解かねばならぬ．
------------------------------------------
光線の表現  $$r=λv$$
頂点  $$a_1,a_2,a_3$$
のファセットが定義する平面の式
$$r=a_1+μ_1(a_2-a_1)+μ_2(a_3-a_1)$$
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（光線追跡の数学の詳細は，Turner Whittedの革新的な論文
”影付け表示のための改良された照明モデル”，Communication of the ACM,Vol.23,Isuue6に見ることができる．）
光線追跡は現実味ある光景を作り出すことができるが，たいへん遅い．
これはコンピュータが作る映画の製作には用いることができるが，コンピュータゲームのようにリアルタイムで照明を変化させることが必要な場合問題である．
影や火線束（コースティク）［収差による回り込みでできる光像］，多重反射のような複雑な現象は，モデル化が困難で，動的あるいはもっと巧妙な数学的な手法，事前計算放射輝度伝搬（PRT)やラジオシティ（R)が使われる．
http://plus.maths.org/issue42/features/lasenby/doom3_web.jpg
http://plus.maths.org/issue42/features/lasenby/neverwinter_web.jpg
コンピュータゲームDOOM3，Neverwinter nights はダイナミックライティングが必要だ．
◆必要なのは若干の想像力
光景，照明が出来てしまえば，監督が”アクション！”と叫び，キャラクターが動き出すのを待っばかりだ．
いまや，数学がイメージに命を吹き込むのを確かめよう．
最も基本的な物体の動きの一つは，与えられた軸の回りの与えられた角度の回転である．
座標幾何学は，回転後の物体各点各点の位置を計算するツールを提供する．
だがこれらのツールは効率的で高速であることが重要だ．
これらのツールを見るにあたり，数学授業に一寸立ち寄って見る．．．．
［訳注：この後に，複素平面のこと，複素数に虚数 $$ i$$ を乗じると反時計回りの90度回転になること，などの説明が続くのだが略］．．．．．．．．
http://plus.maths.org/issue42/features/lasenby/complexplane.gif
1806年にアマチュア数学者Jean Ribert Argandは複素数と $$ i$$ に幾何学的な解釈を与えた．
複素数を乗ずることは，幾何学的には回転を表す．
◆3Dへ
http://plus.maths.org/issue42/features/lasenby/plaque.jpg
Broone橋にある記念プレート，
Hamiltonが４元数を発明したときこの橋の下を散歩していた．
数学者William Rowan Hamilton卿はDublinのTrinity学寮の最も著名な息子であろう．
彼は最後の20年，複素数が２次元の回転を表すのと同様な３次元の回転の表現を捜し求めた．
人生の最後にHamiltonは，4元数という答えを見出した．
$$ q=a_0+a_1i+a_2j+a_3k $$
ここで，$$i^2=j^2=k^2=ijk=-1$$，  $$ a_0, a_1, a_2, a_3 $$は実数．
複素数でしたように，４元数を幾何学的に記述し，回転の表現に用いよう．
今度は2次元でなく３次元の回転だ．
$$i, j, k$$は，3次元内の基本平面：$$i$$はyz平面，$$j$$はxz平面，$$k$$はxy平面で，外側向き法線はそれぞれ  x，-y，z方向である．
http://plus.maths.org/issue42/features/lasenby/planes_web.jpg
$$i, j, k$$は，３次元空間の基本平面という幾何学的解釈ができる．
点$$a=(a_1,a_2,a_3)$$を，角$$β$$だけ原点を通る$$b=(b_1,b_2,b_3)$$軸の回りに回転してみよう．

２つの４元数$$q_1,q_2$$を$$b,β$$から作る．
$$q_1=cos(β/2)+sin(β/2)(b_1i+b_2j+b_3k)$$
$$q_2=cos(β/2)-sin(β/2)(b_1i+b_2j+b_3k)$$
$$a$$(x,y,z方向の単位ベクトルの線形結合)に，これら２つの４元数を乗じて
$$a'=q_1aq_2$$
この積で得られる点$$a'$$は，$$a$$を与えられた軸の回りに角度$$β$$だけ回転したものだ．
複素数は平面内の回転記述，４元数は３次元空間内の回転記述に用いられる．
ダブリンの橋の下を通りかかったとき，Hamiltonのひらめきは，３次元で物体を回転させる最も効率の良い方法であることがわかった．だが彼の新しい乗法で，だれも幸福にならなかった．
物理学者Kelvin卿は４元数のことを：”....美しく巧妙だが，とにかく，これに触れるものには，純粋邪悪である...と評した．
とりわけ厄介なのは，２つの4元数を掛け合わせるとき，答えがかける順番で変わることだ．この特性を非可換という．
Hamiltonの積則をみれば，$$ij=k, ji=-k$$が示せる．
もし，$$i, j, k$$を単位平面のように扱えば，Kelvinや彼の同時代の人々を困らせた特性は，直接導ける．
◆映像を生活へ
Hamiltonの発明はいまや多数の物体を動かしたり，運動の創出へのｸﾞﾗﾌｨｯｸ応用に使われる．
コンピュータグラフィックで最も重要なツールの２つは，変形と補間である．
補間とキーフレーミング技術は，物体の初めと終わりの形と位置の特定と，その間の様子をコンピュータに計算させることだ．以下に示す映像のように：
http://plus.maths.org/issue42/features/lasenby/teapots_web.jpg
一連のフレームにわたって徐々に変形するティーポットの形
諸君は，未発達のへびのアニメーション（Richard Wareham製作）を見ることができる．
ここではへび全体が，いくつかの特定な点の運動から，補間を用いてコンピュータで作られた．
[訳注：ファイルのダウンロード先は略]
変形は単純なものから複雑なものを作り出す方法だ．
下の映像のように，変形球を覆っている布は，普通の球面で起こる同じ光景を数学的な変形をして得られる．
変形も補間も速くて安定な数学的技術を必要とし，４元数関連の手法がこれを提供する．
http://plus.maths.org/issue42/features/lasenby/sphere.png
http://plus.maths.org/issue42/features/lasenby/deformed_sphere.png
◆ガーラムを信じさせる
http://plus.maths.org/issue42/features/lasenby/motioncapture1.jpg
http://plus.maths.org/issue42/features/lasenby/dots.jpg
http://plus.maths.org/issue42/features/lasenby/skeleton.jpg
データは体の色々な部分に付属しているリフレクターの運動からキャプチャーされる．....
....骨格は，データに数学的にフィットさせる．
上で記述したテクニークは古典的なアニメーションでも基本的なツールである．
漫画キャラクターでは，我々はその結果が信じられるのはとても幸せだ．
しかし，人間のアニメーションでは，たちまち偽者とわかってしまう．
現実味ある動きを作り出すにはモーションキャプチャーが必要になる．
ロードオブザリングズのフィルムバーションから，ガーラムのような多数のキャラクターを作るにはモーションキャプチャーによる．これらは，身体，頭，肩，ひじ，ひざなどの回転点に，本当の人のリフレクターを付加して作られる．それぞれは，多重のカメラによってフィルム化されリフレクターの位置の変化をコンピュータに記録する．
骨格は３次元データでフィットされる．
最後に，上に記述された技術はすべて，骨格上に具体化し，生活し，呼吸し，動くキャラクターを作り出す．
もしまだ諸君がタイトルロールを完全に見るために留まっているなら，首尾よい映画作製で使われた種々の製作タレントに気づくだろう．作者，ディレクタ，俳優，衣装デザィナー，プロップビルダー，．．．．これらのクレジットリストが続々流れる．
しかし一つの名前がしばしばタイトルロールから忘れられている?数学だ．
今日の映画の多くは，光線追跡の幾何学，４元数による空間内の回転なくしてはできない．
次回は，あなたの映画シートで，CGスペクタクルを楽しむために，数学に対してポップコーンを掲げよう．ショーの隠れたスターへ．
（訳：谷 克彦）
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著者
http://plus.maths.org/issue42/features/lasenby/jl_small.jpg
Joan  Lasenbyはケンブリッジ，トリニティカレッジで数学を専攻し，電波天文学グループ物理学科のPhDをとった．
マルコーニの企業で短期間働いた後に，大学に戻り，現在，ケンブリッジ大学工学部の信号処理グループの講師や
トリニティカレッジの研究のディレクター，研究員である．
彼女の興味は，コンピュータビジョン，コンピュータグラフィックス，画像処理，モーションキャプチャと幾何代数の分野にある．

2014/05/01
事故のなだれが大事故になる複雑系

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　数学月間SGK通信第2号［2014.05.21］
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■「複雑系とは何か」は，別号で取り上げるとして，大規模送電網や原発は複雑系です．
2011年７月の数学月間懇話会（第７回）では，これを取り上げました．
2011年４月の米国MAMのテーマは「複雑系」でした．
米国で何度か起きた大規模停電の仕組みを解析しています．
ほんのささいな原因（多分，樹木が送電線に触れスパーク）により，
送電網に局所的停電が起きた．⇒送電網の残りの部分に過剰な負荷がかかり，健全だった部分の電線が切れる．⇒
⇒あっという間に,次々と送電網全体に停電が拡がる．

「小さな事故が雪崩となり，大きな事故を生む」という複雑系での事故の特徴です．

2011.3.11の日本の原発事故でも、同じようなことになりました．
今回の事故の引き金は地震・津波だったかも知れませんが，引き金になるのは，地震・津波だけではありません．
組織やエージェントを含め、何処に発端があるか予測できません．
複雑系は,＜バタフライ・エフェクト＞が起こり得る世界です．   イメージ?1
 
 
 複雑系の特徴
送電網ネットワーク中にある節点の次数(=その節点に集まる経路の数)の頻度分布図を作ったとき，節点の次数の高いものも残っているような（べき乗則分布）ネットワークですと，次数の高い節点が攻撃されると故障の雪崩につながります．
イメージ?2
イメージ?3
 
●べき乗則
大規模停電，巨大地震，所得の分布，....　いろいろな頻度分布に＜べき乗則分布＞が見られます．正規分布，ポアソン分布，ワイブル分布など，中心値のまわりに釣鐘型の分布を作りますが，べき乗則分布では，規模の大きい事象が起こる確率もいつまでも残っています．
被害コストの期待値は，被害コストと確率の積であり，巨大地震は巨大な被害コストをもたらすので，巨大地震の確率が小さいと言って無視することは間違いです．原発事故も同様です．

（引用文献）ーーーーー
１．2011MAM、http://www.mathaware.org/mam/2011/essays/
Cascading Failures: Extreme Properties of Large Blackouts in the Electric Grid
２．数学文化（2011）,16,p113-127
今年の米国MAMの話題と日本の原発事故
３．SGK通信（2011-06）数学月間懇話会報告
http://www.sugaku-bunka.org/modules/journal/journal_main.php?block_id=514&journal_id=22&page_no=2#514

2014/05/01
数学月間SGK通信No002

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　数学月間SGK通信 ［2014.05.03］ No.002
　<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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■お知らせ
数学月間とは
2014年数学月間懇話会（第10回）

■大規模データの解析困難さ！
　2012年の米国MAMのテーマは，＜数学，統計学とデータの洪水＞でした．
統計学は，品質管理，医療・創薬・臨床，経済金融，統計調査，データマイニング
などの分野に係わり，現在ますます必要性が増しています．.
　大規模データ（データの洪水）といっても，被験者1人から大量（P個）の特性データ
を採集できるのだが，解析する特性数より被験者の数（N個）がはるかに少ない
（N<<P）という状態で，推論を行うのはとても困難である．
これを「新NP 問題」という．
　つまり，大規模データがあっても，データがむしろ不足している状況で，
このような状態に適用できる統計的推論の新手法が必要とされています．

■不確かさで満ち溢れた世界！
私達は，観測データからモデル（現象を起こす仕組み）を推定する．
このモデルが，全ての観測データをよく説明したとしても，このモデル（サイバー世界）が真実であるがどうか誰にもわからない．将来，このモデルで説明できないデータが観測される可能性は消せないのだから．
かように私達の世界は，不確かなことで満ち溢れています．

■■編集後記　
　私達は，yes/noのデジタル思考に毒されているので，数学や科学は，yes/noの
答えを出せるはずと思い込んでいます．あるいは，判断できないと知りつつ
「専門家の判断」と言って責任転嫁に利用するのは政治の常套手段です．
真実はあるのだが，yesでもnoでもないのが真実．それを，「yes/noに2値化」
するのは科学ではない．まことに理不尽な要求です．
このようなグレーゾーンを，自分に都合の良いように2値化するのは，似非科学．
これを報道する大手メディアの数学リテラシーの欠如を憂います．
論理に忠実に，不確かなものは不確かと言うのが正しいのです．
例えば，安全/危険のデジタル区分は何処にありますか？
これは，数学や科学で答えを出せません．
その判断は，国民がどのような価値を選択するかの問題です．
これは，科学を超えて判断する＜トランス・サイエンス＞の課題になります．
数学や科学の結果を恣意的に利用されて，科学の信用を落とすことが心配です．
数学月間が今ほど必要な時代はありません．

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数学月間の会(SGK)
sgktani@gmail.com
http://sgk2005.org/
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2014/05/01
SGK通信No001

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　数学月間SGK通信 ［2014.05.03］ No.001
　<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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■■数学月間を知っていますか
7月22日?8月22日は数学月間です．
日本数学協会は，2005年に，7月22日?8月22日を数学月間と定めました．
この期間は，数学の基礎定数 π(22/7=3.142..) とe(22/8=2.7..) に因みます．
「数学が社会を支えていることを知り，逆に，社会の課題を数学が知る」機会
です．この期間に，数学への関心を高めるイベントが各地で開催されるよう
応援しています．SGK通信に情報をお寄せください．
毎年，月間初日の7月22日には，数学月間懇話会を開催しています．

■■お知らせ
数学月間懇話会（第10回）
日時●７月２２日，14:00-17:10
プログラム●
1.人口の集合関数としての「民力指数」
　松原望（東京大学名誉教授，聖学院大学）
2.スパゲッテイを巡る旅，
　中西達夫（株・モーション）
3.数学月間の狙と効用，今年の米国MAM
　片瀬豊，谷克彦（日本数学協会）
会場●東京大学（駒場）数理科学研究科棟，002号室
最寄り駅●京王井の頭線「駒場東大前」
参加費●無料
問合せ先●日本数学協会，数学月間の会（SGK）
sgktani@gmail.com，谷克彦（SGK世話人）
一般の方が対象ですご参加お待ちしています．直接会場においでください．．
17:30からは，構内で各自払いの懇親会も予定しています．
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■■数学に関心を（第１回）

■米国MAMはレーガン宣言から始まった
連載第1回目は，米国MAMのスタートとなったレーガン宣言です．
全文を掲載します．
どなたの草稿か知りませんが，格調高く今日でも心を打ちます．
米国MAMのスタート時は月間行事ではなく，週間行事MAWでした．
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アメリカ合衆国大統領による宣言5461
　｢国家的数学週間」1986年4月17日

宣言(National Mathematics Awareness Week)

　およそ5000年前，エジプトやメソポタミアで始まった数学的英知は，
科学･通商･芸術発展の重要な要素である．
ピタゴラスの定理からゲオルグ･カントールの集合論に至る迄，
目覚ましい進歩を遂げ，さらに，コンピュータ時代の到来で，
我々の発展するハイテク社会にとって，数学的知識と理論は
益々本質的になった．
　社会と経済の進歩にとって，数学が益々重要であるにも拘わらず，
数学に関する学課が米国教育システムのすべての段階で低下する傾向にある．
しかし依然として，数学の応用が医薬，コンビュータ･サイエンス，宇宙探究，
ハイテク商業，ビジネス，防衛や行政などの様々な分野で不可欠である．
数学の研究と応用を奨励するために，すべてのアメリカ人が，日常生活において，
この科学の基礎分野の重要性を想起する事が肝要である．
　上院の共同決議261で，国会が1986年4月14日から4月20日の週を，
国家的な数学週間に制定し，この行事に注目する宣言を出す事を
大統領に要請した．
　今日，アメリカ大統領，私ロナルド･レーガンは，
1986年4月14日から4月20日の週を国家的数学週間とする事を，ここに宣言する．
私はすべてのアメリカ人に対して，合衆国における数学と数学的教育の重要性を
実証する適切な行事や活動に参加する事を勧告する．
その証拠として，アメリカ合衆国の独立から210年の西暦1986年の４月17日，
ここに署名する．ロナルド･レーガン(Ronald Reagan)
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■米国MAM活動の様子（2006年当時の記事）

　各地の大学を中心に，講演会，講習会，展示会等が展開される．
婦人向け数学講習会，女性数学者の伝記奨励，数学に関する優れた記事を書いた
ジャーナリストの表彰，教え方の優秀な高校の数学教師と大統領が食事を共にする
等々の行事が報告されています．［いかにも米国らしい］
　毎年，国家的に統一テーマが選定され，開発されたテーマ用素材は，電気自動車
［2006年当時は先端だった］を使って配られる．
活動の総括と結果集計は、毎年，春に行い，次年度への企画の検討に入る．
　力を結集し参加を奨励するために，AMS，MAA，SIAMのリーダー，部門長，
選ばれた高校の先生，公共政策の代表者，関係する団体のリーダー達へ，
その年のMAMの小包が送付される．これには，カラーポスター，はがき，現地の活動
に役立つ素材のリスト，特別なMAM行事を行うにあたりメディア報道等を含んでいる．
　MAMの活動は，学部，先生，諸学年の生徒，両親，他の公共社会のメンバー，
公的政策リーダーやビジネスマン達の幾千人もの意見で評価される．
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■MAMの年度別テーマ

1986数学----基礎的訓練
1987美と数学の挑戦
1988米国数学の100年
1989発見のパターン
1990通信数学
1991数学----それが基本
1992数学と環境
1993数学と製造業
1994数学と医学
1995数学と対称性
1996数学と意思決定
1997数学とインターネット
1998数学と画像処理
--MAWからMAMへ------
1999数学と生物学
2000数学は全次元に
2001数学と海洋
2002数学と遺伝子
2003数学と芸術
2004ネットワークの数学
2005数学と宇宙
2006数学とインターネット保全
2007数学と脳
2008数学と投票
2009数学と気候2013持続可能性の数学
2010数学とスポーツ
2011解明進む複雑系
2012統計学とデータの洪水−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
注）略語表
MAM：Mathematics Awareness Week
MAM: Mathematics Awareness Month(4月)
AMS：American Mathematical Society米国数学会
MAA: Mathematical Association of America米国数学協会
SIAM: Society for Industrial and Applied Mathematics工業応用数学会
ASA: American Statistical Association米国統計学協会
JPMB: Joint Policy Board for Mathematics米国連結政策協議会
*）2006年から、ASAが加盟することになった．

■■編集後記
　数学月間は数学者のものではなく，一般人が対象です．数学は，
ものごとの本質を追求し，装飾を剥ぎとり，その本質をあぶりだします．
出来上がった抽象化された概念体系（定理）を，数学者は美しいと感じます．
数学とは，そのような理論体系であるべきことは確かです．
しかし，このようにして出来上がった抽象的な数学を見せられても，
一般人は興味が湧かない．そこで，数学月間は＜数学と社会の架け橋＞として，
数学が実際の課題に使われていることを示して行こうと考えています．

　大学の数学では，完成され抽象化された数学を，数学科の先生が教えます．
これは，数学科の学生に対する教程としてはオーソドックスなものですが，
数学科でない学生には不親切であります．工学，薬学，経済学など，
それぞれの専門に適した内容の数学が必要であると考えられ始めました．
このような議論は，英国のMMPや日本の「教育数学の構築」などで見られます．
SGK通信にご意見などをお寄せください．

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数学月間の会(SGK)
sgktani@gmail.com
http://sgk2005.org/
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2014/05/01
数学月間SGK通信

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数学月間SGK通信　[2014.05.01]　No.000
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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■■数学月間を知っていますか
7月22日~8月22日は数学月間です．日本数学協会は，2005年に，
7月22日?8月22日を数学月間と定めました．
この期間は，数学の基礎定数 π(22/7=3.142..) とe(22/8=2.7..) に因んでいます．
「数学が社会を支えているのを知るとともに，逆に，社会の課題を数学が知る」機会
でもあります．この期間に，数学への関心を高めるイベントが各地で開催されるよう
応援しています．月間初日の7月22日には，数学月間懇話会を開催します．

■■お知らせ
数学月間懇話会（第10回）
日時●７月２２日，14:00-17:10
プログラム●
1.人口の集合関数としての「民力指数」
　松原望（東京大学名誉教授，聖学院大学）
2.スパゲッテイを巡る旅，
　中西達夫（株・モーション）
3.数学月間の狙と効用，今年の米国MAM
　片瀬豊，谷克彦（日本数学協会）
会場●東京大学（駒場）数理科学研究科棟，002号室
最寄り駅●京王井の頭線「駒場東大前」
参加費●無料
問合せ先●日本数学協会，数学月間の会（SGK）
sgktani@gmail.com，谷克彦（SGK世話人）
直接会場においでください．ご参加お待ちしています．
17:30より構内で各自払いの懇親会も予定しています．

■■数学に関心をもとう（連載）
米国MAMの紹介，英国MMPの紹介，日本の数学月間，数学まつりの紹介などを予定

4月は，米国Mathematics Awareness Month（MAM）の実施月でした．
今年は，マーティン・ガードナー（サイエンス誌で長期にわたり数学コラムを連載）
の生誕百年に当たるため，Maths, Magic and Mysteryがテーマでした．
米国MAMは，1986年4月18日のレーガン宣言により始まったもので，
数学への関心を喚起し産業や社会への数学の融合を狙っています．
米国MAMは毎年統一テーマを決めて国家を上げて実施されます．
選ばれるテーマは，複雑系，べき乗則，大量データの解析，など
現代社会にタイムリーなもので，これらは，次号から順次紹介して行く予定です．
英国でも同じような活動 Millennium Maths Project (MMP)が実施され，
生徒や学生，一般人への数学の啓蒙が行われています．これらも紹介しましょう．
我々の数学月間や数学まつりの話題も紹介します．

■■編集後記
「漢字が読めないのは恥だが，数学は出来なくても構わない」
と平気で語る大人たちのいる社会は問題です．
そのような両親では子供は数学嫌いになります．
論理を軽視する社会では正義が成り立ちません．
私たちの世界は不確かで危うい．
今，皆が信じている科学法則でも例外が発見されないとは限りません．
yes/noの答えを求めてもかないません．
私たちは，デジタル思考ではなく確率を正しく理解し判断する必要があります．

■
数学月間の会(SGK)片瀬豊・谷克彦
sgktani@gmail.com
https://sgk2005.org/

2014年の広報記録URL
kinat2014/12/30 12:12:22(0票)

◆数学月間懇話会（第１０回）
日時●７月２２日，14:00-17:10
終了しました．ご参加有難うございます．

◆大阪大学では以下の講座が開催されます．
(1)高校生のための公開講座
「多面体の不思議」
日時：8月12日（火） 10:00-12:00
場所：大阪大学理学研究科 D棟3階 D307
講師：村井聡　准教授
*事前申し込み不要，参加費なし
URL: http://www.math.sci.osaka-u.ac.jp/koukai/index.html
終了しました．

オープンキャンパス（大学説明会）
模擬講義：
「関数の傾きと形 -- 数学挑戦枠の入試問題から --」
日時：8月12日（火） 15:00-15:45
場所：大阪大学基礎工学部国際棟Σホール
講師：宮地秀樹　准教授
*無料，ただし事前申し込みが必要．詳しくは下記のURL：
http://www.math.sci.osaka-u.ac.jp/event/opencampus.html
終了しました．
◆　日本フィボナッチ協会，第 12 回研究集会
日時　8月24日(日) 13:00-17:30
場所　東京海洋大学越中島校舎
会費　1000円

◆　サイエンスセミナー2014in江戸川大学
江戸川大学駒木学習センター
7月25日,13:00ー17:00
http://www.edogawa-u.ac.jp/news/140625.html
終了しました

◆　とっとりサイエンスワールド2014in米子
2014年度〔西部〕は，日本数学教育学会第96回全国算数・数学教育研究（鳥取）大会
とコラボで実施されるので，会場が例年の児童文化会館とは異なるようです．
米子コンベンションセンターにて（8月2日12：00?16：00）
終了しました．

◆　とっとりサイエンスワールド2014in鳥取
8月31日
終了しました
◆　とっとりサイエンスワールド2014in倉吉
9月21日
◆日本数学協会年次大会，　9月14日，　
　　　東京大学（駒場），数理科学研究科棟

講演会のご案内
kinat2014/06/26 15:45:45(1票)

◆講演会のご案内
日本数学協会の第13回総会が開催されます：　6月1日，13:15-13:45
その後，講演会があります．講演会は会員外の方も参加自由です．
13:45-14:35　建部賢弘　生誕350周年を記念して，森本光生（四日市大学）
14:45-15:35　建部賢弘をめぐって，鳴海風（作家）
15:45-16:35　建部賢弘とそろばん，小川束（四日市大）
場所：大東文化会館ホール（東京都板橋区徳丸２-４-２１）

投稿のお誘い
kinat2014/04/03 18:13:15(0票)

ログインして，ここになんでもご投稿ください．

広報予告
kinat2014/04/03 18:10:22(0票)

◆4月1日より，米国MAMが始まりました．4月の毎日，パズルが１つ公開されます．
SGK通信でも毎日紹介します．
◆今年の”数学月間懇話会”のお知らせ
日時：7月22日，14:00-17:30
場所：東京大学（駒場）数理科学研究科棟002号室
無料
詳細はSGK通信に広報します．
ふるってご参加ください．

2014/07/29
とっとりサイエンスワールド2014in米子

8月2日（土）は「とっとりサイエンスワールドin米子」です．
2014年度〔西部in 米子〕は，日本数学教育学会第96回全国算数・数学教育研究（
鳥取）大会とコラボで実施されるので，会場が例年の児童文化会館とは異なるようです．
米子コンベンションセンターにて（12：00?16：00）

私も万華鏡で参加します．
米子では110人分用意しました．分数型の万華鏡を作製します．
以下に画像を掲載します：

2014/11/23
040_円による反転鏡映

007_インドラの網と反転円で言及したことがありますが
円による反転鏡映について，その性質や利用法を眺めて見ましょう．

◆円による反転鏡映の性質
下図に赤い円による反転鏡映の代表的な例を２つ示します．
・反転円をよぎる直線aを反転すると，反転円の中心を通る円Aになる．
・円bを反転すると，円Bになる．
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この性質を知っていると，色々なことに利用できます．
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例えば，このような図形はアルベロス（靴屋のナイフ）
といいますが，この中の幾何学世界の面白さなどです．

下図のアポロニウスの窓の中にある黄色の円とピンクの円は，
緑色の円を反転円として，それぞれ反転円内の黄色とピンクの円が
鏡映像になります．これらの鏡映像は平行な直線（黒）に挟まれた
領域内に入ります．
平行直線の左はアポロニウスの窓の外周円の反転鏡映，
平行直線の右はアポロニウスの窓内にある左側の大きな円（灰）の
反転鏡映像です．なぜなら，外周円も左側の大きな円（灰）も
反転円の中心を通っているので，鏡映像はどちらも直線になるからです．
アポロニウスの窓内にある初めの黄色い円もピンクの円も，外周円と
内部の左側の大きな円（灰色）に接しているので，
それらの反転鏡映像でもそのような状態が保たれています．

このようなことがわかると，以下のパップスの定理が導かれます．
アルベロスの中で，右側の大きなピンクの円の上に生じる
黄色の円（ω1），続いて生じる灰色の円（ω2），の系列を考えると，
「円ωnの中心と直径ABとの距離は円ωnの直径のn倍である」
（パップスの定理）ことがわかります
以下の図は，ω2の場合の例です．
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2014/10/28
037_因果律ピエール・キューリーの原理

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ことしは結晶学の生誕100年にあたります
結晶にX線ビ?ムを照てると，
結晶がブロック積みのような周期的な構造なら回折が起こります．
（結晶内部の繰り返し構造の周期と，X線の波長が好都合なことに同程度だったのです）そう考えたのはラウエでしたのでこの実験をラウエの実験と言います（1912年）．X線がレントゲンにより発見（1895年）されて間もない頃でした．
結果として得られたラウエの回折像には，その原因になった結晶内部の対称性が反映されているべきです．これは「キューリーの原理」という因果律です．
回折像を撮影して，小さくて目に見えない（~nm）結晶の内部構造の解析をしたのがブラック親子（1913年）です．
レントゲン(1901)，ラウエ(1914)，ブラック(1915)，それぞれノーベル賞をもらっています．

2014/10/28
037_結晶世界はデジタル

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大小いろいろな結晶がありますが，写真は全部，水晶の結晶です．
結晶個体は，いろいろな種類の結晶面で囲まれており，
その結晶面の大きさも結晶個体により様々です．
しかし，同じ組み合わせの結晶面どうしのなす角度は
どの結晶個体で測っても，同じになります．
例えば，黄色い面と青い面のなす角度は（各面に立てた垂線のなす角のこと）
どの結晶で測っても同じになります．⇒?面角一定の法則（1772）

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アウイ（1783）は，
「結晶は小さな単位胞がブロック細工のように積み重なって出来ている」
と考えました．→すなわち，結晶世界はデジタルな空間です！
それなら，現れる結晶面(上図の青い線)は格子点を載せている面なので，
面の傾きは有理数になります．→?有理指数の法則（1783）

2014/10/27
039_空間のデジタル化．伝統模様

◆平面のブラベー格子は５つのタイプがあります．
それぞれの繰り返し模様は，どの格子に対応しますか？

日本の伝統文様には美しい繰り返し模様がたくさんあります．
着物や食器，籠バック，インテリアなど色々な所で見られます．
どのような対称性があるか模様を鑑賞しましょう．

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2014/10/27
036_空間のデジタル化

◆空間のデジタル化
写真フィルムは連続な平面ですが，デジカメの感光面は半導体のドットが並んでいます．人間の網膜も視細胞が配列しているデジタル化された平面です．最近の交通信号は円の中に発光ダイオードのドットが配列しています．これらが平面のデジタル化の例です．結晶も原子や分子が詰まった単位ブロック（胞）があり，これがきちんと積み重なりできている周期的な構造で，デジタル化された空間の例です．
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◆平面のデジタル化の様式
無限に広がる平面の何処も均一なようにデジタル化する（ドットを配列する）なら，規則正しく周期的な構造になります．交通信号の円内は均一なデジタル化はできません．平面のデジタル化はどのような様式に分類できるでしょうか？
（注）周期的なドットの配列は「格子」と呼ばれます．
格子の様式分類は，研究した人の名前をつけて「ブラベー格子」と呼ばれます．
2次元の「ブラベー格子」は5種類あることを説明します．

対称性から分類すると,これらの５つのタイップがある．
これらから格子を作ったものが以下の図
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上図に示した緑色のタイルは「W-S（ウイグナー・ザイツ）胞」といいます．
このタイルを赤い格子点に配置すると平面がタイル張りされることを確かめましょう．さて，
これらの周期的平面は，格子点（周期的な平行移動で生じる点）をすべて同値と考えると，
１つのタイルの中に引き戻せます．
以下の図には，それぞれのタイルの対称要素を記入しておきました．
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上図左は，タイルの対称性が一目瞭然のW-S胞．右は，単位胞タイルです．
（注）単位胞の図を見るとわかるように，これらの５つはすべて単位胞に格子点が1つ含まれる1格子点胞です．
上段右の菱形胞を用いずに，面心型の2格子点胞を用いるのが慣例となっていることを申し添えます．

2014/10/23
038_対称性の話２

◆対称図形の重ね合わせ
正3角形の部品を複数重ね合わせると，一般に，全体の対称性は低下するが
配置の仕方により全体の対称性が上昇することもある．
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このようなことをとり上げている本は見かけませんが，とても面白い現象です．

◆対称性の重畳
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正6角形は正3角形の対称性を含んでいますから，正6角形と
正3角形を鏡映面が共通になるよう重ね合わせる（下左）と
正3角形の対称性が残ります．

正3角形と正6角形の回転軸をそろえて，鏡映面が共通でないように重畳すると，
結果は3回回転対称だけが残ります（上左）

他の図も同様ですので，各自確認ください．正6角形と正5角形の重畳の場合は，
6回回転対称と5回回転対称に含まれる下位の対称性（共通な部分群）はないので，
鏡映面の一致がなければ，対称性はなにも残りません（上右）．

2014/10/23
038_対称性の話１

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◆正3角形の対称性
正3角形は，中心に回転軸を立て右回りに120°回転しても，始めの
状態と全く同じで回転したかどうかわかりません．この回転を続けて２回
行い240°の回転になっても同様です．120°の回転を3回続けて行うと1回転して
始めの状態に戻ります．正3角形は3回回転対称があります．このような
回転軸を3回軸といい，記号は3と書きます．
その他に，正3角形は鏡映対称があります．図に示した赤い線が鏡映面です．
ここにある3枚の鏡映面は3回軸で互いに移り変われるわけで，
全部同じ性質です．従って，正3角形の対称性は，
3回軸と1種類の鏡映面があり，記号では3mと書きます．
◆正4角形の対称性
正3角形の場合と同様に，こんどは中心に4回回転軸があります．記号は４です．
正4角形を見ると鏡映面が4枚あることがわかります．図で赤線で描いた2枚と
オレンジ線で描いた2枚です．4回軸によって，赤い鏡映面どうしは互いに移り変われるし，オレンジ鏡映面どうしも移り変われますが，赤とオレンジの鏡映面は，互いに
移り変わることができません．従って，今度は2種類の鏡映面があることになります．正4角形の対称性は，記号で4mmと書くことに注意してください．

◆同様に，正5角形，正6角形の場合は，図のようになることを各自確かめてください．

2014/10/12
033_大阪大学公開講座

大阪大学理学部数学教室は，
現代数学の様相と数学研究の実際，自然科学や社会科学に及ぼす数学の影響，文化としての数学の在り方などについて，多角的な視点から易しく解説する公開講座を，高校生を対象に夏休みのこの時期に開催しています（ オープンキャンパスも同日実施されます）．
まさに数学月間の模範になるイベントで，毎年，杉田洋教授より情報を頂きSGKのwebに掲載しています．今年のテーマは，“多面体の不思議”でした．
2014年8月12日（火），10:00?12:00
会場： 大阪大学豊中キャンパス　理学研究科 D棟 D307教室
講師： 村井 聡（情報科学研究科情報基礎数学専攻　准教授）
毎年，興味深いテーマが選ばれ，私も参加したいと思いつつまだ参加できずにおります．今回のイベントでは受講生が殺到し,準備した教室に定員の2倍近い人（約100人）が集まり，来年は教室の選択を考える必要がありそうと伺っております．
（出席していないので以下は私の勝手な解説です）

多面体はとても古くから考えらてきた図形で、紀元前のギリシャ時代には既にその性質が調べられていました．
多面体で基本的な定理は，オイラーの定理V+F-E=2（３次元）が有名です．これを使うとプラトンの正多面体（凸多面体）が５つというのがすぐ証明できます．正多面体というのは，面が１種類の正多面体でできており，どの頂点のまわりの状態も同一なものです．正多面体の記述は，定義の本質を捉えているシュレーフリの記号を用います．正p角形が頂点にq個集まっている（同じことだが辺がq個集まっている）状態は，{p,q}と記述されます．３次元の多面体は，面が３個以上集まらないと作れませんし，面が正３角形の場合には，６個集まると平面になってしまいますので，正3角形の面をもつ凸多面体は，{3,q}，q=3,4,5しかありません．q=3の場合は正4面体，q=4の場合は正８面体，q=5の場合は正20面体です．
全ての面が合同な正3角形であるが正多面体でないものまで数えると8種類になりこれらをまとめてデルタ多面体と呼びます．
1種類で空間を隙間なく充填できる正多面体は立方体だけですが，2種類の組み合わせで空間を充填できる正多面体は，正4面体と正8面体です．
結晶学では良く知られていることですが，面心格子と体心格子というのも立方体と同じ対称性を持ち，それぞれのウイグナー-ザイツ胞（デリクレ胞とも言う）は，それぞれ菱形12面体，切頂正8面体になります．数学と諸科学［科学や造形］の関わり合いで現れる多面体の性質は，非常に興味を惹く話題です．

2014/10/12
034_結晶で見られる多面体（その２）

◆黄鉄鉱の結晶粒の外形には，多面体がいろいろ現れることを，
028号で述べました．整理すると下図のようです．
イメージ?1
さて，この図の中に正12面体や正20面体の外形が見られるようですが
結晶（周期的な内部構造をもつ）では，5回対称軸は存在できず,
5回対称のある正12面体や正20面体は外形にも生じないはずです．
詳しく調べてみると，黄鉄鉱の正12面体のような5角12面体は，
(2,1,0)面で囲まれているようです．＊ミラー指数
両者の多面体で二面角の比較をしてみましょう：
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
黄鉄鉱　　 　126.89°　(2回軸を挟む二面角）
正12面体　　116.57°
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
黄鉄鉱の外形（5角12面体）は正12面体ではありません．

◆ミラー指数
ミラー指数とは面の傾きの表示です．
下図のブロックのサイズは，x,y,z各１単位
（x,y,zの各単位は互いに等しくなくて，斜交軸でもかまいません）
例えば，(2,1,0)面の，x軸，y軸，z軸との切片は，1/2，1，∞です．
切片の逆数の比をとると，ミラー指数　2,1,0　が得られます．

結晶は単位ブロックが積み重さなった周期的な世界です．
周期的な世界（格子点が並んだデジタル世界）の格子点を載せた
面の傾きは有理数ですから，すべての結晶面のミラー指数は整数となります．

周期的な世界に5回対称軸は存在できませんので
結晶（周期的な内部構造を持つ）は，正20面体の外形になることはできません．
（注）“準結晶”には5回対称がありますが，周期的な世界ではありません．

◆黄鉄鉱pyriteの6面体，5角12面体と準結晶（正12面体）
イメージ?2イメージ?3イメージ?4

◆柘榴石garnetも立方晶系の結晶構造ですので
外形もさいころのような対称性を示します．
菱形12面体~24面体（これらは正多面体や半正多面体ではありません）
の晶系の変化があります．

写真はwebで拾った岩手県和賀仙人鉱山産の柘榴石結晶です
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2014/10/01
032_化学の日は10月23日

日本化学会，化学工学会，日本化学工業協会，新化学技術推進協会の4団体が，
10月23日を「化学の日」，その日を含む月曜日から日曜日までの1週間を「化学週間」と昨年制定しました．なぜ10月23日が？これはアボガドロ数6.02×10^23に因んでいます．これもやはり米国が先でNational Mole Foundationが10月23日をMole Dayと定め盛んな活動が行われているそうです．
早速，今年は産官学一体となって，化学の普及活動が国民的イベントとなるように呼びかけています．数学月間でもこのような取り組みが必要です．経緯を見てみましょう．

［以下，化学と工業,Vol67-9,2014,玉尾皓平氏（日本化学会前会長）の記事の抜粋］??
◆2年前の会長就任時に提案した2つの具体的提案を紹介します。
「全国一斉オープンキャンパス」：これが 「化学の日」と直結する提案です。各大学. 研究機関や化学企業で独自に行っているオープンキャンパスやオープンファクトリーを，「化学の日」「化学週間」にできるだけ 曰程を合わせて一斉に実施いただくことで，国民的イベントとして認知度を高めようとの取組みです。
「『夢・化学-21』の全国統一ブランド化」： 「夢・化学-21」キャンペーンの強化策として，そのロゴマークを意匠登録し，上で述ベたようなこれまでのすべての化学啓発活動にロゴマークを付してビジビリティの向上を目指すものです。

いずれもいわば全国区の活動ですが，期間限定型で集中的に盛り上げる企画と，通年活動型で全国津々浦々いつでも「夢・化学-21」ロゴマーク付きのイベントが行わ れている，という性格の異なる活動を2つ準備し，足並みをそろえて最大の効果を狙おうとする点が特徴です。提案4団体だけではなく，経済産業省や文部科学省，さらにはマスコミ関係者の賛同も得ており，産学官一体となった初めての本格的な取組みで，化学の啓発活動，市民権獲得にとっての決め手となるものと期待しています。

◆「化学の日」「化学週間」のイベントは？
「化学の日」を長く定着させるためには. 活動現場に新たなロードを課さないことが 重要と考えます。新たに企画するのではな くて，現在行われているイベントの開催日 をできるだけ「化学の日」「化学週間」の 日程に合わせていただくことで.最大の効 果を上げようとの考えです。すでに，各支 部や産業界に対して，日程調整のご協力を お願いしています。
ただ，初年度の今年は，「化学の日@開成学園」「化学週間@東京大 学」「子ども実験ショー@近畿」などのキックオフイベントを企画中です。
また，各種一般紙や月刊誌「ニュートン」「化学」「現代化学」「子供の科学」などへのPR記事掲載の企画も進んでいます。

2014/09/30
035_民力指数

今年の「数学月間懇話会」で松原望さんから「民力指数」についての
講演がありました．指数といえば「消費者物価指数」などが有名です．
数学で指数というのは桁（比率）の表現なので，例えば，基準年の物価
に対して何倍の変化があったかという「消費者物価指数」を，
指数というのは適当でありましょう．

しかし，「民力指数」の指数の意味はこれとは違うようです．
地域の「民力指数」とは，正の数値（スカラー）で，その地域の
生産・消費・文化，および，人口などの基本指標の関数として
（26種の経済統計量の関数として）定義されます．
これは朝日新聞が30年以上前に発案した定義だそうです．

地域の「民力指数」は，地域の経済活動力の表現になります．
都道府県に対する「民力指数」は全国を1,000に，市町村に対する
「民力指数」は全国を100,000になるように規格化します．

「民力指数」は数学的には測度であるので加法的であることが
松原さんの講演で指摘されました．
地域Aと地域Bの合併の「民力指数」の試算も合理性があり
色々な利用が期待できます．

2014/09/29
031_べき乗則と地震

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数学月間SGK通信 ［2014.09.30］ No.031
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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地震に関心が高まっていますが，地震は地殻の破壊現象ですから
“いつ”その地層がポッキリ折れるかという予知はできません．

◆地震の規模（マグニチュード）M
まず，地震のマグニチュードMとは何でしょうか？
これは地震のエネルギーEの対数です．
大体，地震のエネルギーの大きさの桁と思ってよいでしょう．
リヒターが当初発案したマグニチュードの定義は，
震央から100kmに設置したと仮想した，特定な型の地震計で
観測される最大振幅の対数でした．しかし，現在では
もっと理屈に合ったモーメント・マグニチュード
（あるいは気象庁マグニチュード）が採用されています．

◆起こり得る最大地震
地震で解放されるエネルギーは，生じた断層面の面積と
その平均変位とその付近の地層の剛性の積です
（大雑把にいえば生じた断層の長さに比例します）．
地層に溜まった歪エネルギーが地震で解放されるわけですが，
断層の長さが長い方が解放されるエネルギーは大きいし，
地層の剛性が大きいほど大きな歪エネルギーが蓄えられます．
これらから起こり得る地震の最大エネルギーを見積もると
M9.5程度と考えられています
（1960年のチリ地震ではM9.5が観測されている）．

◆べき乗則
地震の規模（マグニチュード）Mと発生頻度（回/年）ｎ
の間に　n=10^(a-bM)　の関係があります．
これはグーテンベルクとリヒターが発見しました．
a,bはその地域の地層の特性を表す定数でが，b≒1程度ですので
地震のマグニチューﾄﾞが1つ大きくなるごとに，地震の回数は1/10に減ります．
だからこれをべき乗則と言います．

地震の規模Mには最も発生しやすい典型というのがありません
（釣鐘型の正規分布ではありません）．
大きな地震は少なくなりますが，M=9あたりも起こり得るし，
そんな巨大な地震に見舞われると壊滅的なダメージです．
従って，頻度は小さいけれど致命的なダメージとなる巨大地震が起きても
被害が最小となるように対策する必要があります．原発は止めましょう．

クリーン・ルームのチリのサイズ分布もべき乗則だと言われています．
もし正規分布のように頻度の高いサイズがあるなら
そのサイズのチリの発生に注目した対策ができるのですが
べき乗則では特別な対策は困難です．でもこの場合は，
大きなサイズのチリが大きな被害を与えるわけではありません．

◆分布関数を求める実験
凍ったジャガイモを投げて砕き，破片のサイズ分布を調べた人が居ます
（南デンマーク大，1993年）．ここでもべき乗則が確認されました．
スパゲッティやクラッカーを砕くとどのようなサイズ分布になるか
実験した話が今年の数学月間懇話会で中西達夫さんからありました．

2014/09/23
030_とっとりサイエンスワールド2014in倉吉

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数学月間SGK通信 ［2014.09.23］ No.030
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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◆今年のとっとりサイエンスワールド2014（矢部敏昭会長）が
9月21日（中部，倉吉）で無事終わりました．例年のように
8月31日（東部，鳥取），8月2日（西武，米子）の計3回開催され
各回,1000人に達する参加者が集まりました．
スタッフも先生方100人＋高校生ボランティア60人の規模です．
8年目ですが，小さい子供から，両親，お年寄りまで，楽しみに集まる
算数イベントに定着しました．
イメージ?1

◆万華鏡は，各会場でそれぞれ異なる3角形の鏡の組み合わせを作りました．
西部110人，東部160人，中部110人用意しました．
鳥取でやったけれど倉吉にまた来たという小さい小学生もいたり，
彼女はすっかり内容を理解していてもうベテランです．大したものだ．
鏡の組み合わせが作る3角形が変われば，違うタイル張り模様が見られることを
知ることが眼目なので，色々な鏡の組み合わせの万華鏡や，
多面体が立体的に見える万華鏡などの展示物も用意して行きます．
これらの内で，2枚鏡の万華鏡の人気が高く
来年のリクエストとして聞いておきました．
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2014/09/16
029_4次元を見る万華鏡

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数学月間SGK通信 ［2014.09.16］ No.029
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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読者の皆様へ．
8月19日（025号）からまぐまぐの遅配が続いています．
特に，026号，027号はまだ配送されていない方があるようです．
届かない方がありましたら，ご一報ください．
これらの最近号では多面体に関する話をしています．

メルマガ更新は毎火曜日の朝7:00に行っておりますので，
以下のサイトでもご覧になれます．
http://blogs.yahoo.co.jp/tanidr/folder/545271.html　あるいは
https://sgk2005.org/htdocs/?page_id=32
??????????

 
◆4次元の正多面体は6種あるのですが，3次元以上が見えない私たちには
理解が困難です．
色々な図や説明が種々の本やwebで見られますが，どれもしっくりしません．
結局，4次元の正多胞体6種を最初に見つけたシュレーフリの説明が
最もわかり易いようです．（コクセター［幾何学入門］や
ヒルベルト，コーン・フォッセン［直観幾何学］に載っています）．
さて，このようなものを記述するシュレーフリの記号というのは
大変良くできています．この記号の仕組みを理解することが
4次元の理解に直結します．シュレーフリの記号を単純な例で見てみましょう．

◆3次元の正多面体の例
面（2次元）が頂点（0次元）で3つ以上集まらないと立体（3次元）はできません．
シュレーフリの記号は以下のようです．

（１）正4面体　　　　　　　　　{3,3}←シュレーフリ記号正3角形の面（2次元）が頂点（0次元）で３つ集まっている．
（２）正6面体（立方体）　　　　{4,3}←シュレーフリ記号
正４角形の面（2次元）が頂点（0次元）で3つ集まっている．

正多面体が記述の対象ですから，どの頂点まわりの状態も同じです．
 

◆4次元の正多面体の例
胞（3次元の多面体）が辺（2次元）で３つ以上集まらないと
4次元の立体はできません．
シュレーフリの記号は以下のようです．

（１）正5胞体　　　　　　　｛3,3,3｝
3次元正4面体｛3,3｝が辺（2次元）で３つ集まっている．
（２）正8胞体　　　　　　　｛4,3,3｝
3次元正6面体｛4,3｝が辺（2次元）で３つ集まっている．

正多胞体なので，どの辺まわりの状態も同じです．

（参考）　　｛4,3,4｝　というのはどのようなものでしょうか？
これは，3次元正6面体が辺のまわりに４つ集まっている状態ですから
角砂糖を頂点を合わせて無限に積み重ねたような状態．
これは3次元空間の中で無限に続く立方格子です（３次元で納まってしまいます）．

◆双対図形について
3次元の正多面体｛p,q｝の双対図形は｛q,p｝です．
｛p,q｝：正p角形の面が頂点でq個（辺がq本）集まっている．

この図形で面を頂点に変えた図形は，｛q,p｝となります．
同様に，｛p,q,r｝の双対図形は｛r,q,p｝になります．

◆4次元のイメージの万華鏡
雰囲気だけです（色々工夫していますが残念ながら困難なようです）．

2014/09/07
028_結晶で見られる多面体

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数学月間SGK通信 ［2014.09.09］ No.028
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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◆プラトンの正多面体は5種類あります．
これら5種類の正多面体の対称性を考慮して
方位を合わせ重ね合わせた図が以下のものです．
この図のように２つの正多面体を重ね合わせると
それぞれの多面体の対称性で共通なもの（共通部分群）が残ります．
イメージ?1
◆黄鉄鉱FeS2の結晶は，色々な外形（晶相）のものが見られます．
黄鉄鉱は愚者の金とも言われ金色できれいです．
私は，川底に金色の砂がキラキラ光って貯まっているのを見つけて
採集したことがあります．1mm程度の結晶粒ですが
皆整った多面体の形をしていました．
結晶の外形は，正6面体，正8面体，正5角12面体が基本で，
ミラー指数で言うと，正6面体は結晶面(100)面，
正8面体は(111)面，正5角12面体は(210)面で囲まれています．
このほかに，これら正多面体の切頂多面体も見られ，
また，他の指数の面(211)，(321)が加わった複雑な多面体もあります．
多面体の形が連続的に変化することを示す良い自然の手本です．
黄鉄鉱の結晶は立方対称の内部構造（原子の配列）ですが，
結晶粒の外形は，どの指数の面が大きく成長するかによって変わります．

◆そこで，昔読んだ記憶のある砂川一郎の論文（1957）を
再度見てみました．奈良県や島根県にある絹雲母の鉱床や凝灰岩の
母岩中に晶出した黄鉄鉱の結晶粒の大きさと形の統計を述べています：
「小さい結晶粒では正6面体，大きい結晶粒では5角12面体の外形が多い」
晶相の変化を起こす機構は大変複雑で一概に言えませんが，
黄鉄鉱結晶の成長に伴って大きく成長する面が，
正6面体の面（100）→正8面体の面（111）→5角12面体の面（210）
と変化し晶相が変る．これは結晶面の性質と母岩（絹雲母化）との
化学的反応がかかわっているらしい．
◆今回，砂川一郎の論文中の図が，
Tシャツとして博物館グッズになっていることを知りました．
http://ameblo.jp/hakubutufes-sub/image-11876822744-12970852035.html

2014/09/02
027_とっとりサイエンスワールドin鳥取

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数学月間SGK通信 ［2014.09.02］ No.027
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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「とっとりサイエンスワールド」in鳥取市（8月31日）に参加しました．
とっとりサイエンスワールドは今年で8年目になり，小さい子供から
お年寄りまで楽しめる市民イベントとしてすっかり定着しました．
学生ボランティア54人（短大・高45人，中9人）を含む先生方150人のスタッフで
運営され，大変さまざまなワークショップがあります．
私は万華鏡のワークショップで参加しました．
1時間のクラスを5回実施し，160人が自分の万華鏡を作りました．
イメージ?1イメージ?2

◆今年，鳥取で作ったものは，3枚鏡が作る3角形が，90°ー36°ー54°のものです．
交差する2枚の鏡が反射を繰り返し生じる結果が群をなすのは
2枚の鏡の交差角が360°を偶数で割り切る角度のときです．
通常の万華鏡はそのような鏡の交差角に設定されます：
例えば，60°(360/60＝６）．36°（360/36=10）などです．
これは，1817年のブリュースターの万華鏡の特許にも記載されています．
群をなすときには生じる映像は規則正しく美しく見えます．
しかし，今回作成した万華鏡は，3角形の１つの角の交差角だけが
54°（360/54＝6.666）と偶数で割り切れません．
このような角度に対応する所はどのような映像が見られるでしょうか？
数学では3周回ってもとに戻る（360°×3）ような空間を想像しても良く，
そのときは10回回転対称が完成するのですが，
実際の物理的な空間の光はそのようには回ってくれません．
他の2つの角の所では規則正しい映像になるのですが，
この角度の所だけ秩序が乱れることになります．
昨年のサイエンスワールドから，このようなシリーズの万華鏡を作っています．

2014/08/26
026_ケプラー予想

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数学月間SGK通信 ［2014.08.26］ No.026
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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この所，正多面体による空間の充填などを見てきました．
今回は，最密充填構造の話です．以下の本が参考になります：
ケプラー予想，ジョージ・G・スピーロ（青木薫訳）新潮社

◆ケプラー予想とは：
「3次元空間で最も高密度に同じ大きさの球を充填した状態は，
１つの球のまわりを12個の球が取り囲む状態で，
その空間充填率は74.04％である」というものです．
これは，結晶学では最密充填構造として常識になっていることがらです．
立方最密充填(=立方面心格子)，６方最密充填，および，両者の混合のポリタイプは
無数にありすべて同じ充填率74.04％です．この起源は1883年，結晶学者ウィリアム・バーロウが６方および立方の最密充填の２つの最密充填構造をネイチャーに掲載したことにあります．
バーロウは結晶空間群の数え上げ（フェドロフ，シェンフリーズもそれぞれ独立に数え上げた）でも有名です．

注：スピーロの著書p.23でバーロウの図に言及し，立方最密充填は6方最密充填とまったく同じ配置なのだ！」と言っているのは，数学と結晶学との見解の相違．
111面（切断）が同一であるのは当たり前で，その積層様式に結晶学的違いがあるのだ．

◆ケプラー予想は多くの人が挑戦しましたが，どうやってもこれより稠密な充填構造はつくれません．これより充填密度の高い構造はないという証明はとても難しいのです．このケプラー予想をヒルベルトは，1900年8月，第2回国際数学者会議の講演で，未解決の23の問題（ケプラー予想は第18問題）として提起しました．
周期的に規則正しく並べる（結晶）という条件では，ケプラー予想は証明できるのですが，不規則な並べ方まで含めてこれが最密であるということの証明はとても困難です．正4面体でも正8面体でも正12面体でも正20面体でも，単一では空間の充填ができません．前号で正4面体と正8面体を2:1で混ぜると周期的に空間が充填できることを示しましたが，それは面心立方の最密充填構造にほかなりません．さらに高密度な様式はないのだろうか？
例えば，立方最密充填では1つの球の周りに6個の球が囲み，上の段，下の段に3個づつ球が接します．上下の3角形が点対称であるような配置が立方最密充填，上下の3角形が周りを囲む6角形を鏡として鏡映対称であるような配置が6方最密充填です．
このような１つの球のまわりに12個の球が配置する構造と言っても，次のようなものがあります．
中心球の赤道面の上側から5個の球，下側から5個の球が接し，上下の正5角形が点対称に配置し，さらに，中心球の上下に球が1個づつ配置するのも12個配置です．これは正20面体配置と呼ばれます．しかし，この配置は局所的には充填密度が高いが，正20面体だけでは空間の充填ができません．
どうも数学的にエレガントな証明は無理なようです．

◆ケプラー予想の証明は，トマス・ヘールズ（ミシガン大学）によってコンピュータを用いたしらみつぶし法で完成したということです．ケプラー予想（1611年「六角形の雪について」という友人向けの小冊子にあるという）から400年近く経過した1998年のことです．
ヘールズはドロネーの四面体分割を基礎に，シンプレックス法で計算されました．
評価関数を導入して，密度の低い配置は減点，密度の高い配置は加点を繰り返すものです．300ページもあるヘールズの論文は，トート（Toth）ら審査員12人が4年かかってチェックしましたが最後まで詰められず99%正しいと報告されました．
そこで，2003年にヘールズ自身が証明支援ツール（HOL Light，Isabelle　など）を使いチェックを始めやっと証明できたと言います．コンピュータを用いる証明は「4色問題」の時にもありました．