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特定方位に切り出した水晶Quartzの両側の面に電圧をかけると結晶は変形します．逆に両側から力をかけると両端に電圧（分極）を生じます．この性質を圧電効果といいます．圧電効果は，結晶構造に対称心がある場合には生じません．なぜなら，結晶中のいかなる方向に電圧（分極）ベクトルが生じたとしても，対称心に矛盾するからです．

所定の方位で所定の厚さに切り出した水晶片の両面に交流を印加すれば，水晶片は振動します．水晶片の共振の起こる周波数で安定な発振器を作ることができます．水晶振動子（通常32.768kHz＝2^15Hzの水晶音叉）を用い，精度の高いクォーツ時計が作られており，実際の標準時計もこれです．
現在の時間標準は，セシウム（133Cs）の原子時計と定められました．原子時計とは，水晶時計を含む総合システムで，水晶発振器の周波数の校正標準に原子の状態遷移の周波数を用います．
セシウム原子は，最外殻の電子が１つ（水素原子型）なので，解析的にエネルギー準位の計算ができます．磁場を印加して縮退している準位を分離させた状態で，基底状態から励起状態への遷移を起こさせると，マイクロ波領域の9.192631770GHzのエネルギーで遷移します．そこで，水晶発振器により，この近傍のマイクロ波を発生させ，セシウム原子による吸収が最大になったときの水晶発振器の周波数を，9.192631770GHzであると校正しています．
ちなみに，GPS衛星は，ルビジュウムの原子時計を積載しています．最近はMEMS(Micro Electric Mechanical Systems)技術により，ルビジュウムの腕時計の開発も進んでいるそうです．
長さの標準は，地球の経線の1/4を10,000mと定めたのが始まりでした．しかし，1983年に，真空中の光速でこれを定義することになりました．1mの定義は「光が真空中を1/299,792,458秒間に進む長さ」です．長さの標準も時間に基礎を置くことになったのです．
数学と基礎科学，谷克彦（数学文化15号P82より抜粋）

シュロ縄で柵の竹竿を結びました．庭師は男結びと言う方法で結ぶそうですが，私は簡単にランニング・ノットという方法で結びました．実は，シュロ縄の扱いが大変だったので，一番作業の楽な結び方をして，後でこの結び方の名前を調べたら，ランニング・ノットという方法であることがわかりました．
ランニング・ノット（あるいは，スリップ・ノット）と言われる所以は，竹竿を通してから紐を引っ張って締めると結節ノットが移動して，自然に竹竿の周りの輪が締まるからです．結節になる輪から紐の両端が同じ方向に出ていますから，竹竿を通してから紐の一端を引っ張ると，輪が締り結節になると同時に，他端も同方向に引かれるので，両側から輪を締め，自分自身を締め緩みを防止しする一番シンプルな結び方になります．
ランニング・ノットの結び方で紐の両側を引っ張ると，輪の中に竹竿がなければ手品のように紐は結び目が出来ずに解けてしまいます．比較のために，もやい結びを見てみると，結びの両側を引っ張ると結節ノットは移動せず輪が出来てしまい，竹竿の周りを締める結び方にはなりませんし，竹竿がない状態で，もやい結びの紐の両側を引っ張ると解けずに固定した輪を残して結び目が出来てしまいます．

紐の始まりを竹竿の周りのランニング・ノットから始めて，柵を組んだ竹竿に巻きつけ固定し，紐の最後もランニング・ノットで収めようとするとなかなか難しい．巻いてきたひもが緩まないように締めながら出口の結節になる結び目を作る必要があるからです．
シュロ縄は水に湿らせた方がしなやかでよく締まります．シュロ縄を繰り返ししごいていると，縄に毛玉のような塊や細い箇所ができますから注意しましょう．

今回は，紐の両端をそれぞれ別の場所で固定したので，使いませんでしたが”かます結び”という方法もあります．これは紐の両端を結ぶ結び方です．

アラビア文字の各文字は数を割りあてられています．このシステムのことはアブジャドabjadと呼ばれ，十進法のインド数字が採用される以前は数値を表現するのに使われていました．また，単語や文章の数値はシンボリックな意味があります．
例えば，「アッラー」は66，このアナグラムの「ラーレ（チューリップ）」も66で，同じ数値ですので，チューリップ模様はジャーミイの装飾に使われます．

クンデカリを構成するピースの数も意味があります．例えば，ドアの文様を構成するセグメント数の165ピースは，「アッラーのほかに神はいない」，
66ピースは，「アッラー」を意味するそうです．

■私はアブジャドのことは聞きかじっただけで，正確な記述ではないかもしれません（アブジャドのことをご存知の方教えてください）．
私の理解した考え方だけおおざっぱに述べると，アラビア語でも，アルファベット（英語）で計算する数秘術のように，単語（スペル）の文字の数値を総計し，その単語の数値が決まります．ただし，数値を対応させるのはアブジャドに対してで，アラビア文字そのものに対してではないそうです．

（注）世界には，ギリシャ文字（ラテン文字，キリル文字，...），漢字，アラビア文字，などいろいろありますが，アラビア文字は子音を表記する文字に母音も含めるようで，文字も独立の場合と単語の中に使われる場合で異なるようです．漢字や速記文字なども記号全体で一定の意味もつのに似ています．単純なアルファベットではなくアブジャドという文字体系に数字を対応させます．

■クンデカリ技術で作られたドアを構成するピース数の意味

以下の写真のドアの文様の数値227は，次のようにして数えるそうです．この数値のシンボリックな意味は知りません．

面積１の正方形の数14個　→1x14=14
面積２の長方形の数11個　→2x11=22
面積３の長方形の数13個　→3x13=39
ーーーーーーーーーーーーーーーーーー　
　　　（全図形数）38個　　 　　75（全面積）
　　　　　　　　　x4
　　　　　　－－－－－
　（枠のピース数）152　＋（面積数）75　=227（全ピース数）

クンデカリKundekariという技術は，接着剤も釘も使わず木のピースを組み立てていく技術です．イスラム模様の装飾のある説教壇（minbar），ドア，家具に用いられます．12世紀にアナトリア地区で生まれたこの技術は，その地のセルジューク帝国，オスマン帝国時代に洗練されました．杉，薔薇，梨，クルミ，黒檀，リンゴなどの木材が使われます．木材ピースを溝とホゾで組み立てるので．各ピース間は2~3mmのギャップがあり，それぞれのピースの膨張伸縮で歪みが生じることがありません．接着剤や釘で固定された作り方よりも，湿気などに対する耐久性があり，ひびが入らず700年持つといわれます．ジャーミイのドアは，5cm位の多くのパーツをクンデカリの技術で組み立てています．そしてさらに，このドアーを構成する木材ピースの総数は，数秘術的な意味があるそうです．
⇒数秘術的な意味については，アラビア文字のアブジャド数に続く．
（参考文献）クンデカリについては，Mugla Journal of Science and Technology, Vol2,No2,2016,110を引用

■ダイヤモンドの価値は，4C［Carat重量，Color色，Cralityキズ，Cutカット］で評価されます．ここでは，数学的に興味のあるカットのプロポーションについて述べました．ラウンド・ブリリアン・カットのダイヤモンドが最も輝くようにしたプロポーションを理想カットといいます．理想カットは1919年にベルギーのMarcel Tolkowsky(数学者でダイヤモンドのカッター)が計算しました．今なら，コンピュータもあるし，光線追跡のソフトウエアもある時代で，理想カットの形（プロポーション）を見つけることは容易でしょうが．1919年にどのように計算したのか，興味深いことです．多分，閉じ込められた光線が全反射を繰り返す光路に注目したのでしょう．

ダイヤモンドのブリリアン・カットの各部の名称を図に記載してあります．正面の平らな面をテーブル面，上半分をクラウン，下半分をパビリオンと呼びます．真ん中のガードル面に対してクラウン斜面のなす角度をβ，パビリオン斜面のなす角度をαとしました．

テーブル面の左隅Aに入った光線（赤色）が,ダイヤモンド内部を進み，後方の左パビリオン斜面で全反射され，次に，右パビリオン斜面で全反射され，テーブル面右隅Bに戻り，前方に出て行く光線もありますが，テーブル面右隅Bで一部は反射され内部に戻る光線（青色）になります．この光線は全反射を繰り返し内部に閉じ込められることになります（青色）．
この図で追跡した光線は，テーブル面の左隅Aから出て，テーブル面の右隅Bに達する左右対称の光路です．ダイヤモンドの屈折率n≒2.417を用いて，この光路のテーブル面での入射角φ，屈折角γに対する屈折の式，sinφ＝n･sinγ　から，左右対称になる入射角φ（テーブル面の垂線と入射光線のなす角）を求めると，21°になります．というのは，左右のパビリオン間でテーブル面と平行になる光路ですから，左のパビリオン斜面での反射の法則（反射角αはパビリオン角αに等しい）から，γ＝90°ー2α＝8.5°となることが決まるからです．ここで，パビリオン角α＝40.75°を用いました．

■屈折率の高い媒質中に光が閉じ込められるのは，全反射を起こし易いからで，ダイヤモンドの全反射の臨界角θ（入射角でいうと）は，sinθ=1/nだから，θ＝24.4°（反射面から測った反射角で言うと，65.6°）です．
テーブル面の出口で反射されて内部に戻った一部の光線は，パビリオン面とクラウン面で全反射を繰り返し内部に閉じ込められます．パビリオン角α＝40.75°，クラウン角β＝34.50°というのは実によくできた設計です．
全反射によりブリリアン・カット内に閉じ込められた光線の経路は，一周すると，これに平行な経路に戻ることを証明するために，次の作図をしてみました．BC(赤色)の直線はダイヤモンド内部で全反射を繰り返す光線（青色）を外に引き伸ばしたものです．その代わりに，ダイヤモンドも反射面を共通にしてつないで並べました．結局，全反射を4回繰り返すと光線が平行になるということは，このように配置したダイヤモンドが４つで回転角が0に戻る（初めの向きと同じ）ことからわかります．

■カットの形を評価するには，そのカットの形を磨き直して理想カットにするとしたら，重量がどれだけ減るか（カット減点%）で表します．カット減点5%までは理想カットと見做されます．さて最後になりましたが，トルコフスキーの理想カットのプロポーションを表紙の図に示しました．トルコフスキーはガードル厚には言及せず，ナイフ・エッヂだったそうですが，現実にはナイフ・エッヂは作れず，ガードル厚は必要です．
■（注）ラウンド・ブリリアン・カットとは，58のファセット面を磨き上げた形（キューレットも1面と数えます）です．ダイヤモンドは立方晶系の結晶ですから，複屈折はありません．また，光の分散もそれほど強くなく上品です．虹色にぎらぎらするようならキュービック・ジルコニアなどの疑いがあります．
クラウン面の高さや，パビリオンの深さが最適でないと，テーブル面の中が暗くなります．

ある折り紙の本に正5角形の作り方がありました．
複雑な手順なので整理して原理だけ説明しましょう．
正5角形の中心角72度を作るミソは，以下のようです．
これで，Θは72°になることを証明できますか？

答，72°になりません．
約71.56...°です．

この折り紙手順で作れる角度は，72°に非常に近いので
実際の折り紙工作では非常に良い方法といえるでしょう．
でも，幾何の命題としては正しくないのです．

話は別になりますが，
正5角形を，コンパスと直線定規で作図できます；
例えば　http://www.natubunko.net/zukei/png/penta03.png
ここから図を引用しましょう．

さてそれでは，この作図を折り紙の手順で追いかけてみましょう．
折り紙の手法で，「円を描く」というのは，可能でしょうか？

コンパスの使い方には２通りあます；
１）所定の長さを所定の方向にとる．
２）２つの円の交点を求める
（与えられた2点から，それぞれ与えられた距離だけ離れた点を求める）．

このうち，1)は折り紙手順で可能ですが，2)は折り紙手順で不可能ではありませんが工夫がいります．折り紙の手順で，正5角形の作図を追いかけてみると，(4)の段階で，２つの円の交点を求めることが必要になり，ここが困難です．でも不可能ではないようなので，皆様，挑戦されて，もし，うまい方法を発見したら教えてください．

まったく別の方法でも，折り紙で正5角形を作ることができます．例えば，表紙の写真は定幅紙（帯）を用いて正5角形を折ったものです．この場合はどのような手順の作図になるのかを考察してみてください．このような折り紙は手順が全部完成してからつじつまが合うように最初から調整しますから，漸近的に正5角形を得る作図のようなもので，無限の手順がかかるので幾何学の作図としては認められません．

折り紙では近似的な正5角形（星型）が出てきましたが，これから扱うのは数学的に厳密な正5角形についてです．
半径１の円に内接する正5角形の1辺の長さを求めましょう．
この正5角形の1辺の長さをxとします．
△BACと△ADCは相似(相似比が黄金比Φ)で，形は2等辺三角形(等辺xとすると，底辺Φ･x)です．Φ･x＝x＋(x/Φ)　ですから，Φは黄金比の方程式
　Φ^2ーΦー１＝0を満たします．この方程式の解（Φ>1のもの）は，Φ＝(1+√5)/2　です．

■次に，△BCEと△BOFとが相似であることを利用し，
1：(Φ･x）＝OF：CE=(1－y)：(x/2)　が成立するので，　y＝1ー1/(2Φ)　
ただし，y＝√[(x/Φ)^2－((Φ･x)/2－x/Φ)^2]＝√[x^2ー(Φ･x/2)^2]＝x√[1－(Φ/2)^2]　
x＝y/√[1－(Φ/2)^2]＝[1－1/(2Φ)]/√[1－(Φ/2)^2]＝(√[10－2√5])/2＝1.1756

■　作図
半径１の円に内接する正5角形の一辺の長さｘ＝(√[10－2√5])/2を作図する方法
（証明）ピタゴラスの定理を2回使います．

私は，yahooブログ 「数学と社会の架け橋<数学月間>（2012.5～2019.3）」に，発行している同名のメルマガまぐまぐのバックナンバーを保存していました．メルマガはテキストなので，必要な図はどこかに保存したもののリンクを張らねばなりません．そこで，必要な図や写真はyohooブログに保存していました．しかし，昨年yahooブログが閉鎖しましたので，ブログ機能はlivedoorブログと数学月間の会のホームページに引っ越しました．
テキストは移動できたのですが，移動できなかった画像や写真があります．yahooブログに張ったリンク先が消えてしまったので後の祭りです．
今回Noteを始めて，それらの記事中から面白いものを優先し，図を作り直し再現しようとしています（新規の記事も並行して随時書きます）．お付き合いのほどよろしくお願いします．記事の候補全体は，数学月間の会ホームページにありますので訪問ください．その中で再現すべき記事のリクエストがありましたらお寄せください．まだNoteの使い方になれないので皆さまのお気づきのことをお教えください．記事に数式が必要なこともありますが，Texが使えないようなので，まとまった数式は画像にして埋め込むことにしています．

今回再現するのは，以下のメルマガの記事です．
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数学月間SGK通信 ［2018.10.23］ No.238
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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今日は，たいへん古典的だが，重要な証明問題を扱いましょう．
ギリシャの幾何学者達が研究した不可能作図とは
以下のものがあります．

（１）与えられた正立方体の2倍の体積の正立方体を作れ
（２）与えられた円と同じ面積の正方形を作れ
（３）任意に与えられた角を3等分せよ
これらは，定規とコンパスだけを有限回使って作図できるか？
ということです．

■なぜ作図できないか
（１）は，2の3乗根の作図が必要です．
（２）の円と同じ面積の正方形を作る方針を以下の図に示します．

どうしてこの作図ができないのかわかりますか？
与えられた円の半径をrとします．まず，円と同じ面積の長方形を作りましょう．もし，縦r，横aの長方形が作れたら，r･a=x^2　となるxの作図は可能です．問題は，円の面積と同じ縦 r，横 a=πｒの長方形を作るところで，
円周の半分の長さπrの線分を作図する方法が，定規とコンパスではないからです．無理数πが作図できません．

■直線定規とコンパスだけを有限回繰り返し用いて作図できる長さは
２つの有理数の，加法，減法，乗法，除法，開平だけです．
作図方法は，以下をご覧ください．
条規とコンパスで作図
開平を繰り返せは，2のべき乗根（4乗根，8乗根，．．．）は作図できますが，例えば，立方根は作図できません（この証明は難かしいのでスキップ）.

（３）任意の角度の3等分が作図できないわけ．
角度3等分の方程式は　x^3-3x-a=0　で，
例えば，与えられた角度が60°ならa=1の方程式です．
60°の3等分の方程式は，x^3-3x-1=0　となりますが，この3次方程式は，p+q√r　（ただし，p,q,rは有理数）の型の解を持たないので
この角度の作図は，定規とコンパスでは不可能です．
もちろん，60°の3等分の20°は存在しますが，
定規とコンパスだけを使う方法では作図できないということです．
詳しくは，以下をご覧ください．

■任意の角度の3等分
任意の角度∠XOYの3等分がなされたとします．

フィボナッチ数列F(n)は，1,1,2,3,5,8.13,21,34，.....のような数列です．
F(n)=F(n-1)+F(n-2)　と再帰的に定義されます．
この数列は，いろいろな所に現れます．得られた数列が，フィボナッチ数列であることを証明するには数学的帰納法を用います．
今回は，その典型的な例として，抵抗ラダー回路を取り上げましょう．

■抵抗ラダー回路

ラダーとは梯子のことで，梯子型に抵抗を並べた回路を，抵抗ラダー回路といいます．例えば，表紙の図は3段のラダー回路です．

A-Bの端子（入力側）から見たインピーダンスをZ_i，
C-Dの端子（出力側）から見たインピーダンスをZ_oとします．
この3段のラダー回路は，A-B側（入力側）にR1の抵抗があるが，C-D側（出力側）にはないので，左右対称ではありません．入力側から見たインピーダンスと出力側から見たインピーダンスの比から，減衰率Z_i/Z_o≡Aが定義されますが，A>1なのでこの回路はアッテネータ（減衰器）として使えます．
抵抗値をすべて同じR1=R2＝１とすると，
ラダーの段数mを増やしていくと，減衰率A(m)＝F(2m+1)/F(2m-1)は，2/1，5/2，13/5，34/13,...とフィボナッチ数列が出てきます．
（参考）n=1から3までの計算は以下にありますのでご覧ください．
証明は数学的帰納法を使う練習になりますので，各自試みてください．

■ラダー回路の応用例
ラダー回路は，アナログ信号が入力されたときに，そのアナログ信号の大きさを，瞬時に8水準に分類する（8ビットのデジタル化）回路（これを8ビットのAD変換といいます）に使われたりもします．次の図をご覧ください．

コンパレータが7個並列に並んでいますね（カスケード結合）．
入力信号の大きさを８水準に分類するのは，7個のコンパレータの働きで，
その境界値となる７段階の基準電位をそれぞれに供給します．
この７つの基準電位を発生するのが，一番左の直列に並んだ抵抗ラダー回路です．nビットのAD変換には(2^n）-1個のコンパレータと基準電位がいります．

■正5角形の性質
正5角形の中に相似な2等辺3角形（頂角36°）が次々に組み込まれていく様子を見てください．赤い2等辺3角形→緑の2等辺3角形→青い2等辺3角形の順です．2等辺3角形の辺の比率は，いつもΦ：1で，Φは正5角形の対角線（星形の辺），1は正5角形の1辺です．このとき成立する方程式，Φ2－Φー１=0を解いて（Φ>1をとる），Φ＝(1+√5)/2＝1.6180･･が得られます．Φは黄金比の値です．

■正5角形の実用作図法
この作図はつぎの式が成り立ちます．AH=HB=1/2，MH=√3/2　であるので，PH=(√3ー1)/2，従ってPB=(√[(√3－1)2＋1])/2＝(√[5－2√3])/2
AB/PB＝2√(65－26√3)/13＝1.6138･･･
この作図法は，イスラームのタイル作図で便利ですが，厳密な正５角形ではありません．しかし，誤差は0.26%なので実用上問題ない恐るべき精度です．

 ■厳密な正5角形の作図
AB=1，AH=1/2，PH=1　ですので，AP＝(√[1＋22])/2＝√5/2
従って，QP＝(1＋√5)/2＝Φ
この作図で得られるのは厳密に正5角形であることが証明されました．

■折り紙で作る正5角形(1)の精度
この図は折り紙で正5角形を作る原理を示しました．y=3xの直線とx軸のなす角θを求めると，θ＝arctan3＝71.5651･･°　となりますが，正5角形では72°になるべきです．この誤差は．0.6％ですのでかなり良い精度と言えましょう．他の角度は，72.1087（0.2%），72.6524（0.9%）程度です．（カッコ内は誤差）

■折り紙で作る正５角形(2)の精度
折り紙の一太刀切で大変作り易い星型です．この原理は以下の図を見てください．正5角形（星型）の一辺の中心角は360°/5＝72°ですから，一太刀切りに対応する中心角は36°です．
以下の図を見ると，一太刀切りの中心角は，35.783°(36°からのハズレは-0.6%)to,36.870°（+2.4%）に収まっています．