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真空の屈折率は１です．例えば，ダイヤモンドの屈折率は2.42で，物質の屈折率は，波長589.3 nm（振動数$$5×10^{14}$$Hz）の光（ナトリウムD線589.0nmと589.6nmの平均値）で測定するのが慣例です．屈折率nの物質に入ると光の位相速度は真空中の光速の1/nで伝播します．屈折率が１より小さいならば真空中の光速より速くなると心配する必要はありません．ここでいう光速は位相速度のことです．物質（ダイヤモンドでも）の屈折率は，X線領域では，1よりわずかに小さく$$n=1-δ，δ～10^{-6}$$になります．何故でしょうか？

■X線，可視光，電波などは，電磁波（振動電場）の仲間です．可視光に比べてX線の周波数は$$10^4$$倍も大きく，30keVのX線の周波数は$$10^{19}$$Hzです．
ダイヤモンドに限らず，物質は原子が集まって構成されており，物質が振動電場に置かれると，物質中に種々の振動する双極子が生じ，これらが物質の置かれた振動電場と同じ周波数で振動し，同じ周波数の電磁波を放射します．これが物質による電磁波の散乱現象です．
物質中に生じる分子分極やイオン分極による双極子の固有振動は赤外や可視光の領域にあります．これらの種々の分極は赤外や可視光領域の誘電率（振動電場に対する応答）に寄与しますが，振動電場の周波数が高くなると，これらの振動は追従できずに次々に落ちていきます．特に，X線の周波数域になると，原子内に束縛されている電子の振動による「電子分極」だけが追従できます．

さて，電子分極だけに注目しましょう．原子内のいろいろな軌道に束縛された電子の固有振動数は10^15Hz程度（この振動数の付近では共鳴が起こります）です．

$$n^{2}=\varepsilon =1-4\pi \left( \displaystyle \frac{q^{2 } }{m\omega ^{2 } } \right) \displaystyle \sum_{j=1}^{N}\displaystyle \frac{\omega ^{2 } }{\omega ^{2}-\omega _{0j}^{2}-i\mit\Gamma _{j}\omega } \cong \left\{ \begin{array}{@{\,} cc @{\, } }
1+4\pi \displaystyle \sum_{j=1}^{N}\left( \displaystyle \frac{q^{2 } }{m\omega ^{2}_{0j } } \right) & for \omega <<\omega _{0} \\[0mm]
1-4\pi N\left( \displaystyle \frac{q^{2 } }{m\omega ^{2 } } \right) & for \omega _{0}<<\omega
\end{array} \right. $$

以下の式を見ると，（１）電子の固有振動数よりはるかに小さい周波数の可視光の領域では，屈折率は１よりわずかに大きく，（２）束縛電子の固有振動数より遥かに大きい周波数のX線領域では屈折率は１よりわずかに小さいことがわかります．

結局，電子分極だけが振動に追従できるX線領域での物質の屈折率nは，１よりごくわずか小さいことになります．

■応用
X線に対する物質の屈折率は１より小さいので，空気中（≒真空中）から，物質表面へ臨界角以内ですれすれに入射するX線ビームは，表面で全反射します．X線を曲げるレンズの光学系は作れませんが，全反射を使うと，適当な形状のミラーを組み合わせてX線ビームを集光させる光学系を作ったり，光ファイバーのようなX線導波路を作ったりすることが可能になります．

全反射するX線は，スキンデプスと呼ばれる物質の極表面しか侵入しませんから，極表面の分析に利用できます．
物質の深さ方向に種々の屈折率層の積層モデルを作り，フレネル反射率をシミュレーションできます．これは，種々の入射角で反射率の測定を行い，物質表面の深さ方向の情報を得る反射率測定実験で利用されています．

$$n^{2}=\varepsilon =1-4\pi \left( \displaystyle \frac{q^{2 } }{m\omega ^{2 } } \right) \displaystyle \sum_{j=1}^{N}\displaystyle \frac{\omega ^{2 } }{\omega ^{2}-\omega _{0j}^{2}-i\mit\Gamma _{j}\omega } \cong $$
$$ \cong \left\{ \begin{array}{@{\,} cc @{\, } }
1+4\pi \displaystyle \sum_{j=1}^{N}\left( \displaystyle \frac{q^{2 } }{m\omega ^{2}_{0j } } \right) & for \omega <<\omega _{0} \\[0mm]
1-4\pi N\left( \displaystyle \frac{q^{2 } }{m\omega ^{2 } } \right) & for \omega _{0}<<\omega
\end{array} \right. $$

«НАУКА ИЗ ПЕРВЫХ РУК» №3, 2020
Sergey Viktorovich Netesov
- Corresponding Member of the Russian Academy of Sciences, Doctor of Biological Sciences, Head of the Laboratory of Bionanotechnology, Microbiology and Virology, Faculty of Natural Sciences, Novosibirsk State University.

公式の統計から判断すると、パンデミックの最初の6か月におけるSARS-CoV-2コロナウイルスの犠牲者の数は、2009年から2011年の1年半の悪名高い豚インフルエンザの流行を越えました。さまざまな推定によれば、7〜14億件の症例のうち、15万人から50万人が死亡しました。COVID-19については、9月の公式症例数は3,300万人を超え、死亡者数は100万人を超えました。[訳者注）11月26日現在，症例数6,030万人，死亡者数142万人]

SARS-CoV-2は、人類にとっては困難な問題であることが判明しました。一方、COVID-19の大流行では、当初から前例のない急速な証拠の積み上げとこの問題に関する科学出版物数の増加を惹き起こしている（2020年6月の初めまでに、その数は20万を超えました）、WHOは150以上の候補ワクチンを登録しました。一方で、この病気の原因物質に対して本当に効果的な薬はまだ1つも現れておらず、SARS-CoV-2と身体との相互作用のメカニズム、および広範な病理学的症状の出現はまだ研究中です。

過去数か月にわたって、専門家は新しいコロナウイルス感染について多くの有用な情報を学んだだけでなく、私たちが慣れ親しんでいる急性呼吸器ウイルス感染症（ARVI）についても 、たとえば、以前はあまり注目されていなかった無症候性のよく知られた現象など、違った見方になりました。現在、このような現象はコロナウイルスだけでなく固有のものであることが明らかになりました。

私たちがパンデミックとの戦いから学び、どのように進むかを考える時が来ました。いずれにせよ、人類の最優先事項は、この病気が日常生活と経済に与える影響を最小限に抑えるために可能な限りのことをすることです。

■先駆病原体SARS-COV-2
今世紀の初めまで、コロナウイルスは通常の季節的なSARSの原因になっていましたが、2000年代になり状況は変わり始めました。非定型肺炎の原因物質であるSARS-CoV-1は、2002年11月に中国の広東省で最初に「特定」されました。それはコウモリのコロナウイルスに由来し、その中間の宿主は明らかにヒマラヤのコガネムシ（ウィーバーラ）だったようです。これらの動物は、コーヒー［世界で最も高価なコーヒーの品種の一つであるliuvak kopiになる］の果実を食べ、肉が美味しく、毛皮も美しい。その内臓や体の部分は、中国の民間療法で使用されています。そのため、かつては中国など東南アジア諸国で集中的に飼育されていました。コウモリから、そして次に人間にもたらされたウイルスの偶発的な適応は、2003年に世界37カ国で8000件以上の感染と800人近くの死をもたらしました。

SARS-CoV-2が属するOrthocoronavirinaeサブファミリーは、広範なCoronaviridaeファミリーのメンバーです（Science First Hand No. 3（88）、2020）。

SARS-CoV-2が属するOrthocoronavirinaeサブファミリーは、広範なCoronaviridaeファミリーのメンバーです。それはいくつかの亜属を含む4つの属で構成されています。これらのうち、SARS-CoV-2、SARS-CoV-1に加えて、重度の急性呼吸症候群（SARS）を引き起こす2002- 2003年のSARSウイルス、および中東を引き起こす肺肺炎の原因物質であるMERS-CoVは、人間にとって特に危険です。呼吸器症候群。他のヒトコロナウイルスは、肺および中等度のARVIの原因物質です

MERS-CoVは、2012年にサウジアラビアで最初に特定されました。これは、エジプトのロゼットコウモリコロナウイルスに由来し、中間宿主である片こぶのラクダを通過した後、ヒトに感染し始めました。この病原体は8年間（2012年9月から2020年1月まで）、実験で確認された感染症例を2.5千件以上引き起こし、そのうち約800件（35％以上！）が致命的でした。ラクダと接触した人のほとんどが病気になりましたが、人から人への感染の事例も知られています。韓国でのこの病気の発生は広く知られ、1人の患者から150人以上が連続して感染しました。

■コウモリから人間へ
コロナウイルスは1960年代半ばに発見されました。その名前（ラテンのコロナから'太陽コロナ'）は、英国のウイルス学者で顕微鏡学者のジューンアルメイダによって電子顕微鏡で最初に見られたウイルスの形状に由来します。「クラウン」は、表面タンパク質、スパイクによって形成され、膜貫通受容体 （アンギオテンシン変換酵素2（ACE2、またはACE2）の分子）に結合することにより、ウイルスが細胞に浸透することを保証します。

同じ1960年代以来、長い間人間に感染してきた一般的なコロナウイルスが徐々にわかってきました。それらのうちの2つはアルファコロナウイルスNL63と229Eです。さらに2つ-ベータコロナウイルスHKU1およびOC43。後者には、SARS-CoV- 1SARSウイルスと現在のSARS-CoV-2が含まれます。

過去10年間、中国とアメリカの科学者たちは、コロナウイルスを含む数十種類のカブトコウモリウイルスのゲノムを詳細に研究してきたので、かなり早く新しい病原体を特定することができました。2020年1月10日までに、中国疾病管理予防センター（北京）の専門家は、患者から得られたSARS-CoV-2の9つの分離株のゲノムを解読した。新型ウイルスは、SARS-CoV-1（約79％の類似度）とMERS-CoV（約50％の類似度）の両方とは遺伝的に異なることが判明した。その違いは非常に深刻です。

SARS-CoV-2を分離する（ "Science First Hand" No. 3（88）、2020）
米国で最初の症例からSARS-CoV-2（球状ウイルス粒子、青）を分離します。粒子の内側に黒い点が表示され ます-ウイルスゲノムの断面。透過電子顕微鏡法。写真：疾病管理センター

ただし、SARS-CoV-2はスナッフボックスの悪魔［訳注）キノコ］ではありません。その特徴づけられた分離株はすべて、2018年に中国東部で発見された2つの既知のコウモリコロナウイルスに遺伝的に近く（88％以上の類似性）、このウイルスのヒト細胞との結合部位は、SARSウイルスのものと類似していました。少し後に、RatG13株がコウモリで同定されました。これは、新しい病原体にさらに近く、96％以上の類似性があります。

SARS-CoV-2の最初の8つの完全なゲノムは、互いに99.98％以上同一であり、ヒト集団における最近の出現を示しています。同時に、コウモリがこのウイルスにとって「孵卵器インキュベーター」であったかどうかはまだ決定されていません。このウイルスの起源については多くの仮説が提唱されていますが、最も現実的なのは、ウイルスが人間にとって病原性になり、中間宿主、おそらくパンゴリン（アルマジロの遠い「相対的」）の生物を「通過」するというものです。

SARS-CoV-2の人工的な起源をめぐる論争については、この理論に賛成して、「ソファーに座った」ウイルス学者は、2015年のNature誌の記事に記載されているハイブリッドを指摘しています。これはコロナウイルスの自然な進化を模倣する実験に言及しています。この研究の主な目的は、SARS-CoV-1ウイルスのスパイクタンパク質をコードするわずかに修飾された遺伝子が挿入されたコウモリコロナウイルスの1つです。主な変更は、科学者がそのゲノムにヒトACE2受容体への結合に関与する領域を挿入したという事実にありました。

北京の動物園のコウモリ（Science First Hand No. 3（88）、2020）
コウモリは、人間にとって潜在的に危険な多くのウイルスのキャリアですが、コウモリ自体は病気にならず、ウイルス感染で死亡することもありません。写真 は北京（PRC）の動物園のコウモリです。写真：愚かなウサギ、トリックスは子供向けです

この組換えウイルスは、ノースカロライナ大学（米国）で構築され、ウーハンウイルス学研究所（PRC）でテストされました。そのようなキメラの特徴は細胞培養でテストされ、それが人間にとって潜在的に危険であることが判明しました。ちなみに、Gain-of-Functionという英語名のこのような実験は、過去10年間で2回禁止され、世界の科学界によって2回許可されています。

ただし、このハイブリッドウイルスは、パンデミックなSARS-CoV-2とは大きく異なります。遺伝的類似性は87％以下です。別の「陰謀」シナリオによると、別のコウモリウイルスであるRatG13が誤ってウーハンの中心から放出される可能性があり、SARS-CoV-2の類似性ははるかに高くなっています。

陰謀研究は魅力的で非常に伝染性の高い活動ですが、新しい感染性物質の起源と拡散に関する有能な科学的調査とは異なり、病原体との戦いには役立ちません。

たとえば、人間と接触して生活しているさまざまな動物のSARS-CoV-2に対する感度をテストすると、犬、豚、鶏、アヒルの生物では再現性が非常に低いが、フェレットや猫ではよく再現され、呼吸管によって、そして感染した動物から人間へ。これはデンマークや他のいくつかの国のミンク農場で起こり、ミンクは人間からのウイルスにしか感染できませんでした。したがって、コロナウイルス感染の可能性のある貯蔵所として、野生動物と家畜をさらに研究する必要があります。

人への道
ウイルスは、人間と家畜のすべての感染症の70％以上を引き起こします。工業用抗ウイルスワクチンがなければ、人間の寿命ははるかに短くなり、人類が動物性食品を提供することは非常に困難になります。

数十年前、いわゆる新規または新たな感染症はすべて、野生動物から飼いならされた動物、そして人間への「飛躍」による動物病原体の適応進化の結果であることが示されました。人間と動物のウイルスゲノムの分子遺伝学的研究によって証明されるように、これは、はしか、おたふく風邪、風疹、C型肝炎、HIVの古くから知られているウイルスに関しても当てはまります。したがって、戦略的な目的のために、人間の病気を防ぐために、最も危険な病気に対して動物にワクチンを接種するだけでなく、野生動物の病原体の全範囲を特定するためのモニタリング研究を実施し、その後、人間の新たな感染を防ぐための対策を開発する必要があります。

家畜の産業繁殖において、野生の親類の病原体から動物を保護することも同様に重要です。同時に、閉鎖状態でのみ家畜を飼育する必要があり、生きた動物を販売するための「野生の」市場は禁止されるべきです。現代の養鶏場では、空気がフィルターを通って鳥に入り、労働者は完全に着替え、飼料は消毒されます。中国の同じ手のひらのシベットも、コウモリがそこに行けないように、閉鎖された保育園でのみ飼育されています。

■氷山の水面下

2020年のSARS-CoV-2コロナウイルスのパンデミックは、前例のないものです。このウイルスが、季節性インフルエンザや他の急性呼吸器ウイルス感染症を引き起こすウイルスと相互作用をし、惹き起こす多くの問題が明るみに出たのは意外ではありません。

例えば、インフルエンザの予防接種を受けて、流行期に健康を維持していれば、感染を回避できていると考えられます。それでも、インフルエンザウイルスはまだ上気道の少数の細胞に感染している可能性があり、明らかな病気の兆候を引き起こすことなく、そこで「軽く」増殖しています。もしそうであれば、SARS-CoV-2のケースですでに証明されているように、ワクチンを接種した人でも無症候性の感染キャリアになる可能性があります。

COVID-19の患者は、最初の症状が現れる2日前に感染を広げ始める。無症状の場合でも、感染した人は呼吸やくしゃみ、咳だけでなく、糞便と一緒に最大2週間ほど環境中にウイルスを放出します。そのため、患者はウイルスの検査で陰性になって初めて隔離所から解放されるのです。

現在、人類は呼吸器感染症の90％を診断することができます。しかし、少なくともロシアでは、実際にはこれを実施していません。急性呼吸器ウイルス感染症ARVIとインフルエンザの診断は、症状によってのみ行われます。そして、ARVIの症状のほとんどはほとんど同じであるため、これではわかりません。インフルエンザはほとんどの場合、鼻水が出ずに消えますが、これはCOVID-19を含む他のいくつかの感染症でも一般的です。ARVIの特定の原因（病因）についての答えは、正確な実験室診断によってのみ与えられます。これは可能ですが、現在有料です。ARVIのPCR診断は、強制医療保険の資金調達には含まれていません。

「かぜ」やインフルエンザの特定の症例は目で判断されるため、わが国で実際に特定の病原体に一度に感染したと思われるARVI患者数を知ることはできません。これらの感染のそれぞれからの真の損傷を評価することと、最も危険で疫学的に重要なものを決定することの両方を妨げます。したがって、インフルエンザウイルスを除いて、これらの病原体に対する新しいワクチンや抗ウイルス薬を開発したり、それらの進化の長期的な傾向を追跡したりすることができません。ARVI病原体のグループに新しいウイルスがどのように侵入しているかにすぐに気付かないのは当然でした。

フランス． 2020（ "Science First Hand" No. 3（88）、2020）
2020年の写真：Jacques Paquier

 ただし、一部の国では、関連する研究がいわゆるパイロット都市で実施され、PCRを使用して、いくつかの総合病院からのSARSの兆候があるすべての患者のサンプルが分析されます。それは非常に費用がかかり、1つのサンプルのそのような分析は、現在7〜8千ルーブルの費用です。しかし、病原体の全範囲を見ると、どの感染症に対してワクチンを開発する価値があるのかが明らかになります。

ちなみに、これらの病気の原因のうち、細菌感染症はわずか20％、残りはウイルス性です。今日のワクチンはインフルエンザに対してのみ開発および生産されており、ARVIの病因におけるその割合は10〜15％です。さらに、一部の国では同じコロナウイルス感染がより一般的です（15-30％）。そして、これらの「習慣的な」コロナウイルスは無害とはほど遠い。COVID-19のように、重度を含む3種類の病気があり、感染自体の結果と機械的換気による二次性肺炎の両方で死亡する患者もいます。

もちろん、ARVIのすべての患者に対して一般的な診断を行ってそのようなウイルス感染を検出することは意味がありません。特定の抗ウイルス治療がないため、今のところ症状があるものだけです。通常の治療コースは、診断自体よりも約7倍安くなります。ウイルス感染の場合、上記の理由で選択的研究を行う必要がありますが、どのワクチンを開発し、どの診断をCHIに導入する必要があるかを理解するためです。

モスクワでのそのような研究は、適切に組織された場合、1年以内に数千人の患者をテストするために約1500万ルーブルを必要とします。モスクワの「3DKマンション」の価格ほどで，最も高価なベントレークロスオーバーほどではありません。しかし、保健省はそのような提案に対する答えを1つだけ持っています-お金がありません。

新しいコロナウイルス感染によって引き起こされたパンデミックが私たちに教えてくれた主な教訓は、実際、私たちはウイルスの流行と感染一般についてほとんど知らないということです。それは、そのような将来の出来事に備える方法と、それらに対処する効果的行動方法を私たちは学ばねばなりません。そして、それはCOVID-19自体についてだけに留まらず、危険な季節的な感染ではありますが、別のものになる可能性があります。自然界に動物や鳥がいる限り、新しい未知の病気のパンデミックのリスクは残ります-「野生の」病原体の自然の貯蔵所。

そして、私たちが本当に人口を保護したいのであれば、私たちが今しなければならない最初のことは、私たちがまだ病気であるもの、私たちの中で最も危険なSARSを引き起こす病原体、ロシア人を見つけることです。モスクワ、サンクトペテルブルク、ノボシビルスク、クラスノダール、イェカテリンブルク、カザン、ウファ、ウラジボストークなど、SARSが特に多い主要都市でモニタリング研究を実施するためには、まず、健康問題の解決に今よりも有能かつ効果的に多くのお金を費やす必要があります。他の百万以上の都市と同様に。

SARS-CoV-2に関しては、明らかに、抗流行作用だけでそれを根絶することはほとんど不可能でしょう。おそらく、少なくとも効果的なワクチンが広く実践に導入されるまで、それは人間の集団で循環し続けるでしょう。しかし、私たちはまた、この病気を簡単にまたは無症状で経験し、おそらく免疫を持っている人々の層が徐々に増えています。ワクチン接種は彼らの数を増やすべきであり、そうすれば流行は減少するでしょう。

その間、マスマスキングと社会的距離は感染の拡大を減らすことができ、それは人口の最も脆弱なセグメントを保護します。厳しい対策（企業、学校、大学、カフェ、レストラン、ショップの仕事をやめること）に戻ることは経済の崩壊につながり、ひいてはヘルスケアの状況を悪化させることになることを心に留めておくべきです。

Литература
1. Bendavid E., Mulaney B., Sood N. et al. COVID-19 Antibody Seroprevalence in Santa Clara County, California // MedRxiv. 2020. DOI: 10.1101/2020.04.14. 20062463.
2. Logunov D. Y., Dolzhikova I. V., Zubkova O. V. et al. Safety and immunogenicity of an rAd26 and rAd5 vector-based heterologous prime-boost COVID-19 vaccine in two formulations: two open, non-randomised phase ½ studies from Russia // Lancet. 2020. V. 396. N. 10255. P. 887–897.
3. Moghadas S. M., Fitzpatrick M. C., Sah P. et al. The implications of silent transmission for the control of COVID-19 outbreaks // PNAS. 2020. V. 117(30). P. 17513–17515.
4. Peccia J., Zulli A., Brackney D. E. et al. SARS-CoV-2 RNA concentrations in primary municipal sewage sludge as a leading indicator of COVID-19 outbreak dynamics // MedRxiv. 2020. DOI: 10.1101/2020.05.19.20105999.
5. Zhanga R., Li Y., Zhang A. L. et al. Identifying airborne transmission as the dominant route for the spread of COVID-19 // PNAS. 2020. V. 117(26). P. 14857–14863.

著者について
Sergey Viktorovich Netesov- ロシア科学アカデミーの対応するメンバー、生物科学の博士、ノボシビルスク州立大学自然科学部のバイオナノテクノロジー、微生物学およびウイルス学の研究所の責任者。国際的に引用されたジャーナルと10以上のモノグラフで150以上の出版物の著者。生物医学の分野でロシア政府賞を2回受賞。

疫学において、次世代行列（じせだいぎょうれつ、英: next-generation matrix）は、感染症の流行に関する区画モデルの基本再生産数を得るのに用いられる。個体群動態においては、構造化個体群モデルの基本再生産数を計算するのに用いられる[1]。マルチタイプの分岐過程でも、同様の計算に用いられる[2]。

次世代行列を用いて基本再生産数を計算する方法はDiekmann et al. (1990)[3] と van den Driessche and Watmough (2002)[4]によって与えられた。次世代行列を用いて基本再生産数を計算するために、集団全体を n 個の区画に分割し、はじめの m 個を感染集団の区画とする。時刻 t における区画の個体数を$$  {\displaystyle x=(x_{1},\dotsc ,x_{n})^{T } }   $$とおき、流行モデル

$$ {\displaystyle {\frac {dx_{i } }{dt } }={\mathcal {F } }_{i}(x)-{\mathcal {V } }_{i}(x)\qquad ({\mathcal {V } }_{i}(x)={\mathcal {V } }_{i}^{-}(x)-{\mathcal {V } }_{i}^{+}(x))} $$
を考える。ここで $${\displaystyle {\mathcal {F } }_{i}(x)}$$  は i 番目の区画における新規感染の発生率を表しており、$${\displaystyle {\mathcal {V } }_{i}^{+}(x)}$$  は他のコンパートメントから i 番目の区画への遷移率を、$${\displaystyle {\mathcal {V } }_{i}^{-}(x)}$$  は i 番目の区画から他の区画への遷移率を表している。このとき

$${\displaystyle {\mathcal {F } }(x)=({\mathcal {F } }_{1}(x),\dotsc ,{\mathcal {F } }_{n}(x))^{T},\qquad {\mathcal {V } }(x)=({\mathcal {V } }_{1}(x),\dotsc ,{\mathcal {V } }_{n}(x))^{T } }$$ 
とおけば、上のモデルは

$$ {\displaystyle {\frac {dx}{dt } }={\mathcal {F } }(x)-{\mathcal {V } }(x)} $$ 
と書くこともできる。いま $$x0$$ を感染症のない定常状態とする。このとき $${\displaystyle {\mathcal {F } }(x)}$$  と $${\displaystyle {\mathcal {V } }(x)}$$  のヤコビ行列は $$x0$$ において

  $$ {\displaystyle D{\mathcal {F } }(x_{0})={\begin{bmatrix}F&0\\0&0\end{bmatrix } },\quad D{\mathcal {V } }(x_{0})={\begin{bmatrix}V&0\\J_{3}&J_{4}\end{bmatrix } } }{\displaystyle D{\mathcal {F } }(x_{0})={\begin{bmatrix}F&0\\0&0\end{bmatrix } },\quad D{\mathcal {V } }(x_{0})={\begin{bmatrix}V&0\\J_{3}&J_{4}\end{bmatrix } } } $$

となる。ここで F と V は

$$ {\displaystyle F={\begin{bmatrix}{\frac {\partial {\mathcal {F } }_{i } }{\partial x_{j } } }(x_{0})\end{bmatrix } }_{1\leq i,\,j\leq m},\quad V={\begin{bmatrix}{\frac {\partial {\mathcal {V } }_{i } }{\partial x_{j } } }(x_{0})\end{bmatrix } }_{1\leq i,\,j\leq m } } $$

で定義される m 次正方行列である。このとき K = FV −1 は次世代行列と呼ばれる。その最大固有値、すなわちスペクトル半径 R0 = ρ(K) がこのモデルの基本再生産数である。

 
plus magazine（November 5, 2020）を要約した

11月18日の東京都のCOVID19新規陽性者数は493人となり，指数関数的な増加予測グラフに乗りました．予断を許さない状況になりました．
ここで紹介する（plusmagazine，Nov.５，2020）記事は，マスク着用の効果とエアロゾルを介しての伝染を予防するための換気について語っています．たぶん，皆様の常識になっている事実の確認で新規性はないので，この記事は圧縮して紹介します．

■　COVID-19を引き起こすウイルスは、主に大きな液滴と小さなエアロゾルを介して伝染する。これらは、呼吸、会話、咳、または笑いの際に排出され、「ウイルスを含む小さな呼吸エアロゾルは、呼吸によって生成された二酸化炭素と一緒に、換気の流れによって部屋の周りに運ばれる」とリンデンらは論文で言う［Paul Linden, Rajesh Bhagat, Stuart Dalziel, and Megan Davies　Wykesによる］。「換気が不十分だと二酸化炭素濃度が高くなり、ウイルスにさらされるリスクが高まる可能性がある」

オフィス、病院、レストランなどの多くの近代的な屋内スペースの換気システムはさまざまです：　風と熱によって駆動される自然換気、または機械システムによります。混合換気は、空間内の空気を十分に混合して維持することを目的とし、置換換気は、部屋の上部から暖かい空気を抽出し、床近くの通気口から冷たい空気を供給することで、より涼しい下部ゾーンとより暖かい上部ゾーンを生成します。

COVID-19の感染に関しては、空気を混ぜることは望ましくない。「混合換気は、すべてを空中に浮遊させてかき混ぜることを目的としています」とリンデン氏は説明します。「置換換気ならば、私たちが吐き出す暖かく潜在的に危険な空気は天井に上がり、そこで抽出することができます」。

置換換気を使用しても問題が発生する可能性があります。部屋にさまざまな熱源がある場合、呼気は暖かい天井層の下に閉じ込められ、他の人によって再び吸い込まれる可能性があります。

人々の呼気の正確な挙動と病気の伝染におけるその役割を予測することは非常に難しいので、リンデンと彼の同僚は、流体力学研究所（ケンブリッジ大学の数学科学センター）で実験を行いました。

■　呼吸、会話、笑い
人がじっと座って息を止めているときでさえ、彼らの体の熱は天井に上がる暖かい空気のプルームを生成します。人が呼吸を始めたり、口を開いて話したり、歌ったり、咳をしたり、笑ったりすると、吐き出された息が2番目のプルームを生成します。伝達に関しては、この2番目のプルームが本体のプルームに同伴されて天井に運ばれるのが最善です。

もちろん、空気は見えませんが、リンデンと彼のチームは、暖かい空気を追跡できる画像技術を使用しました。「誰かが暖かい空気を吐き出すと、温度と密度の変化を見ることができます。それは光を屈折させ、あなたはそれを測定することができます」とバガットは説明します。

チームが作成した画像を以下に示します。左側の画像では、人は静かに座って鼻から呼吸し、中央の画像では通常の音量で話し、右側の画像では笑っています。各画像では、体のプルームが穏やかに上昇していることもわかります。3つのケースのそれぞれで、吐き出されたプルームが体のプルームに吸収されていないことがわかります。

上段の写真はマスクなし．下段の写真はマスクありです．

■　実験と数学

このような実験は非常に重要ですが、実験はリンデンと彼のチームの研究の一部に過ぎません。同様に重要なのは、ガスやその中の汚染物質の挙動を記述する数学モデルで、ウェルズ・ライリーの方程式があります。これは、空気感染性の病気にかかっている人と部屋を共有することで感染する人の予想される数I　を推定しています。

ここで、Sは、部屋の中で病気にあらたに感染可能な人の数であり、Γは部屋の中の既に感染している者がウイルスを排出する率を記述し、qは一人当たりの平均呼吸率、tは人々が部屋を共有している時間幅を記述する。Qは部屋の換気率、つまり新鮮な空気が部屋に入る率です。

この式をよく見てみると、Qが大きいほど（部屋の換気が良いほど）感染する人の数Iが少ないことがわかります。ウェルズ-ライリー方程式は、換気 Q は空間全体で均一であることを前提としており、リンデンと彼のチームが示したように、これは通常、人や家電製品によって生じる空気の流れも問題になり現実にはそうではありません。しかし、ウェルズ-ライリー方程式（他の多くの関連する数式とともに）は、現実の生活をより正確に記述する、より複雑なモデルの一部を形成するでしょう。

■　結論

置換換気システムは、適切に設定されている場合は、より良い選択である。
マスクは有益である。

この研究はまた、もう一つの興味深い可能性を示唆している。ウイルスを含んだエアロゾルは、私たちが息を吐くCO₂と同じように振る舞うので、部屋のCO₂レベルは警告システムに使える。CO₂レベルは非常に簡単に測定することができ、それが高い場合は、空気感染のリスクも高くなるので、リンデンらは、信号機のような警報システムを考えている。

Dmitry Germanovich Fon-Der-Flaass "Kvant" No. 5、2010

https://elementy.ru/nauchno-populyarnaya_biblioteka/431269/Teoremy_sofista_Gorgiya_i_sovremennaya_matematika

Dmitry Germanovich Fon-Der-Flaass（1962–2010）が早すぎる死を遂げました。クバントの読者はこの名前に何度も会ったことがあります。クバント誌はしばしば彼の問題を発表しました。ドミトリー・ゲルマノビッチは大きな科学で成功を収めましたが、それは彼の活動の一部にすぎません。彼は、学童のための数学オリンピック、全連合および全ロシアのオリンピック、そして近年では国際審査員を務めました。彼はさまざまな数学キャンプや学校で講義を行い、国際数学オリンピックロシアチームのトレーナーの一人でした。この文は，2009年に全ロシア子供センター「Орленокオルリョノク（わし）」で、D.Fon-der-Flaassが行った講演に基づいています。

■古代のソフィスト、ゴルジウスは、三つの定理を立てたことで有名です。第一の定理は、世界には何も存在しないということです。第二の定理は、もし何かが存在するならば、それは人間にはわからないということです。第三の定理は、もし何かが認識可能であるならば、それは隣人には言い表せない。
言い換えれば、何もありませんし、何かがあれば、それについて何も知りませんし、何かを知っていても、誰にも言えません。
これらの三つの定理に四番目を追加します。何かを言うことができたとしても、誰も興味を持ちません。
これらの四つの定理は、実は、現代数学の主要な問題です。

ゴルジウスの第一定理
世界には何も存在しない。数学の言語に翻訳すると、数学は理解できないことをしています。ある意味、これは真実です。結局のところ、数学的なものは世界に存在しません。私たちは皆、自然数が何であるかを知っています。それらは1，2，3，4，などです。そして、私たち全員が「など」という言葉の意味を理解しているという事実は大いなる謎です。 「など」は「無限に多い」数を意味するからです。この世界には、無限に多くのものが存在する余地はない。しかし、私たち全員が自然数について考えるとき、私たちは皆同じことを考えていると信じています。私は7の次は8と思うが、あなたも7の次は8と思う。私が19を素数と思うが、あなたも19を素数と思う。この対象物は世に存在しないようですが、私たちはそれを知っており、私たち全員が同じことを知っています。もちろん、これは数学的な謎ではなく、哲学的な謎なので、議論は哲学者にさせます。幸いなことに、私たちは数学的対象の概念を持っているだけで十分で、それらについて考えるすべての人にとって同じです。だから数学が可能なのです。しかし、哲学的な大きな問題は残っています。

数学者が、これを厳密に考えようとすると、問題が発生します。それがこれからお話しすることです。それらが人類の記憶に出現したのはごく最近（過去100年間）のことです。

自然数に加えて、数学にはもっとたくさんのことがあります。ユークリッド平面があり、そこにあらゆる種類の三角形、角度を描き、それらについての定理を証明します。実数がある、複素数がある、関数がある、もっと恐ろしいものもある...。19-20世紀の変わり目（もちろん、それは少し前に始まった）で大きな転機がありました。人々は、多様な数学的対象の全体は、単一の概念 （集合の概念）に還元できることに気付きました。確かに、単純に「集合」とは何か、「など」とは何かということを直感的に理解していれば、基本的にはすべての数学を構築することができます。

問題は、集合で何ができるかということです。集合が存在する場合、それはどういう意味でしょうか？つまり、私たちの世界、数学的対象の世界のどの要素についても、それがこの集合に含まれているか否かを尋ねられたら、はっきりした答えを得られることを意味しています。答えは明確で、私たちの意志とは完全に独立しています。これは、集合を使ってできる最初の基本的なことで、要素が集合に属するかどうかを調べることです。

もちろん、集合自体は何らかの方法で構築する必要があります。そして、最終的には、すべての豊富な数学的対象がそれらから構築されます。それらはどのように構築されるでしょう？たとえば、空集合Øを作成できます。この集合に属しているかどうかに関係なく、どの要素について質問しても、答えは常に「no，属していません」となり、空集合はすでに一意に決定されています。空集合に関するすべての質問は即座に答えられます。

そして、空集合だけしか含まない集合{Ø}を作成できます。繰り返しますが、この集合があるとはどういう意味ですか？これは、どの要素についても、それがこの集合に属しているかどうかを判定できることを意味します。そして、この要素が空集合である場合、答えは「yes」、この要素が他の要素である場合、答えは「no」になります。したがって、この集合もできました。

ここからすべてが始まります。より直感的な操作をいくつか使います。 2つの集合がある場合は、それらを結合できます。これは、一方または他方の集合の要素を含む集合があると言えます。繰り返しますが、要素が結果集合に属するか否かという質問に対する明確な答えができます。だから私たちは結合を築くことができます。等々。

ある時点で、無限に多くの要素が存在する集合があることを宣言する必要があります。自然数があることを知っているので、無限の数が存在すると信じます。自然数の集合も利用できることを宣言します。無限の集合が現れると、整数を定義できます。整数は、ゼロまたはマイナス記号の有無にかかわらず自然数のいずれかです。これはすべて、集合理論の言語で行うことができます。

有理数を定義できます。有理数とは、分子と（ゼロ以外の）分母の2つの数値のペアです。それらの間に加法と乗法を定義する必要があるだけです。そして、そのようなペアが同じ有理数と見なされるときの条件は何でしょうか。

実数とは何か？これが興味深いステップです。たとえば、それは無限小数であると言うのも良い定義でしょう。無限小数とはどういう意味ですか？つまり、各自然数は実数に含まれます。

ところで、数学者は実数をこのように定義するわけではありません。我々がすでに押さえた有理数の集合を見れば、厳密には実数の集合よりも小さいものであることを宣言しておきましょう。これは非常に厄介な定義です。実は、以前の定義と非常に似ています。例えば実数3,1415926だとすると (無限の数の連鎖が続いている)例えば、それよりも小さい有理数は何でしょうか？小数点以下の端数を切ります。3.14という数字が出てきますが、考えた実数よりも小さいです。小数点以下第4位の端数を切ると3,1415個になり、これも考えている実数よりも小さい有理数が1つ増えます。自分の数よりも小さい有理数をすべて知っていれば、その数だけで決まることは明らかです。そのような絵を視覚的にイメージすることができます。直線はすべて実数で、その中でどこかに私たちの未知数があり、その左に私たちの未知数よりも小さい多くの有理数があります。他の側のすべての有理数は、それよりも大きくなるだろう。これら2つの有理数の間に1つのチップがあることは直感的に明らかで、このチップを実数と呼ぶことにします。集合の概念から始まって、数学全体が少しずつできていきます。

Дмитрий Германович Фон-Дер-Флаасс (1962–2010)カバー写真より
数学者が、例えば複素関数を研究するとき、複素数が実数の対であること、実数が有理数の無限集合であること、有理数が整数の対であることなどをいちいち思い出すわけではありません。出来上がったいろいろな数学対象を使っています。しかし、非常に長い話になりますが、原理的にはすべてのものは基礎から組上がっています。

では、数学者は何をするのか？彼らは、これらの数学対象のいろいろな特性を証明します。何かを証明するためには、すでに何かを知っている必要があります。何よりも、一人の数学者が得た結果が他のすべての人に受け入れられるためには、どのような初期特性から議論を始めるかの完全な合意がなければなりません。

これらの初期特性のいくつかを書き出す（それらは公理と呼ばれる）ことから始め、多くの複雑な数学対象の他のいろいろな特性を証明します。しかし、自然数では困難があります。正しいと直感的に感じる公理から導くことができないが、それにもかかわらず真実と思える自然数に関する命題があることが判明しました。

すぐに疑問が湧いてきますが、この性質が自然数にも当てはまることをどのようにして知ることができるのでしょうか？困難な問題です。自然数の公理しか扱えないのであれば、多くのことを語ることは不可能です。例えば、自然数の任意の無限部分集合について語ることはできません。それにもかかわらず、人々はそれが何であるかを想像し、これらの部分集合がどの特性によって決定されるか直感的に理解します。したがって、公理から推論できない自然数のいくつかの特性について、人々はそれらが真実であることを知ることができました。自然数のある性質を明示的に示したのは、おそらく数学者のクルト・ゲーデルが最初で、それは直感的には真実である（つまり、数学者はそれが真実であることに異議を唱えない）が、当時受け入れられていた自然数の公理からは推論できないということになる。

部分的、実際には非常に大きな範囲（数学のほとんどの分野）で、この問題は、慎重にすべてを集合に持ちこんで、直感的に正しいと思える集合理論の公理のいくつかを書き出すことによって対処されました。

言ってみれば、連想の公理。もし、いくつかの集合の集合があれば、次のように言うことができます：この集合からこれらの集合のすべての要素を含む集合を形成しましょう。このような集合が存在することには、合理的な反論はありません。また、もう少しトリッキーな公理もあります。ここでは、集合理論の中で、原理的に疑問視される可能性のある3つのトリッキーな公理を考えてみます。

例えば、こんな公理があります。要素をたくさん有すると集合で、それぞれの要素上のある関数の値を曖昧なく決めることができるとします。この公理は、この集合の各要素にこの関数を適用すると、集まったものが再び集合を形成するというものです（図2）。最も単純な例：xをx^2に変換する関数なら、自然数の集合があれば、それをそれぞれの正方形に入れるイメージで、また自然数の集合に対応させます。 直感的に理解できる公理ではありませんか？もし、これらの関数が非常に複雑な方法で定義されると、集合が非常に大きくなる恐れがあります。また、私たちの関数が明確に定義されていないことは証明できるが、集合の各要素についてこの関数の具体的な意味を計算することは非常に難しい、あるいは無限に難しいという状況もあり得ます。何かしらの答えがあることは確かで、それは曖昧なものではありません。このような複雑な状況でも、この公理は適用可能と考えられており、集合論の問題の源泉の一つは、このような非常に一般的な形です。

図3
一方では自明、他方では問題をもたらす第二の公理は、この集合のすべての部分集合を抜き出せるという公理です。ある集合があれば、その集合のすべての部分集合からなる集合が存在するという。有限集合の場合は当然のことながら N個の要素の有限集合があれば、それは2^N個の部分集合しか持ち得ないことになります。基本的には、全部書き出すことも可能です。最も単純な無限集合でも問題はありません。1,2,3,4,5,6,7などの自然数の集合を取ってみましょう。自然数の集合のすべての部分集合の族が存在することは、なぜ明らかなのでしょうか？要素がわかっているからです。自然数の部分集合を想像するにはどうしたらいいのでしょうか？取り出す要素には１を、取らない要素には０を対応させる。この配列が無限に続く２進数であることを想像してみましょう（図３）。［訳注）いくつか抜き取った状態は0.1010････など頭に０．をつけて無限に続く2進数で表現できる］これで、実数は自然数の部分集合とほぼ同じであることがわかります。 すべての実数が順に並ぶことを直感的に知っているので、それらは実線として明確に表すことができます。与えられた集合のすべての部分集合の集合に関する公理も成り立つのです。

さらに考えてると、ちょっと怖くなってきますが、数学者は、この公理は常に実行されると信じています：我々がある集合を持っている場合、それはまた、そのすべての部分集合が存在することを意味します。そうでなければ、何かを構築するのは非常に困難になります。

そしてもう一つ、最初は信じていなかった公理があります。その名を聞いたことがあるかもしれません。「選択の公理」です。様々な方法で定式化することができ、非常に複雑なものもあれば、非常にシンプルなものもあります。今から、選択公理の定式化の方法をお話ししますが、その中で、それが正しいことが本当に明白になります。いくつかの集合を用意しておきましょう。それらは実際には重なっているかもしれませんが、それは重要ではありません。 簡単に言えば、それらはまだ重なっていないかもしれません。そうすれば、これらのセットを全部まとめたものを作ることができます。これはどういうことかというと、その要素はこれらのものになる、つまり、それぞれの要素から1つの要素を取り出して、それらすべてで1つの集合を形成する（図4）。集合から一つの要素を選択するそれぞれの方法は、これらの集合から作られるものの要素を与えます。

もちろん、これらの集合の中に空集合があり、そこから選択するものがない場合、作られるすべてのものも空になります。そして、選択の公理は、そのような完全に明白な事実を主張します。これらの集合がすべて空でない場合、作られるものは空ではありません。これは明らかに、選択の公理が実際に正しいという事実を支持する最も強力な議論の1つです。他の定式化では、選択の公理はこれほど明白に聞こえません。

すべての数学を集合理論の言語に翻訳しようとして、数学者が命題をどのように証明するかを観察すると、多くの場所で、数学者はそれに気付かずにこの公理を使用していることがわかりました。これに気がつくと、別の命題に分ける必要があることが明らかになりました。私たちはそれを使用していたので、どこかからそれを取り出さなければなりませんでした。それを証明するか、これが基本的な明白な事実であり、それを公理として使用することを許可されていることを宣言する必要があります。これは本当に基本的な事実であり、他のすべての事実だけを使用して証明することは不可能であり、反論することも不可能であることが判明しました。したがって、それを受け入れる場合は、公理として受け入れます。そして、もちろん、受け入れる必要があります。

ここで大きな問題が起こりました。この事実が明確な形で定式化され、「使用できます」と宣言されるとすぐに、数学者はすぐにそれを使用し、直感的には全く非自明な命題を多数証明しました。直感的に間違っているように見える命題すら証明しました。

選択の公理を使用して証明された、そのような命題の最も衝撃的な例は以下です。ボールがあります。それをいくつかのピースに分割し、これらのピースから2つのまったく同じボールが作れます。ここで「いくつかの部分に分割する」とは、たとえば7とすると、各点ごとに、これらの7つの部分のどれに該当するかの話で、これはナイフでボールを切るようなものではありません。はるかに難しい場合があります。たとえば、これは想像するのは非常に難しいですが、ボールを2つにカットする方法なら、座標が有理数であるすべての点を1つのピースに取り、もう1つのピース（無理数の座標を持つすべての点）も作ります。各点について、どのピースに分類されたかがわかります。つまり、これはボールを2つのピースに合法的に分割したものです。しかし、これを視覚化することは非常に困難です。これらの各ピースは、遠くから見ると、まるでボールのように見えます。これらのピースの1つは実際には非常に小さく、もう1つは非常に大きくなりますが。そこで、選択した公理の助けを借りて、この方法でボールを7つのピースにカットできることを証明しました。次に、これらのピースを少し動かして（つまり、空間内で動かしたり、歪ませたり、曲げたりすることなく）、もう一度組み立てて、2つのボールを得ることができます。当初のものと同じです。この命題は証明されていますが、やや風変わりに聞こえます。しかし、それにもかかわらず、数学者は、選択の公理のそのような結果を完全に放棄するよりも我慢する方がよいことに気づきました。他に方法はありません。選択した公理を放棄すると、それをどこでも使用できなくなり、多くの重要で美しく直感的な数学的な結果が証明できないことが判明します。結果は安全に証明できるようになりますが、同時にそのような異常な結果もあります。しかし、人々は多くのことに慣れており、これらの異常にも慣れています。一般的に、現在選択されている公理には問題がないようです。

集合理論の一連の公理があり、数学があります。そして多かれ少なかれ、人間が数学でできることはすべて、集合理論の言語で表現できるようです。しかし、ここでは、ゲーデルが算術の時代に発見したのと同じ問題が発生します。私たちの集合の世界（すべての数学の世界）を説明するかなり豊富な公理のセットがある場合、それらが真実であるかどうかを知ることは決してできないという命題があります。これらの公理から証明することはできず、反論することもできません。集合理論は強力に発展しており、今ではこの問題に最も近いものです。いくつかの問が非常に自然に聞こえる状況に直面することがよくあります。それらに対する答えを得たいのですが、答えも未知で、公理から導き出すこともできないことが証明されています。

何をすべきか？集合理論では、彼らはどういうわけかこれに対処しようとします。つまり、彼らは新しい公理を考え出そうとします。人類にとって直感的に明らかなことはすべて、20世紀の初めに開発された集合理論の公理にすでに還元されているように思われますが、まだ何か他のものが欲しいことがわかりました。数学者は直感をさらに訓練して、いくつかの新しい命題が何らかの理由ですべての数学者に突然直感的に明白に見えるようにし、それらを使用できるようにするでしょう。

もちろん、これがどのように行われるのかはわかりません。非常に複雑な命題があります。まず、集合理論を深く掘り下げて、それらが主張する内容を理解し、次に理解する必要があります。 これらの命題は、実際に直感的に明白であると見なすことができ、公理と見なすことができます。 これは、数学の最も神秘的な分野の集合理論が現在行っていることです。

Дмитрий Германович Фон-Дер-Флаасс, «Квант» №5, 2010
Gorgiasの2番目の定理は次のようです-
何かが存在する場合、それは人にはわかりません。
ここで、このカテゴリに分類される文の例をいくつか示します。

集合理論に問題がありました。「選択の公理は本当ですか？」のような質問をする権利はあるのでしょうか？矛盾することなく数学をやりたいだけなら、原則として、選択公理を受け入れることも、それが真実ではないことを受け入れることもできます。どちらの場合でも、私たちは数学を開発することができ、ある場合にはいくつかの結果を、別の場合には他の結果を得ることができますが、矛盾は決してありません。

しかし、今は状況が異なります。明らかに、結果があり、その答えは明らかに存在し、明らかにそれは明確に決定されていますが、人類はおそらくそれを知ることは決してないでしょう。最も単純な例は、いわゆる（3 N + 1）問題です。これについては、これから説明します。自然数を選択しましょう。偶数の場合は、半分に分割します。そして、それが奇数の場合は、3を掛けて1を足します。結果の数値についても同じことを行います。たとえば、3から始めると、次のようになります。

7から始めると、プロセスに少し時間がかかります。いくつかの小さな数から始めて、このチェーンはかなり長いことが判明するかもしれませんが、常に1で終わります。どの自然数から始めても、そのようなチェーンを構築すると、常に1になるという仮説があります。これは（3 N + 1）-問題です-この仮説は本当ですか？

すべての現代の数学者はそれが正しいと信じているように私には思えます。そして、無謀にもそれを証明しようとさえします。しかし、誰も成功しませんでした。そして何十年も経過しています。したがって、これは魅力的な課題の1つです。もちろん、真面目な数学者はそれを軽蔑します-まるで楽しいパズルのようです。何がそこにあるのか、そこに何があるのか​​を知る必要が誰にあるか​は不明です。しかし、軽薄な数学者は、仮説が真実であるかどうかにまだ興味を持っています。それが証明されないうちは、ここで何でも起こり得る。まず、この質問には明確なyesまたはnoの答えがあることは明らかです。自然数から始めて、1に到達するというのは本当か、本当でないかのどちらかです。ここでの答えは、公理の選択や人間の意志に依存しないことは直感的に明らかです。人類はこの質問に対する答えを決して知らないという仮定があります。

ベルンハルト・リーマン
もちろん、誰かがこの仮説を証明すれば、私たちは答えを知るでしょう。証明するとはどういう意味ですか？これは、自然数が1に収束する理由を彼が説明することを意味し、理由を私たちに明らかにするです。

誰かが73桁の数字がまさにそのような特性を持っていることを証明するかもしれません。それからこのチェーンを実行することによって、私たちは間違いなく任意の大きな数字を得るでしょう。または、このチェーンが別の場所でループすることを証明します。繰り返しますが、これが仮説が間違っている理由になります。

しかし、たとえば、私にはひどい悪夢があります。この命題が真実であるが、理由がない場合はどうなるでしょうか。確かに、この命題には、ある人が別の人に理解して説明できる理由はまったくありません。そうすれば、私たちは答えを知ることは決してありません。残っているのは、すべての自然数を繰り返し、それぞれの仮説をテストすることだけだからです。そして、これは当然、私たちの力を超えています。エネルギー保存の法則は、有限の時間内に無限の数の操作を実行することを許可していません。または光の速度の有限性。一般に、物理的な法則では、有限の時間内に無限の数の操作を実行して結果を見つけることは許可されていません。

多くの未解決の問題は、この領域に正確に関連しています。つまり、原則として、彼らは本当にそれらを解決したいと考えています。それらのいくつかは決定する可能性が高いです。リーマン仮説という名前を聞いたことがあると思います。たぶんあなた方の何人かはこの仮説が何を言っているかを漠然と理解しているでしょう。個人的には漠然と理解しています。しかし、リーマンの仮説では、少なくともそれが真実であることは多かれ少なかれ明らかです。すべての数学者はそれを信じています、そして私は彼らが近い将来それを証明することを願っています。そして、まだ誰も証明も反証もできないという命題がいくつかあり、仮説においてさえ、2つの答えのどちらが正しいかは定かではありません。人類は、原則として、これらの質問に対する回答を決して受け取ることはない可能性があります。

Дмитрий Германович Фон-Дер-Флаасс，«Квант» №5, 2010
3番目の定理-何かがわかっている場合、それは隣人には説明できません。

これらはまさに現代の数学で最も燃えている問題であり、おそらく最も誇張された問題です。人は何かを証明しましたが、その証明を他の人に伝えることはできません。または、彼が本当にそれを証明したことを他の人に納得させます。この範疇で最初の例であり、一般に最も有名なのは、4色問題です。しかし、これはまだここで発生する最も困難な状況ではありません。ここで、4色問題について少しお話しした後、さらに異常な状況を示します。

図： 5.
4色問題とは何ですか？これはグラフ理論の質問です。グラフは、エッジで接続されたいくつかの頂点です。これらの頂点を平面上に描画し、エッジが互いに交差しないようにそれらをエッジに接続できる場合、フラットと呼ばれるグラフが得られます。グラフカラーリングとは何ですか？トップスはさまざまな色で塗装しています。エッジに沿って隣接する頂点が常に異なる色になるようにこれを行った場合、色は正しいと呼ばれます。できるだけ少ない色でグラフを正しく描きたいです。たとえば、図5には、ペアで接続された3つの頂点があります。つまり、どこにも移動できません。これらの頂点は、必ず3つの異なる色になります。しかし、一般的に、このグラフを描くには4色で十分です（3色では不十分です。確認できます）。

百年の間、問題がありました：平面上に描くことができるどんなグラフも4色で着色できるというのは本当ですか？誰かが信じて4色で十分であることを証明しようとしましたが、誰かが信じずに4色では不十分な例を考え出そうとしました。また、そのような厄介な問題もありました。問題は非常に簡単に定式化されます。したがって、多くの人々は、軽薄な数学者でさえ、それに襲いかかり、それを証明しようとし始めました。そして、彼らは膨大な量の疑惑の証拠または疑惑の否定を提示しました。彼らはそれらを数学者に送り、新聞で叫んだ。私は4色の問題を証明しました！」 -そして誤った証拠のある出版された本さえ。要するに、ノイズが多かったのです。

結局、K。AppelとV.Hakenがそれを証明しました。ここで、証明のスキームについて説明します。同時に、この証拠が他の人には説明できない理由もわかります。人々は、フラットグラフがどのように機能するかを真剣に研究することから始めました。彼らは数十の構成のリストを提示し、すべてのフラットグラフでこれらの構成の1つを見つける必要があることを証明しました。これは証明の前半です。そして、証明の後半-これらの構成のそれぞれについて、それがグラフにある場合は、4色で色付けできることを確認できます。

より正確には、証明は反対からさらに進んでいます。グラフを4色で着色できないとします。前半から、リストからいくつかの構成があることがわかります。その後、これらの構成のそれぞれについて、そのような推論が実行されます。グラフにこの構成が含まれているとします。捨てましょう。誘導により、残ったものは4色に塗られます。そして、残りを4色でどのように着色しても、まさにこの構成をペイントできることを確認します。

カスタマイズ可能な構成の最も単純な例は、他の3つだけに接続されている頂点です。グラフにそのような頂点がある場合は、最後に色を付けたままにしておくことができることは明らかです。他のすべてに色を付けましょう。次に、この頂点がアタッチされている色を確認し、4番目を選択します。他の構成の場合、推論は似ていますが、より複雑です。

さて、これはどのように行われたのですか？このように多数の構成のそれぞれが常に手でペイントされていることを確認することは不可能です-時間がかかりすぎます。そして、このチェックはコンピューターに割り当てられました。そして、彼は多くの事件を調べて、これがそうであることを本当に確認しました。その結果、4色の問題が証明されました。

当初はこんな感じでした。厚い本に記録された推論の人間的な部分には、すべてが着色されていることの最終チェックがコンピューターに委ねられ、コンピュータープログラムのテキストさえも与えられたというフレーズが付随していました。このプログラムはすべてを計算し、すべてをチェックしました-実際、すべてが正常です。つまり、4色の定理が証明されています。

すぐに騒動が起こりました-そのような証拠は信じられませんでした。結局のところ、証拠のほとんどは人間ではなくコンピューターで生成されたものです。 「コンピュータが間違っていたらどうしますか？」 -そんな偏狭な人たちが言った。

そして、この証明の問題は実際に始まりましたが、それらはコンピューターの部分ではなく、人間の部分にあることが判明しました。証拠に欠陥が見つかりました。もちろん、複雑な検索を含むこのような長さのテキストにはエラーが含まれている可能性があることは明らかです。これらのエラーは見つかりましたが、幸いなことに修正されました。

ヨハネスケプラー

コンピュータ部分は残り、それ以来、同じ種類の検索を行うだけで、プログラムを書き直しさえして、複数のコンピュータでチェックされました。結局のところ、正確に何を列挙すべきかが言われれば、誰もが独自のプログラムを作成して、結果が期待どおりになることを確認できます。たとえば、証明にこのような大規模なコンピュータ列挙を使用することは問題ではないように思われます。どうして？しかし、同じ理由で、4色の問題の例ですでに明らかになっています。つまり、人間の証拠よりもコンピューターの証拠の方がはるかに信頼されており、少なくはありません。彼らはコンピューターが機械だと叫びました、そして突然それはどこかで故障し、道に迷いました、そこで何かが間違っていました...しかしこれはただありえません。コンピュータが誤ってどこかで誤動作し、エラーが発生した場合（0が誤って1に置き換えられた場合）、これによって誤った結果が生じることはありません。これは結果につながりません、それはプログラムが最終的に壊れることだけです。コンピューターが実行する典型的な操作は何ですか？彼らは、そのようなレジスターからそのような番号を取得し、そこに制御を移しました。当然、この数に1ビットの変更が発生した場合、制御は誰にも移されませんでした。そこにいくつかのコマンドが書き込まれ、すぐにすべてが破壊されます。

もちろん、コンピューター用のプログラムを書く際にエラーが発生する可能性がありますが、これはすでに人為的なエラーです。人はプログラムを読んで、それが正しいかどうかを確認することができます。人は他人の証明を読んで、それが正しいかどうかを確認することもできます。しかし、人間はコンピューターよりも間違っている可能性がはるかに高いです。他の人の十分な長さの証拠を読んでいて、それに間違いがある場合、あなたがそれに気付かない可能性があります。どうして？まず第一に、証明の作者自身がこの間違いを犯したので、それはそれが心理的に正当化されることを意味します。つまり、彼は偶然にそれをしたのです-これは原則として、典型的な人がそのような間違いを犯すことができる場所です。これは、この一節を読んで、それに気づかないことで同じ間違いを犯す可能性があることを意味します。したがって、人間による証明の人間による検証は、コンピュータプログラムの結果を他のマシンで再度実行して検証するよりも、信頼性の低い検証方法です。 2つ目はほぼすべてが正常であることを保証し、1つ目はどれほど幸運かです。

そして、この問題（人々が書いた数学のテキストの誤りを見つけること）では、それはますます困難になり、時には不可能にさえなります-これは現代の数学の深刻な問題です。あなたはそれと戦わなければなりません。まだ誰も知らない。しかし、問題は大きく、現在発生しています。これにはいくつかの例があります。これはおそらくあまり知られていませんが、最も近代的なものの1つです。これはケプラーの古い仮説です。彼女は三次元空間にボールを置くことについて話します。

図： 6
まず、2次元空間、つまり平面で何が起こるかを見てみましょう。同じサークルを作りましょう。それらが交差しないように平面上にそれらを描くための最良の方法は何ですか？答えがあります-あなたは六角形の格子のノードに円の中心を置く必要があります。このステートメントは完全に些細なことではありませんが、簡単です。

3Dでは、どのようにボールをしっかりと詰めますか？まず、図6に示すように、平面上にボールを配置します。次に、図7に示すように、同じ層の別の層を上に置き、止まるまで押します。次に、同じ層の別の層を上に置きます。直感的には、これは3次元空間にボールを置くための最もタイトな方法です。ケプラーは、このパッケージは3次元空間で最も密度の高いパッケージでなければならないと主張しました（そして最初に作成したようです）。

それは17世紀に起こりました、それ以来、この仮説はそれだけの価値がありました。 21世紀の初めに、その証拠が現れました。そして、あなたの誰もがそれを手に入れて読むことができます。インターネット上のパブリックドメインにあります。この記事は200ページです。それはある人によって書かれ、コンピュータ計算だけでなく、純粋に数学的な推論も含まれています。

図： 7
まず、著者は数学的な推論を使用して、問題を有限数のケースをチェックするように減らしようとします。その後、時々コンピューターを使用して、彼はこの有限の、しかし非常に多くのケースをチェックし、すべてが収束します、そして-万歳！ -ケプラーの仮説が証明されました。そして、これがこの記事の問題です-誰もそれを読むことができません。それは重いので、場所によっては検索が本当に完了したかどうかが完全に明確ではないので、それを読むのは単に退屈だからです。 200ページの退屈な計算。人はそれを読むことができません。

一般的に言って、誰もがこの記事にはこの定理の証拠が含まれていると信じています。しかし一方で、これまで正直にチェックした人は誰もいません。特に、この記事はピアレビューされたジャーナルに掲載されていません。つまり、自尊心のある数学者は、「はい、すべてが正しく、ケプラーの推測が証明された。」

そして、これは唯一の状況ではなく、これは数学の他の分野でも起こります。最近では、セット理論、モデル理論、さまざまな分野で未解決の問題のリストに出くわしました。そして、ある仮説に対するコメントがあります。それは、このような記事で反駁されていると言われていますが、誰もそれを信じていません。

これが状況です。その人はその声明を証明しましたが、それを他の人に伝えることも、他の人に伝えることもできません。

最も恐ろしい例は、もちろん、有限の単純なグループの分類です。必要に応じて、それらが何であるか、グループが何であるか、有限グループが何であるかを正確に定式化することはしません。有限グループはすべて、ある意味で、単純なグループと呼ばれる単純なブロックから組み立てられます。これは、小さなブロックに分解することはできません。これらの有限の単純なグループは無限にあります。それらの完全なリストは次のようになります。これらは17のエンドレスシリーズであり、最後に26の個別のグループが追加されます。これらは個別の方法で構築され、どのシリーズにも含まれていません。このリストには、すべての有限の単純なグループが含まれていると言われています。この仕事は数学にとってひどく必要です。したがって、70年代に、その解決策に対するいくつかの特別なアイデアと希望が現れたとき、さまざまな国、さまざまな機関の数百人の数学者が問題を攻撃し、それぞれが独自の作品を取り上げました。いわば、このプロジェクトのアーキテクトがいて、これらすべてをまとめて1つの証明にまとめる方法を大まかに想像していました。人々が急いで競争していたことは明らかです。その結果、彼らが行った作品は合計で約10,000の雑誌ページになり、それが出版されたものです。また、プレプリントまたはタイプライトされたコピーのいずれかの形式で存在した記事もあります。私自身、そのような記事をやがて読みました。この完全な証拠の注目すべき部分が含まれていますが、公開されることはありませんでした。そして、これらの10,000ページは、さまざまな人によって書かれたさまざまなジャーナルに散在しており、さまざまな程度の理解力があります。これに関係がなく、この理論の設計者ではない一般の数学者にとって、10,000ページすべてを読むことは不可能であるだけでなく、非常に困難です。証拠の構造そのものを理解します。そしてそれ以来、これらの建築家の何人かは単に死にました。

証明は誰も読めないテキストの形でしか存在しないが、分類が完了したことが発表され、次のトラブルにつながった。新しい数学者は、有限グループの理論に行く気がありませんでした。これを行う人はますます少なくなっています。そして、50年後には、この証拠で何かを理解できる人が地球上にまったくいないということが起こるかもしれません。伝説があります：私たちの偉大な祖先は、すべての有限の単純なグループがこのリストにリストされており、他にはないことを証明する方法を知っていましたが、今ではこの知識は失われています。かなり現実的な状況。しかし、幸いなことに、この状況が現実的だと思っているのは私だけではないので、彼らはそれに苦労しており、彼らは特別なプロジェクト「有限の単純なグループの分類の証明に関連する哲学的および数学的問題」を組織したとさえ聞いた。この証拠を読みやすい形にしようとしている人々がいます、そして多分いつかそれは本当にうまくいくでしょう。これらすべての困難をどうするかを考えようとしている人々がいます。人類はこの仕事を覚えているので、最終的にはそれに対処します。しかし、それにもかかわらず、他の同様に複雑な定理が現れる可能性があり、それは証明できますが、誰も読むことができず、誰も誰にも言うことができないという証拠です。

Дмитрий Германович Фон-Дер-Флаасс，«Квант» №5, 2010
のエッセイのまとめです．今回は短いが，彼の最も言いたかったことはここにあるのでしょう．最後に私（訳者）の感想を述べます．

そして今、第四の定理について、少しだけ、多分最も恐ろしいことを話します - "教えても、誰も興味を示さない”。この問題のいくつかの断片はすでに話しました。人々は有限群の研究に興味を持たなくなりました。やる人が減ってきて、テキストという形で保存されてきた知識の塊が不要になり、誰も読めなくなってきている。これは数学の多くの分野を脅かす不幸でもあります。

数学の分野によっては運がいい分野があります。例えば、グラフ理論と組み合わせの理論は同じです。本気でやり始めるにも、ほんの少し学べばよい。少し勉強して、数学オリンピックの問題が解ける。一歩踏み出して、未解決の問題があり、～やったーとなります。しかし、数学の多くの分野は、本当に美しく、それをやりたいと感じるためにも、あなたは多くのことを学ぶ必要があります。そして、その道中では、他にも多くの美しいことを学ぶことができます。しかし、道中で出会うこれらの美しさに気を取られてはいけません、そして、最後には、まさに迷路の中で、美しさを見て、そして、多くのことを学んで、この分野の数学ができるようになっていくのです。そして、この難しさは、そういった部分の問題です。数学の分野が発展するためには、それに従事しなければなりません。全ての困難を乗り越えて、そこに登って、その後もやり続けるというのは、多くの人には面白いはずです。そして今、数学はその難易度の高みに達しており、多くの分野で人知の限界が大きな問題となっています。

人類がこれらすべての問題にどのように対処するのか-私にはわかりませんが、それは興味深いものになるでしょう。

実はそれだけです。

訳注）感想：私は、このエッセイで例にあげられている有限群の問題に興味があります。しかし、この分野は数学者たちは興味を失っているようです。それは、数学の確立された分野で，これ以上研究するのは人間の理解できる限界だからです。これを乗り越えるのは、他のすべての分野の知識もマスターしている数学者ができる仕事でしょう。それを乗り越えられる人がいるのか，その人知はもう人間業ではないのか。そして、たとえ誰かが乗り越えても他の誰にも理解できず，その結果に誰も関心をもたないという状況が恐ろしい．