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基本再生産数$$R_0$$と集団免疫★

by the Plus Editors Rachel Thomas and Marianne Freiberger.

この数週間によく聞く2つの言葉に,集団免疫と基本再生産数$$R_0$$と呼ばれる数(R noughtと言う)があります。


基本再生産数
COVID-19などの感染症を考えると,$$R_0$$は病気の基本再生産数です.つまり,集団のすべての人が病気への感染感受性がある場合,感染者が感染させる平均人数です.COVID-19の場合,この数は現在2から2.5の間にあると推定されています.季節性インフルエンザの場合,0.9から2.1の間です.そして,はしかの場合,それはなんと12から18です.

$$ R_0 $$が十分に大きいと,病気が急速に広がるのがわかります.たとえば,$$ R_0 $$が2の場合,1人の感染者が次のような新しい感染の増加を引き起こします.

第1世代:新しい感染$$ 2 $$
第2世代:新しい感染$$ 4 $$
第3世代:新しい感染$$ 8 $$
第4世代:新しい感染$$ 16 $$

$$ n $$世代の新しい感染は$$ 2 ^ n $$です.患者の感染性が続くのが1週間だとすると,この率では,全世界の人口(78億人)は32週間強で感染します.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

基本再生産数$$ R_0 $$が1未満の場合,非常に異なる描像になります.例として,$$ R_0 = 0.5$$とします.明らかに,感染した人は半分の人に感染させるとはできませんが,これは平均であることを覚えておいてください.つまり,10人の人が 他の5人に感染させる,または100人が他の50人に感染させると想定します.前と同じように,最初に感染者が1人いると仮定すると,新しい感染の数は次のようになります.

第1世代:新しい感染$$ 0.5 $$
第2世代:新しい感染$$ 0.25 $$
第3世代:新しい感染$$ 0.125 $$
第4世代:新しい感染$$ 0.0625 $$

$$ n $$世代の感染は$$(0.5)^ n $$件の新しい感染があります.世代の数$$ n $$が大きくなるにつれて,この数はますます小さくなり,病気は消滅します.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

$$ R_0 = 1 $$の場合はどうでしょう? この場合,病気は風土病endemicになります.常に集団に存在しますが流行epidemicはありません.

実効再生産数
それでは,はしか,あるいは季節性インフルエンザの株いくつかは$$ R_0 $$が1より大きいのに,なぜ全世界がずっと前にこれらの疾患に感染していないのでしょうか?その理由は,集団のすべての人に感受性があるとした場合の感染した人が感染させる平均人数が$$ R_0 $$でしたが,その世界にいた人は免疫力がなく,予防ワクチンがない条件です.実際には,他の場所で病気に感染した人が,これまでにその病気がなかった世界に入ったからです.

$$ R_0 $$が$$ 2 $$の場合,前述のように,最初は感染者の数が急激に増加します.

しかし,いったん人が病気から回復したら,彼らは(うまくいけば)ある程度の免疫を獲得するでしょう.つまり,しばらくすると,完全な感受性のある集団ではなくなります.集団の一部の人々が影響を受けない理由は他にもあります.彼らは他の理由で免疫があるかもしれないし,あるいは,ワクチンがある場合彼らはそれを接種したかもしれないし,他の集団から隔離されているかもしれません.

 実際の状況では,病気の実効再生産数を調べる必要があり,$$ R $$で表します.一部の人が免疫を持っている(または他の介入が行われている)集団で感染者が感染させる平均数です. もちろん $$ R_0 $$と$$ R $$は関連しています.病気に感受性のある集団の割合を$$ s $$と書くと,

$$R=sR_0$$
例として,集団の半分だけが感受性がある場合,$$ s = 0.5 $$,$$ R = 0.5R_0 $$になります. この場合,$$ R_0 $$が$$ 2 $$以下の場合,$$ R $$は$$ 1 $$以下であり,病気は伝染病になりません. ワクチン接種であれ,社会的距離であれ,あらゆる介入の理想的な目的は実効再生産数を1未満にすることです.

集団免疫
これは,集団免疫とどう関係があるのでしょうか?集団免疫の背後にある一般的な考え方は,多くの人々が免疫を持っている集団では,病気の感染が広がらない.それによって免疫のない人々を守るので,この集団は脆弱な個人を保護します.

それでは,集団免疫を獲得するには,集団の何人が免疫を必要とするのでしょうか? 病気の基本的再生産数が$$ R_0 $$で,1より大きいため,伝染病の脅威になると想像してください.私たちが見てきたように,実効再生産数$$ R $$が1未満の場合は,この病気はやがて消滅します. したがって,集団免疫を達成するには,実効再生産数$$ R $$を1未満にする必要があり,$$ R = sR_0 $$,$$ s $$は感受性のある人口の割合なので,

これを並べ替えると、

$$s <1 / R_0$$
つまり,集合中の感受性のある人々の割合を$$ 1 / R_0$$未満にする必要があります.これを実現するには,何人の人々が免疫力を必要とするのでしょうか.感受性の高い人の割合が$$ s $$である場合,感受性のない,つまり免疫のない人の割合は$$ 1-s $$です.

$$s <1 / R_0 $$ ということは, $$1-s> 1-1 / R_0$$
集団免疫を達成するには,少なくとも人口の$$ 1-1 / R_0 $$の割合が免疫を持つ必要があります. $$ R_0 $$が2.5(COVID-19の推定値の上限)の場合,これは少なくとも免疫力のある集団の$$ 1-1 / 2.5 = 0.6 $$,60%に相当します.

 どうやって達成するか?理想的には,人口の少なくとも60%にワクチン接種することです.ワクチンがなければ,このレベルの免疫が病気になり免疫されることによって自然に達成されることを期待します.しかし,多くの人がCOVID-19で亡くなっているので,感染を増やすと免疫力が高まるという知識に自信をもって,集団全体に適用できません.

世界中の多くが現在封鎖されているのは,脆弱な人々と私たちの医療システムを保護する必要があるからです.皮肉なことに,封鎖とは,私たちの多くが感染したことによる免疫力を獲得していないことを意味します.

それでは,この最悪のシナリオで何をすべきでしょうか? 1つのオプションは,ワクチンができるまでロックダウン状態を維持することですが,それは1年以上かかる可能性があります.もう1つは,間欠的なロックダウンを行って,流行の急増をヘルスケアシステムの重要な能力より低く保つことです.

現時点では,誰も将来何が起こるか正確には知らないのです.私たちの知識にもとづく推論は,パンデミックの経過を予測しようとする数学的モデルに基づいています.私たちの現在の苦境から最善の出口戦略を見つけるために,緊急の呼びかけが科学モデリングコミュニティに出ています.

上記の計算は,ワクチン接種に関する重要なメッセージも送信します.これは,病気の予防接種を受けている個人を保護するだけでなく,何らかの理由で予防接種を受けず,したがって脆弱な人々も保護します.予防接種はあなたのためだけではなく,集団全体のためです!

完全数の奇妙な定義By Dylan Johnson

何世紀も前に、数学者は整数の特性と整数間の関係を研究はじめました。 現在、数論として知られている数学の分野である数の研究は、最も古い数学分野の1つです。それは深く魅力的な問題に満ちた豊かな歴史を持っており、その多くは何世紀もたっても未解決のままです。

そのような問の1つに、完全数があります。 完全数とは、その約数の合計に等しい整数です。たとえば、$$ 6 $$は$$ 2,3 $$と$$ 1 $$で割り切れ、合計$$ 1 + 2 + 3 = 6$$にも等しくなります。同様に$$ 28 $$ は,$$ 1,2,4,7 $$と$$ 14 $$で割り切れ、$$ 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28$$と等しくなります。その神秘さで、完全数は数学者も非数学者も同じように魅了します。

完全数とユークリッド
完全数の物語は、2300年以上前に、これまでに発行された最も影響力のある数学的著作の1つである”Elements“原論で始まりました。ギリシャの数学者ユークリッドは、紀元前300年頃に生まれ、プトレマイオス1世の統治下でアレクサンドリアの教師として完全数の研究をしました。

ユークリッドは幾何学だけと思われがちですが、実際は数学の多くの分野を研究しており、数論も彼の研究分野のうちです。原論の第9章の最終命題で、ユークリッドは次の命題を証明しました。

例で説明しましょう。数値$$ 1 $$(ユニット)から始めて、後続の数値に$$ 2 $$を掛けて、数値のシーケンス$$ 1、2、4、8、16 $$を取得します。これらの数を足し合わせると、素数$$ 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31 $$に到達します(素数は、それ自体と$$ 1 $$だけで割り切れる数です)。ユークリッドの結果は、合計$$ 31 $$にシーケンスの最後の数$$ 16 $$を掛けた値が完全数であると述べています。つまり、$$ 31×16 = 496 $$が完全数です。

確かに:$$ 496 $$の約数は$$ 248、124、62、31、16、8、4、2 $$および$$ 1 $$です。

$$1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 = 496$$
実際、$$ 496 $$は$$ 6 $$と$$ 28 $$に続く3番目の完全数です。

ユークリッドの驚くべき結果は、新しい完全数を発見する確実な方法を提供し、後続の数学者の世代に影響を与えました。ただし、問題点はあります。最後に完全数を得るには、合計の結果(この例では$$ 31 $$)は素数でなければなりません。しかし、これは常に当てはまるわけではなく、それをチェックするにはかなりの量の計算が必要です。今日でも、数学者は新しい素数を特定する方法を模索しています。


完全数とニチョマコス
私たちの物語の次の主要なプレーヤーは、Nichomachusです。ギリシャのもう1人の哲学者であるニチョマコスは西暦150年頃の人で、有名なピタゴラスによって始められた思想学校の主要メンバーでした。ユークリッドとは異なり、ニチョマコスは彼の結果の証明提供をせず、彼らの真実を主張しました。

したがって、彼の完全数への影響は、命題ではなく、むしろ彼の作品「算術入門」で提示した数の分類ー過剰数、不足数、完全数ーにあります。

ニチョマコスによると、不足数$$ n $$は、約数の合計が$$ n $$に満たないもので、過剰数$$ n $$は、約数の合計が$$ n $$を越すものであり、前述のとおり —完全数$$ n $$には、合計が正確に$$ n $$となる約数があります。 当然、すべての数はこれらの3つのカテゴリのいずれかに分類されます。

ニチョマコスは、このように数字を分類しただけでなく、不足数も過剰数も完全数よりも質が低いと主張しました。

多すぎる場合、過剰、過多、誇張、虐待が発生します。少なすぎる場合は、欲求不満、デフォルト、困窮、不足が生じます。そして、等しい場合、美徳、公正、妥当性、美しさ、そしてそのようなものを生み出します。

実際、その後の思想家はしばしばニチョマコスの分類に従い、完全数を特定の神の質を持つものとして扱いました。たとえば、4世紀の神学者聖アウグスティヌスは、神の都で次のように書いています。「6はそれ自体が完全な数であり、神がすべての物を6日間で作成したからではなく、その逆です。数が完璧だからだ」

別の例として、10世紀のドイツの詩人であるHrotsvitは、完全数を「主要な数」と呼び、彼女の劇「サピエンティア」の最初の4つ、つまり$$ 6、28、496、$$および$$ 8128 $$について論じています。したがって、ニチョマコスは、独自の方法で今日でも続く完全数を神格化するという伝統が生まれました。

完全数とイブン・アル・ハイサム
ユークリッドの死後1200年以上の間、私たちは中東を旅し、完全な数に関する別の結果を得ました。ペルシャの数学者イブン・アル・ハイサムは、物理学や光学から数論や幾何学に至るまで、さまざまな分野を研究していました。特に、彼は数学的な方法の事例研究としてユークリッドの要素を熱心に研究しました。

完全数に関する限り、イブン・アル・ヘイサムはユークリッドの命題の逆も真実であると最初に示唆したようです:完全数を生成するためのユークリッドのプロセスは、実際にはすべての完全数を生成し、完全数はすべて偶数です(このシリーズの次の記事を参照してください)。イブン・アル・ヘイサムはこの結果を完全に証明することはできませんでしたが、完全数の完全な特徴付けを試みた最初の数学者でした。その後の多くの数学者たちは、イブン・アル・ヘイサムの研究を模倣しようとして、さらなる進歩を期待したが、完全な特性が明らかになるまでさらに700年待たなければならなかった。

 

完全数とオイラー
レオンハルト・オイラー、1707年から1783年。 ヨハン・ゲオルク・ブラッカーの肖像。

1707年に生まれたレオンハルト・オイラーは、今まで生きてきた中で最も多作な数学者の一人です。 実際、数学のほとんどすべての分野で彼の名前が付けられており、数論も例外ではありません。オイラーは、完全数を生成するためのユークリッドのアルゴリズムが実際にすべての偶数を生成することを証明しました。

そのため、完全数は、ユークリッドによって導入された形式の素数と正確に1対1で対応しています。 さらに、オイラーは8番目の完全数を特定しました— この200年で発見された最初の新しい完全数です。

 $$(2^30)(2^31-1)=2305843008139952128$$

完全数の発見の間に経過した長い期間を考えると、一部の数学者は、これ以上は発見されないと自信がなくなりました。 確かに、ピーター・バーロウは、数論の初歩的な調査で、「オイラーの完全数」は現在知られている最大の完全数で、おそらくこれまでに発見された中で最も大きい数と言った。 というのも、役に立たないだけの完全数を、さらに探す可能性は低いからです。しかし、ピーター・バーロウは18歳で亡くなり(9番目の完全数が発見される21年前)ました。 数論の進歩と新しいテクノロジーの時代は、想像を絶するほど大きな完全な数を特定することが現実的に可能性となりました。

今日の完全数
早送りし今日に戻りました。これまでに51の完全数が発見されました。 最大の数字は49,724,095桁です(すべてのリストはここ)。 さらに印象的なのは、ちょうど1年前に発見された50番目の完全数よりも300万桁以上多いことです。 この進歩は、図1と2に示されている現象である数学とコンピュータサイエンスの強力なパートナーシップの結果です。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

もちろん、完全な数値を計算することは、それらについての事実を証明することとはまったく異なります。 ほぼ毎年新しい完全数も発見されていますが、多くの疑問でさらに研究が必要です。

奇数または偶数のすべての完全数を共有する共通の特性は何ですか?
完全数は無限にありますか?
奇妙な完全数はありますか?
数え切れないほどの数学者が、発見的な議論や専門的な事例のいずれかを用いて、これらの問に迫っています。 しかし、一般的な答えはとらえどころのないままです。 次の2つの記事「完全に偶数」と「完全に奇数」では、これらの質問に対する実質的な結果を要約し、解明し、結び付けて、おそらく最も奇妙な完全の定義に数学者と非数学者を同様に引き付けるという最終目標を掲げています。

 [plus magazineより. submitted by Marianne on February 5, 2020]

相互作用する部分よりなる全体のRの数学 ★

by Rachel Thomas and Marianne Freiberger

伝染病の実効再生産数Rは,母集団の異なる部分で異なる値を持つ可能性があります.Rは,感染した人が他に感染させる平均人数でした.社会のさまざまな部分(たとえば,地理的区分,病院や介護施設など)ごとに,R値が異なる場合は,これらのさまざまな構成要素がどのように結びついているかを考慮する必要があります.ご想像のとおり,これにより計算が複雑になります.それでは,その数学をさらに詳しく見てみましょう.

その記事の例を続けましょう.人口を2つのグループに分割したものを検討します.介護施設や病院の患者またはスタッフなどの「病院」というラベルのグループと,残りの人口の「コミュニティ」と呼ばれるグループです.コミュニティのRは0.8,病院のRは0.7としましょう.

これら2つのグループを独立個別なものとして検討することはできません.コミュニティの人々が病気になったときは病院に移動するし,病院や介護施設のスタッフが無意識のうちにウイルスをコミュニティに持ち込むことがありえます.これら2つのグループ間の病気の伝染を考慮する必要があります.仮定として,コミュニティでの感染が続いてかつ病院で0.4の新しい感染を引き起こし,病院での感染が続いてかつコミュニティで0.2の新しい感染を引き起こすとしましょう.これで,病院およびコミュニティに関して,それぞれの内部と両者間での感染で4種類があることがわかりました.

 

 ■病院に1000人の感染者がいて,地域社会に1000人の感染者がいる場合,新しい感染例はどれほど発生しますか?

有用な発見と警告
数学的詳細に入る前に,例を見て,表から直接読み取れる情報を確認しましょう.左側の列の数値を合計すると1.2になります.これは,コミュニティの感染者が平均して感染させる人の総数です.そして,右側の列の数値を合計すると0.9になります.これは,病院で感染した人が平均して感染させる人の総数です.このようなテーブルの列の数値を単純に合計すると,状況によって,起こっていることの有用なヒントが得られます.

列の合計が両方とも1未満になる場合:列内の数を合計すると,両方の列で1未満になる場合,つまり,平均して1人未満の人が感染することになります.全体のR値が常に1未満になることを示しており,この病気が制御されていることになります.

列の合計が両方とも1を超える場合,各列の合計が1を超える場合,すべての列について,つまり,すべての感染が平均して複数の人に感染することになります.全体のR値が常に1より大きいことを数学的に示すことができ,病気の新しい感染が指数関数的に増加することになります.

列の1つが1を超え,列の1つが1未満の場合,難しい状況になります.この状況では,全体のRを計算して,疾患が制御下にあるのか,制御不能なのかを知るには,数学の知識が必要になります.例題は,この場合です. 

世代を超えて
この例で,もう少し数学の詳細を説明します.コミュニティの元の感染者数には$$ I_ c(0)= 1000 $$,病院の元の感染者数には$$ I_ h(0)= 1000 $$の記号を使用します. 1つのグループの第1世代の新しい感染を計算するには,そのグループ内で生成された新しい感染の数(つまり,元のコミュニティ感染によって引き起こされた新しいコミュニティ内感染$$ R_ {cc} I_ c(0)= 800 $$)と,他のグループからの新しい感染の数(つまり、病院での元の感染によって引き起こされた新しいコミュニティ感染$$ R_ {hc} I_ h(0)= 200 $$)が必要です.次に,コミュニティの第1世代の新しい感染,$$ I_ c(1)$$,および病院の$$ I_ h(1)$$の計算は次のとおりです.

$$I_{c}(1)=R_{cc}I_{c}(0)+R_{hc}I_{h}(0)=800+200=1000$$
$$I_{h}(1)=R_{ch}I_{c}(0)+R_{hh}I_{h}(0)=400+700=1100$$

fig

$$I_{c}(2)=R_{cc}I_{c}(1)+R_{hc}I_{h}(1)=800+220=1020$$
$$I_{h}(2)=R_{ch}I_{c}(1)+R_{hh}I_{h}(1)=400+770=1170$$

fig

このようにして,未来の世代に対して順次計算を進めることができます.

中間のステップをして,初期状態の感染数でn世代の感染数を記述するのが効率的です.

 

$$ I_{c}(2)=R_{cc}I_{c}(1)+R_{hc}I_{h}(1) =R_{cc}(R_{cc}I_{c}(0)+R_{hc}I_{h}(0))+R_{hc}(R_{ch}I_{c}(0)+R_{hh}I_{h}(0))$$ 
$$=(R_{cc}^{2}+R_{ch}R_{hc})I_{c}(0)+(R_{hc}R_{cc}+R_{hh}R_{hc})I_{h}(0) $$

$$ I_{h}(2)=R_{ch}I_{c}(1)+R_{hh}I_{h}(1) =R_{ch}(R_{hc}I_{h}(0)+R_{cc}I_{c}(0))+R_{hh}(R_{hh}I_{h}(0)+R_{ch}I_{c}(0))$$
$$=(R_{ch}R_{hh}+R_{cc}R_{ch})I_{c}(0) +(R_{hh}^{2}+R_{hc}R_{ch})I_{h}(0)$$

$$ \left( \begin{array}{@{\,} c @{\, } } I_{c}(1) \\[0mm] I_{h}(1) \end{array} \right) =\left( \begin{array}{@{\,} cc @{\, } } R_{cc} & R_{hc} \\[0mm] R_{ch} & R_{hh} \end{array} \right) \left( \begin{array}{@{\,} c @{\, } } I_{c}(0) \\[0mm] I_{h}(0) \end{array} \right) =\left( \begin{array}{@{\,} c @{\, } } R_{cc}I_{c}(0)+R_{hc}I_{h}(0) \\[0mm] R_{ch}I_{c}(0)+R_{hh}I_{h}(0) \end{array} \right) $$

 $$\left( \begin{array}{@{\,} c @{\, } }
I_{c}(2) \\[0mm]
I_{h}(2)
\end{array} \right) =\left( \begin{array}{@{\,} cc @{\, } }
R_{cc} & R_{hc} \\[0mm]
R_{ch} & R_{hh}
\end{array} \right) \left( \begin{array}{@{\,} c @{\, } }
I_{c}(1) \\[0mm]
I_{h}(1)
\end{array} \right) =\left( \begin{array}{@{\,} cc @{\, } }
R_{cc} & R_{hc} \\[0mm]
R_{ch} & R_{hh}
\end{array} \right) \left( \begin{array}{@{\,} cc @{\, } }
R_{cc} & R_{hc} \\[0mm]
R_{ch} & R_{hh}
\end{array} \right) \left( \begin{array}{@{\,} c @{\, } }
I_{c}(0) \\[0mm]
I_{h}(0)
\end{array} \right) $$

$$\left( \begin{array}{@{\,} c @{\, } }
I_{c}(n) \\[0mm]
I_{h}(n)
\end{array} \right) =\left( \begin{array}{@{\,} cc @{\, } }
R_{cc} & R_{hc} \\[0mm]
R_{ch} & R_{hh}
\end{array} \right) \left( \begin{array}{@{\,} c @{\, } }
I_{c}(n-1) \\[0mm]
I_{h}(n-1)
\end{array} \right) =\left( \begin{array}{@{\,} cc @{\, } }
R_{cc} & R_{hc} \\[0mm]
R_{ch} & R_{hh}
\end{array} \right) ^{n}\left( \begin{array}{@{\,} c @{\, } }
I_{c}(0) \\[0mm]
I_{h}(0)
\end{array} \right) $$

$$I(n)=MI(n-1)=M^{n}I(0)$$

 (訳者注)

$$PMP^{-1}=\left( \begin{array}{@{\,} cc @{\, } }
\lambda _{1} & 0 \\[0mm]
0 & \lambda _{2}
\end{array} \right) $$と対角化できれば,$$PM^{n}P^{-1}=\left( \begin{array}{@{\,} cc @{\, } }
\lambda _{1}^{n} & 0 \\[0mm]
0 & \lambda _{2}^{n}
\end{array} \right) $$

全体のRは?
線形代数を使用すると,伝染病の成長をより明確かつエレガントに表現できます.

たとえば、次世代マトリックス$$ M $$の固有値と呼ばれるものを見つけることができます.これらは2つの数値$$ \lambda _1 $$と$$ \lambda _2 $$であり,対応する固有ベクトル$$ v_1 $$と$$ v_2 $$があるため,行列による固有ベクトルは,固有値倍だけ拡大されます.

$$Mv_ i = \lambda _ i v_ i $$
そして、誘導で示すことができ、固有ベクトルに$ M $を繰り返し適用すると、次のようになります。
$$ M ^ k v_ i = \lambda _ i ^ k v_ i $$
もう1つの有用な線形代数の事実は、ほぼすべての行列で、固有ベクトルが線形に独立していることです。これは、1つの固有ベクトルが他の固有ベクトルではないことを意味します。そして実際、これらの2つの固有ベクトルの線形結合として任意のベクトルを書くことができます。 (この事実を真実にするには、固有値と固有ベクトルに複素数を許可する必要があります。詳細はこちらで読むことができますが、これについては気にしない理由を少し後で明らかにします。)
つまり、コミュニティと病院の元の感染数で構成される感染ベクトル$$ I(0)$$を次のように記述できます。

$$ I(0)= av_1 + bv_2 $$
次に、次世代の新しい感染症は次のようになります。
$$I(1)= MI(0)= aMv_1 + bMv_2 = a \lambda _1v_1 + b \lambda _2v_2$$
そして、新しい感染の$$ n $$世代は次のようになります。
$$I(n)= M ^ nI(t)= a \lambda _1 ^nv_1 + b \lambda _2 ^ nv_2$$
線形代数からの別の結果によると、次世代行列のエントリはすべて正の実数であるため(負の数に感染させることはできません)、(大きさの点で)「最大」の固有値もaになります。正の実数。私たちはみな指数関数的成長に精通しているので、世代数が増えるにつれて,$$I(n)$$の式がその支配的な固有値を含む項によってどのように支配されるかがわかります。
実際、この支配的な固有値が、そのような次世代行列で表される区分化されたシステムのRの全体的な値と同等であることを示すことができます。そして最終的に、システムは、対応する固有ベクトルによって表される2つの設定間の感染の分割に落ち着きます。

$$ \left( \begin{array}{@{\,} cc @{\, } } 0.8 & 0.2 \\[0mm] 0.4 & 0.7 \end{array} \right) $$

この例では、次世代行列の固有値
1.04と0.46(小数点以下2桁に四捨五入)です。したがって、この区分された母集団の全体的なRはR = 1.04です。そして、何世代にもわたる感染症の後、新しい感染症の約45%が地域社会で発生し、新しい感染症の55%が病院で発生します。 (これは、支配的な固有ベクトルが(0.84、1)であり、1.84のうちで0.84が45%,1が55%ですからわかります)


Rでわかること
この例では、人口を2つのグループに分けています。病院(介護施設を含む)とコミュニティです。しかし、介護施設、病院、地域社会など、より多くのグループを区別したい場合はどうでしょうか。または、いくつかの地理的地域間で?数学は、任意の数のグループに分割された母集団に拡張できます。次世代マトリックス(モデルでは2x2)の次元はグループの数まで増加し、グループのいずれか2つの間の感染の伝達のエントリと、各グループ内で生成された感染の個々のR値が含まれます。そして、上で紹介した数学は今でも機能し、全母集団の全体的なRは次世代行列の主要な固有値です。

前の記事で直感的に調査したように、区分化された母集団の全体的なRの値は、次世代行列の個々の数値の値よりも常に大きくなります。これは、任意の数のグループに分割された母集団について数学的に証明できます。支配的な固有値である全体のRの計算は、線形代数を使用すると簡単ですが、頭の中で行うのは簡単ではありません。上の図の例で示したように、グループ間およびグループ内の透過率の値がすべて1未満であっても、覚えておくべき重要なことは、全体のRが1より大きい場合があることです。確実に計算する必要があります。

Rでは十分でないのは何故か?

By Julia Gog, Rachel Thomas, Marianne Freiberger

私たちは,伝染病の実効再生産数Rについて考えることに慣れてきました.これは,1人の感染者によって感染する人の平均数です.以前の記事で見たように,Rは伝染の様子かを理解するのに役立ちます.R> 1は流行が拡大することを意味し,R = 1は横ばいであることを意味し,R <1は流行が減少することを意味します.

(私たちがニュースで耳にする実効再生産数Rは,流行の過程で毎日変化します.基本再生数R0とは違います.)

ただし,Rが教えてくれないことの1つは,物事がどれほど速く変化しているかです.これは,Rがレートではないし,関連する時間スケールがないためです.たとえば,ある疾患でR = 2の場合,流行が拡大することはわかります(R> 1であるため). HIVやTBのような病気では,ある人が次の人に感染させるまでに数か月または数年かかる可能性があります.R= 2としても,時間の経過とともにの成長が遅いことを意味します.ただし,インフルエンザ,または,はしかの場合,感染がはるかに速く,日数のスケールでは,R = 2は非常に急速な成長を意味します.

感染流行の成長率はどれくらいですか?
疾患の成長率は,感染症の数が日々急速に変化する速さを捉える自然な方法です.疾患の症例の増加は,指数曲線を使用してモデル化されます.

$$N(t)= {\rm constant} \times e^{\lambda t}$$
ここで,$$N$$はケース数であり,日数で測定した時間$$ t $$に依存します.$$ \lambda $$は,1日あたりの疾患の成長率と呼ばれるものです. ($$ e $$という数値は,約2.719に等しい数学定数であり,指数関数的成長と密接に関連しています.)
上記の曲線の例では,HIVの成長率は1日あたり$$ \lambda $$ = 0.002で,はしかの場合は1日あたり$$ \lambda $$ = 0.06です.この例の両方の疾患が同じ再生産数を持っているにもかかわらず,これは翌月に大きく異なる結果をもたらします.

以下の対話機能を使用して、さまざまな成長率で疾患の進行がどのように変化するかを調べることができます(スライダーを使用して$$ \lambda $$の値を変更します)。--略

COVID-19のパンデミックの間,新しい症例数と新しい死者数が毎日報告されています.これらは3月と4月上旬に英国で増加し,ここ数週間で減少しているのを見ました.増加率が正の場合,毎日新しい感染数は増加します.増加率が0の場合,新しい感染数は一定のままです. 流行を抑制し続けるために必要なことは,成長率がマイナスになることであり,それゆえ新しい感染数が減少することです. 新しい感染数が昨日から3%減少した場合,その増加率は、およそ,1日あたり$$ \lambda $$ = -0.03です. (これは完全に等価ではありませんが,$$ \lambda $$の一般的な値の適切な近似値です.成長率は実際には複利のように機能します.ここで確認できます.)

Rと成長率のどちらが優れていますか?
実効再生産数$$ R $$と成長率$$ \lambda $$はどちらも,疾患の成長を理解するための有効な尺度です. それぞれに適した用途を概説します.
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◆再生産数:R 
Rは、流行を止めるために必要な介入の強さを理解するのに自然であり、制御手段を計画するためにより適切です。例えば:

R = 1.5は、感染率を3分の1に減らす必要があることを意味します。
R = 2は、影響を受けやすい人々の半分にワクチン接種する必要があることを意味します(この計算については、注*)。
したがって、Rは、流行を止めるために必要な将来の介入の強さを予測する直感的な方法を提供します。

R> 1指数関数的成長
R = 1フラット
R <1指数関数的減衰

R感染発生の数で,レートではありません。時間スケールは含まれていません。

Rは実際には簡単に測定できませんが、感染の時間スケールがわかっている場合は、モデルを使用して適合させることができます。原理的には、だれが誰から感染したかに関する正確な疫学的データによって推定することができますが、これは通常の設定では通常は実行できません。

◆1日あたりの成長率:$$ \lambda $$
成長率は、ケースが時間とともにどのように変化するかを考えるのに自然です。例えば

$$ \lambda $$ = 0.01 /日は、ケースが1日あたり約1%増加することを意味します。
$$ \lambda $$ = -0.02 /日は、ケースが1日あたり約2%減少することを意味します。
成長率は、現在何が起こっているかをよく説明しています。今日特定の数がある場合は、明日、翌日などに何人になるか予測できます。

$$ \lambda $$> 0指数関数的増加
$$ \lambda $$ = 0フラット
$$ \lambda $$ <0指数関数的減衰

 成長率$$ \lambda $$は、通常COVID-19の日数で与えられる率です。

成長率$$ \lambda $$は、ケースまたは死亡の時系列データから比較的簡単に推定できます(ただし、少数については以下を参照してください)。単純なアプローチは、ログに記録されたケースの勾配を見つけることです。時間とともに変化する成長率、または不均一な人口を考慮に入れることができるより高度なアプローチには、再び流行モデルのフィッティングが含まれます。
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病気の発生率が非常に低い場合や、調査しているコミュニティの人口が非常に少ない場合など、症例数が少ない場合、再生産数と成長率の両方を推定することは特に困難です。その場合、日々の変動が病気の根本的なパターンを簡単に覆い尽くす可能性があるため、成長率についての不確実性が大きくなります(したがって、信頼区間が広くなることが期待されます)。

どのようにしてRから成長率に、またはその逆に到達しますか?
Rと成長率の正確な関係は単純ではありません。次の感染までの各タイミングを考慮する必要があります。大雑把な近似は

$$ R = e ^ {\lambda T} $$
ここで、$$ T $$は平均生成時間です。感染から次の感染までの時間です。
さらに高度な数学も知りたい
これはすべて、制御手段と病気にかかりやすい人の数があまり速く変化していないことを前提としています。

1人の感染者に続いて、感染後の時間を$$ \tau $$(日数)で示します。彼らは平均して他の$$ R $$に感染し続けます。これらのそれぞれについて、感染のタイミングは確率密度関数$$ f(\tau)$$で分散されます。次に、(数学の学部生のための演習!)$$ R $$と$$ \lambda $$は次のように関連付けられます。

$$R ^ {-1} = \int _ {\tau = 0} ^ {\infty} e ^ {-\lambda \tau} f({\tau})d \tau $$
これはラプラス変換または生成時間分布のモーメント生成関数と非常に密接に関連しています。

生成時間の特定の分布(ガンマ分布など)の場合、これは簡略化できることがあります。生成時間を$$ T $$のように正確に一定にすると、$$ R = e ^ {\lambda T} $$が回復しますが、これは実際の多くの感染症のかなり大まかな近似です。

$$ f(\tau)$$は、潜伏期間などの生物学的事柄や、症状があるときに他の人とまだ混合しているか、自己隔離しているかなどの社会的要因に依存します。

詳細については、WallingaとLipsitchによるこのペーパーを参照してください。
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この記事について
レイチェルトーマスとマリアンヌフライバーガーはPlusの編集者であり、ケンブリッジ大学の数理生物学の教授であるJulia Gogと共同でこの記事を作成しました。 Gogは、その結果を緊急事態用科学諮問グループ(SAGE)にフィードするモデリンググループSPI-Mのメンバーです。彼女はまた、王立協会が率いる全国コンソーシアムの運営委員会のメンバーであり、COVID-19パンデミックに対処しています。

バクウこまの解析

<東京おもちゃまつり>は,東京おもちゃ美術館にて,毎年10月半ばに開催されています.今年は,新型コロナウイルスの感染拡大のために開催は困難でしょうね.

この記事の写真は,2017年10月14,15日に開催されたときのものです.
両日とも冷たい雨の降るあいにくの天気でしたが盛況でした.私は10月15日に出かけ,バクウ研究所の富川義朗先生と佐藤芳弘先生にお会いしました.

振動で廻すトントン・コマなど,いろいろな「ばくうコマ」の展示がありしたが,その原理はなかなか奥が深い.富川先生たちは,振動を回転運動に変える超音波モータの発明者です.

■私は,ミラクル・ツインという「ばくうコマ」に興味をもちました.左右の回転子の回転は互いに逆回転で,右の回転子は5回対称の模様が見え,左の回転子は3回対称の模様が見えます.

富川先生によるミラクル・ツインの解説はここにありますが,まだ,基本的仕組みの解明はされていないようです.私自身,考えるほど疑問が沸き上がりますので整理しました:

①なぜ,左右の回転子は逆回転するのか?
②なぜ,台座の回転モーメントを軸心は逆回転するのか?
③なぜ,4回対称の図形が,5回対称や3回対称に見えるのか?

納得のいかない現象ばかりですので,高速度撮影をして観察することにしました:

この観察をもとに,みんなで考えてみましょう.私が解明した仕組みについて解説しましょう.

 高速度撮影・解析1

右側の回転子の軸は回転子と接着していますが,左側の回転子の軸受け穴と軸心は接着されていません.さらに,回転子の軸受け穴径は,軸心径の1.5倍程度あり歳差運動を起こします.

回転の向きを観察すると,中央の偏芯回転子の回転方向に対して,左の回転子は逆回転,右の回転子は同方向に回転します.そして,右の回転子には5回対称の模様が見え,左の回転子には3回対称の模様が見えます.

高速度撮影・解析2

撮影の前に,左側の回転子の軸受けに細工をして,軸受けと軸心が固定されるようにしました.すると予想通り,左側の回転子の運動は右側と全く同じになりました.

■解析1の観察に基づく仕組みの考察

中央の偏心した回転子が生み出すのは単純な振動ではなく,台座全体の回転モーメントです.台座全体(台座の左右にある軸受け穴も)が公転と言われる軌道を描き平行移動します(決して,軸受け穴が回転するわけではありません.平行移動です).

左右の軸受け穴の中には,軸心が通っていますが,少しの”ガタ”があります[軸受け穴径は軸心径の1.2倍程度].軸心は公転の向きと逆向きに自転をします(これはコペルニックスの定理).軸心は歳差運動もしているはずで,

軸心の自転と歳差運動の位相との相互作用が,軸心に結合した回転子の上下波打ち運動を生み,5回対称模様が静止して見えるのではないかと推理します.

左側の回転子については,軸心と回転子は一体ではなく,回転子の軸受け穴径は軸心の1.5倍ほどあり,かなりの”ガタ”があります.軸心の歳差運動の位相は,軸心の回転と逆方向で,回転子への回転の伝達は,ちょうど皿回しと同じで,歳差運動により伝えられます.左側の回転子の軸受け穴の”ガタ”は大きいため,大きな上下波打ち運動になり,3回対称が現れるものと思います.

 

東京の感染収束と相互作用

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数学月間SGK通信 [2020.08.25] No.335
<<数学と社会の架け橋=数学月間>>
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実効再生産数が東京では,まだ1を少し超えているようですが,他の県では1未満になってきたようです.
以下のサイトに,都道府県別の実効再生産数の時系列の変化のグラフがあります.


Rt Covid-19 Japan都道府県別コロナウイルスの感染拡大・収束状況(実効再生産数Rt)をグラフ化したWebサイト
rt-live-japan.com

実効再生産数Rというのは,1人の感染者が新たな感染者を作る人数のことです.
Rが1未満なら感染流行は減少収束し,1より大きければ感染は拡大します.
しかしながら,各都道府県の実効再生産数がすべて1未満になっても,
感染拡大の起こる可能性を警告している論文を前号で紹介しました.その論文では,
全体をコミュニティと病院という2つのグループに分割したモデルで,
コミュニティ内の感染に関する実効再生産数と病院内の感染に関する実効再生産数がともに1未満であっても,
全体の実効再生産数が1を超す(感染拡大が起こる)可能性が指摘されました.
その原因は,コミュニティから病院に感染させる場合も,病院からコミュニティに感染させる場合もあるからです.

都道府県別の実効再生産数が,それぞれ1未満になっても,各県間の人の移動接触により各県間の感染が起こるので,
全体の実効再生産数が1より大きくなることは十分あり得ます.油断は危険です.

■数学の形式としては,次の行列を作ります:
対角要素には,各都道府県の実効再生産数を並べ.行列のその他の要素には,異なる県間の感染率を対応させます.
県間の感染率は,相当する県間の人の接触確率のようなものです.
このような行列を作るにはいろいろなデータが必要ですが,この行列ができたとすると,
この行列の固有値を求める数学の問題になります.最大の固有値が1を超していれば,
全体の実効再生産数は1を超し伝染の拡大が起こります.

私たちの社会は,都道府県がそれぞれ孤立して独立でいるわけではなく,
互いに相互作用(人の接触がある)しているので,
独立な個別地区の予測と,全体の予測は大変異なり,このような計算をしてみないとわかりません.

(注)実効再生産数の計算方法は,Anne RがCoriらによるものが,山中伸弥のホームページに紹介されています.

結晶の特性の対称性

■ディリクレ胞

結晶内部は周期的空間で,その繰り返しの単位を単位胞と言います.もし,単位胞を点で表現するなら,点が周期的に並んだ格子ができます.[慣用的な述語としての”単位胞”の用法は,格子点を複数含む単位胞(面心格子,体心格子など)もありますが,格子点をただ一つ含むもの”単純格子”だけを単位胞と呼ぶことにします].

1つの格子点を原点に置き,原点と隣接する格子点とを結ぶ線分の垂直2等分面を作ります.これらの垂直2等分面で囲まれた立体はディリクレ胞と呼ばれます.ディリクレ胞には,格子点がただ一つ含まれます.ディリクレ胞の形は平行多面体で,面と面をぴったり合わせて隙間なく空間の充填ができることは,ディリクレ胞の作図の仕方から明らかでしょう.ディリクレ胞の形は,その結晶格子の対称性を表現しています.結晶格子の対称性の分類(14種のブラベー格子)や7種の晶系はディリクレ胞の対称性に基づく分類です.

■結晶の物性量(スカラー,ベクトル

結晶のスカラー特性(温度・密度など)は,測定の方位によらず1つの数にで定義されます.しかし,結晶は異方性のある物質なので,単位胞が$$10^{20}$$以上も並ぶ巨視的には均一一様であると見なせるが,充分小さいとも言える程度の体積要素を点として定義できます.

例えば,誘電体結晶(焦電性pyroelectricや強誘電性ferroelectric)は,その構造に起因する自発分極(外部電場が存在しなくても分極している)を持つ.対称性$$1$$(対称性がない)の結晶中の分極ベクトル$$P$$は,3つの独立なパラメータ:$$P_{1}, P_{2}, P_{3}$$で記述される.対称性$$m$$の結晶では,生じるベクトル$$P$$は,2つの成分$$P_{1}, P_{2}$$で記述できる.鏡映対称があると,成分$$P_{3}=0$$となる訳は,平面$$m$$内にない斜めのベクトルには鏡映同価なベクトルが必ずあるので,互いに打ち消し合うからである.回転対称軸のある対称類$$2,3,4,6,mm2,3m,4mm$$の結晶では,生じるベクトル$$P$$は,1つのパラメータ$$P_{3}$$で記述される.対称心$$\bar{1}$$ がある結晶類では,ピロ焦電性はない;すなわち$$P=0$$である.

■分極ベクトル

極性ベクトルの変換則$$r'=[D|0]r=Dr$$ を思いだそう.この法則で,$$r$$ を分極ベクトル$$P$$ に置き換え:$$P_{i}'=D_{ij}P_{j}$$ と行列形式で書く.例えば群$$2$$で,$$X_{3 }$$軸回りの2回軸(180°回転)を,以前に得た行列$$D$$のあらわな形式を用い,対称操作の行列積を行うと,以下の結果を得る.
$$\left( \begin{array}{@{\,} c @{\, } }
P_{1}' \\[0mm]
P_{2}' \\[0mm]
P_{3}'
\end{array} \right) =\left( \begin{array}{@{\,} ccc @{\, } }
-1 & 0 & 0 \\[0mm]
0 & -1 & 0 \\[0mm]
0 & 0 & 1
\end{array} \right) \left( \begin{array}{@{\,} c @{\, } }
P_{1} \\[0mm]
P_{2} \\[0mm]
P_{3}
\end{array} \right) =\left( \begin{array}{@{\,} c @{\, } }
-P_{1} \\[0mm]
-P_{2} \\[0mm]
P_{3}
\end{array} \right) $$   (1)

軸対称のため,系の180°回転後,

$$\left( \begin{array}{@{\,} c @{\, } }
P_{1}' \\[0mm]
P_{2}' \\[0mm]
P_{3}'
\end{array} \right) =\left( \begin{array}{@{\,} c @{\, } }
P_{1} \\[0mm]
P_{2} \\[0mm]
P_{3}
\end{array} \right) $$,  すなわち,  $$\left\{ \begin{array}{@{\,} c @{\, } }
P_{1}'=-P_{1}=P_{1}=0 \\[0mm]
P_{2}'=-P_{2}=P_{2}=0 \\[0mm]
P_{3}'=P_{3}=\textrm{const}
\end{array} \right. $$

さらにもう1つ,2階の極性テンソルで記述される特性例:誘電体に誘起される分極現象(図220)を考察する.結晶中の変位ベクトルDは一般には印加される電場E方向と一致しない(等方媒質では一致する).これらの極性ベクトルの成分D_{i}とE_{j} との関係は,
D_{i}=?_{ij}E_{j}  または, { { {D_{1}=?_{11}E_{1}+?_{12}E_{2}+?_{13}E_{3 } },{D_{2}=?_{21}E_{1}+?_{22}E_{2}+?_{23}E_{3 } },{D_{3}=?_{31}E_{1}+?_{32}E_{2}+?_{33}E_{3 } } }
係数?_{ij}は,誘電率テンソルの形で,べクトルD と E を結び付ける.一般に,要素の対称性?_{ij}=?_{ji} があり,9つではなく6つの独立なパラメータをもつ.これから先は,テンソル?_{ij} の行列を,簡単化して,非ゼロの独立なパラメータのみの行か列の形式に書くことにする:
{ { ?_{11},?_{12},?_{13 } },{?_{12},?_{22},?_{23 } },{?_{13},?_{23},?_{33 } } }=(?_{11},?_{12},?_{13},?_{22},?_{23},?_{33})   
?_{ij}を係数とする2次の表面
?_{11}x_{1}^{2}+?_{22}x_{2}^{2}+?_{33}x_{3}^{2}+2?_{12}x_{1}x_{2}+2?_{13}x_{1}x_{3}+2?_{23}x_{2}x_{3}=1
は,対称テンソルに一意に関係づけられている;この表面は誘電率楕円体ellipsoid,あるいは一般に,観察される効果の特性を明確にする物理特性の屈折率楕円体indicatrixである.結晶の対称群G_{k} は,この表面の形(3軸あるいは1軸性の楕円体,球)と結晶物理軸 X_{1}, X_{2}, X_{3}に対する楕円体の主軸X_{1}', X_{2}', X_{3}' の方位を決定する。群G_{k} は,実験的に決定しなければならない?_{ij} の独立な数をも決定する。これを理解するために,テンソル成分?_{ij} の変換式を
?_{i'j'}=?(D)D_{i'i}D_{j'j}?_{ij}        i', j', i, j=1,2,3             (2)
と書く,ここで,D_{i',i}=cos(X_{i}', X_{i}) ,?(D) は極性テンソルでは+1,右辺の総和は繰り返されるi,j に対し,1から3で行われる。項の和を取り,6つの未知数を求めるのに9方程式の冗長系( 3つの方程式?_{i'j'}=?_{j'i'}は,この場合は成立しない;非対称テンソルの一般の場合には,成立しない)を得る.
   読者諸君にこの手順を実行するのを残しておく。上記の等式系の行列を導くのに他の手法を使う-3次元空間の座標変換の直交行列の(自分自身との)直積(p.241).行列Dの自分自身との直積は,
D^{2}={ { D_{11},D_{12},D_{13 } },{D_{21},D_{22},D_{23 } },{D_{31},D_{32},D_{33 } } }?{ { D_{11},D_{12},D_{13 } },{D_{21},D_{22},D_{23 } },{D_{31},D_{32},D_{33 } } }={ { D_{11}(D_{ij}),D_{12}(D_{ij}),D_{13}(D_{ij})},{D_{21}(D_{ij}),D_{22}(D_{ij}),D_{23}(D_{ij})},{D_{31}(D_{ij}),D_{32}(D_{ij}),D_{33}(D_{ij}) } }
ここで,(D_{ij})は3×3行列で,例えば
D_{23}(D_{ij})={ { D_{23}(D_{11}),D_{23}(D_{12}),D_{23}(D_{13})},{D_{23}(D_{21}),D_{23}(D_{22}),D_{23}(D_{23})},{D_{23}(D_{31}),D_{23}(D_{32}),D_{23}(D_{33}) } } ,等々.
例えば,2∥X_{3} 軸まわりの180°回転の行列D(D_{11}=D_{22}=-1, D_{33}=1,残りの行列要素はゼロ)を知れば,テンソル?_{ij} の空間でのこの回転を記述するD^{2}を見出せる。すなわち,対称群G_{k}=2 に対して,変換式?_{i'j'}=?(D)D^{2}?_{ij} は以下の形となる:

ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー

変換則と物理量の対称性(一様連続体の近似) \\
反対称と色対称の極限群 \\
\ \\
   結晶のスカラー特性は,測定の方位によらないので,1つの数により定義される。このように,均一一様な結晶での温度・密度は,巨視的なサンプルに比べて,十分小さい体積要素で,単位胞よりは遥かに大きいような全ての"点" で同一である. \\
   誘電体結晶(焦電性\textrm{pyroelectric},強誘電性\textrm{ferroelectric}と呼ばれる)は,その構造起因の自発分極(外部電場が存在しなくても分極している)を持つ.対称性\texttt{1}の結晶中の分極ベクトル\textrm{\textsl{P } }は,3つの独立なパラメータ:$P_{1}, P_{2}, P_{3}$で記述される(図219a).対称性\textrm{\textsl{m } }の結晶では,生じるベクトル\textrm{\textsl{P } }は,2つの成分$P_{1}, P_{2}$で完全に決定される(図219b).成分$P_{3}=0$となる訳は,平面\textrm{\textsl{m } }内にない斜めのベクトルには,鏡映同価なベクトルが必ずあるからである.軸対称類$2,3,4,6,mm2,3m,4mm$の結晶では,生じるベクトル\textrm{\textsl{P } }は,1つのパラメータ$P_{3}$で記述される(図219c).$\overline{1}$ のような残りの類の結晶では,ピロ焦電性はない;すなわち$P=0$である. \\
   極性ベクトルの変換則$$r'=\left[ D|0 \right] r=Dr$$ を思いだそう(P.204参照).この法則で,$$r$$ を$$P$$ で置き換え:$$P_{i}'=D_{ij}P_{j}$$ と行列形式で書く.例えば,軸性群$$2$$における軸$$2 /\!\!/ X_{3}$$の周りの180°回転を,行列$$\textrm{\textsl{D } }$$のあらわな形式を用い,対称操作の行列積を行うと,以下の結果を得る. \\
$$\left( \begin{array}{@{\,} c @{\, } }
P_{1}' \\[0mm]
P_{2}' \\[0mm]
P_{3}'
\end{array} \right) =\left( \begin{array}{@{\,} ccc @{\, } }
-1 & 0 & 0 \\[0mm]
0 & -1 & 0 \\[0mm]
0 & 0 & 1
\end{array} \right) \left( \begin{array}{@{\,} c @{\, } }
P_{1} \\[0mm]
P_{2} \\[0mm]
P_{3}
\end{array} \right) =\left( \begin{array}{@{\,} c @{\, } }
-P_{1} \\[0mm]
-P_{2} \\[0mm]
P_{3}
\end{array} \right) $$ \\
軸対称のため,系の180°回転後, \\
$\left( \begin{array}{@{\,} c @{\, } }
P_{1}' \\[0mm]
P_{2}' \\[0mm]
P_{3}'
\end{array} \right) =\left( \begin{array}{@{\,} c @{\, } }
P_{1} \\[0mm]
P_{2} \\[0mm]
P_{3}
\end{array} \right) $ ,すなわち,$ \left\{ \begin{array}{@{\,} c @{\, } }
P_{1}'=-P_{1}=P_{1}=0 \\[0mm]
P_{2}'=-P_{2}=P_{2}=0 \\[0mm]
P_{3}'=P_{3}=const
\end{array} \right. $ \\
\ \\
さらにもう1つ,2階の極性テンソルで記述される特性例:誘電体に誘起される分極現象(図220)を考察する.結晶中の変位ベクトル\textrm{\textsl{D } }は一般には印加される電場\textrm{\textsl{E } }方向と一致しない(等方媒質では一致する).これらの極性ベクトルの成分$D_{i}とE_{j} $との関係は, \\
$D_{i}=\varepsilon _{ij}E_{j}$  または,$ \left\{ \begin{array}{@{\,} c @{\, } }
D_{1}=\varepsilon _{11}E_{1}+\varepsilon _{12}E_{2}+\varepsilon _{13}E_{3} \\[0mm]
D_{2}=\varepsilon _{21}E_{1}+\varepsilon _{22}E_{2}+\varepsilon _{23}E_{3} \\[0mm]
D_{3}=\varepsilon _{31}E_{1}+\varepsilon _{32}E_{2}+\varepsilon _{33}E_{3}
\end{array} \right. $ (1) \\
係数$\varepsilon _{ij}$は,誘電率テンソルの形で,べクトル\textrm{\textsl{D } } と \textrm{\textsl{E } } を結び付ける.一般に,要素の対称性$\varepsilon _{ij}=\varepsilon _{ji}$ があり,9つではなく6つの独立なパラメータをもつ.これから先は,テンソル$\varepsilon _{ij}$ の行列を,簡単化して,非ゼロの独立なパラメータのみの行か列の形式に書くことにする: \\
$$\left( \begin{array}{@{\,} ccc @{\, } }
\varepsilon _{\texttt{\textsl{11 } } } & \varepsilon _{12} & \varepsilon _{13} \\[0mm]
\varepsilon _{12} & \varepsilon _{22} & \varepsilon _{23} \\[0mm]
\varepsilon _{13} & \varepsilon _{23} & \varepsilon _{33}
\end{array} \right) =\left( \varepsilon _{11},\varepsilon _{12},\varepsilon _{13},\varepsilon _{22},\varepsilon _{23},\varepsilon _{33} \right)     $$
$\varepsilon _{ij}$を係数とする2次の表面 \\
$\varepsilon _{11}x_{1}^{2}+\varepsilon _{22}x_{2}^{2}+\varepsilon _{33}x_{3}^{2}+2\varepsilon _{12}x_{1}x_{2}+2\varepsilon _{13}x_{1}x_{3}+2\varepsilon _{23}x_{2}x_{3}=1$ \\
は,対称テンソルに一意に関係づけられている;この表面は誘電率楕円体\textrm{ellipsoid},あるいは一般に,観察される効果の特性を明確にする物理特性の屈折率楕円体\textrm{indicatrix}である.結晶の対称群$G_{k}$ は,この表面の形(3軸あるいは1軸性の楕円体,あるいは,球)と結晶物理軸 $X_{1}, X_{2}, X_{3}$に対する楕円体の主軸$X_{1}', X_{2}', X_{3}'$ の方位を決定する.群$G_{k}$ は,実験的に決定しなければならない$\varepsilon _{ij}$ の独立な数をも決定する.これを理解するために,テンソル成分$\varepsilon _{ij}$ の変換式を \\
$\varepsilon _{i'j'}=\chi (D)D_{i'i}D_{j'j}\varepsilon _{ij}$        $i', j', i, j=1,2,3$             (2) \\
と書く,ここで,$D_{i',i}=\textrm{cos}(X_{i}', X_{i})$ ,$\chi (D)$ は極性テンソルでは+1,右辺の総和は繰り返される$i,j$ に対し,1から3で行われる。項の和を取り,6つの未知数を求めるのに9方程式の冗長系( 3つの方程式$\varepsilon _{i'j'}=\varepsilon _{j'i'}$は,この場合は成立しない;非対称テンソルの一般の場合には,成立しない)を得る. \\
   読者諸君にこの手順を実行するのを残しておく。上記の等式系の行列を導くのに他の手法を使う-3次元空間の座標変換の直交行列の(自分自身との)直積(p.241).行列Dの自分自身との直積は, \\
$$D^{2}=\left( \begin{array}{@{\,} ccc @{\, } }
D_{11} & D_{12} & D_{13} \\[0mm]
D_{21} & D_{22} & D_{23} \\[0mm]
D_{31} & D_{32} & D_{33}
\end{array} \right) \times \left( \begin{array}{@{\,} ccc @{\, } }
D_{11} & D_{12} & D_{13} \\[0mm]
D_{21} & D_{22} & D_{23} \\[0mm]
D_{31} & D_{32} & D_{33}
\end{array} \right) =\left( \begin{array}{@{\,} ccc @{\, } }
D_{11}(D_{ij}) & D_{12}(D_{ij}) & D_{13}(D_{ij}) \\[0mm]
D_{21}(D_{ij}) & D_{22}(D_{ij}) & D_{23}(D_{ij}) \\[0mm]
D_{31}(D_{ij}) & D_{32}(D_{ij}) & D_{33}(D_{ij})
\end{array} \right) $$ \\
ここで,$(D_{ij})$は$3 \times 3$行列で,例えば \\
$D_{23}(D_{ij})=\left( \begin{array}{@{\,} ccc @{\, } }
D_{23}(D_{11}) & D_{23}(D_{12}) & D_{23}(D_{13}) \\[0mm]
D_{23}(D_{21}) & D_{23}(D_{22}) & D_{23}(D_{23}) \\[0mm]
D_{23}(D_{31}) & D_{23}(D_{32}) & D_{23}(D_{33})
\end{array} \right) $ ,等々. \\
例えば,$2 /\!\!/ X_{3}$軸まわりの180°回転の行列$D$($D_{11}=D_{22}=-1, D_{33}=1$,残りの行列要素はゼロ)を知れば,テンソル$\varepsilon _{ij}$ の空間でのこの回転を記述する$D^{2}$を見出せる.すなわち,対称群$G_{k}=2$ に対して,変換式$\varepsilon _{i'j'}=\chi (D)D^{2}\varepsilon _{ij}$ は以下の形となる: \\
$\left[ \begin{array}{@{\,} c @{\, } }
\varepsilon _{1'1'} \\[0mm]
\varepsilon _{1'2'} \\[0mm]
\varepsilon _{1'3'} \\[0mm]
\varepsilon _{2'1'} \\[0mm]
\varepsilon _{2'2'} \\[0mm]
\varepsilon _{2'3'} \\[0mm]
\varepsilon _{3'1'} \\[0mm]
\varepsilon _{3'2'} \\[0mm]
\varepsilon _{3'3'}
\end{array} \right] =\left[ \begin{array}{@{\,} ccccccccc @{\, } }
1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\[0mm]
0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\[0mm]
0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\[0mm]
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\[0mm]
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\[0mm]
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 \\[0mm]
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 \\[0mm]
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 \\[0mm]
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1
\end{array} \right] \left[ \begin{array}{@{\,} c @{\, } }
\varepsilon _{11} \\[0mm]
\varepsilon _{12} \\[0mm]
\varepsilon _{13} \\[0mm]
\varepsilon _{21} \\[0mm]
\varepsilon _{22} \\[0mm]
\varepsilon _{23} \\[0mm]
\varepsilon _{31} \\[0mm]
\varepsilon _{32} \\[0mm]
\varepsilon _{33}
\end{array} \right] $ \\
\ \\
系の対称性を考慮して, \\
$\varepsilon _{1'1'}=\varepsilon _{11}$ \\
$\varepsilon _{1'2'}=\varepsilon _{12}$ \\
$\varepsilon _{1'3'}=-\varepsilon _{13}=\varepsilon _{13}=0$ \\
$\varepsilon _{2'1'}=\varepsilon _{21}$ \\
$\varepsilon _{2'2'}=\varepsilon _{22}$ \\
$$\varepsilon _{2'3'}=-\varepsilon _{23}=\varepsilon _{23}=0$$
$$\varepsilon _{3'1'}=-\varepsilon _{31}=\varepsilon _{31}=0$$
$\varepsilon _{3'2'}=-\varepsilon _{32}=\varepsilon _{32}=0$ \\
$$\varepsilon _{3'3'}=\varepsilon _{33}$$
\ \\
行列$D^{2}$の4,7,8行,4,7,8列を抜き取り,$9 \times 9$行列から,対称テンソルの変換則を完全に記述する$6 \times 6$行列に移行する.この行列を2つの行列の対称化積(あるいは対称化平方)と呼び$D^{(2)}$と標す. \\
   群$G=\left\{ g_{1},g_{2}, \ldots ,g_{j} \right\} $ の同形な行列群$\left\{ D_{1}(g_{1}),D_{2}(g_{2}), \ldots ,D_{j}(g_{j}) \right\} $ は,行列表現$G$ を作る.この表現は,$3 \times 3$行列$D_{j}$が点の配置の変換のみでなく3次元空間のベクトル成分を変換するので,ベクトル表現と呼ばれる. \\
   群G の群$\left\{ D_{1}^{2}(g_{1}),D_{2}^{2}(g_{2}), \ldots ,D_{j}^{2}(g_{j}) \right\} $ による表現は,ベクトル表現の平方あるいはテンソル表現と呼ばれる。この術語を用いれば,誘電率テンソル$\varepsilon _{ij}$はベクトル表現 $\left\{ D_{1}(g_{1}),D_{2}(g_{2}), \ldots ,D_{j}(g_{j}) \right\} $の対称化された平方により変換される.テンソル量の定義自体は,成分の変換を支配する法則を特化すること,すなわち対応するテンソル表現の特化に基づいている. \\
   各32の結晶群に対する表現$\left\{ D_{1}^{2}(g_{1}),D_{2}^{2}(g_{2}), \ldots ,D_{j}^{2}(g_{j}) \right\} $ から,これらの群のどれに対しても,群$G_{k}=2$ に対して行ったのと全く同様に,テンソル$\varepsilon _{ij}$ の形を決定できる.テンソル$\varepsilon _{ij}$ の行列は,成分$\varepsilon _{ij}$ が対応する座標 $x_{i}x_{j}$の積と同様に変換されることに注目すれば,もっと速く決定できる.この方法を用い,方位$m \bot X_{3} $の群$G_{k}=m $に対し,テンソル$\varepsilon _{ij}$の行列の形を見出すことにする.この平面での鏡映により,座標$x_{1}, x_{2}$ は保存され,座標$x_{3}$は符号を変える: $$x_{1} \to x_{1}, x_{2} \to x_{2}, x_{3} \to -x_{3} $$ \\
従って,座標の積は以下のように変化する: \\
$$x_{1}x_{1} \to x_{1}x_{1}, x_{1}x_{2} \to x_{1}x_{2}, x_{1}x_{3} \to -x_{1}x_{3}, x_{2}x_{1} \to x_{2}x_{1}, x_{2}x_{2} \to x_{2}x_{2} $$
$$x_{2}x_{3} \to -x_{2}x_{3}, x_{3}x_{1} \to -x_{3}x_{1}, x_{3}x_{2} \to -x_{3}x_{2}, x_{3}x_{3} \to x_{3}x_{3} $$
この変換は対称変換であるので,変換の前後で,成分$\varepsilon _{ij} \leftrightarrow x_{i}x_{j}$ は等しい.従って,群\textrm{\textsl{m } }の行列$\varepsilon _{ij}$ が,群2に対するものと同じ形となる:$(\varepsilon _{11}, \varepsilon _{12}, \varepsilon _{22}, \varepsilon _{33})$ \\
   以下のリストに,結晶学的な群に対する誘電率テンソルの一般形を与える: \\
$$三斜晶系G_{k}=1, \overline{1} :(\varepsilon _{11}, \varepsilon _{12}, \varepsilon _{13}, \varepsilon _{22}, \varepsilon _{23}, \varepsilon _{33})$$
$$単斜晶系 2, m, 2/m  :(\varepsilon _{11}, \varepsilon _{12}, \varepsilon _{22}, \varepsilon _{33})$$
$$斜方晶系 2, 222, mmm :(\varepsilon _{11}, \varepsilon _{22}, \varepsilon _{33})$$
$$三方-,正方-,六方-:(\varepsilon _{11}, \varepsilon _{22}=\varepsilon _{11}, \varepsilon _{33})$$
$$等軸晶系 23, m\overline{3}, 432, \overline{4}3m, m\overline{3}m :(\varepsilon _{11}, \varepsilon _{22}=\varepsilon _{11}, \varepsilon _{33}=\varepsilon _{11})$$
全く同様に,軸性ベクトルに対するテンソル不変量(対応する群の変換により変わらない行列)を見出すことが出来る.テンソル成分の変換則で,第1種の変換(回転,並進)に対しては,$\chi (D)=+1$ ,第2種の変換(鏡映,反転)に対しては$\chi (D)=-1$ とする所が異なる. \\
   テンソル本来の斜方晶対称-テンソル行列の一般形を保存する斜方晶[直交]変換の最も対称性の高い群により決定される-は,もとの結晶の対称性よりも高くなる可能性があることに注意しよう.例えば,立方晶系に対し,誘電率楕円体は対称性$ \infty \infty m$ の球に縮退する.3方晶系,正方晶系,6方結晶に対しては,1軸性誘電率楕円体は対称性$ \infty /mmm$である.残りの結晶に対しては,誘電率楕円体は,対称性 \textrm{\textsl{mmm } }の3軸性である.これは,楕円体(図220)をprincipal axes主軸$X_{1}', X_{2}', X_{3}'$に参照することにより理解出来る:群\textrm{\textsl{mmm } } のすべての変換は,テンソル行列$(\varepsilon '_{11}, \varepsilon '_{22}, \varepsilon '_{33})$を保存する.さらに低い対称性の結晶系では,結晶物理主軸$X_{1}, X_{2}, X_{3}$ に対する楕円体の方位を標示するために,パラメータが(これらの3つ以上に)増える. \\
\ \\
\ \\
   均一なテンソル場の対称群の中で,極限キューリーCurie群(図74)に加えて,反対称と色対称群のlimiting orthogonal極限斜方晶[直交]群に出会う. \\
   7つの中性と7つの2-色のlimiting antisymmetry極限反対称群が,拡大の理論により得られる: \\
$$ \infty 1', \infty 221', \infty mm1', \infty /m1', \infty /mmm1', \infty \infty 1', \infty \infty m1',$$
$$ \infty /m', \infty 2'2', \infty m'm', \infty /m'mm, \infty /mm'm', \infty /m'm'm', \infty \infty m' $$
これらの群の具体化としての物質図形は,キュリーCurie群に対するそれらと同じ形を持つ.中性群では,図形の全ての点は中性,2-色群では,2色である(2色は,各点ごとに,混合されたり塗り分けられたりする).反対称の磁気的解釈では,電気,磁気,Poyntingポインティングベクトルは,それぞれ,磁気対称の極限群$ \infty mm1', \infty /mm'm', \infty /m'mm$を持つ(図221).反対称の極限群の導出では,読者はShubunikov(1958,1959),Sirotin(1962),Koptsik(1966)による扱いを参照するとよい. \\
   この系列に,無限にcolored limiting groups色極限群が存在し: \\
$$ \infty 1^{(p)}, \infty 221^{(p)}, \infty mm1^{(p)}, \infty /m1^{(p)}, \infty /mmm1^{(p)},$$
$$ \infty \infty 1^{(\texttt{\textsl{p } })}, \infty \infty \texttt{\textsl{m } }1^{(\texttt{\textsl{p } })};$$
$$ \infty ^{( \infty )}, \infty ^{( \infty )}\texttt{\textsl{m } }^{(2)}\texttt{\textsl{m } }^{(2)}, \infty ^{( \infty )}/\texttt{\textsl{m } }, \infty ^{( \infty )}/\texttt{\textsl{mm } }^{(2)}\texttt{\textsl{m } }^{(2)},$$
$$ \infty ^{( \infty )}2^{(2)}2^{(2)}, \infty ^{( \infty )}/\texttt{\textsl{m } }^{(2)}, \infty ^{( \infty )}/\texttt{\textsl{m } }^{(2)}\texttt{\textsl{m } }^{(2)}\texttt{\textsl{m } }^{(2)} $$
$$ \infty ^{( \infty )} \infty ^{( \infty )}, \infty ^{( \infty )} \infty ^{( \infty )}\texttt{\textsl{m } }^{(2)} $$
色群の具体化となる典型的な図形は,Curieキューリー図形の周りに色調が連続的に変化(虹のように)する色紙を接着すると得られる. \\
例えば,単色光線がコーンの頂点からその底面へ通過すると,色は,コーンの回転にともない,自然のスペクトル順に変化する.コーンが回転するなら, \\
群の系列$ \infty ^{( \infty )}(1), \infty ^{( \infty )}(2), \ldots , \infty ^{( \infty )}(n)$,静止しているコーンには,系列$ \infty ^{( \infty )}m^{(2)}m^{(2)}(1), \infty ^{( \infty )}m^{(2)}m^{(2)}(2), \ldots , \infty ^{( \infty )}(n)$ を得る \\
[ここで,\texttt{(1)}\textrm{\textsl{, } }\texttt{(2)}\textrm{\textsl{, } }\texttt{(}\textrm{\textsl{n } }\texttt{)}は,古典的軸性部分群である;色コーンの群が,部分群\textrm{\textsl{n } }を含むなら,1回転でカラーサイクルは\textrm{\textsl{n } }回繰り返すことを意味する]. \\
底をシリンダーとし,その周りに色サイクルを一回貼りつけ,群$ \infty ^{( \infty )}/mm^{(2)}(1)$ (静止したシリンダー),$ \infty ^{( \infty )}/m(1)$ (回転シリンダー)を得る. \\
色が連続的に,シリンダーを1周(円周に沿い)するのみでなく,すべての生成元に沿い変化するなら,対称性$ \infty ^{( \infty )}/m^{(2)}m^{(2)}m^{(2)}(1)$(静止時),$ \infty ^{( \infty )}/m^{(2)}(1)$(回転シリンダー),$ \infty ^{( \infty )}2^{(2)}2^{(2)}(1)$(ねじれシリンダー)の2回の色シリンダーを得る. \\
これらの全てで,部分群$1$を$n$で置き換えると,オリジナルのものから群の無限系列が導びける.色シリンダーの群は,古典的部分群$mmm,n22$, あるいは,何らかの性質を保存する部分群の系列に形式化できる. \\
色極限群の最後の2つは,全点が$ \infty $-色で,かつ,中性でない球で具体化される:各点の色は,セクターに沿って分布するか,あるいは,混合されずに層をなして互いに重畳され,同様に群$ \infty ^{( \infty )}$ と$ \infty ^{( \infty )}m^{(2)}m^{(2)}$ ではコーンのチップに分布する.群$ \infty ^{( \infty )} \infty ^{( \infty )}$ では,球の直径は群 $ \infty ^{( \infty )}2^{(2)}2^{(2)}$でのように捩れている.一方,群$ \infty ^{( \infty )} \infty ^{( \infty )}m^{(2)}$では,捩れがない.極限群の別の解釈では,初期に見たすべての図形でのように,1つの固定色は,一般点のすべてに帰属せしめられる。捩れたシリンダーの対称性は,もっと完全には2回色反対称群により記述される. \\
$\displaystyle \frac{ \infty ^{( \infty ) } }{m'^{ \ast } }\displaystyle \frac{2^{(2) } }{m'^{ \ast } }\displaystyle \frac{2^{(2) } }{m'^{ \ast } }$ \\
ここで*星印はシリンダー低部の周囲の順序で,色を変え,′ダッシュは捩れの方向を変える. \\
   さらに,中性群では,色同一部分群$1^{( \infty )}$は冪によって異なることに注意する.具体化に加え,言及したように,古典的なCurieキューリ群,反対称の極限群,Waerden-Burckhardt群,Wittke-Garrido群,およびこれらの許容される積(p.248,256参照)により記述される色図形がある.すべての有限色群(結晶学的および非結晶学的の位数の)は,これらの極限群の部分群であり,非常に早く本書で与えてある。完全な構造対象の物理で,極限色群は通常の極限斜方晶群よりも役割が低いわけではない. \\

大航海時代を支えた正確な時計

数学と基礎科学,谷,「数学文化」p.79-87,No15 (2010)より抜粋


以前の号に,現代の標準時計 を掲載しています.現代の標準時計は,水晶発振子と原子時計です.長さの標準は今日では「メートル原器」ではなく,真空中の光速で定義します.長さを光速で定義するには正確な時計が必要ですが,原子時計はそのような長さの定義に使用されています.GPSが位置を割り出すときにも正確な時計が活躍しています.


■今回の記事は,ガリレオの時代から始めます.
時間と空間の計測は最も基本的なものです.空間の測量は,紀元前に幾何学とともに発展しました.しかし,時間の計測は,地球の日周運動を利用した日時計,あるいは,水時計や砂時計から始まりました.その後,ロウソク時計,線香時計などが生活に現れ,やがて,歯車やゼンマイを用いた機械時計が作られるようになります.しかし,正確な時計は,18世紀の振り子時計まで待たねばなりませんでした.ガリレオ(イタリア,1564-1642)の”振り子の等時性”の発見は,エポックメーキングです.
正確な時計を持たなかったガリレオ以前の時代には,正確な観測に基づいた運動の研究は不可能だったわけです.
振り子を時計に取り入れたのは,ホイヘンス(オランダ,1656年)で,1675年には,ホイヘンスはヒゲゼンマイのついたテンプ時計も制作し,フランスで特許を取得しました[フック(英)も考案した(1664年)と主張します].これが,「世界初の実用的な機械式時計」の始まりです.
ガリレオの発見した”振り子の等時性”は,振り子の周期が,振り子の長さ$$l$$の平方根にのみ比例し,振幅や錘の重さにはよらないというものです.
周期は  $$T=2\pi \sqrt{l/g }$$ 

と表せ,現在では$$g$$は重力の加速度で地球の場所により,わずかに異なることがわかっています.正確には,”振り子の等時性”は,振幅が小さいときに成り立つ線形近似です.振幅が大きくなると振り子の周期は長くなります.

 $$T=2\pi \sqrt{\displaystyle \frac{l}{g } }\left( 1+\displaystyle \frac{1}{4}sin^{2}\left( \displaystyle \frac{\theta _{0 } }{2} \right) + \cdots \right) $$,ここで$$\theta _{0}$$は振幅の半分の角度.

普通の振り子の軌道は円弧ですが,サイクロイド曲線に沿って動く振り子は,振幅が大きくても小さくても周期は不変です.ホイヘンスは,これを利用したサイクロイド振り子時計も作りました(図1).

 

 

 

 

 

 

 

ホイヘンスは,振り子時計の本と光の本を書き,微積分の先駆的研究もし,ニュートンと重なる時代を生きました.

その後の大航海時代には,海上で正確に経度を知ることが必要になりました.船の現在地(経度*)は,船の時刻と経度のわかっている地点の時刻の差から求めます.地球は24時間で一回転するから,1時間で経線15度の差です.*注)緯度は太陽の高度や北極星の高度からわかります.
1714年,イギリス議会は「経度を精度よく決定できる方法」に2万ポンドの懸賞を出しました.時計技師ジョン・ハリソン(英)は,30年近くも試作を繰り返し,苦心の4号機H4はポーツマスからジャマイカへの81日間の航海をすませた1762年1月19日に,時計から求めた経度と現地の天文観測から求めた経度との誤差が5秒という議会の要求(2分)をはるかに上回る成績を収めました.彼は,今日の懐中時計にも使われているグラスホッパー脱進機構を発明しています.

参考文献
http://www.nmm.ac.uk/harrison

数学と基礎科学-第4回数学月間懇話会より-

                                            谷 克彦 
科学の発展局面で,それが必要としている数学が用意されていたというのは,ドラマティクです.そのような脚色をした本も多いようです(分献1).しかし,必要な数学が手品のように出現したわけはなく,その数学の源泉にはやはり語るべき背景があります.
科学の発展と平行し,それに必要な数学が開拓されるのは興味深いものです.数学と基礎科学は,密接に牽引しあいながら発展してきました.R.クーラントは,”物理数学の方法”の序文(1924)で,次のように述べています.「...多くの数学者は物理学その他の分野との関連を見失い,一方,物理学者は数学者の関心と問題意識,その方法と語法が理解できなくなっている.これでは,科学の発展の流れは次第に細かく枝分かれし水量を失い,ついには干上がってしまうであろう...」(文献2)
数学月間の趣旨は,数学が種々の分野に影響を与え,「数学が社会を支えている」ことを,専門家でない一般の人に説明することです.数学嫌いの一般の人々が,数学は知的遊戯で自分の生活には関係ないと思っているとすれば,その誤解を解かねばなりません.
数学が基礎科学を支えているのですが,それにもまして,その数学は基礎科学を源泉にして生まれたことを,ここで述べたいと思います.
中谷宇吉郎は随筆”科学と文化”(昭和12年)のなかで,科学の普及に役立つ文章作法に4つのタイプを挙げ,そのうちでも,テーマを不思議と感じた所から,今までに知られた事実を列挙することを特に推奨しています(分献3).この手法に則りこの小論を進めようと思います.

1. 外界を知る手段としての数学 

我々は感覚(センサー)により,森羅万象を知ることができます.しかし,森羅万象を動かしている外界は,感覚では知り得ず数学の力により初めて知ることができます.始めに,外界についてのクラインの言葉を引用します.「感覚では知り得ない外界がある.数学の目標は,感覚では知り得ない外界を知ることである.そこから予想もしなかった知識,時には感覚と矛盾するような知識が引き出される.それは物質界の知識の精髄であり,感覚をはるかに凌駕している.」(文献4)
例えば,天体の運行を調べて,それを支配している外界の原理を知るには,数学が必要でした.これは,ニュートンにより完成されます.すなわち,運動方程式と万有引力の式から,2体問題ならすべての運動が説明できます.巨大な宇宙の星雲の運動から,分子の集合である気体の圧力などの巨視的性質まで,宇宙のあらゆる力学現象(粒子間の相互作用は無視)を説明し,ニュートン力学と電磁気学(マックスウェル方程式)の2つのパラダイムにより,森羅万象の外界が解明できたと思われ19世紀が終わりました.

2.ニュートンの解明した外界 

ニュートンの時代に遡ってみましょう.ニュートンがプリンキピアを刊行したのは,1687年,44歳のときです.若き日のニュートンは,1676年2月5日のフックへの書簡に,「私が,ほかの人たちよりわずかでも遠くを見たとすれば,それは巨人たちの肩の上に乗っているからです」と書いています(注1).巨人たちとは,ガリレオを始めとする先人の研究や数学の蓄積のことで,これらが彼の研究の基礎になったと言っているのです. 
しかし,ニュートンの力学に必要だった微積分が用意されていたわけではありません.自分自身で開拓せねばなりませんでした.ニュートンより少し早いと言われますが,独自にライプニッツも同等な業績を上げます.日本でも関孝和がおります.遅かれ早かれ,まさに微積分の扉が開かれる時代の流れではありました. 
ニュートンのプリンキピアは,「観測できる事物の因果関係を示す」という立場を堅持しています.引力がなぜ発生するかは言及せず,従って仮説は何もありません.これが,今日の科学的方法論の手本であります. 
ポアンカレは,「科学と仮説」で,「数学的理論は事物の本性を我々に解き示すことを目的とするものではない...そのただ一つの目的は実験が我々に知らせる物理法則に定まった場所を与えることである」(第12章,光学と電磁気)といっています(文献7). 
数学と自然科学の違いは,数学は観測事物にこだわらず,どのような仮定から数学的理論を構築してもかまわぬ所にあります.例えば,「引力が距離の逆3乗に比例する」として理論を構築することも価値があります.非ユークリッド幾何学は数学として構築されましたが,今日の宇宙論では実在性をおびております. 
------------------- 
(注1) 
この時代の科学者達は,たいへんまめに文通しています.その上,論文公開のシステムは不完全であったので,揉め事が起こりがちでした.特に,ニュートンは自分が得た結果の大部分を秘密にしており,誰かに督促されるか,他の人が同じことを見出したときになってから,公表に踏み切ったといいます.そして自分の先取権が認められなかったり,批判されたりすると逆上したそうです.(文献5)
フックは,ニュートンより7つ年長で,王立協会の実験主任,後ちに書記でした.協会の書記は,外国の科学会とつながりを保つ要職です.他の協会の書記に手紙を書き,関心のある人々に情報を伝えてもらうのです.
ニュートンは,1672年に,”光と色”の論文を王立協会の雑誌に発表します(文献6).この内容をフックが批判したことから,フックを嫌うようになります.
プリンキピア発表後,力の逆2乗法則は,ニュートンに文通で伝えたものであるとフックが主張し,因縁の論争が再度起こります.フックはバネの伸びと力が比例するというフックの法則で有名ですが,やはり大変多才な人です.1679年のフックからニュートンへの書簡には,惑星の運動を,接線方向と中心方向の運動の合成とする見方が示されています.しかしながら,これらの規則から生じる軌道の証明には,微積分が必要で,ニュートンの業績の偉大さは.そこにありましょう.フックは背中の曲がった背の低い人だったそうで,ニュートンの書簡にある巨人の肩に乗るとは,私は肩に乗れたが,フックには乗れないだろうとの皮肉が含まれているということです.ニュートンは,フックの死後の1703年に,12代目の王立協会会長に就任するや,フックの肖像や実験装置などの業績をすべて消し去ったと言われています.
なお,「巨人の肩に乗った小人は遠くを見ることが出来る」という名言自体は,12世紀のシャルトル(仏)のベルナールの言葉として,ニュートン時代の知識人には知られていたそうです(文献1).
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3.時間と空間の計測

さらに,ニュートンより前のガリレオ(イタリア,1564-1642年)の時代に遡りましょう.空間と時間の計測は最も基本的なものです.空間の測量は,紀元前に幾何学とともに発達しました.しかし,時間の計測は,地球の日周運動を利用した日時計,あるいは,水時計や砂時計でした.その後,ロウソク時計,線香時計などが生活に現れ,やがて,歯車やゼンマイを用いた機械時計が作られるようになります.しかし,正確な時計は,18世紀の振り子時計まで待たねばなりません.
ガリレオの”振子の等時性”の発見は,エポックメーキングです.正確な時計を持たなかったガリレオ以前の時代には,正確な観測に基づいた運動の研究は不可能だったわけです.振り子を時計に取り入れたのは,ホイヘンス(オランダ,1656年)で,1675年には,ホイヘンスは ヒゲゼンマイのついたテンプ時計も製作し,フランスで特許取得しました(フック(英)も考案した(1664年)と主張します).これが,「世界初の実用的な機械式時計」の始まりです.
ガリレオの発見した”振り子の等時性”は,振り子の周期が,振り子の長さ$$l$$の平方根にのみ比例し,振幅や重りの重さによらないというものです.周期は$$T=2\pi \sqrt{l/g}$$と表せ,現在では$$g$$は重力の加速度で地球の場所により,僅かに異なることがわかっています.正確には,”振り子の等時性”は,振幅が小さいときに成り立つ線形近似です.振幅が大きくなると振り子の周期は長くなります.
$$T=2\pi \sqrt{\displaystyle \frac{l}{g } }\left( 1+\displaystyle \frac{1}{4}sin^{2}\left( \displaystyle \frac{\theta _{0 } }{2} \right) + \cdots \right) $$,ここで$$\theta _{0}$$は振幅の半分の角度.
普通の振り子の軌道は,円弧ですが,サイクロイド曲線に沿って動く振り子は,振幅が大きくても小さくても周期は不変です.ホイヘンスは,これを利用したサイクロイド振り子時計も作りました(図1).ホイヘンスは,振り子時計の本と光の本を書き,微積分の先駆的研究もし,ニュートンと重なる時代を生きました.

 

 

 

 

 

 

 


その後の大航海時代には,海上で正確に経度を知る方法が必要になりました.船の経度は,船の時刻と経度のわかっている地点の時刻の差から求めます.地球は24時間で一回転するから,1時間で経線15度の差です.
1714 年,イギリス議会は「経度を精度良く決定できる方法」に2 万ポンドの懸賞を出しました.時計技師ジョン・ハリソン(イギリス)は,30年近くも試作を繰り返し,苦心の4号機H4はポーツマスからジャマイカへの81日間の航海を済ました(1762年1月19日)に,時計から求めた経度と現地の天文観測から求めた経度との誤差が5秒という議会の要求(2分)をはるかに上回る成績を収めました.
彼は,今日の懐中時計にも使われているグラスホッパー脱進機構を発明しています.(文献8)
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(コラム) 現代の標準時計--クォーツ時計,原子時計(文献9)
切り出した水晶(クォーツ)の両側の面に電圧をかけると結晶は変形します.逆に両側から力をかけると両端に電圧(分極)を生じます.この性質を圧電効果といいます.圧電効果は,結晶構造に対称心がある場合には生じません.なぜなら,結晶中のいかなる方向に電圧(分極)ベクトルが生じても,対称心に矛盾するからです.
所定の方位で所定の厚さに切り出した水晶片の両面に交流を印加すれば,水晶片は振動します.水晶片の共振の起こる周波数で安定な発振器を作ることが出来ます.水晶振動子(通常,32.768kHz=$$2^{15}$$Hzの水晶音さ)を用い,精度の高いクオ-ツ時計が作られており,実際の標準時計もこれです.
現在の時間標準は,セシウム($$^{133}Cs$$)の原子時計と定められました.原子時計とは,水晶時計を含む複合システムで,水晶発振器の周波数の校正標準に原子の状態遷移の周波数を用います.
セシウム原子は,最外殻の電子が1つ(水素原子型)なので,解析的にエネルギー準位の計算が出来ます.磁場を印加して縮重している準位を分離させた状態で,基底状態から励起状態への遷移を起こさせると,マイクロ波領域の9.192631770GHzのエネルギーで遷移します.そこで,水晶発振器により,この近傍のマイクロ波を発生させ,セシウム原子による吸収が最大になったときの水晶発振器の周波数を,9.192631770GHzであると校正しています.
ちなみに,GPS衛星は,ルビジュウムの原子時計を積載しています.最近はMEMS(Micro Electro Mechanical Systems)技術により,ルビジュウムの腕時計の開発も進んでいるそうです. 
長さの標準は,地球の経線の1/4を$$10,000m$$と定めたのが始まりでした.しかし,1983年に,真空中の光速でこれを定義することになりました.1$$m$$の定義は「光が真空中を1/299,792,458秒間に進む長さ」です.長さの標準にも時間を基礎に置くこととなったのです. 
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4. 最小作用(モーペルテュイ)の原理,あるいはオイラーの原理(注2)

モーペルテュイは,「始状態から終状態への運動経路には,作用と呼ばれる積分量が定義でき,作用が最小となる経路が実現される.これが物理学のみならず,万物の運命を決める外界の原理である」という着想-”最小作用の原理”(1744年)を得ました.たしかに,現実の運動では,しばしば作用が極小になりますが,正確には,「作用が停留値をとる経路が実現する」というのが正しいことが後にわかります.
オイラーは,モーペルテュイの作用量の定義を積分に拡張し,最小作用の原理をさまざまな力学課題に適用できるようにし,”最大,または最小の性質をもつ曲線を見出す方法”(1744)を発表しました.これを読んだ若きラグランジュは変分法を発明し,オイラーに手紙(1755)を送ります.オイラーは,ラグランジュの方法を採用し,”変分法の原理”(1766)を出版します.変分法で導かれる運動方程式が,オイラー=ラグランジュ方程式といわれる所以です.その後,ラグランジュは,”解析力学”(1788)を出版します.その序文に「本書には図は一つも出てこない....所定の手続きに従い進める代数計算だけだ....」と高らかに宣言します.こうして,複雑な力学問題も解ける一般化された手法が確立されます(注3).
変分法は,19世紀のハミルトン,ヤコービにより完成に至ります.ハミルトンは,系の状態を表示する空間に,座標と速度を座標軸とした相空間を導入し,「作用量は最小化や最大化するのではなく,停留化する」ことを示しました.
1つの物体は,座標$$x, y, z$$と速度$$\dot{x}, \dot{y}, \dot{z}$$を変数に持ち,その状態は6次元の空間の1点で表現できます.同様に,$$N$$個の物体よりなる系は,$$6N$$次元の空間の1点で表現できます.この空間を相空間といいます.系のエネルギーを$$H(x_{i}, y_{i}, z_{i}, \dot{x}_{i}, \dot{y}_{i}, \dot{z}_{i}, )$$とすると,エネルギーが保存される運動の軌跡は,相空間内の超平面$$H(x_{i}, y_{i}, z_{i}, \dot{x}_{i}, \dot{y}_{i}, \dot{z}_{i})=h$$に含まれます.超平面に描かれる閉曲線に沿った”作用”を停留化する曲線が軌道となるわけです.解けるかどうかは別として,周期解(軌道)が存在することは,証明(1986年)されています.(文献10)
最小作用の原理の理解には,ホイヘンスの光の波動説の説明が参考になります.ホイヘンスは,空間は見えない媒質で満たされており,光は波紋(球面波)が拡がるように伝わると考えました.波面上の各点はまた新たな波源となり,そこを中心として新たな波紋が広がって行きます.生じた無数の波紋は重なりあったり打ち消しあったりの結果,新しい波面ができます.これは多数の波面の包絡面で,この面に垂直な方向に光は進むと考えます.この様なプロセスで決定された方向は,作用を停留値にするものです.

量子力学の世界の運動には,軌道の概念がなく,電子などはランダムに動き回ります.しかし,我々の日常(マクロ世界)では,電子の運動でも軌道はあります.ここで,マクロ世界でも物体はランダムな経路をとれるとしてみましょう.あらゆる経路に実現可能性があるが,各経路の実現率は,それぞれの確率に従う.これらの確率は,波紋が伝播するときのように互いに干渉し合い,その結果として現実の経路が決まってくると言うわけです.最も確からしい経路は,近くからの干渉の最も少ない経路であって,これがちょうど作用積分を停留化するもののようです.「ファインマンの原理」(文献10)
運動方程式が解ける問題を”可積分な問題”といいますが,実際は,”非可積分の問題”がほとんどです.ニュートン力学は,可積分で安定な周期軌道が解になる特殊な範疇を扱っています.一方,非可積分の問題からは,カオスが生じます.1つの軌道は,1本の因果列の存在を意味しています.単純な世界は,今日の現象(原因)1が明日の結果1につながり,今日の現象(原因)2が明日の結果2につながる世界ですが,一般には,今日の現象のすべてが,明日のある結果1の原因になりうる複雑な世界です.バタフライ・エフェクトという映画(注4)があったようですが,今日,上空で蝶が羽ばたいたことが,遠い未来に竜巻きを起こす原因の一つになるかも知れません.「風が吹けば,桶屋が儲かる」世界です.この世界は,独立な因果列はないので,周期的な軌道にはなりません.コンピュータを用いて,すべてのステップを計算していけば,結果を予測できるのですが,遠い先の結果は予測もつかないものになります.「最小作用(停留値)の原理」は,ニュートン力学も含むが,このようなカオスも含む原理であります.
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(注2)
最小作用の原理の起源といえば,1696年のスイスの数学者ヨハン・ベルヌーイの”最速降下曲線”問題に言及せねばなりません.「決まった二点の間を,始点から終点まで玉が一番速く転がることが出来るような曲線を求めよ」という問題です.ライプニッツの提案により,ベルヌーイはこの問題を海外の数学者にも公開することにしました.ベルヌーイは,ライプニッツの友人で,ニュートンとライプニッツの微積分の先取権論争にも加わり,ライプニッツを応援しています.きっと,ニュートンを困らせてやろうと思ったのでしょう.ところがこの問題を受け取ったニュートンは,「当時,造幣局の仕事で忙しく疲れて帰宅したが,問題が解けるまでは寝なかった.とは言っても朝4時までには解けてしまった」と日記に書いています.そして,解答を匿名で返したということです(文献1,5).
 
最速降下曲線の答えは,円板の縁(1点)に目印をつけ,直線上を転がしたときに,目印が描く”サイクロイド曲線”です.ホイヘンスが振り子時計に用いたあの曲線です. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


(注3)解析力学の手順 
力学系を記述するラグランジュ関数 を求め,ラグランジュ関数の作用積分が停留値をとる条件を変分法で解くと,オイラー=ラグランジュ方程式が得られます.簡単な系のラグランジュ関数は,(運動エネルギー)-(位置エネルギー)の型になりますが,複雑な系では,位置エネルギーが速度に依存することもあります. 
ラグランジュ関数は,電磁場に置かれた荷電粒子にも定義され,光(電磁力学)も力学も統一して扱える原理であります.変分原理から,ニュートンの運動方程式は導出されます.その上,変分原理はニュートン力学よりさらに一般化された外界の原理です.(文献11)
20世紀に入り,量子力学が誕生するときにもこの原理が手がかりになりました.
光や物体の運動が,作用積分を停留化するような,手の混んだ経路を選択するというのは,何と不思議なことでしょう.

(注4)

過去に戻れる能力を持ったエヴァンは,過去に戻りやり直すことにする.しかし,過去に戻り選択肢を変えて始めた人生は,どれも,自分を含め自分が愛する誰かが,幸せではないものだった.
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5. 結晶の世界

結晶は,原子や分子が規則正しく並んでできています.水晶の結晶構造を図3(a)に示します.簡単のため$$c$$軸に沿って投影した平面図にしました.大きい丸は,シリコン原子,小さい丸は酸素原子です.図3(a)を見ると,基本タイルで,平面が隙間なく張り詰められているのがわかります.実際の結晶は,基本ブロック(平行6面体)を隙間なく積み重ねた3次元に周期を持つ構造です.結晶の基本ブロック(単位胞といいます)は,一辺のサイズが$$nm$$の程度なので,その実在を観測したのは,X線の発見(レントゲン,1895年)以降になります.発見まもないX線は,波長の短い($$nm$$オーダー)光らしいので,空間に周期を持つ結晶が回折格子になるだろうとラウエは考えました.これが有名なラウエの実験(1912年)です.結晶が持つ対称性は,その回折像の対称性に反映されるはずです(”因果律”図3).逆に,X線回折像から結晶構造を推定できるわけで,その手法は,ブラック親子により開発(1915年)されます.この時点で,結晶構造解析に必要な,空間群タイプ230種類の数え上げは,「さあ,お使い」とばかりに準備されていました.何とドラマティックでありましょう.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

しかしながら,ここで空間群を突然出現させるのは演出にすぎません.それが生まれるまでの背景を辿って見ましょう.結晶は単位胞が積み重なった「デジタル世界だ」という推論は,18世紀後半に遡ります.(文献12)
デンマークの鉱物学者ステノ(1669年)が,水晶で発見して以来,種々の鉱物結晶の外形の研究が積み重ねられ,「同一物質の結晶では,対応する面と面のなす角度は一定不変である」という法則(1772年)を,フランスのリスルが確立します. 
アウイ(1783年)は”有理指数の法則”を見出します.方解石は劈開が顕著で,どこまでも同じ形の平行6面体に割れます.これなどは,単位胞の存在や,結晶格子の存在を思わせます(図4).結晶が単位胞の積み重ねでできるデジタルの世界ならば,観測されるどの結晶面も,格子点を載せた平面だから,結晶面の座標軸上の切片の比は,必ず整数比になるはずです.これが有理指数の法則の心です.結晶面の記載に用いるミラー指数は(1839年)に考案されました.これらの観測事実から,結晶は単位胞が並んだデジタル世界でなければならないと推論されました.
基本タイルを点で表すと,結晶構造は点の配列になり,このような点の配列を格子といいます.つまり結晶はデジタル(離散量)の世界です.格子の対称性タイプの数え上げ14種(ブラベー,1848年)がなされます.また,結晶外形の対称性から,結晶点群の数え上げ32種(ヘッセル,1830年)がなされました.
結晶点群と格子(並進群)の組み合わせで,結晶空間群が生成されます.1890~1894年に,フェドロフ,シェンリース,バーローがそれぞれ独立に,3次元の空間群230種類を数え上げました.(文献13)(注5)
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(注5)
結晶空間群には,並進群が正規部分群として含まれています.
基本タイルを点にしてしまうような写像なら,空間群に含まれる格子があぶりだされます.格子の周期で並進した物は同値とみなすならば,空間に広がった結晶構造や平面にひろがった繰り返し模様は,1つの単位胞の中に集約され,空間群は結晶点群に準同型となります.(文献13,14)
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6.おわりに 
「科学者がその肩に乗ろうと懸命に探し求めた巨人は,とうの昔に死んだ数学者だった.しかし,数学者の側からみれば,自分が科学者の肩の上に乗っていた,などということはまずありそうにない」(文献1)という見方もあります.しかし,私は,新しい数学の誕生は,その背景に,科学の発展があったことに注目し,大きな過去の世界からこの小論への写像を試みました.論点を浮き彫りにするには,準同型写像です.同値と見做そうとする項目は束ねて,写像の核にすると,大きな世界にあった特徴の一つが浮き上がります.写像の核は,数学自体にしたので,数学と他の基礎科学の関係が見えたでしょうか.この先,”線形写像の世界”を訪れる予定でしたが,紙数が尽きました.これに関しては,拙著(文献14)をお読みいただけると幸甚です.
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参考文献 

1.物理と数学の不思議な関係,マルコム・E・ラインズ(青木薫訳),ハヤカワ文庫, 2004 
2.数理物理学の方法,クーラン,ヒルベルト(斎藤利弥監訳),東京図書,1985 
3. 中谷宇吉郎随筆集,樋口敬二編,岩波文庫,1988 
4.何のための数学か,クライン(雨宮一郎訳),紀伊国屋書店, 1987 
5.古典物理学を創った人々,エミリオ・セグレ(久保亮五,矢崎裕二訳),みすず書房,1992 
6.http://trailblazing.royalsociety.org/ 
英国王立協会は,2010年11月30日で創立350周年になります.これを記念し,17世紀から協会が発行しているPhilosophical Transactions誌に掲載された論文の科学史的に重要ないくつかが,このwebsiteで公開されています. 
7. 科学と仮説, ポアンカレ(河野伊三郎訳),岩波文庫, 1966 
8. http://www.nmm.ac.uk/harrison 
9.尾上守夫,私信 \\
10.数学は最善世界の夢を見るか?,エクランド(南條郁子訳),みすず書房, 2009 
11.理論物理学,カンパニエーツ(山内恭彦,高見穎郎訳),岩波書店, 1964 
12.結晶の話,伊藤正時,斎藤喜彦,倍風館,1984 
13.結晶の幾何学,谷克彦,数学教育p.41-46,明治図書,2003.11 
14.物理と工学で使う行列と固有値,谷克彦,技術評論社, 2010 
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「数学文化」,NO.15(2010),p.79-87 より

 

ライフゲーム

Kvantikの数学コンクールの問35(2012-07)に,次の問題を見つけました.

■問
1から始まる次の数列の規則がわかりますか?数列の規則を理解し,続く数字を書きなさい.
この素晴らしい数列は,有名な数学者ジョン・コンウェイによって発明されました.

1,
11,
21,
1211,
111221,
312211,
13112221,
1113213211,
31131211131221, …

(ヒント)各項は,数値というよりも記数法と見なした方が良いでしょう.
それは,この数列を作ったのがコンウェイだからでもあります.

■ジョン・ホートン・コンウェイ (John Horton Conway) はライフゲーム を1970年に考案したイギリスの数学者です.プリンストン大学.新型コロナウイルスで,2020年4月11日に死去(82歳)しました.
https://www.princeton.edu/news/2020/04/14/mathematician-john-horton-conway-magical-genius-known-inventing-game-life-dies-age


■生命の誕生,進化,淘汰などのプロセスを簡易なモデルで再現したシミュレーションゲームで有名です.コンウェイは,「セル・オートマトン」を実証するためのコンピュータを使った実験プログラムとして,生態系をシミュレートした「ライフゲーム」を開発しました.
「近辺が4つ以上のセルで埋まると,混みすぎて死亡」「近辺のセルが1つ以下になっても孤独で死亡」といった,簡易なモデルで生命現象や結晶成長などの過程を再現した研究です.


ライフゲームシミュレータ
https://algoful.com/Archive/Algorithm/LifeGame