ロシアの数学月間

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Николай Петрович Долбилин

 2011 年のノーベル化学賞は「準結晶の発見」に対して授与されました。これは、これまで見られなかった原子の配列構造を持つ固体です。この発見により、固体の研究に新しいページが開かれました。固体は、結晶とアモルファス構造（ガラス、プラスチック）の2つのタイプに分けられます。古代に注目された結晶と非晶質体の違いは、結晶には天然のファセットがあることで、それは、たとえば砂糖や塩の小さな粒など、ミクロレベルで明確に現れることがあります。自然科学者は、結晶の自然なファセットは、その内部構造によるものとしました。

物質の性質は化学組成だけでなく、原子（分子）の並び方によっても決まり、物質の構造を知ることは重要です。よく知られている例は、グラファイトとダイヤモンドで、化学的には同じ、どちらも炭素です。しかし、これらの炭素の配列構造は完全に異なり、結晶群も異なります。その結果、これらの素材は異なる物理的特性を持ちます。非常に柔らかいもの、非常に硬いもの、つや消しの黒、透明なものなどです。

結晶の構造と結晶形成の問題を研究する科学は、結晶学と呼ばれます。準結晶の発見後、これらの新しい構造の研究に特化したセクションが登場しました。

結晶クリスタルという言葉は古代ギリシャ語κρύσταλλοςに由来し、「氷」、「山の氷」または「水晶」を意味します。

科学の別の要素は、ある程度結晶学に起因する可能性があり、古代ギリシャ人の作品 (正多面体) に見られます。I. 17 世紀初頭 (1611 年) に登場したケプラーの論文「六角形の雪片について」は、構造結晶学に関する文献の最初の先駆者と見なされています。フランスの著名な科学者 R. J. ハユイによって表現された「劈開面」に関する結晶学の最も重要な命題が策定されたのは、18 世紀末になってからのことです。この発見の歴史は、「ニュートンのリンゴ」の伝説に似ています。方解石の結晶は、Guyuy の手からの偶発的な落下によって多数の菱面体の破片に粉砕されました。これにより、結晶は平面に沿ってのみ分割できるという考えが生まれました。その方向は、この結晶によってあらかじめ決定されています。破片をさらに粉砕すると、結晶が平行六面体と平行六面体に組み合わせることができるような形状の多面体で構成されていることが示されました。

互いに結合した平行六面体のセットとしての結晶の平行六面体構造の概念から、結晶格子の理論が発展しました。この理論の作成者は、最大の結晶学者の 1 人である O. Brave でした。

3 つの非同一平面上にある (同じ平面にない) ベクトルを構築します。、 、 平行六面体を変換 (シフト) してベクトルに分割するここで係数、 、 - 整数。こうして得られた平行六面体の頂点の集合が格子である。物質の原子を表すいくつかの点が最初の平行六面体に配置されている場合、考慮される「複製」では、いくつかの平行に配向された格子のファミリが得られます。同一の平行な格子のこの組み合わせは、19 世紀前半に登場した結晶の数学モデルであり、一般的にいまだに「機能」しています。直線的に独立した 3 つの方向における結晶の内部構造の周期性は、結晶学の主な原理です。

すべての結晶学の中心的な数学的アイデアは、結晶の対称性です。図形の対称性は、図形とそれ自体を組み合わせた空間の動きです。任意の図形のすべての対称性の集合には、次の 3 つの特性があります。

1) 2 つの対称性の積それらの順次実行の結果として、図の対称性もあります。

2) 空間内の任意の点をその場に残し、したがって任意の図形を不動のままにする、いわゆる同一の動きも、図形の対称性と見なすことができます (実際、同一の動きは動きではなく、「立っている」ことです)。場所）;

3) 対称性とともに反対の動き空間の各点を元の場所に戻すは、図形の対称性でもあります。

これら 3 つのプロパティを持つモーションのセットは、対称グループと呼ばれます。

ポイントを取ると対称性のいくつかのグループからのすべての動きで空間を破壊します、次に、軌道と呼ばれる一連の点を取得しますポイントグループに関して.

たとえば、正方形の対称群は 8 つの要素で構成されています。恒等を含む 4 つの回転と、4 つの線についての反射です。また、点の軌道は、この点の選択に応じて、8 つ、4 つ、または 1 つの単一の点 (後者 - この点が正方形の中心である場合) で構成されます。

与えられた図形のすべての対称性のグループとともに、与えられた図形の不完全なグループ、つまり、条件 1) ～ 3) が満たされる完全なグループの対称性のサブセットも考慮されます。

1 つの点が原点と一致する任意の格子を考えます。座標の原点を保存し、同時に格子を結合する空間の運動のグループは、結晶クラス（点結晶グループ）と呼ばれます。Bravais の前でさえ、32 の結晶クラスすべてが発見されました (J.F. Hessel, 1830)。回転の中の結晶クラスでは、2次（180°回転）、3次（120°回転）、4次（90°回転）、6次の軸が存在できることが非常に重要ですが、五次はありえない。

ある格子の完全な点群である結晶クラスは、ホロヘドリーと呼ばれます。格子。32 の結晶クラスのうち、ホロヘドリアは 7 つしかありません。「最も貧弱な」ホロヘドリーは三斜晶系であり、2 つの要素で構成されています。同一の変換と格子点に関する対称性です (任意の格子はそのような対称性を持ちます)。より豊かなホロヘドリア - 単斜晶、直交、正方形、菱面体、立方体、六角形 - はすべてに固有ではなく、特別な格子にのみ固有です。Bravais は、六角形の全面体を含む格子を除いて、他のすべての格子で平行六面体の格子を見つけることができることを発見しました (一般的に言えば、格子が構築された主要なものとは異なります)。その対称群は格子全面体です。 . このタイプの各格子に対して、最小体積の平行六面体が呼び出されますブラヴェの平行六面体。六角形のホロヘドリー (正六角柱の完全な群と一致する) の場合、ブラヴェの平行六面体は特別な方法で定義されます。ブラヴェは、すべての格子に対して平行六面体を発見しました。大きく異なるタイプは 14 であることが判明しました。したがって、グレーティングも 14 のブラヴェ タイプに分散されました。

ブラヴェ分類は、結晶の最も一般的な対称群、いわゆる結晶学的群を記述するための基礎となりました。

空間の運動のグループは、その点のいずれかの軌道が離散セット、つまり点が互いに分離されている場合、結晶学的と呼ばれます。さらに、そのようなグループに関する軌道は、仮定により、任意に大きな空洞を持つべきではありません。十分に大きな固定半径のボールが配置されている場合は、指定された軌道からの少なくとも 1 つのポイントが含まれている必要があります。

最も単純な結晶学的グループの例は、次のグループです。 、非共平面ベクトルによる 3 つのシフトによって生成されます、 、 . このいわゆる最初の三斜グループは、格子ベクトルへの空間の変換で構成されています. 軌道であることは明らかである.任意の点格子からこの格子自体があります。したがって、最初の三斜群は格子の対称群です。イフポイント格子に属さない場合、軌道平行移動によって元の格子から得られる別の格子があります。最初の三斜グループに関する軌道は離散セット (この場合は格子) であり、十分に大きな半径の各ボールには格子からの少なくとも 1 つの点が含まれているため、グループは結晶学的です。

平行移動に加えて、格子には他の対称性もあります。したがって、格子の任意の点、および任意の「半整数」点、つまり形式の点に関する空間の対称性

は格子対称です。格子の整数点と半整数点に関する平行移動と対称性のセットは、いわゆる第 2 三斜群を形成します。これは、次に複雑な結晶グループです。最悪の場合、非対称格子では、三斜群が格子の最大対称群です。

もう 1 つのことは、格子が豊富な点対称性 (ホロヘドリー) を持っている場合です。たとえば、立方格子のホロヘドロンは、立方体の完全な対称群と一致します。これは、48 回の回転と反射を伴う回転で構成されます。したがって、立方格子の完全なグループでは、そのポイントの各ペアに対してと 48の動きがあります。立方格子グループは、結晶グループの別の例です。

19 世紀における結晶学の発展の集大成は、偉大なロシアの結晶学者 E. S. Fedorov (1857-1919) の研究でした。彼は、対称群が結晶学的群である離散的な点 (原子) の集合として結晶を定義しました。言い換えれば、Fedorov によれば、結晶は、いくつかの結晶学的グループに関するいくつかの原子の一連の軌道です。.

E. S. Fedorov (ドイツの数学者 A. Schoenflies と同時に) は、1891 年にすべての結晶学的グループを発見し、230 であることが判明しました。この複雑な数学的結果は、結晶の構造とそれらの対称グループに関するその後の詳細な研究の基礎となりました。 .

230 の結晶グループのうち 229 には、並進運動だけでなく、回転要素を伴うより複雑な運動も含まれていることに注意してください。これらのグループには格子対称性が含まれており、Bravais によって得られた分類を使用してそれらを導き出しました。結晶の定義に対する Fedorov のアプローチは、Bravais によれば、結晶のクラスを拡張するように見えました。これは、Bravais によれば、平行に配向された格子 (平行移動のみのグループに対する一連の軌道) の結合です。Fedorov は、3 次元空間で作用する結晶学的グループには、同一平面上にない方向への 3 回の並進によって生成されたサブグループが含まれていると確信していました。この主張は、Schoenflies によって厳密に証明されました。この特性により、フェドロフによると、以前のように、ブラバによると、クリスタルは、

20 世紀の初めに、物理学の分野における顕著な発見のおかげで、結晶の格子構造に関する結晶学の主要な位置が確認されました。1912 年、ドイツの科学者 M. ラウエは、結晶格子上での X 線散乱中に回折を発見しました (1914 年ノーベル賞)。ラウエの発見に基づいて、英国の物理学者 W. L. と W. H. ブラッグ父子は、結晶の X 線回折分析の基礎を開発しました (ノーベル賞、1915 年)。

したがって、フェドロフによる結晶の定義によれば、その内部構造は最も対称性に富んでいます。自然界や地質博物館で天然の結晶を見て、結晶の外形の美しさを直視できるとしたら、内部構造の美しさは、どこかの研究室や大学の学部の模型でしか見ることができません。 . これらの非常に美しい構造は、結晶化の結果として形成されます。つまり、物質が液体の無秩序状態から固体の結晶状態に移行する際に形成されます。このような遷移は、冷却中など、特定の物理的条件下で発生します。結晶化中に全体的な秩序が現れる理由は何ですか?

常識的には、結晶の原子構造の全体的な秩序は、同種の原子の近くでの局所的な配置の繰り返しの結果であると考えられていました。フラグメントのアイデンティティの出現は、物理的な観点からも説明できます。アメリカの物理学者 R. ファインマンは次のように書いています。原子をさらに遠ざけると、まったく同じ条件が再び見つかります。注文は何度も何度も繰り返され、もちろん、すべての3次元で...」. ローカル秩序からのグローバル秩序の起源には確信がありましたが、正確な定式化と証明はありませんでした.

結晶の世界秩序の「局所的原因」に対する信念は、V. A. ステクロフ数学研究所の B. N. Delaunay と彼の幾何学者の学生によって行われた結晶の局所理論に関する研究の結果として得られた定理と証明に取って代わられました。1970 年代に開始された一連の作業で、MIAN の作業者は離散セットの結晶学的基準を証明し、近隣の半径の推定値を見つけ、その同一性が構造の正確性を保証しました。局所理論には、正規システムの局所フラグメントの特性と、それらをグローバルに順序付けられた構造に「組み立てる」ための規則を記述するアプローチが含まれていることにも注意してください。

Boris Nikolaevich Delaunay によって開始された局所理論に関する研究のサイクルは、Delaunay の半世紀にわたる幾何学的結晶学の発展に関する研究の価値ある継続であり、Delaunay 集合論、Delaunay の三角形分割理論などのツールの出現をもたらしました。はるかに。

結晶の局所理論に見られる正確な条件の役割は、離散セットのファミリーから正確に周期的構造を区別し、いわゆるペンローズ パターンの出現で再評価されました。1970 年代に英国の物理学者 R. ペンローズによって発見された平面構造では、一般に周期性はありませんが、局所的なモチーフが何度も繰り返されています。

ペンローズ パターンには、5 次の無限に多くの対称軸が含まれていることが特徴です。直線は、360 ° / 5 の角度でそれらの周りを回転することにより、パターンの一部がそれ自体に入ります。さらに、ペンローズ パターンでは、5 回対称性を持つ任意の大きなフラグメントを見つけることができます。一方で、これらのフラグメント (1 つの例外を除く) は制限する必要があります。その後、数学者は、同様の特性を持つ構造が 3 次元空間にも存在することを示しました。

そのような構造が結晶を表すことができないという事実は、19 世紀には早くも結晶学者に知られている特性から得られたもので、周期構造は 5 次の対称軸を持つことはできません。

幾何学の新しい研究分野、つまり準結晶構造が生まれました。しかし、「本物の」準結晶が存在するかどうかという問題は未解決のままでした。

1982年、イスラエルの物理学者D.シェヒトマンの研究室で、アルミニウムとマンガンの合金が得られました。その構造は、5次の明確な軸対称性を持っていました...30年後、この発見はノーベル賞を受賞しました化学の「準結晶の発見に対して」。

結論として、指定された特性を持つ新しい構造を予測する分野で、新しい材料の理論的設計に関する集中的な研究が最近行われていることに注意してください。この方向性は、新しい驚くべき特性を備えた材料の作成を約束します. そして、これらの研究の重要なツールは幾何学的方法です。

ロシアの数学教育の特徴を見てみましょう。
多民族であり多様な地域が対象であること，色々な数学の応用分野の対象者を考慮し，数学教程のレベルは多様なもの（ミニマム内容の設定，上級数学への接続）となっている．

数学ドリルのような教育ではなく，生活や科学の背景の中で，数学的な要素を見出すことを重視している．遊びの要素のない与えられた計算ドリルを解くのでは，論理的思考を養い問題解決の手法を得るのに役立たないと考えている．
このような数学教育の方針は，ステクロフ数学研究所発行の「数学コンポーネント」にも表れている．社会と数学の係わりから数学を見ようとする「数学月間」の思想とも合致する．
ロシアの数学教育では，数学オリンピックが重視されているように見える．これも，与えられた数学問題を解くのではなく，生活や科学の背景の中から，数学課題を見つけ出しそれを解決するという流れの上にあるからである．

工学をはじめ社会の色々な分野で数学が働いており，もちろん自然現象にも芸術にも遊びにも数学が働いている．いろいろな遊びや工作をしながら，子供たちは，自ずとその中に数学的要素を発見し身に着けるものである．このような数学的素養はドリルとして数学問題を解いて身につくものと質が異なる．我々の数学月間活動では「数学まつり」を重視しているのはこのためである．
ロシアでは，後述するように，「全国数学フェスティバル」が全土191都市で実施されている．

（注）https://note.com/sgk2005/n/n5cddbb417b3c

数学的コンポーネント
編集 - コンパイラー： N. N. Andreev，S. P. Konovalov，N. M. Panyunin
デザイナー： R. A. コクシャロフ
第 2 版（拡大増補） "Mathematical Etudes", 2019. - 367頁

ベストセラーとなった単行本「数学コンポーネント」の初版は17,000部発行されました．この本は，科学的知識の促進における優れた業績に対して，ロシア科学アカデミーの啓蒙賞と金メダルを受賞しました．

2019 年 11 月に，大幅に増補された第 2 版が発行されました．第2版​​では，新しい物語と新しい著者が追加され，本のボリュームは2倍になりました． セクション「追加とコメント」と「本棚」，「索引」が追加されました．

Статьи — Математическая составляющаяКнига состоит из трёх частей, каждая имеет свой цветовой код.book.etudes.ru
上記のサイトにこの本の目次があり，クリックすると内容に移動し読むことができます：

Математика. Каталог научных сайтовold.elementy.ru
■ウエブサイトelemenntsの中に，上記のような数学カタログのサイトがあります．<以下引用>
親愛なる友人！
私たちのサイトは数学 (および数学者) に捧げられていますが，もちろん，すべてを収集したわけではありません．このサイトは，小学生，学生，教師，および数学に関心のあるすべての人を対象としています．現代数学の成長圏に興味のある方は，他のサイトを参考にしてください．ここには「数学の入門」，特に試験の準備のための資料もほとんどありません．私たちはまず，何かを知っている人，何かに興味を持っている人のことを考えます．

たまたまここに来て，数学が学校で最も不快な科目の 1 つだと思っていても (「理解できないけど、たくさん詰め込まなければならない」)，急いで立ち去らないでください．ライブラリ，メディア ライブラリ，およびその他のセクションを散歩してみてください．あなたは確かに何か新しくて面白いものを見つけ，おそらく頻繁に訪れる人の一人になるでしょう.

このサイトでは，本，ビデオ講義，面白い数学的事実，さまざまなレベルとトピックの課題，科学者の生活から見出した個々の物語など ，驚くほど魅力的な数学の世界に飛び込むのに役立つすべてを見つけることができます.

教える（学ぶのを助ける）同僚のために，レッスン， 公式文書，および その他の有用な作業のための資料を収集しています．

私たちはどんなフィードバックにも感謝します (決して称賛だけではありません)．

数学 [736]
ジオメトリ [33]
数学的分析 [31]
数学モデリング。数学者向けソフトウェア [76]
制御理論 [46]
方程式 [19]
学童数学 [147]

■数学コンクールツアー
学校のカリキュラムをどのように学んだかを確認するつもりはありません．これらの課題は、考える能力 (および欲求) に関するものです．

課題への取り組み方がわからない場合は，ヒントをお読みください(課題が公開されてから 2 日後に表示されます)．ヒントが役に立たなかった場合でも，落胆しないでください．それについて考え始め，トピックに少し没頭することが重要です．あなたはまだ解決策を知っているでしょう．最も重要なことは，あとがきを見ることを忘れないことです(決定のように 4 日後に表示されます)．

原則として，課題は，ニュースや記事のように，解答とあとがきとともに，簡単に読むことができます．それらのそれぞれは，いくつかの現象，または科学的方法，またはその他の興味深いものについて語っています．

解答が公開された後にのみ，問題にコメントを書き込むことができます．そして，セクション全体に対するコメントや提案をproblems@elementy.ruに送信してください．

■全国数学フェスティバル

Московский фестиваль НАУКА 0+msk.festivalnauki.ru
今年は，2023年10月6－8日に実施される

モスクワ市内90会場
モスクワ州立大学基礎図書館
モスクワ州立大学のシュバロフ校舎中央展示場
「エキスポセンター」
ロシア科学アカデミー
ザリヤダイ公園など
全国191の都市で開催

География всероссийского фестиваля наукиfestivalnauki.ru
対象者：
高校生
中高生のお子さんがいるご家庭
学生
基礎教育および追加教育の教師
若いスペシャリスト
科学者と開発者

■ビデオライブラリーと講演会

Видеотека «Элементов». Видеозаписи лучших научно-популярных лекцийВидеозаписи публичных лекций, организованных фондом «Династияelementy.ru
Dynasty Foundation for Non-Commercial Program　
TRAJECTORY FOUNDATION

文化教育センター「ARKHE」
ЛЕКТОРИЙ КУЛЬТУРНО-ПРОСВЕТИТЕЛЬСКОГО ЦЕНТРА «АРХЭ»

などの講堂で全国各地で実施されている．講演ビデオは公開されている．

以下のサイトで大人向けスクール・プログラムの放送を視聴することができる．

■大人向けスクール・プログラム
Школьная программа для взрослыхОбразовательный проект Игоря Ружейникова.smotrim.ru

この本は、ロシア科学アカデミーのステクロフ数学研究所から出た367ページの「数学エチュード」の第二版です。我々の周囲の「物」や「事」が数学と無縁でない事例を説き起こしています。ロシアの数学教育は、学校の授業とは別に、日常の事例や遊びの中から、数学を発見させることを重視しているようです。数学オリンピックもこの流れにあります。

この本の第1部、第２部は、言葉での説明ですが、第3部では詳しい数学の説明もあります。この本の企画趣旨は、数学月間の活動と全く同じ精神です。この企画趣旨が表現されている「序文」を翻訳しましたので、以下に掲載します。
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　　　　　　　　　　　　序文
読者は、数学が言語であり、自然科学と工学の主要なツールであることを知っています。 数学は、物理学において、理論から応用まで、宇宙飛行の実現、原子エネルギーの利用、コンピューター社会の生活まで、その役割を果たしています。 しかし、医学や言語学などの分野における数学の重要性は、一般の人々にはあまり知られていません。 活動のさまざまな分野で、数学的「要素」の重要さを認識している読者でさえ、これらの分野の数学への依存度を評価できるわけではありません。それは、応用分野に特化されて使用されることの多い数学ツールの複雑さのためです。 人々は言葉で数学の役割を認識していますが、私たち周囲の物や現象の数学的「内容」を考えることは稀で、時には数学があることに気付かないことさえあります.

既存の応用問題は常に要求の厳しい数学の顧客、常に数学自体に新しい課題を設定します。 一方で、数学の進歩は新たな可能性を切り開き、以前は考えなかった技術的課題や解決策を生み出しています。 そして時には、理論数学の結果が、何十年も待ってから具体化し、予想外の信じられないほどの効率で「開花」します。 読者は、この本でこの双方向の相互作用の例を、数多く見つけることができます。

この本は 3 つの部分で構成されており、それぞれに独自のカラー コードがあります。 最初の部分 (「青」) には、人類にとっての数学的研究の重要な必要性を示す短いテキストが含まれています。

2 番目 (「緑」) の部分には、日常生活における数学の「出現」が含まれています。 プロットのほとんどは数学のフォークロア（口伝え）からで、編集者によって集められたものです。

最初の 2 つの部分には数式はほとんどありませんが、読者はそれらに目を通して、現代社会の生活において数学の必要さ、そのかけがえのない役割を感じることができます。
このようなプレゼンテーションは、将来の職業を選択する学生から、国の発展における優先事項を決定する国家公務員まで、特に重要な決定を下す人々の幅広い読者に受け入れられるべきであると信じています.

3 番目 (「赤」) の部分には、「青」および「緑」の部分と比較して、より複雑な数学的詳細、より大きなボリュームのテキストを集めています。
このセクションは、他のセクションよりも、記述された数学的本質を明確に理解することに関心のある読者層を対象としています。

第 2 版では、本書の主要部分に、「本棚」、「追加、コメント、文献」、「索引」のセクションが追加されています。

「本棚」は、読者に数学の世界をより深く、より包括的に理解させる、定評のある本を紹介します。
「追加、コメント、文献」のセクションでは、本の主要部分で説明されているトピックを展開し、説明しています。

関連する追加資料のページへのリンクと、プロットの主題に関する書籍のリストは、各記事の最後にあります。

「索引」セクションでは、本のプロットを実質的に分類しています。
これには、数学の分野と使用される用語の両方が反映されます。
本書のすべての資料には共通の特徴があります。編集者によって考案されたように、提示された雑多なプロットの万華鏡は、数学者を際立たせるその特別な世界観を読者に知らせるはずです。

これは、論理的思考の開発、式、定理、理論の形のさまざまな数学的ツールの所有だけでなく、異種現象の一般的な数学的特性を見出だし、使用する能力でもあります。コレクションに示されている例によって、読者が私たちの周囲の世界を研究するための同様のアプローチを感じ、評価できるようになることを願っています。

この本の特徴は、第1部と第3部にロシアの数学者によって書かれた記事が含まれており、その結果が世界レベルの数学であることです。
読書家にとって、直接の科学的情報に接するのはめったにない祝福です。

この本のページに有名な数学者が著者として登場するのは、この本がロシアの主要な科学センターであるロシア科学アカデミーのステクロフ数学研究所で作成されたという事実によって説明されます。
ロシアの数学コミュニティの伝統は、数学教育の組織への積極的な参加で、
この重要な問題のレベルを維持する苦闘をしました。
したがって、同僚への編集者の要求は、友好的で、興味深く、積極的な反応を得ました。

公式や定理を含むテキストを恐れる読者を遠ざけないために、このコレクションでは、一般的な説明スタイルのプレゼンテーションが意図的に選択されています。一部の読者にとって、このスタイルが不十分な厳密さと明快さの感覚を引き起こす可能性があることは明らかです. 著者はこれを回避しようとしました。 プレゼンテーションの不正確さやその他のエラーが検出された場合は、編集者の欠陥のみに起因すると考えてください.
第２部のプロットに関する数学的事実、最も単純な部分、思慮深い読者は再構築して自分で分析することができます。
これは、第 3 部の個々のプロットにも当てはまります。 同様のシナリオは、ここで学童と一緒に作業するための豊富な資料を見つける教師によって使用できます。
このコレクションの重要な構成要素はイラストです。
ブックデザインの図面とグラフィックスタイル全体の両方が、ローマン・コクシャロフにより作成されました。
図面の数学的正確さ、本のレイアウトは、ミハイル・パノフの功績です。
コレクションの拡張された電子版は、Web サイトで入手できます。
https://book.etudes.ru/　の「数学エチュード」。
電子版が開発され、本書に記載されているトピックに関する情報と他の情報源へのリンクが補充されています。

プロジェクト「Mathematical Etudes」での共同作業がなければ、コレクション自体が存在しなかったことに注意してください。
プロジェクトは、ミハイル・カリニチェンコ、ロマン・コクシャロフ、ニキータ・シャベルゾンの無私な仕事のおかげで実現しました。
この本が、完全で普遍的なコレクションであるとは主張していません。
生活における数学の出現例、提示されるトピックの選択は、コレクションの著者と編集者の好みを反映しています。 残された多くの鮮やかな例があり、それについても語られる必要があります. 読者の皆様のご協力を賜りながら、本作が継続されることを願っております。

Редакторы-составители
Николай Николаевич Андреев
Сергей Петрович Коновалов
Никита Михайлович Панюнин
сотрудники лаборатории
популяризации и пропаганды математики
Математического института имени В. А. Стеклова РАН
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МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СОСТАВЛЯЮЩАЯ
編集-コンパイル　Н. Н. Андреев, С. П. Коновалов, Н. М. Панюнин
絵-イラスト　Р. А. Кокшаров
第2版, 拡大増補
Математические этюды
Москва — 2019

著者名リスト

Etudes（数学研究）の記事から　https://etudes.ru/etudes/corner-reflector/

自転車の車輪に取り付けられたリフレクターには光源がないことは誰もがよく知っています。しかし、サイクリストのそばを通り過ぎるドライバーは、リフレクターに自分の車のヘッドライトが当たった瞬間に非常によく見えます。この同時の瞬間は、通行人にはリフレクターからの反射が見えないかもしれないという疑問を持ったことはありませんか?
驚くべきことに、リフレクターのこの特性は、最も単純な幾何学的事実に基づいています。

https://etudes.ru/etudes/corner-reflector/?ref=thematic　⇚動画をご覧ください。

幾何光学で知られているように、鏡面での光線の反射は、「入射角は反射角に等しい」という法則に従います。
2次元の場合を考えてみましょう - 2 枚の鏡は 90° の角度をなしています。平面内を走り鏡の 1 つに当たった光線は、2 番目の鏡で反射された後、始めとまったく同じ方向［向は逆戻り］に進みます。光線反射を色々な角度で試したり、分析したりして、これを確認してください。

3 次元空間で同様の効果を得るには、互いに垂直な面に 3 つの鏡を配置する必要があります。 切り口が正三角形となる立方体の角を使いましょう。

このようなミラー システムに当たるビームは、3 つの平面で反射した後、入射ビームと平行で反対方向に進みます。 それを確認してください！

コーナー・リフレクタと呼ばれるのは、このような特性を備えた単純な幾何学的デバイスです。 テクノロジーで使用するために、このようなコーナーの集積（バッテリー）を構築し、反射領域を増加させます。 この段階では、単純な数学的考察が役立ちます。つまり、平面の三角形でのタイル張りで、これは、コーナー・リフレクターの集積構造を作るのに便利です。

これが、自転車や車の反射板の仕組みです。 これらの幾何学的考察は、はるかに技術的に高度なデバイスでも使用されます。

月面車の設計を始めたとき、地球の衛星の表面が何であるかを誰も知りませんでした。 それが固体であるか、微塵であるか、着陸したデバイスはその中に浮かんでいる必要があります。 長い議論があり、セルゲイ・パブロビッチ・コロリョフ (1907-1966) のメモがポイントになりました。
「軽石などのかなり固い土と見なすべきです。 [...] コロリョフ。
これが、偉大な科学者が最も困難な問題を解決し、全責任を負うことを恐れなかった方法です。

1970 年 11 月 17 日、雨の海の地域で月面に着陸したステーションは、わが国の主要通信社であるソビエト連邦電信局 (TASS) のメッセージで、「ルナ17」と命名されました。 ソビエトの装置が月の表面に降下し、地球の衛星に人類初の踏跡を「ルノホート-1」が残しました。 それは、テレビカメラを通して装置の前にある月面の小さな領域を見ることができる、地球からの操作者によって制御されました。 3 ヶ（地球）月機能するように設計されたこのデバイスは、3倍に相当する11ヶ（月）日 機能しました。 人類初の月面車との最後の通信セッションは、1971 年 9 月 14 日に行われました。 この間、「ルノホート-1」 は 10 km (540 m) の距離を移動し、輪の軌跡を作って出発点に戻りました。

なんと、月面車にはコーナーリフレクターが搭載されていました！ 第一に、どの国でも月面にソ連の装置が存在するかどうかを確認できるようになった。 そして最も重要なことは、このような単純な幾何学的装置が、科学が地球の衛星までの距離を測定するのに役立ったことです。 すべての国の科学者は、21 世紀になってもルノホート 1 号のコーナー リフレクターを使い続けています。

文献
Алёшкина Е. Ю. Лазерная локация Луны // Журнал «Природа». 2002. № 9. Стр. 57—66.
Передвижная лаборатория на Луне «Луноход‐1». — Т. 2. — М.: Наука, 1978.
参照
Уголковый отражатель // Математическая составляющая / Ред.-сост. Н. Н. Андреев, С. П. Коновалов, Н. М. Панюнин. — Второе издание, расширенное и дополненное. — М. : Математические этюды, 2019. — С. 44—45, 297.

https://book.etudes.ru/toc/reflector/

https://etudes.ru/models/corner-reflector/

Уголковый отражатель / Статьи — Математическая составляющаяКатафот известен всем с детства — его устанавливают на спицахbook.etudes.ru
Уголковый отражатель / Модели // Математические этюдыУголковый отражатель удивителен своей «непостижимой эффективнetudes.ru

ジェームズ・ワットによる蒸気機関の発明以来、円運動を直線運動に変換するヒンジ機構を構築することが課題になった。

チェビシェフは色々な機械のヒンジ機構の動作軌跡の研究をした。彼は初の歩行機械の発明を行った。宇宙ロケットの制御でも、ソ連はコンピュータは遅れているが、機械的制御が進んでいると言われた時代があった。これは、チェビシェフ以来の伝統によるものだ。
歩行機械の仕組みがどのようなものか、以下のサイトにある動画を見ると良くわかります．
円運動をキノコの帽子型（歩行する足の軌跡）に変換する「ラムダ・メカニズム」がミソです．キノコの帽子型の軌跡をたどる足をつければできる．

https://etudes.ru/etudes/tchebyshev-plantigrade-machine/

ロシアの偉大な数学者パフヌーティ・リヴォヴィッチ・チェビシェフは、本来の問題を厳密に解くことはできませんでしたが、それを研究する過程で、関数の近似理論と機構の合成理論を発展させました。後者を使用して、彼はラムダ・メカニズムの次元を選択しました。

2 つの赤い固定ヒンジ、3 つのリンクは同じ長さです。ギリシャ文字の「ラムダ」に似たその外観から、ラムダ・メカニズムと呼ばれます。
小さな駆動リンクのゆるいグレーのヒンジは円を描くように回転し、駆動された青いヒンジはポルチーニ・キノコの帽子輪郭に似た軌道を描きます。

主動ヒンジの軌跡は、一様に回転する円上に等間隔に目印を打ち、それに対応する目印を自由ヒンジの軌跡に配置しました。

「キャップ」の下端は、主動リンクが円周を移動する時間のちょうど半分に相当します。 この場合、青い軌跡の下部は、厳密な直線の動きとほとんど変わりません。

キノコの帽子のほかに、青い軌道は何に見えますか？
チェビシェフは、馬のひづめの軌跡に似ていることに気づきました。

ラムダ・メカニズムに「足」のある脚をつけてみましょう。 同じ固定軸に逆位相でもう1本取り付けます。 安定性のために、すでに構築されているメカニズムの 2 本足部分のミラー コピーを追加しましょう。 追加のリンクは回転の位相を調整し、メカニズムの軸は共通のプラットフォームによって接続されます。 力学で言う世界初の歩行機構の運動ダイヤグラムが得られました。

サンクトペテルブルク大学の教授であるパフヌーティ・リヴォヴィッチ・チェビシェフは、発明されたメカニズムの製造に給料のほとんどを費やしました。 彼は記述されたメカニズムを「木と鉄で」具現化し、それを「歩く機械」と呼んだ。 この世界初の歩行機構は、ロシアの数学者によって発明され、1878 年にパリで開催された万国博覧会で一般的な承認を得ました。

チェビシェフのオリジナルを保存し、Mathematical Etudes がこの測定をできるようにしたモスクワ工科博物館のおかげで、パフヌーティ・リヴォヴィッチ・チェビシェフの歩行機械の正確な３Dモデルが動作しているのを見ることができます。

チェビシェフの機械　
https://tcheb.ru/

2021年5月16日パフヌーティ・リヴォヴィッチ・チェビシェフ(1821-1894）の生誕200年