掲示板

ロシアの数学月間

テトラコーンとは

Максим Прасолов(マクシム・プラソロフ)による«Квантик» №12, 2020の記事の図を利用しました.
加工した図もあります.文章は原文と異なります.理解し易いように要約して書き直しました.

 

テトラコーンの作り方
ソロバン球のような形(双円錐)を,上下の頂点を通る平面で2分割したときの断面が正方形であるような双円錐から始めます.2分割した双円錐の片側の部分を90°回転して張り合わせて作った図形がテトラコーンです.このような貼り合わせができるのは,断面が正方形だからです.

■テトラコーンは4つの半円錐の側面からできていて,
この立体の対称性(点群)は$${\tilde{4}mm}$$です.

作製したテトラコーンの写真
糊代が立体内部にあるので,組み立てにテクニックを要する.

 

 

 

 

 

 

 

作ったテトラコーンを展開図の上で転がしてみましょう.

 

テトラコーンの4つの半円錐側面は,面を接してこの展開図の上を転がることは明らかです.テトラコーンが転がるとき,次の性質があります:
(1)テトラコーンの中心の描く軌跡はどのようなものでしょうか.
(2)テトラコーンの中心は,紙面から一定の高さ(変動しない)を保つ.
(3)しかし,テトラコーンは定幅立体ではない.
(注)ルーローの3角形は,定幅図形であるが,中心位置は変動する.

■ポリコーンに一般化
この性質をもつ立体を一般化しポリコーンを作ることができます.
テトラコーンの断面は正方形だったが,断面正6角形から得られるのはヘキサコーン,断面正8角形から得られるのはオクタコーンです.一般に,偶数の正多角形からポリコーンを作ることができるが,奇数の正多角形からはポリコーンを作ることはできません.
ポリコーン作りの説明は,Максим Прасолов(マクシム・プラソロフ)による«Квантик» №12, 2020の記事では,冗長で理解しにくい.
以下に掲載するYouTube動画を観察すれば,自然に理解できると思います.

https://youtu.be/R27xHl_joRw
この動画はDavid Hirschによるが,テトラコーンは1980年にDavid Hirschによって特許取得がされた.

面白い性質を持つこのような立体が,何に役立つのだろうか?いろいろな使われ方が将来出て来ると思いますが,分かり易い例を示すと,ダンサーのフランツィスカ ハウザーのウエブサイトが興味深い.この記事の表紙写真は,彼女のウエブサイトから借用しました.そこでは,八面体の湾曲したエッジで構成された台が使用されている.2つのエッジは,テトラコーンの半円2つ,残りは内側に曲がっている構造で必要なエッジです.

https://www.zirkus-meer.at/artisten/franziska-hauser/

 

Franziska Hauser - Zirkus Meer www.zirkus-meer.at
フランツィスカ ハウザーのウエブサイトより

3角錐の体積

<!DOCTYPE html>
<html lang='ru' prefix="og: http://ogp.me/ns# article: http://ogp.me/ns/article#">
<head>
<title>Макс Ден</title>
<noscript><meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1.0"></noscript>
<script type="text/javascript" src="https://gc.kis.v2.scr.kaspersky-labs.com/FD126C42-EBFA-4E12-B309-BB3FDD723AC1/main.js?attr=ycfrb6E0LNvvlwtUKoYDbVPLVBnzXkguNntqPkGzsJ3B7SF-4OxwEnAWhieBVpdnHyk6rfJj1pD_kTv65FMeM4OBV6T2gaikveAnHrJYpNqjGK7YibNn6azQeywjO7kw" charset="UTF-8"></script><link rel="stylesheet" crossorigin="anonymous" href="https://gc.kis.v2.scr.kaspersky-labs.com/E3E8934C-235A-4B0E-825A-35A08381A191/abn/main.css?attr=aHR0cHM6Ly9lbGVtZW50eS5ydS9uYXVjaG5vLXBvcHVseWFybmF5YV9iaWJsaW90ZWthLzQzNjEyNy9NYWtzX0Rlbg"/><script type='text/javascript'>if (!document.cookie.match(/\bdesktop_mode=1/)) document.write('<meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1.0">');</script>


<META name="description" content=" Сергей Львовский
«Квантик» №4, 2021 • Библиотека научно-популярных статей на «Элементах» • История науки, Математика, Люди науки"/>

 

<link rel="canonical" href="https://elementy.ru/nauchno-populyarnaya_biblioteka/436127/Maks_Den" />


<base href="//elementy.ru/">

 

<meta property="og:title" content="Макс Ден • Библиотека"/>
<meta property="og:type" content="article"/>
<meta property="og:description" content="В популярных статьях о математиках XX века рассказать об их научных достижениях обычно невозможно, приходится отделываться общими словами. Герой этой статьи составляет исключение: об одной из его теорем мы кое-что расскажем."/>
<meta property="og:url" content="https://elementy.ru/nauchno-populyarnaya_biblioteka/436127/Maks_Den"/>
<meta property="og:image" content="https://elementy.ru/images/eltpub/max_dehn_12_703.jpg"/>

<meta property="article:section" content="Наука" />
<meta property="article:tag" content="Математика"/><meta property="article:tag" content="История науки"/><meta property="article:tag" content="Люди науки"/>
<meta property="og:site_name" content="«Элементы»"/>
<meta property="og:locale" content="ru_RU"/>


<link rel="manifest" href="/downloads/js/manifest.json?v=1.02">


<link rel="icon" type="image/png" href="/images/eltnewdesign/logo16bw.png" sizes="16x16"/>
<link rel="icon" type="image/png" href="/images/eltnewdesign/logo32bw.png" sizes="32x32" />
<link rel="icon" type="image/png" href="/images/eltnewdesign/logo48bw.png" sizes="48x48" />
<link rel="icon" type="image/png" href="/images/eltnewdesign/logo64bw.png" sizes="64x64" />
<link rel="icon" type="image/png" href="/images/eltnewdesign/logo128bw.png" sizes="128x128" />
<link rel="shortcut icon" type="image/png" href="/images/eltnewdesign/logo32bw.png"/>

<meta content='Элементы' name='apple-mobile-web-app-title'>

<link rel="apple-touch-icon" type="image/png" href="/images/eltnewdesign/logo128bw.png"/>
<link rel="apple-touch-icon-precomposed" sizes="57x57" href="/images/eltnewdesign/logo57bw.png" />
<link rel="apple-touch-icon-precomposed" sizes="114x114" href="/images/eltnewdesign/logo114bw.png" />
<link rel="apple-touch-icon-precomposed" sizes="72x72" href="/images/eltnewdesign/logo72wb.png" />
<link rel="apple-touch-icon-precomposed" sizes="120x120" href="/images/eltnewdesign/logo120bw.png" />

<meta name="application-name" content="Элементы"/>
<meta name="msapplication-TileColor" content="#001034" />
<meta name="msapplication-TileImage" content="/images/eltnewdesign/logo128bw.png" />

<meta name="yandex-tableau-widget" content="logo=https://elementy.ru/images/eltnewdesign/logo128bw.png, color=#001034" />
<meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=utf-8"/>
<link rel="alternate" type="application/rss+xml" title="RSS" href="https://elementy.ru/rss"/>
<link rel="stylesheet" type="text/css" href="/downloads/css/style2.css?v=1.124"/>

<noscript>
<link rel="stylesheet" type="text/css" href="/downloads/css/styles-hpad.css?v=1.26"/>
<link rel="stylesheet" type="text/css" href="/downloads/css/styles-vpad.css?v=1.26"/>
<link rel="stylesheet" type="text/css" href="/downloads/css/styles-phone.css?v=1.40"/>
<link rel="stylesheet" type="text/css" href="/downloads/css/styles-vphone.css?v=1.06"/>
<link rel="stylesheet" type="text/css" href="/downloads/css/styles-hphone.css?v=1.06"/>
</noscript>
<script type='text/javascript'>
if (!document.cookie.match(/\bdesktop_mode=1/))
document.write(
'<link rel="stylesheet" type="text/css" href="/downloads/css/styles-hpad.css?v=1.26"/>'+
'<link rel="stylesheet" type="text/css" href="/downloads/css/styles-vpad.css?v=1.26"/>'+
'<link rel="stylesheet" type="text/css" href="/downloads/css/styles-phone.css?v=1.40"/>'+
'<link rel="stylesheet" type="text/css" href="/downloads/css/styles-vphone.css?v=1.06"/>'+
'<link rel="stylesheet" type="text/css" href="/downloads/css/styles-hphone.css?v=1.06"/>');
</script>

<link rel="stylesheet" type="text/css" href="/downloads/css/styles-print.css?v=1.09"/>

<script type="text/javascript" src="/download/mathjax_2.7.2/MathJax.js?config=TeX-AMS-MML_HTMLorMML" async></script>
<script src="//yastatic.net/es5-shims/0.0.2/es5-shims.min.js" async></script>
<script src="//yastatic.net/share2/share.js" async></script>
<script type="text/javascript" src='/downloads/js/menu.js?v=1.10'></script>
<script type="text/javascript" src='/downloads/js/hor.js' async></script>
<script type='text/javascript' src='/downloads/js/request.js' async></script>
<script type='text/javascript' src='/downloads/js/scroll.js?v=1.03'></script>
<script type='text/javascript' src='/downloads/js/more.js?v=1.02'></script>
<script type='text/javascript' src='/downloads/js/ttlhover.js' async></script>
<script type='text/javascript' src='/downloads/js/rfilters.js'></script>

<script type="text/javascript">
function pict_popup(src,title) {
var w = window.open(src,'','channelmode=no,toolbar=no,location=no,status=no,directories=no,menubar=no,');
if(navigator.appName=='Microsoft Internet Explorer') w.document.write('<title>'+title+'</title><img src="'+src+'" onLoad="i=document.images[0]; window.resizeTo(i.width+50,i.height+100)">')
return false
}
</script>

 


</head>

<body class="xrub-nauchno-populyarnaya_biblioteka xrubpage-no">
<div class='allarea' id='pgarea'>
<a id="page_top"></a>

<div class='mainmenublock hmenu' id='mmenubody' >
<div class='mbshading' id='mshading' onclick='toggleHMenu("mmenubody")'></div>
<div class='hmenu'>
<div class='menuarea' id='mmenuarea'>
<a href='/' class='close' onclick='return toggleHMenu("mmenubody")'><span class='icon close'></span><span class='hint'>Закрыть</span></a>
<script type='text/javascript'>
var desktop_mode = document.cookie.match(/\bdesktop_mode=1/);
if (!desktop_mode) document.write('<div class="oldlink hide_other"><a'+(location.href.indexOf('/video')>0?' class="inactive"':' href="'+location.href.replace(/\/\/[^\/]+/,"//"+(location.href.indexOf("//elementy")>0||location.href.indexOf("//elt.host3.elementy")>0?"old.":"")+"elementy.ru")+'" target="_blank"')+'>Эта страница в старом дизайне</a></div><hr class="hide_other">');
</script>
<ul class="level0"><li class="level0 ">
<div><a href='/novosti_nauki'>Новости науки</a>
</div></li>
<li class="level0 ">
<div><a href='/LHC'>Большой адронный коллайдер</a><span class='toggle_button' onclick='return toggleMenuItem(this, "LI")'></span></div><ul class="level1">
<li class="level1 ">
<div><a href='/LHC/novosti_BAK'>Новости LHC</a>
</div></li>
<li class="level1 ">
<div><a href='/LHC/monitory_bolshogo_adronnogo_kollajdera'>Мониторы LHC</a>
</div></li>
<li class="level1 ">
<div><a href='/LHC/LHC_results'>Результаты LHC</a><span class='toggle_button' onclick='return toggleMenuItem(this, "LI")'></span></div><ul class="level2">
<li class="level2 ">
<div><a href='/LHC/zagadki_lhc'>Загадки LHC</a><span class='toggle_button' onclick='return toggleMenuItem(this, "LI")'></span></div><ul class="level3">
<li class="level3 ">
<div><a href='/LHC/zagadki_lhc/b_s_mu_mu'>Распад b→sμμ</a>
</div></li>
<li class="level3 ">
<div><a href='/LHC/zagadki_lhc/leptonnaya_universalnost_1'>Распад B<sup>+</sup>→K<sup>+</sup>ll</a>
</div></li>
<li class="level3 ">
<div><a href='/LHC/zagadki_lhc/leptonnaya_universalnost_2'>Распад B→Dlν</a>
</div></li>
<li class="level3 ">
<div><a href='/LHC/zagadki_lhc/b_mu_mu'>Распад B→μμ</a>
</div></li>
<li class="level3 ">
<div><a href='/LHC/zagadki_lhc/raspad_higgsa_na_muon_i_tau'>Распад H→μτ</a>
</div></li>
<li class="level3 ">
<div><a href='/LHC/zagadki_lhc/top_antitop_higgs'>Комбинация топ-антитоп-хиггс</a>
</div></li>
<li class="level3 ">
<div><a href='/LHC/zagadki_lhc/zaryazhennyj_bozon_higgsa'>Заряженный бозон Хиггса</a>
</div></li>
<li class="level3 ">
<div><a href='/LHC/zagadki_lhc/dvuhfotonnyj_vsplesk_pri_750_gev'>Двухфотонный всплеск 750&nbsp;ГэВ</a>
</div></li>
<li class="level3 ">
<div><a href='/LHC/zagadki_lhc/leptony_odnogo_znaka_na_atlas'>Лептоны одного знака на ATLAS</a>
</div></li>
<li class="level3 ">
<div><a href='/LHC/zagadki_lhc/eejj-otklonenije'>eejj-отклонение</a>
</div></li>
<li class="level3 ">
<div><a href='/LHC/zagadki_lhc/sobytije_2.9tev'>Событие при 2,9 ТэВ</a>
</div></li>
<li class="level3 ">
<div><a href='/LHC/zagadki_lhc/vsplesk_pri_2_tev_atlas'>WZ-пик при 2 ТэВ</a>
</div></li>
<li class="level3 ">
<div><a href='/LHC/zagadki_lhc/vsplesk_pri_1.8_tev_cms'>WH-пик при 1,8 ТэВ</a>
</div></li>
<li class="level3 ">
<div><a href='/LHC/zagadki_lhc/poiski_supersimmetrii_CMS'>Поиск суперсимметрии — 1</a>
</div></li>
<li class="level3 ">
<div><a href='/LHC/zagadki_lhc/poiski_supersimmetrii_ATLAS'>Поиск суперсимметрии — 2</a>
</div></li>
<li class="level3 ">
<div><a href='/LHC/zagadki_lhc/poiski_supersimmetrii_iii'>Поиск суперсимметрии — 3</a>
</div></li>

</li></ul><li class="level2 ">
<div><a href='/LHC/LHC_results/beyondSM'>Отклонения от Стандартной модели</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/LHC/LHC_results/susy_search'>Поиск суперсимметрии</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/LHC/LHC_results/exotic_search'>Экзотические частицы</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/LHC/LHC_results/higgs_search'>Поиск бозона Хиггса</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/LHC/LHC_results/higgs_study'>Изучение бозона Хиггса</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/LHC/LHC_results/top-quark'>Свойства топ-кварка</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/LHC/LHC_results/spectroscopy'>Адронная спектроскопия</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/LHC/LHC_results/hadrons'>Рождение и распады адронов</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/LHC/LHC_results/rare_decays'>Редкие распады B-мезонов</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/LHC/LHC_results/difraction'>Адронная дифракция</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/LHC/LHC_results/nuclei'>Ядерные столкновения</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/LHC/LHC_results/astro'>Астрофизика</a>
</div></li>

</li></ul><li class="level1 ">
<div><a href='/LHC/LHC_working'>LHC в работе</a><span class='toggle_button' onclick='return toggleMenuItem(this, "LI")'></span></div><ul class="level2">
<li class="level2 ">
<div><a href='/lhc/timeline'>Хронология создания и работы</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/LHC/LHC_working/general_schedule'>Общее расписание</a><span class='toggle_button' onclick='return toggleMenuItem(this, "LI")'></span></div><ul class="level3">
<li class="level3 ">
<div><a href='/LHC/LHC_working/general_schedule/what-to-check'>Как следить за новостями с LHC</a>
</div></li>
<li class="level3 ">
<div><a href='/LHC/LHC_working/general_schedule/working_cycle'>Рабочий цикл коллайдера</a>
</div></li>

</li></ul><li class="level2 ">
<div><a href='/LHC/LHC_working/initial'>Ранние этапы</a><span class='toggle_button' onclick='return toggleMenuItem(this, "LI")'></span></div><ul class="level3">
<li class="level3 ">
<div><a href='/LHC/LHC_working/schedule_2008'>2008</a>
</div></li>
<li class="level3 ">
<div><a href='/LHC/LHC_working/incident'>Авария 19.09.2008</a>
</div></li>
<li class="level3 ">
<div><a href='/LHC/LHC_working/schedule_2009'>2009</a>
</div></li>
<li class="level3 ">
<div><a href='/LHC/LHC_working/schedule_2009/results_2009'>Результаты работы LHC в&nbsp;2009&nbsp;году</a>
</div></li>

</li></ul><li class="level2 ">
<div><a href='/LHC/LHC_working/run_1'>Сеанс LHC Run&nbsp;1</a><span class='toggle_button' onclick='return toggleMenuItem(this, "LI")'></span></div><ul class="level3">
<li class="level3 ">
<div><a href='/LHC/LHC_working/schedule_2010'>2010</a>
</div></li>
<li class="level3 ">
<div><a href='/LHC/LHC_working/schedule_2010/results_2010'>Результаты работы LHC в&nbsp;2010&nbsp;году</a>
</div></li>
<li class="level3 ">
<div><a href='/LHC/LHC_working/schedule_2011'>2011</a>
</div></li>
<li class="level3 ">
<div><a href='/LHC/LHC_working/schedule_2011/results_2011'>Результаты работы LHC в&nbsp;2011&nbsp;году</a>
</div></li>
<li class="level3 ">
<div><a href='/LHC/LHC_working/schedule_2012'>2012</a>
</div></li>

</li></ul><li class="level2 ">
<div><a href='/LHC/LHC_working/schedule_2015'>Техническая пауза LS1</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/LHC/LHC_working/run_2'>Сеанс LHC Run&nbsp;2</a><span class='toggle_button' onclick='return toggleMenuItem(this, "LI")'></span></div><ul class="level3">
<li class="level3 ">
<div><a href='/LHC/LHC_working/run_2/2015'>2015</a>
</div></li>
<li class="level3 ">
<div><a href='/LHC/LHC_working/run_2/2016'>2016</a>
</div></li>
<li class="level3 ">
<div><a href='/LHC/LHC_working/run_2/2017'>2017</a>
</div></li>
<li class="level3 ">
<div><a href='/LHC/LHC_working/run_2/2018'>2018</a>
</div></li>

</li></ul>
</li></ul><li class="level1 ">
<div><a href='/LHC/LHC'>Устройство и задачи LHC</a><span class='toggle_button' onclick='return toggleMenuItem(this, "LI")'></span></div><ul class="level2">
<li class="level2 ">
<div><a href='/LHC/LHC/about'>LHC: ключевые факты</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/LHC/LHC/accelerator'>Устройство LHC</a><span class='toggle_button' onclick='return toggleMenuItem(this, "LI")'></span></div><ul class="level3">
<li class="level3 ">
<div><a href='/LHC/LHC/accelerator/beams'>Протонные пучки</a>
</div></li>
<li class="level3 ">
<div><a href='/LHC/LHC/accelerator/magnets'>Магнитная система</a>
</div></li>
<li class="level3 ">
<div><a href='/LHC/LHC/accelerator/magnet_training'>Как тренируют магниты</a>
</div></li>
<li class="level3 ">
<div><a href='/LHC/LHC/accelerator/detectors'>Детекторы</a><span class='toggle_button' onclick='return toggleMenuItem(this, "LI")'></span></div><ul class="level4">
<li class="level4 ">
<div><a href='/LHC/LHC/accelerator/detectors/ATLAS'>ATLAS</a>
</div></li>
<li class="level4 ">
<div><a href='/LHC/LHC/accelerator/detectors/CMS'>CMS</a>
</div></li>
<li class="level4 ">
<div><a href='/LHC/LHC/accelerator/detectors/ALICE'>ALICE</a>
</div></li>
<li class="level4 ">
<div><a href='/LHC/LHC/accelerator/detectors/LHCb'>LHCb</a>
</div></li>
<li class="level4 ">
<div><a href='/LHC/LHC/accelerator/detectors/TOTEM'>TOTEM</a>
</div></li>
<li class="level4 ">
<div><a href='/LHC/LHC/accelerator/detectors/LHCf'>LHCf</a>
</div></li>
<li class="level4 ">
<div><a href='/LHC/LHC/accelerator/detectors/MoEDAL'>MoEDAL</a>
</div></li>

</li></ul>
</li></ul><li class="level2 ">
<div><a href='/LHC/LHC/why'>Зачем нужен LHC?</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/LHC/LHC/tasks'>Задачи LHC</a><span class='toggle_button' onclick='return toggleMenuItem(this, "LI")'></span></div><ul class="level3">
<li class="level3 ">
<div><a href='/LHC/LHC/tasks/hadrons'>Свойства адронов</a><span class='toggle_button' onclick='return toggleMenuItem(this, "LI")'></span></div><ul class="level4">
<li class="level4 ">
<div><a href='/LHC/LHC/tasks/hadrons/spectroscopy'>Адронная спектроскопия</a>
</div></li>
<li class="level4 ">
<div><a href='/LHC/LHC/tasks/hadrons/decays'>Адронные распады</a>
</div></li>

</li></ul><li class="level3 ">
<div><a href='/LHC/LHC/tasks/higgs'>Поиск бозона Хиггса</a><span class='toggle_button' onclick='return toggleMenuItem(this, "LI")'></span></div><ul class="level4">
<li class="level4 ">
<div><a href='/LHC/LHC/tasks/higgs/production_decay'>Рождение и распад</a>
</div></li>
<li class="level4 ">
<div><a href='/LHC/LHC/tasks/higgs/search_strategies'>Стратегии поиска</a>
</div></li>

</li></ul><li class="level3 ">
<div><a href='/LHC/LHC/tasks/top-quark'>Топ-кварк</a>
</div></li>
<li class="level3 ">
<div><a href='/LHC/LHC/tasks/SUSY'>Поиск суперсимметрии</a>
</div></li>
<li class="level3 ">
<div><a href='/LHC/LHC/tasks/exotic'>Экзотические теории</a>
</div></li>
<li class="level3 ">
<div><a href='/LHC/LHC/tasks/nuclei'>Ядерные столкновения</a>
</div></li>

</li></ul><li class="level2 ">
<div><a href='/LHC/LHC/safety'>Безопасность</a><span class='toggle_button' onclick='return toggleMenuItem(this, "LI")'></span></div><ul class="level3">
<li class="level3 ">
<div><a href='/LHC/LHC/safety/estimates'>Вероятность катастрофы</a>
</div></li>
<li class="level3 ">
<div><a href='/LHC/LHC/safety/black_holes'>Микроскопические черные дыры</a>
</div></li>

</li></ul><li class="level2 ">
<div><a href='/LHC/LHC/phrases'>Толковый словарик журналистских штампов</a>
</div></li>

</li></ul><li class="level1 ">
<div><a href='/LHC/HEP'>Физика элементарных частиц</a><span class='toggle_button' onclick='return toggleMenuItem(this, "LI")'></span></div><ul class="level2">
<li class="level2 ">
<div><a href='/LHC/HEP/educational'>Образовательные онлайн-ресурсы</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/LHC/HEP/measures'>Величины и единицы</a><span class='toggle_button' onclick='return toggleMenuItem(this, "LI")'></span></div><ul class="level3">
<li class="level3 ">
<div><a href='/LHC/HEP/measures/cross-section'>Сечение процесса</a>
</div></li>
<li class="level3 ">
<div><a href='/LHC/HEP/measures/luminosity'>Светимость</a>
</div></li>
<li class="level3 ">
<div><a href='/LHC/HEP/measures/invariant-mass'>Инвариантная масса</a>
</div></li>

</li></ul><li class="level2 ">
<div><a href='/LHC/HEP/study'>Как изучают частицы</a><span class='toggle_button' onclick='return toggleMenuItem(this, "LI")'></span></div><ul class="level3">
<li class="level3 ">
<div><a href='/LHC/HEP/study/detecting'>Принципы детектирования</a>
</div></li>
<li class="level3 ">
<div><a href='/LHC/HEP/study/errors'>Погрешности</a><span class='toggle_button' onclick='return toggleMenuItem(this, "LI")'></span></div><ul class="level4">
<li class="level4 ">
<div><a href='/LHC/HEP/study/errors/statistical'>Статистическая</a>
</div></li>
<li class="level4 ">
<div><a href='/LHC/HEP/study/errors/systematic'>Систематическая</a>
</div></li>
<li class="level4 ">
<div><a href='/LHC/HEP/study/errors/theoretical'>Теория и моделирование</a>
</div></li>
<li class="level4 ">
<div><a href='/LHC/HEP/study/errors/sigma'>Сигма</a>
</div></li>
<li class="level4 ">
<div><a href='/LHC/HEP/study/errors/subtleties'>Тонкости анализа</a>
</div></li>

</li></ul>
</li></ul><li class="level2 ">
<div><a href='/LHC/HEP/experiments'>Эксперименты на коллайдерах</a><span class='toggle_button' onclick='return toggleMenuItem(this, "LI")'></span></div><ul class="level3">
<li class="level3 ">
<div><a href='/LHC/HEP/experiments/quark_model'>Классификация адронов</a>
</div></li>
<li class="level3 ">
<div><a href='/LHC/HEP/experiments/partonic_densities'>Партоны</a>
</div></li>
<li class="level3 ">
<div><a href='/LHC/HEP/experiments/hadronization'>Конфайнмент и адронизация</a>
</div></li>
<li class="level3 ">
<div><a href='/LHC/HEP/experiments/rapidity-angle_diagram'>Быстрота–угол</a>
</div></li>
<li class="level3 ">
<div><a href='/LHC/HEP/experiments/analysis_methods'>Приемы анализа</a>
</div></li>

</li></ul><li class="level2 ">
<div><a href='/LHC/HEP/SM'>Стандартная модель</a><span class='toggle_button' onclick='return toggleMenuItem(this, "LI")'></span></div><ul class="level3">
<li class="level3 ">
<div><a href='/LHC/HEP/SM/problems'>Трудности</a>
</div></li>
<li class="level3 ">
<div><a href='/LHC/HEP/SM/beyondSM'>За пределами СМ</a>
</div></li>
<li class="level3 ">
<div><a href='/LHC/HEP/SM/SUSY'>Суперсимметрия</a>
</div></li>

</li></ul><li class="level2 ">
<div><a href='/LHC/HEP/higgs_theory'>Хиггсовский механизм</a><span class='toggle_button' onclick='return toggleMenuItem(this, "LI")'></span></div><ul class="level3">
<li class="level3 ">
<div><a href='/LHC/HEP/higgs_theory/explanations'>Аналогии</a>
</div></li>
<li class="level3 ">
<div><a href='/LHC/HEP/higgs_theory/SM_Higgs'>Хиггс с&nbsp;массой 125&nbsp;ГэВ</a>
</div></li>
<li class="level3 ">
<div><a href='/LHC/HEP/higgs_theory/nonminimal'>Неминимальные варианты</a>
</div></li>

</li></ul>
</li></ul><li class="level1 ">
<div><a href='/LHC/gallery'>Галерея</a>
</div></li>

</li></ul><li class="level0 ">
<div><a href='/kartinka_dnya'>Картинка дня</a>
</div></li>
<li class="level0 active">
<div><a href='/nauchno-populyarnaya_biblioteka'>Библиотека</a><span class='toggle_button' onclick='return toggleMenuItem(this, "LI")'></span></div><ul class="level1">
<li class="level1 active">
<div><a href='/nauchno-populyarnaya_biblioteka/zhurnaly'>В популярных журналах</a><span class='toggle_button' onclick='return toggleMenuItem(this, "LI")'></span></div><ul class="level2">
<li class="level2 ">
<div><a href='/nauchno-populyarnaya_biblioteka/zhurnaly/vmirenauki'>«В мире науки»</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/nauchno-populyarnaya_biblioteka/zhurnaly/znanijesila'>«Знание — сила»</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/nauchno-populyarnaya_biblioteka/zhurnaly/kvant'>«Квант»</a>
</div></li>
<li class="level2 selected">
<div><a href='/nauchno-populyarnaya_biblioteka/zhurnaly/kvantik'>«Квантик»</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/nauchno-populyarnaya_biblioteka/zhurnaly/kommersant_nauka'>«Коммерсантъ Наука»</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/nauchno-populyarnaya_biblioteka/zhurnaly/kot_shryodingera'>«Кот Шрёдингера»</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/nauchno-populyarnaya_biblioteka/zhurnaly/nauka_i_zhizn'>«Наука и жизнь»</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/nauchno-populyarnaya_biblioteka/zhurnaly/nauka_iz_pervyh_ruk'>«Наука из первых рук»</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/nauchno-populyarnaya_biblioteka/zhurnaly/popularnaja_mehanika'>«Популярная механика»</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/nauchno-populyarnaya_biblioteka/zhurnaly/potentsial_himija_biologija_meditsina'>«Потенциал»: Химия. Биология. Медицина</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/nauchno-populyarnaya_biblioteka/zhurnaly/potentsial_matematika_fizika_informatika'>«Потенциал»: Математика. Физика. Информатика</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/nauchno-populyarnaya_biblioteka/zhurnaly/priroda'>«Природа»</a><span class='toggle_button' onclick='return toggleMenuItem(this, "LI")'></span></div><ul class="level3">
<li class="level3 ">
<div><a href='/nauchno-populyarnaya_biblioteka/zhurnaly/priroda/o_zhurnale'>О журнале</a>
</div></li>
<li class="level3 ">
<div><a href='/nauchno-populyarnaya_biblioteka/zhurnaly/priroda/priroda_v_internete'>«Природа» в интернете</a>
</div></li>
<li class="level3 ">
<div><a href='/nauchno-populyarnaya_biblioteka/zhurnaly/priroda/kak_podpisatsya'>Как подписаться</a>
</div></li>

</li></ul><li class="level2 ">
<div><a href='/nauchno-populyarnaya_biblioteka/zhurnaly/gazeta_troitskiy_variant'>«Троицкий вариант»</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/nauchno-populyarnaya_biblioteka/zhurnaly/khimiya_i_zhizn'>«Химия и жизнь»</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/nauchno-populyarnaya_biblioteka/zhurnaly/chto_novogo_v_nauke_i_tekhnike'>«Что нового в науке и технике»</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/nauchno-populyarnaya_biblioteka/zhurnaly/ecologiya_i_zhizn'>«Экология и жизнь»</a>
</div></li>

</li></ul><li class="level1 ">
<div><a href='/nauchno-populyarnaya_biblioteka/izbrannoe'>Избранное</a>
</div></li>
<li class="level1 ">
<div><a href='/nauchno-populyarnaya_biblioteka/lektsii_dlya_shkolnikov'>Лекции для школьников</a>
</div></li>
<li class="level1 ">
<div><a href='/nauchno-populyarnaya_biblioteka/interview'>Интервью</a>
</div></li>
<li class="level1 ">
<div><a href='/nauchno-populyarnaya_biblioteka/vystavka_vse_v_mire_otnositelno'>Выставка «Всё в мире относительно»</a><span class='toggle_button' onclick='return toggleMenuItem(this, "LI")'></span></div><ul class="level2">
<li class="level2 ">
<div><a href='/lib/exhibition/authors'>О художниках</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/lib/exhibition/about'>О выставке</a>
</div></li>

</li></ul>
</li></ul><li class="level0 ">
<div><a href='/problems'>Задачи</a>
</div></li>
<li class="level0 ">
<div><a href='/video'>Видеотека</a>
</div></li>
<li class="level0 ">
<div><a href='/bookclub'>Книжный клуб</a><span class='toggle_button' onclick='return toggleMenuItem(this, "LI")'></span></div><ul class="level1">
<li class="level1 ">
<div><a href='/bookclub/book'>Книги</a>
</div></li>
<li class="level1 ">
<div><a href='/bookclub/author'>Авторы</a>
</div></li>
<li class="level1 ">
<div><a href='/bookclub/chapters'>Главы</a><span class='toggle_button' onclick='return toggleMenuItem(this, "LI")'></span></div><ul class="level2">
<li class="level2 ">
<div><a href='/bookclub/chapters/knigi_opublikovannyje_polnostju'>Опубликовано полностью</a><span class='toggle_button' onclick='return toggleMenuItem(this, "LI")'></span></div><ul class="level3">
<li class="level3 ">
<div><a href='/nauchno-populyarnaya_biblioteka/proishozhdenie_zhizni_nauka_i_vera'>Происхождение жизни</a><span class='toggle_button' onclick='return toggleMenuItem(this, "LI")'></span></div><ul class="level4">
<li class="level4 ">
<div><a href='/nauchno-populyarnaya_biblioteka/proishozhdenie_zhizni_nauka_i_vera/evolutsija_i_priroda_nauki'>Глава 1</a>
</div></li>
<li class="level4 ">
<div><a href='/nauchno-populyarnaya_biblioteka/proishozhdenie_zhizni_nauka_i_vera/svidetelstva_biologicheskoj_evolutsii'>Глава 2</a>
</div></li>
<li class="level4 ">
<div><a href='/nauchno-populyarnaya_biblioteka/proishozhdenie_zhizni_nauka_i_vera/vzglyady_kreatsionistov'>Глава 3</a>
</div></li>
<li class="level4 ">
<div><a href='/nauchno-populyarnaya_biblioteka/proishozhdenie_zhizni_nauka_i_vera/FAQ'>Заключение</a>
</div></li>

</li></ul>
</li></ul>
</li></ul><li class="level1 ">
<div><a href='/bookclub/publisher'>Издательства</a>
</div></li>
<li class="level1 ">
<div><a href='/bookclub/series'>Серии</a>
</div></li>
<li class="level1 ">
<div><a href='/bookclub/review'>Рецензии</a>
</div></li>
<li class="level1 ">
<div><a href='/bookclub/review_users'>Отзывы</a>
</div></li>

</li></ul><li class="level0 ">
<div><a href='/events'>Календарь событий</a>
</div></li>
<li class="level0 ">
<div><a href='/email'>Детские вопросы</a>
</div></li>
<li class="level0 ">
<div><a href='/time'>Масштабы: времена</a><span class='toggle_button' onclick='return toggleMenuItem(this, "LI")'></span></div><ul class="level1">
<li class="level1 ">
<div><a href='/time/estimating'>В помощь читателю</a><span class='toggle_button' onclick='return toggleMenuItem(this, "LI")'></span></div><ul class="level2">
<li class="level2 ">
<div><a href='/time/estimating/estimating-1.html'>Как оценивать типичные времена</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/time/estimating/estimating-2.html'>Как применять формулы&nbsp;— иллюстрация</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/time/estimating/estimating-3.html'>Тонкости и предостережения</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/time/estimating/estimating-4.html'>Опорные числа</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/time/estimating/estimating-5.html'>Колебания</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/time/estimating/estimating-6.html'>Гармонические колебания и их период</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/time/estimating/estimating-7.html'>Волны</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/time/estimating/estimating-8.html'>Закон распада</a>
</div></li>

</li></ul><li class="level1 ">
<div><a href='/time/milli'>Миллисекунды</a><span class='toggle_button' onclick='return toggleMenuItem(this, "LI")'></span></div><ul class="level2">
<li class="level2 ">
<div><a href='/time/milli/milli-1.html'>Миллисекунды в нашей жизни</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/time/milli/milli-2.html'>Фото вместо видео</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/time/milli/milli-3.html'>Мерцающие огоньки</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/time/milli/milli-4.html'>Скрытые возможности невооруженного взгляда</a>
</div></li>

</li></ul><li class="level1 ">
<div><a href='/time/micro'>Микросекунды</a><span class='toggle_button' onclick='return toggleMenuItem(this, "LI")'></span></div><ul class="level2">
<li class="level2 ">
<div><a href='/time/micro/micro-1.html'>Остановившийся мир</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/time/micro/micro-2.html'>И всё-таки он движется!</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/time/micro/micro-3.html'>Пределы механического затвора</a>
</div></li>

</li></ul><li class="level1 ">
<div><a href='/time/nano'>Наносекунды</a><span class='toggle_button' onclick='return toggleMenuItem(this, "LI")'></span></div><ul class="level2">
<li class="level2 ">
<div><a href='/time/nano/nano-1.html'>От предметов к веществу</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/time/nano/nano-2.html'>Коллективные явления</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/time/nano/nano-3.html'>Электромагнитные колебания</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/time/nano/nano-4.html'>Информационная емкость радиоволны</a>
</div></li>

</li></ul><li class="level1 ">
<div><a href='/time/pico'>Пикосекунды</a><span class='toggle_button' onclick='return toggleMenuItem(this, "LI")'></span></div><ul class="level2">
<li class="level2 ">
<div><a href='/time/pico/pico-1.html'>Атомное движение</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/time/pico/pico-2.html'>Пределы звука</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/time/pico/pico-3.html'>Как начинается плавление</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/time/pico/pico-4.html'>Пределы электроники</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/time/pico/pico-5.html'>Электромагнитные волны</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/time/pico/pico-6.html'>Элементарные частицы</a>
</div></li>

</li></ul><li class="level1 ">
<div><a href='/time/femto'>Фемтосекунды</a><span class='toggle_button' onclick='return toggleMenuItem(this, "LI")'></span></div><ul class="level2">
<li class="level2 ">
<div><a href='/time/femto/femto-1.html'>Мир электронов и света</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/time/femto/femto-2.html'>Оптические вычислительные технологии</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/time/femto/femto-3.html'>Фемтохимия</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/time/femto/femto-4.html'>Фемтобиология</a>
</div></li>

</li></ul><li class="level1 ">
<div><a href='/time/atto'>Аттосекунды</a><span class='toggle_button' onclick='return toggleMenuItem(this, "LI")'></span></div><ul class="level2">
<li class="level2 ">
<div><a href='/time/atto/atto-1.html'>Личная жизнь атомов</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/time/atto/atto-2.html'>Самые внутренние электроны</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/time/atto/atto-3.html'>Как взрезать атом</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/time/atto/atto-4.html'>Электроны на службе аттофизики</a>
</div></li>

</li></ul><li class="level1 ">
<div><a href='/time/zepto'>Зептосекунды</a><span class='toggle_button' onclick='return toggleMenuItem(this, "LI")'></span></div><ul class="level2">
<li class="level2 ">
<div><a href='/time/zepto/zepto-1.html'>Жизнь атомных ядер</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/time/zepto/zepto-2.html'>Энергия, время и соотношение неопределенностей</a>
</div></li>

</li></ul><li class="level1 ">
<div><a href='/time/yocto'>Йоктосекунды</a><span class='toggle_button' onclick='return toggleMenuItem(this, "LI")'></span></div><ul class="level2">
<li class="level2 ">
<div><a href='/time/yocto/yocto-1.html'>На границе известного</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/time/yocto/yocto-2.html'>Столкновение тяжелых ядер</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/time/yocto/yocto-3.html'>Вглубь йоктосекунды</a>
</div></li>

</li></ul><li class="level1 ">
<div><a href='/time/year'>От секунды до года</a><span class='toggle_button' onclick='return toggleMenuItem(this, "LI")'></span></div><ul class="level2">
<li class="level2 ">
<div><a href='/time/year/year-1.html'>Семь с половиной порядков</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/time/year/year-2.html'>Искусственные спутники Земли</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/time/year/year-3.html'>Эхо землетрясений</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/time/year/year-4.html'>Астероид-убийца</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/time/year/year-5.html'>Как растекается тепло</a>
</div></li>

</li></ul><li class="level1 ">
<div><a href='/time/very-long'>Астрономические времена</a><span class='toggle_button' onclick='return toggleMenuItem(this, "LI")'></span></div><ul class="level2">
<li class="level2 ">
<div><a href='/time/very-long/very-long-1.html'>Солнечная система</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/time/very-long/very-long-2.html'>Солнечная система на больших временах</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/time/very-long/very-long-3.html'>Глубокий космос</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/time/very-long/very-long-4.html'>Межгалактические отношения</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/time/very-long/very-long-5.html'>Танец земного климата</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/time/very-long/very-long-6.html'>Тектоническая жизнь Земли</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/time/very-long/very-long-7.html'>Сверхдолгоживущие частицы</a>
</div></li>

</li></ul><li class="level1 ">
<div><a href='/time/sonoluminescence'>Сонолюминесценция</a><span class='toggle_button' onclick='return toggleMenuItem(this, "LI")'></span></div><ul class="level2">
<li class="level2 ">
<div><a href='/time/sonoluminescence/sonoluminescence-1.html'>Свечение, порожденное звуком</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/time/sonoluminescence/sonoluminescence-2.html'>Поведение пузырька</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/time/sonoluminescence/sonoluminescence-3.html'>Последние мгновения коллапса</a>
</div></li>

</li></ul><li class="level1 ">
<div><a href='/time/biophysics'>Фолдинг белков</a><span class='toggle_button' onclick='return toggleMenuItem(this, "LI")'></span></div><ul class="level2">
<li class="level2 ">
<div><a href='/time/biophysics/biophysics-folding-1.html'>Физическая основа жизни</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/time/biophysics/biophysics-folding-2.html'>Главная и боковые цепи</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/time/biophysics/biophysics-folding-3.html'>«Жизнь» белковой молекулы</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/time/biophysics/biophysics-folding-4.html'>Компьютерное моделирование фолдинга</a>
</div></li>

</li></ul><li class="level1 ">
<div><a href='/time/excited'>Возбужденные атомы</a><span class='toggle_button' onclick='return toggleMenuItem(this, "LI")'></span></div><ul class="level2">
<li class="level2 ">
<div><a href='/time/excited/excited-atoms-1.html'>Возбужденные атомы: кто такие и где встречаются</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/time/excited/excited-atoms-2.html'>Быстротечная жизнь возбужденных атомов</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/time/excited/excited-atoms-3.html'>Миллионы безуспешных попыток</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/time/excited/excited-atoms-4.html'>Ридберговские атомы</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/time/excited/excited-atoms-5.html'>Атомы-долгожители</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/time/excited/excited-atoms-6.html'>Водородная линия 21&nbsp;см</a>
</div></li>

</li></ul><li class="level1 ">
<div><a href='/time/nuclear'>Ядерные распады</a><span class='toggle_button' onclick='return toggleMenuItem(this, "LI")'></span></div><ul class="level2">
<li class="level2 ">
<div><a href='/time/nuclear/nuclear-1.html'>«Ядерная секунда»</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/time/nuclear/nuclear-2.html'>Альфа-распад</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/time/nuclear/nuclear-3.html'>Тяжелые элементы</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/time/nuclear/nuclear-4.html'>Бета-распад</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/time/nuclear/nuclear-5.html'>Двойной бета-распад</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/time/nuclear/nuclear-6.html'>Ядерные изомеры</a>
</div></li>

</li></ul><li class="level1 ">
<div><a href='/time/particles'>Элементарные частицы</a><span class='toggle_button' onclick='return toggleMenuItem(this, "LI")'></span></div><ul class="level2">
<li class="level2 ">
<div><a href='/time/particles/particles-1.html'>Законы элементарных частиц</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/time/particles/particles-2.html'>Два руководящих принципа</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/time/particles/particles-3.html'>Сильные распады</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/time/particles/particles-4.html'>Электромагнитные распады</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/time/particles/particles-5.html'>Слабые распады</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/time/particles/particles-6.html'>Повышенная жизнеспособность на&nbsp;околосветовых скоростях</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/time/particles/particles-7.html'>На переднем крае физики элементарных частиц</a>
</div></li>

</li></ul><li class="level1 ">
<div><a href='/time/continents'>Движение континентов</a><span class='toggle_button' onclick='return toggleMenuItem(this, "LI")'></span></div><ul class="level2">
<li class="level2 ">
<div><a href='/time/continents/continents-1.html'>Такты тектонической жизни</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/time/continents/continents-2.html'>Возраст Гималаев</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/time/continents/continents-3.html'>Когда задышал Северный Ледовитый океан?</a>
</div></li>

</li></ul>
</li></ul><li class="level0 ">
<div><a href='/posters'>Плакаты</a><span class='toggle_button' onclick='return toggleMenuItem(this, "LI")'></span></div><ul class="level1">
<li class="level1 ">
<div><a href='/posters/moment'>Мгновение</a>
</div></li>
<li class="level1 ">
<div><a href='/posters/fractals'>Фракталы</a><span class='toggle_button' onclick='return toggleMenuItem(this, "LI")'></span></div><ul class="level2">
<li class="level2 ">
<div><a href='/posters/fractals/fractals'>Что такое фракталы</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/posters/fractals/geometric'>Геометрические</a><span class='toggle_button' onclick='return toggleMenuItem(this, "LI")'></span></div><ul class="level3">
<li class="level3 ">
<div><a href='/posters/fractals/Koch'>Снежинка Коха</a>
</div></li>
<li class="level3 ">
<div><a href='/posters/fractals/T-square'>Т-квадрат</a>
</div></li>
<li class="level3 ">
<div><a href='/posters/fractals/H-fractal'>H-фрактал</a>
</div></li>
<li class="level3 ">
<div><a href='/posters/fractals/Sierpinski'>Треугольник Серпинского</a>
</div></li>
<li class="level3 ">
<div><a href='/posters/fractals/Pythagoras'>Дерево Пифагора</a>
</div></li>
<li class="level3 ">
<div><a href='/posters/fractals/Levy'>Кривая Леви</a>
</div></li>
<li class="level3 ">
<div><a href='/posters/fractals/dragon'>Дракон</a>
</div></li>

</li></ul><li class="level2 ">
<div><a href='/posters/fractals/dynamic'>Динамические</a><span class='toggle_button' onclick='return toggleMenuItem(this, "LI")'></span></div><ul class="level3">
<li class="level3 ">
<div><a href='/posters/fractals/Mandelbrot'>Множество Мандельброта</a>
</div></li>
<li class="level3 ">
<div><a href='/posters/fractals/Julia'>Множества Жюлиа</a>
</div></li>
<li class="level3 ">
<div><a href='/posters/fractals/Halley'>Фрактал Галлея</a>
</div></li>
<li class="level3 ">
<div><a href='/posters/fractals/Newton'>Фрактал Ньютона</a>
</div></li>

</li></ul><li class="level2 ">
<div><a href='/posters/fractals/complex_numbers'>Комплексные числа</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/posters/fractals/dimensions'>Фрактальные размерности</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/posters/fractals/how_to_draw'>Как это рисовать</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/posters/fractals/nature'>Фракталы в природе</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/posters/fractals/about'>О плакате</a>
</div></li>

</li></ul><li class="level1 ">
<div><a href='/posters/collider'>Ускоритель</a><span class='toggle_button' onclick='return toggleMenuItem(this, "LI")'></span></div><ul class="level2">
<li class="level2 ">
<div><a href='/posters/collider/1'>Зачем нужен ускоритель</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/posters/collider/2'>Единицы измерения расстояний, энергий и масс</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/posters/collider/3'>Краткая история ускорителей</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/posters/collider/4'>Как работает ускоритель</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/posters/collider/5'>Детектор</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/posters/collider/6'>Как на ускорителе изучают свойства частиц</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/posters/collider/7'>Природные ускорители</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/posters/collider/8'>Применение ускорителей и детекторов в медицине</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/posters/collider/light'>«Легкая версия» плаката</a>
</div></li>

</li></ul><li class="level1 ">
<div><a href='/posters/aviation'>Покорение воздуха</a><span class='toggle_button' onclick='return toggleMenuItem(this, "LI")'></span></div><ul class="level2">
<li class="level2 ">
<div><a href='/posters/aviation/light'>Аппараты легче воздуха</a><span class='toggle_button' onclick='return toggleMenuItem(this, "LI")'></span></div><ul class="level3">
<li class="level3 ">
<div><a href='/posters/aviat

ナポレオンの定理,平面タイリングおよび平行n多角形

グリゴリイ・メルゾン,«Квантик» №12, 2020より
絵:マリヤ・ウセイノバ


ナポレオンの定理:任意の三角形の外側に構築された正三角形の中心は,正三角形を形成する.

テボの定理:任意の平行四辺形の外側に構築された正方形の中心は,正方形を形成する.この定理はナポレオンの定理の拡張のようなもの.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

以下のように,平面タイル張りした図をじっと見ていると,これらの定理が成り立つことが理解できます.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

平行5角形とは,各対角線が対応する(反対側の)辺に平行であるような5角形のことです.

さて,そのような平行n角形に対して,ナポレオンの定理もテボの定理も,一般化できます.

一般化されたナポレオンの定理:任意の平行なN角形の外側に構築された正n多角形の中心は,正n多角形を形成します.


平行5角形について,これが成立することを確かめてください.

曲線上または曲面上をまっすぐに歩く2

 

 

図28 左は球状の生地、右はベーグルの生地。パン屋さんは、左の生地を取り、細長い円柱になるように巻き、(トポロジーでは、充填された円柱は充填された球と区別がつかない)曲げて、この円柱の端をつなぎました。そうして球がベーグルになってしまった...。止まれ、接着は不可(許されません)!  オブジェクトの種類が変更されます。

 

 

 

----------
私たちは、球の表面を取って曲げ、しわを寄せ、伸ばしてみましょう、どこも破らず、2つの点を1つに接着してはいけません。このようにして、例えば立方体を作ることができます。その方法を理解するために、ゴムでできた円から正方形を得る方法を示すなら、正方形の形を取るまで、円の境界の4つの点を外側に引っ張る。具体的には、円の境界の点が、正方形の外周の点に変わります。

縮めたサッカーボールのゴム表面を使って、いろいろなものを作ることができます。しかし、トポロジーが許す広い可能性の中でも、車の形表面を作るのは直感的に難しいと思います。球、楕円体、リンゴ、スイカ は作れますが、引き裂くか、いくつかの点を一緒に接着しないと、球からベーグルを作ることはできません。以上によれば、次の2つのタスクは区別する必要があります。1)膨らんだ風船から膨らんだベーグルを作る、2) 風船の表面からベーグルの表面を作る。第1の問題は、図28のキャプションで「解決」されています。

そしてオイラーは、この記述が証明できるかどうかに疑問を持った。直感的には全く問題ないのですが、数学は明白なことを厳密に証明された言語に翻訳するという問題を抱えています。結局のところ、例えば平面上に住む文明を発見したとしても、問題の事実はその住人には明らかではない(挿話2を参照)。そして、数学の力を借りて、定理の内容を伝えることができるようになります。
---------
(挿話2)アインシュタインのトポロジー
かつてA.アインシュタインは、彼の発見の本質は何かを誰にでもわかりやすい言葉で、非常に簡潔に説明するように求められました。彼は答えた:私たちは皆、目隠しされた小さな虫のように、大きな球の表面を這っています。私は、自分の住んでいる世界が曲がっていることに初めて気がつきました。しかし、具体的にどのように湾曲しているのか(空間のトポロジカルなタイプが何であるか)はまだよくわかっていません。
ーーーー

そして、ここからが本題です。数年前に数学者のG.ペレルマンが同様の事実を立証しましたが、大次元空間でのみです。局所的に湾曲した3次元空間に似ている多次元空間の図形についての事実。私たちは3次元空間に住んでいて、4次元を見たり感じたりすることはできません。第4次元が時間であることを推論することしかできないが、目では把握できない。だから、大次元空間の球体からトーラスを作ることは不可能だと冷静に納得することはできません。(結局のところ、4次元空間では、上述のように、トポロジーのルールを守りながら、左側に心臓のある人を右側に心臓のある人に変えることは可能である)


それを証明できる言語が必要です。そして、ペレルマンが「ポアンカレ仮説」を証明するまでに何年もかかった(証明された後は、ポアンカレ仮説やポアンカレ-ペレルマンではなく、ペレルマン定理と呼ばれるようになった)。オイラーが始めた分野は大きくなった。彼は、皆が明白だと思うことを正確で鉄壁の数学的推論に翻訳しました。球、スイカ、地球、湾曲した多面体、どんな丸いものでも表面に何かしらの地図を描いた(図29)。

 

 

 

 

 

トポロジーの観点から言えば、どんな多面体も球体である。4面体は球体、立方体は球体、8面体、どんな平行6面体もすべて球体です。例えば、ゴムで作って膨らませばサッカーボール、つまり球体になる。オイラーの仕事以前には、トポロジーそのものが存在しませんでした。

オイラーは、これらの物体がすべて同じであると直感した。具体的にはどのような形でどう説明するのか?彼は、球体の表面とベーグルの表面とプレッツェルの表面が同じではないことをどうやって証明するかという問題に特に興味を持っていた。 


最初の質問に対する答えは、後にアンリ・ポアンカレによって明らかにされた(オーギュスト・コーシーが「連続関数」とは何かを明確にした後)。
オイラーはすぐに第2の問題(2つの面の非一様性の証明について)に目を向け、これを見事に解いた。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ーーーーーーーーーー

オイラー標数:(頂点の数)-(辺の数)+(面の数)

球体上に描いた地図とトーラス(ベーグル表面)に描いた地図で、オイラー標数を数えると違いがあり,この特性はトポロジー的な連続変形で変化するはずはないのだから,トポロジー的に違うものでなければなりません.
オイラー標数は:2(球表面),0(トーラス)

トーラス上の左の図形は

頂点の数1,辺の数2,面の数1

 

曲線上または曲面上をまっすぐに歩く1

 https://elementy.ru/nauchno-populyarnaya_biblioteka/435720/Pryamoe_na_krivom_ili_Progulki_po_iskrivlyonnoy_poverkhnosti

 ヴァレリア・シロタ「Kvantik」No.8,2020

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

まっすぐで平らな道なら、どこでも曲がらずにまっすぐ進むのは容易です。または、広い平原で、遠くにゴールやランドマークが見えればまっすぐ進めます。もし、途中に丘や渓谷があり、さらに、霧や、真っ暗だったりした場合はどうでしょう?どこにまっすぐ行くのか、どうすればわかるでしょう?曲がりくねった山道を歩いているときに「直線に沿って歩く」とは何でしょうか?そして、この坂道を振り向かずに進んでいくと、どこにたどり着くのでしょうか?

そのような疑問にも対応できるようにしていきたいと思います。まずは直線(普通の平面上)とは何かということから始めましょう。次の定義が一番良さそうです。

平面上の直線とは、その2つの点を結ぶ最短経路です。

 

(図1)直線上の任意の2点を取ります。 ある点から別の点に可能なすべての線を描きましょう。 直線上の線分は、これらすべての線の中で最も短いものになります.


この定義は、「まっすぐ進む」という指示に合います。ゴールが直線上にある場合は常に、これがその直線で最短経路です。確かに、ゴールがあなたの直線上にない場合、あなたはそれに到達することは決してありません...

 

 

 

(図2)破線

 

 


演習1.(図2)が直線ではないことを証明しなさい。

この演習から、私たちの定義では「どこでも曲がれない」ことがわかります。急に曲がると破線になり、これは最短経路ではありません。

演習2.科学者のシギムントは特定の線を研究し、それが直線であることを証明したいと考えています。彼はすでに、この線に沿った点Aから点Dへの 経路が最短であることを証明することができました 。点BとCがAとDの間のこの線上にある場合、この線に沿ったBからCへのパスも最短であることを証明しなさい。

演習3.科学者マクシミリアンは、点A、B、Cが乗っている別の線を調べ ます。彼は、この線に沿ったAからBへの経路が最短であり、BからCへの線に沿った経路も最短であることをすでに証明しています。これは、この線に沿ったAからCへのパスも最短であることを意味しますか、それともまだ証明すべきことがありますか?

平面上の直線はわかりました。では、この定義を曲面に当てはめてみましょう。例えば、非常に急峻で高い山があるとします(図3)。A地点からB地点までの最短経路は? 確かに山上を通るものではありません。最短の道は、図中の緑の線が示すように、明らかに山の麓のどこかを通っています。演習2で見たように、この線上のAとBの間にある点のペアについても、最短経路の条件が成り立つなら、これが直線でしょうか? さらに、山が対称で、点Aと点Bが厳密に異なる辺にあるとすると、このような最短経路は2つあり、どっちも直線なのですね!?

 

(図 3)急峻な山。 点Aから点Bへの最短経路は何ですか?

 

 

 

 

 

 

 

大体そのような考えで良いのですが、しかし、1つの問題があります。ポイントAと Bを超えてこれらの「直線」の延長を正しく描画する方法は? これらの延長は平坦な地形で実行され、すでに「実際の」直線の線分のように見えます。ただし、「直線」に切れ目があってはならないことを覚えています(演習1を参照)。切れ目付近では、「最短経路」条件に違反します。したがって、Aと Bを通過する緑色の「直線」の「端」は、空間内の点Aと Bを通過する直線の非常に先の遠方です (これは、説明した表面上にはありません!)。

そして、ここで問題が発生します:山の周りから遠ざかれば、直線が山の周りをまわる必要はありません。 図3の点Kから点Nまでの最短経路は別の直線になります。


さて、直線の定義は間違っていましたか?それとも、山岳地帯に拡張することは不可能ですか?いいえ、それほどひどい違いではありません:少し修正が必要なだけです。結局のところ、どんな曲面でも、その小さな部分を見ればすべてが小さな平面と見なせます。

「すべてをまっすぐに、まっすぐに」するには、遠くのゴールではなく、一歩先のゴールを見続けなければなりません。そうすれば、表面の曲率には気づかず、次の一歩を前の一歩と同じ方向に踏み出すことになります。そして、あなたが通った道の一つ一つの小片がまっすぐになります。結局のところ、そのすべての小さな部分の曲面は平面のように見えます。

したがって、曲面の場合の直線の定義では、2つの単語を追加します。直線に沿ったパスは、2つの十分に近い点に対して最短である必要があります。これですべてが整いました。この例の点KとNのペアは、十分に接近していないため、考慮できなくなりました。

これらの曲線を直線と呼ぶのは何か気が咎めるので、測地線という呼び方があります。これは、直線の概念を曲面の場合に一般化したものです。

曲面上の測地線は、その十分に小さい部分が、この曲面上の両端間で最短経路になるような線です。

それほど厳密ではありませんが、測地線は、すべての小さな(ほぼ平坦な)部分上で直線のように見える曲線です。

ちなみに、対称的な山の例では、描画した2つの測地線に加えて、第3の測地線が点Aと Bを通過し ます。これは、最初に最短ではないと拒否した山の頂上を通るパスです。これで、点AとBが十分に接近していないと宣言できます。

ご覧のとおり、ユークリッドの公理は、任意の2点(平面)を通る直線を1本だけ引くことができるというものですが、曲面の測地線ではまったく機能しません。たぶん、AとBを通る「直線」はもっと引けるかもしれません。山の形によりますが。

また、図3の緑と青の線のように、現実には「まっすぐ」な道(すなわち測地線)が、地図上では「曲がっている」ように見えることもあることを覚えておくと便利です。

***

これで、どような地形でも「まっすぐ進み、曲がらない」とはどういう意味かがわかりました。これは測地線に沿った動きです。今、どんな表面に対しても、次の質問をすることができます:

1.その測地線はどのように見えますか?
2.2つの与えられた点を通る測地線を描くには?
一般的な場合、この問題は難しいので、円柱と円錐という単純な「ほぼ平坦な」表面を歩くことを提案します。

シリンダー


図4: シリンダー

 

シリンダーを作るのは簡単です(図4):紙を1枚取り、それを筒に巻き、端を接着します(できれば長辺に沿って)。カブトムシをその上に乗せて、それが這うように測地線を描くことができます。

最初から接着線に平行な方向を選択すると、カブトムシはこの線(および円柱の軸)に平行な直線に沿って這うようになります。このようなラインはジェネレーターと呼ばれます。軸に垂直な方向に移動を開始すると、測地線は円になります。

チャレンジ問題 斜めなど、他の方向に進むと、どのような線が表示されますか?

円錐


図5 円錐

 

すぐ作れます。接着も簡単です。最も簡単な方法は、大きな紙を取り、その側面の1つの点を選択し、この点で区切られた側面の2つの半分を接着することです(図5)。円錐の底面が不均一で、角が突き出ていても問題はありません。実際の円錐面は無限であり、これはほんの一部であると見なすことができます。

問題 この表面で測地線はどのように見えますか?

 

 

---続く