ロシアの数学月間

 
2019/20年度の数学コンクールの年間ツアーの問題から、幾何の問題をいくつか選びました。2019/2020年度の年間ツアーの応募は終了しました。受賞者は12月号で発表されます。この数学コンクールは5年生～8年生が対象です。なかなか難しい問題です。試しにご挑戦ください。

ラウンドXー問題50（ジョン・コンウェイ）
図に示すように、任意の三角形の各辺が両方向に延長して得られた6つの点は1つの円上にあることを証明しなさい。

ラウンドIXー問題43 （Mikhail Evdokimov）
図に示すように、 正三角形 AMB と ANCは、一辺の長さ１の正方形ABCDの対角線と側面に作成 されます。距離MNを求めなさい。

ラウンドVIIー問題32 （Mikhail Evdokimov）
正方形ABCDのBC側には、外側に正三角形BMCを描きます。線分ACとMDは点Oで交差します。OA = OMであることを証明しなさい。

ラウンドIVー問題18
図示されているように、点Kは、二等辺三角形BACの底辺BCを長さxとyに分割します。角度AKCが60°の場合のAKの長さを求めなさい。

ラウンドIー問題4 （Mikhail Evdokimov）
図に示すように、2つの正方形が平面上にあります。一方の正方形の中心がもう一方の正方形の対角線上にあることを証明しなさい。

ユーリ・マルケロフ「kvantik」＃ 3、2019の図を引用しますが、設問は変更しました。

図：1

ポリオミノとは、何個かの正方形セルを側面に接合した形状です。たとえば、テトラミノは4つのセルのポリオミノであり、形状は5種類あります（図1）。5つのセルからなるポリオミノはペンタミノと呼ばれ、12種類の異なる形状があります（図2）。

Q1．図２には１つのペンタミノが抜け落ちていますが、どんな形が抜けているかわかりますか．

図：2

テトラミノのある１種類を選び、選択した種類のテトラミノのみを使用して、以下の図形を作成してください？（テトラミノは裏返すことができます。）
答えを図3に示します。

図：3
ペンタミノについても同じ質問をしましょう。ここでは状況が異なることがわかります。
ペンタミノのタイプを選択して、選択したタイプのペンタミノのみを使用して、作成できるような有限の図形はありません。
何故でしょう？

問題がわかりにくいので、この問題を私は次のような設問に変更します：
Q2．ある有限図形があって，１2種類あるペンタミノの任意の1種類を選択して，そのペンタミノのみでその形を分割できるとする．
そのような有限図形はありますが？

Q3．十字架（図4）だけ，あるいは，アーチ（図5）だけに「分割」できる有限の図形が存在しないことを証明してください。

図：4、　　　　　　図：5、　　　　　図：6

図：7
図7の例は、ある図形の4種類の分割例です。残りの8種類のペンタミノのうちの1種類を使ってこの有限図形の２分割はできません．

GeorgeSichermanが発明した図は、8種類のペンタミノに分けることができます。

ポリオミノや他の図に関する多くの興味深い問題や写真は、recmath.orgで見つけることができます。
アーティストArtyomKostyukevich

約4000年前のバビロニア時代に三角形の幾何学の研究が始まりました．その後のエジプトでは，ナイルの氾濫後の測量に必要な幾何学が発展しました．3,4,5の長さのエジプト紐で直角を作り，ピタゴラスの定理も知られました．ギリシャでユークリッドが原論を完成したのがB.C.300年頃です． 普通の学校の幾何学の教科書にあるほとんどすべての事実が，17世紀の半ばまでにすでに知られていました．ユークリッド幾何学の分野で，単純な定理は出尽くしたように見えますが，まだ発見が残されていたとは驚くべきことです．先に掲載した　ナポレオンの定理https://note.com/sgk2005/n/n9593e9c0cae6
は，1800年頃の発見です．
2000年に，オランダ人のvanLamunは次の驚くべき性質の円を発見しました．

上の図をご覧ください．緑の３角形の辺の中点を対向する頂点と結ぶ（青線分）．３つの青線分の交点は重心と言われます．始めの緑の３角形が，６つの３角形に分割されました．この６つ3角形の外接円（点線の円）の中心（６つあります）は，ある一つの円周上に乗ります．この円（赤い円）は，ヴァンラムン円と呼ばれます．手ごわそうです．皆様，証明をお考え下さい．

（グリゴリイ･フェリドマンの記事：Kvantik（2012）６，p.9を参考にした）

18/19学年度のクバンチク数学コンテストなどの問題より
３つ選びました．挑戦してみましょう．

■雑誌エレメント2020.9より改題
平方数A_n（n=1,2,3,4,5,6････）とは；1,4,9,16,25,36，･････
（一辺nの正方形の中に直径１の円を並べたとき入る円の数）
3角数B_m（m=1,2,3,4,5,6,･･･）とは；1,3,6,10,15,21,･････
（一辺nの正3角形の中に直径１の円を並べたとき入る円の数）
平方数でもあり3角数でもある数を求めなさい．無限にありますがいくつ求められますか．
ヒント）A_n=n^2 ，B_m=m(m+1)/2　です．

■７ラウンド問題34より
図に示すように，2つの黄色の等辺三角形が正方形に配置されています．マークされた3つのポイントが等辺の三角形を形成していることを証明しなさい．

■４ラウンド問題20（エゴールバカエフ）より
円は三角形の辺と6点で交差します（図を参照）．
a）a = bおよびc = dの場合，e = fであることを証明しなさい．
b）b = cおよびd = eの場合，f = aであることを証明しなさい．

改装後，すべてのランプを交換することにし，IQライトと呼ばれる新しいランプシェードを購入しました．重さはたったの100グラムです．30枚の薄いフレキシブル・プレートで組み立てられているので，とても軽い．各プレートは四角形の形状で，4つのフックがついています．このデザインは，デンマークのデザイナーHolgerStrömによって1973年に発明されました．名称のIQはInterlocking Quadrilateralsー連動する四辺形ーの略です．

図1を見ると，プレートが5個集まる場所と，3個集まる場所があることがわかります．
デザイン自体は一見複雑に見えますが，幸いなことに詳細な説明書が添付されており，組み立ての過程はわかります．
ランプシェードは同じ菱形面でできた多面体です（図2）．
その正確な学名はギリシャ語の数値接頭辞の表を見てください．例えば，30面体はロシア語ではТРИАКОНТАЭДРАとなります．

ヨハネス・ケプラー（1571-1630）

宇宙の調和（図3） でてくる，図の右側は30面体です．
30個の菱形面のうち10個しか表示されていませんが，菱形三十面体の名称が，テキストの2行目に認識されます．

図の左側は12面体です．

菱形の三十面体の発見におけるケプラーの優先順位を認めているようですが，菱形12面体と菱形30面体の菱形面の形についいて述べていないということです．

ヴェンツェル・ジャムニッツァー(1508 – 1585)

ドイツの有名な宝石商．1568年に、彼はPerspective Corporum Regulariumという本を出版しました。

この論文を紹介する前に，次のyoutube動画をご覧ください．クラドニ図形は，楽器の音響学にも関係しそうですね．

フョードル・ナザロフ，ミハイル・ソディン，アレクサンドル・ログノフ
「トリニティオプション-サイエンス」第16号(310），2020年8月11日の抄録

ある工場で，複雑な装置が停止してしまい，1人の専門家では何もできませんでした．若い男がやって来て，あらゆる側面から複雑な装置を調べていましたが，普通のハンマーを取りだし装置を一撃すると，装置が作動し始めました．ハンマーで打つことが高い報酬になったのではなく，ハンマーでどこを打つべきかを正確に見極めたところが報酬に値したのです．

似たようなことが最近数学で起こりました．2020年のヨーロッパ数学会の賞であり，数学への卓越した貢献が認められた35歳未満の10人の研究者に4年ごとに授与されます．

ここで対応するのは，
「複雑な装置」⇔「楕円微分方程式の解の節点幾何」，
「ハンマー」⇔中学生が知っている「組み合わせ幾何学的考察」
であり，若者の名前はAlexander Logunovでした．

節点形状の起源は，振動板に注がれた細かい砂が節線に集められ，境界条件の板形状と振動周波数に応じて奇妙なパターンを形成するフックとクラドニの実験に戻ります．これらの線は，静止しているプレート上の点で構成されます．読者は，グーグルで「クラドニ図形」と入力することにより，これらの実験の多数のイラストを見つけるでしょう．

振動から生じる節線についてのさまざまな疑問は，200年以上にわたって科学者を魅了してきました．アレクサンドル・ログノフが受け取った賞は，この分野での最初の賞ではありませんでした．1809年，クラドニがパリを訪問した後，フランス科学アカデミーはコンテストを発表しました．その目的は，「弾性表面の数学的理論を構築し，それが実験データとどの程度一致するかを示すこと」でした．賞はソフィー・ジャーメインが1816年に受賞しました．その数学的モデルは，少し後のグスタ・フキルヒホフによって完成しました．

剛体プレートではなく，柔軟な弾性膜の振動理論は，Logunovの研究が直接関連することに注目ください（違いは，膜が伸張のみに抵抗し，プレートは曲げと圧縮に抵抗するためより複雑な数学モデルになる点です）．この場合，膜は任意の形状にでき，固定されたエッジを持つ平面，球状，ドーナツの形など，多次元にすることもできます．

ランダムな球面調和符号

小振動の理論の基本原則の1つによれば，平衡位置からの膜の変位を表す関数は，最も単純な固有振動の重ね合わせとして表されます．各固有振動は特定の周波数ωで発生し，積$$cos(2πωt)v_ω(x)$$によって記述されます．ここで，tは時間，$$v_ω(x)$$はいわゆる固有関数で，膜の点xのみに依存します．

微分方程式の観点から，固有関数$$v_ω$$は方程式$$Δv_ω+4π^2ω^2v_ω= 0$$の解であり，節線（3次元以上）は，条件$$v_ω（x）= 0$$を満たす単純な点xです． ここでの記号Δは，ユビキタス・ラプラス演算子を示します．明示的な式は，選択した座標系と膜の弾性特性によって異なります．

ランダムな球面調和値の分布

通常のデカルト座標で表される平らで均質な膜の場合，膜の形状は$$ \mit\Delta =\displaystyle \frac{ \partial ^{2 } }{ \partial x^{2 } }+\displaystyle \frac{ \partial ^{2 } }{ \partial y^{2 } } $$です．上記のラプラス演算子の固有関数は，幾何学および確率論から量子力学に至るまで，数学および物理学の多くの分野に現れます． したがって，固有関数の振る舞いとそれらの節線は綿密な研究の対象であるのは当然なのですが，今日まで多くの課題が未解決のまま残されています．

どうやら，節点集合の問題の最も有名なものは，40年以上前に表現されたそれらのサイズに関するヤウ　シンツン予想でした．彼女は，この次元（２次元の長さ，3次元の領域など）は常に周波数ωの線形関数として成長すると主張しています． 振動膜に追加の対称性がある場合，固有関数が明示的に見つかることがあります．対称性がない場合，固有関数の明示的な式を記述して節点集合のサイズを推定することは不可能です．それらは通常，膜を小さな正方形に分割し，それぞれのサイズを推定して，結果を追加します．

ヘルムホルツ方程式の解の境界点

そのような推定のための便利なツールは，倍加指数$$N(Q)=ln\displaystyle \frac{\textrm{max}_{2Q}|v_{\omega }|}{\textrm{max}_{Q}|v_{\omega }|}$$ であり，立方体Qから立方体2Qに，中心が同じで辺が2倍になると，固有関数の絶対値の最大値がどれだけ速く増加するかの指標です．有用な事実は，倍加指数が有界のままであれば，立方体Qに該当する節点集合のサイズも有界であることです．

ヤウ仮説における最初の重要な進歩は，約30年前にハロルド・ドネリーとチャールズ・フェファーマンによって行われました．彼らは，任意の正方形について固有関数倍加指数が振動周波数によって上から推定されることを証明しました．この一連の問題での次の進歩は，ニコライ・ナジラシビリによります．彼は，ヤウ・シンツンによって提起された質問は，より単純なクラスの調和関数の関連する質問に還元できることに気づきました．これは，方程式Δv= 0の解（膜の定常状態を表します）です．ナジラシビリの質問の中には，たとえば次のようなものがあります．3次元空間の一定でない調和関数が無限領域の集合で消えるのは本当か？ （平面上の同様の命題は単純な演習です）　25年間，中心となる数学的対象の1つに関するそのような無邪気な質問が未解決のままでした．

ドンネリ，ヘッフェルマン，ナジラシビリの研究の後，基本的な問題は，正方形（または高次元の立方体）が小さな断片に分割されたときに調和関数の倍加指数がどうなるかであることが明らかになりました．多くの数学者の努力にもかかわらず，2016年にアレクサンドル・ログノフとエフゲニア・マリンニコワの研究が発表されるまで，この問題は進展していませんでした．

 これらは，次のエレガントな組み合わせ補題に基づいています（私たちは，すでに主要な問題を含んでいるフラットケースのみに制限しています）．調和関数の単位平方に大きな倍加指数Nがあるとします．次に，この正方形を同じサイズの十分に小さい正方形のA^2にカットすると，最大でA / 2で，倍加指数がN / 2を超える可能性があります．この補題は，上記のナジラシビリの仮説とヤウの仮説の一部の証明につながり，少し後に，エッジでクランプされた均一な平膜の自然振動の節線の長さが，周波数の線形関数として増加することを証明しました．

A.スターンの論文からの節曲線

結論として，アレクサンドル・ログノフ自身について一言．アレクサンダーはペルミとサンクトペテルブルクで育ちました．多くのピーターズバーグの数学者と同様に，彼は市内の数学学校の1つを卒業しました（239番目）． 2015年，彼はビクトル・ペエトロビッチ・ハビンの指導で博士論文をとりました．テルアビブで2年間過ごした後，アレクサンダーはプリンストンに移り，今日まで働いています．彼は今でも定期的にサンクトペテルブルクとテルアビブの両方を訪れ，他の同様に困難でエキサイティングな課題の解決に成功しています．

「節点形状を実行しています」
プリンストン大学（米国）の助教授であるアレクサンダー・ログノフは，新聞からのいくつかの質問に答えました．

アレクサンドル・ログノフ
-どのようにして数学に入学したのですか？選択について疑問はありましたか？

-私は12歳の男子生徒として、サンクトペテルブルクのPhysics and Mathematics Lyceum No. 239の素晴らしい数学サークルに偶然出会い、私の教育に大きな役割を果たしました。私は、この非常に成功したサークルとオリンピックのシステムとまだ連絡を取り合っています。初年度は、数学と経済学の2つの分野で同時に勉強する許可を得ました。授業が始まってから2週間後、自分が何で何がそうでないかがはっきりとわかりました。

-あなたの数学の興味のある分野をどのように説明しますか？

-分析（不等式の科学）、幾何学、数理物理学。

-人気のある科学形式（私たちは物理学者だけでなく言語学者にも読まれています）で、ヨーロッパ数学会の賞を受賞した結果を説明していただけますか？

-賞のプレゼンテーションでは、それはどこにも言われていません。過去5年間、節点形状を作成してきました。

「節点セット」という用語は、物理学者によって、たとえばクラドニの実験ではっきりと見える驚くべき線を表すために造られました。この実験では、金属板の上に弓が描かれ、それが共振します。

レオナルドダヴィンチ、ガリレオガリレイ、ロバートフックなどの物理学者は、互いに独立して節点集合に注意を払い、エルンストクラドニはそれらを体系的に研究して説明しました。ナポレオンはクラドニの共鳴実験に非常に感銘を受け、フランス科学アカデミーがこの実験の数学的説明の中で最高の賞を受賞するよう提案した。賞が授与された後、フランスの物理学者と数学者は、何の方程式が節点集合を説明するかについて何年もの間議論しました。

1816年、ソフィージェルマン（マリーソフィージェルマン、1776年から1831年）が賞を受賞しました。彼女のおかげで、節点集合は楕円方程式の解の零点であり、数学者はこれを研究して抽象的なレベルで説明しようとしていることを知っています。節点セットに関する数学的質問を簡単に思い付くことができます。物理学者が作成した写真を見て、目に見えるものを証明または反証する必要があるだけです。最も有名な質問は、Yau仮説（Yau Shintunの後）です。これは、節線の長さが周波数にどのように関連しているかを示しています。

D. BelyaevとA. Logunovによる絵。編集者は、親切に提供されたイラストを提供してくれたDmitry Belyaevに感謝します。

Александр Портнов　アレクサンドル・ポートノフ，«Природа» №12, 2019

著者について
アレクサンドル・ミハイロビッチ・ポートノフ  -地質学および鉱物学博士，Серго Орджоникидзе国立地質探査大学の鉱物学および地球化学学部教授．研究分野-鉱物学，地球化学，鉱物化学鉱床探査方法．«Природы»の常任著者．

1986年4月の終わりにチェルノブイリ原子力発電所（(ЧАЭС：ChNPP）で爆発が起きた．原子炉からの放射性物質の激しい放出は5月6日まで続いた．その結果，5000万Ci＊のさまざまな放射性核種と5000万Ciの放射性ガスが環境に出ました．専門家によると，それらには最大250万Ci の137 Csと最大で1400万Ci の 131 Iが含まれていました．ソビエト連邦の領土では，1700万人が生活する11の地域が影響を受け，そのうち250万人が5歳未満の子供でした．放射能は，フィンランド，スウェーデン，および多くの中央ヨーロッパ諸国を含む20以上の州にも影響を及ぼしました（図1）[1，2]．

図1.西ヨーロッパの放射性同位元素137Cs（チェルノブイリ放出）の汚染の地図[ 3 ]

最初の数時間の災害の規模は不明でしたが，幸いにも，空中ガンマ線分光（AGS）調査用に設計されたソビエト連邦水文気象サービスのAN-26航空機が，キエフ飛行場に駐留していました．分光計が装備されており，地表からのさまざまな放射性同位元素のガンマ線のレベルを100〜150 mの高さから定量化することが可能です．航空機はすぐに作業を開始し，南北方向に12を超える平行ルートを飛行しました．1日後，キエフに至る放射能汚染の広大な地域のマップができました．放射能レベルは非常に高かった．

汚染の最初の概略図はすぐにモスクワとキエフに送られました．それらは直接ミハイル・ゴルバチョフに個人的に示されたと言います．それにもかかわらず，状況の危険性は分類され，ラジオ局はチェルノブイリ原子力発電所での事故をはっきりと伝えませんでした．プリピャチの住民の避難は，最初の数日間は行われず，放射能レベルはスケール外になり，メーデー祭日のキエフの子供たちは揮発性ガンマ・ベータ線放射物-放射性同位元素131 Iの空気を吸いました．当局はパニックに陥り，専門家を探し，集団保護の代わりに-人口を「ヨード化」し，地元の製品の消費を禁止しました．（訳注：ヨウ素剤配布は間に合わなかったのではなかったか）

放射能汚染の実際のサイズの詳細な調査には，ソ連の地質省のモスクワ地球物理探査隊が関与し，当時，感度の高いセンサーを備えたカナダ企業「マクファール」の最先端のガンマ線分光計-NaI（Tl）結晶がありました．数年間，私はこの作業，データの処理，および放射性核種による汚染のマップの編集に関与しました．最終的な地図の作成は，A.I．ペレルマン（地質学および鉱石鉱物学研究所，モスクワ）とアカデミアンYu.A.イスラエルによって監督されました [ 3 ]．

我々の仕事の開始時は，ガンマ線の活性は，144 Се、131 Iなどや自然のガンマ線放射体-K、Th、Uなどの半減期の短い同位体の存在のために非常に高いままだった．137Csの半減期は 30年．

図2.ウクライナ，ベラルーシ，ロシアの領土における137Cs汚染の小規模（1:10 000 000）マップ．調査地域は400万km^2以上．1：500,000のスケールで実施されたAGS調査に基づいて，ウクライナのセシウム放射性同位元素による汚染サイトの詳細な（1：100,000）マッピング・エリアが特定された．

0.66 MeVのガンマ線エネルギーを持つこの放射性同位元素137Csは，100〜150 mの高さからリモートで分離できる．セシウムは分散しており「非ガス​​」の放射性同位元素の中で最も移動性が高いことがわかりました．137Csの空気移動は，マイクロエアロゾル形態の高い揮発性によるものです（図2）．チェルノブイリからの放射能放出は，最初の数日でフィンランドとスウェーデンに到達しました．たとえば後者では，チェルノブイリ原子力発電所の燃焼をすでに衛星で観察していたアメリカ人から放射線源について知りました．

セシウムは航空機のペーパーフィルターで簡単に捕集され，濾液の組成をマイクロプローブで分析した．粒子状のセシウムの存在と，1〜10 µmの最も細かいダストが風によって数千キロもアラスカまで運ばれました．

このマッピングにより、放射性同位元素である90 Sr、239、240 Pu、241 Am、および  244 Cm が通常、セシウムの最大濃度の異常に存在することが確認できました。このセットでは、（セシウムの後の）最も移動性が高いのは90 Srです。プルトニウム、アメリシウム、キュリウムなどの「熱い粒子」は、主に西方向にチェルノブイリ原子力発電所周辺の30 kmゾーンを超え、原子炉の燃焼期間中の風のドリフトの方向を反映していました（図3）。

図：3.チェルノブイリ周辺のウクライナ領土の汚染地図 [ 3 ]。土壌中の137 Cs の濃度を反映しています。影響を受けたエリアは、燃焼中の原子炉からの排出中の風の方向により、西にシフトします。セシウム（ガンマ放射体）は正と相関する  90のSr（β放射体）と  239 -プルトニウム（アルファエミッタ）、並びにその崩壊生成物と244センチ、  241 AM（アルファおよびガンマエミッタ）。1：100,000のスケールでのAGS調査
初年度のすべての放射性同位元素は、5〜60 cmの深さの土壌層に蓄積され、ここでセシウムも最大の移動度を示し、分析で示されているように、セクションの深さ1.5〜2 mに移動しました。**。航空写真と2〜3年の間隔で繰り返される飛行での異常の輪郭の研究により、地面に落下した放射性同位元素の不活性が判明しました。同時に、セシウムは腐植土と粘土鉱物に吸着されました [ 4 ]。汚染された地域の輪郭は、河岸と小川の浸食、および渓谷と川の斜面での地すべりの形成によってのみ変化しました。

放射性核種のCsとSrは、森林植生、草、果実、特に菌類に積極的に蓄積し、生態系の食物連鎖に含まれています。たとえば、モスクワでは、ゴメル（ベラルーシ）の近くの沼地でその夏に収穫されたクランベリーは、1時間あたり400マイクロR（マイクロレントゲン）と、チェルノブイリ原子力発電所の近くに住んでいるナマズの骨-1時間あたり最大4万マイクロRを与えました！森林におけるセシウムとストロンチウムの強い蓄積は予想外でした。放射線で乾いた木が呼ばれたとき、彼らが「赤い森」を燃やそうとしたときだけ、彼らはこれについて知りました。彼らは、原子炉の燃焼中に吹く風に対応して、西方向に細長いゾーンを形成しました。燃えている「赤い森」からの煙は、セシウムとストロンチウムの放射性同位元素の新しいハローを作り出しました。チェルノブイリ周辺の森は地下に埋め込む必要があることがわかりました。燃やすことはできません。

1991年から1993年の間に。大気から、1：200,000のスケールでのAGS調査を使用したモスクワの空中地球物理探査は、約400万km 2のセシウム放射性同位元素の分布のマップを作成しました（図1を参照）。137が感染の主な指標になったCs。放射性同位元素の分布と沈着は予測不可能で、気流の地球規模の移動に関連していることが判明しました。放射線帯は、ドイツ南部（バイエルン州）、ポーランド、トルコ、フランス、スウェーデン、および他の多くの国で見つかりました。空気中の放射性元素の高含有量は、地元の人々を驚かせ、農家に重大な害をもたらしました。特にトルコは、茶畑にセシウムを感染させる法案をソ連に提示した。ゴルバチョフはスキャンダルを避けるためにこのお茶を買いました。1980年代後半、低品質のトルコ茶がソ連で広く販売されました。バッグからの放射線が1時間あたり400 microRに達することを知っている人はほとんどいません。これは通常のバックグラウンドの20倍です（茶はセシウムの吸着剤として優れていることがわかりました）。

小規模な調査では、ロシア連邦の領土が、東のペンザとサランスクに到達するセシウム汚染の大きなスポットで覆われていることが示されました。カルガ地域とトゥーラ地域の南部を捉えた、クリンツィーからムツェンスクまでの線に沿って300 km延びる緯度のCs異常が示されました。それは人工的に発生しました-放射性雲が航空機から受粉されたとき、チェルノブイリから北東、モスクワに向かって行きました。

2つの重度に汚染された主な地域が地図上に迫っています：ウクライナ固有-チェルノブイリを中心としたキエフの北西、そしてもう1つ-ゴメルの北東にあり、ベラルーシの領土とロシアの一部に（ブリャンスク地方のノボジコフスキー地区）。小規模調査で特定されたこれらの領域は、Makfar機器を使用し、MI-8ヘリコプターを使用した大規模（1：250,000）AGS調査の詳細の基礎として機能しました。マップは、汚染された地域の経済循環からの撤退による損失の大きさを推定することを可能にしました。たとえば、セシウム137の濃度が40 Ci / km 2を超える地域は、ブリャンスク地域にありました。350 km 2、濃度15〜40 Ci / km 2 -2200 km 2以上。そのような土地は放牧には適しておらず、ジャガイモまたはそれらの穀物はアルコールの生産にのみ使用できます。カルーガ、トゥーラ、オリョル、リペツク地域は大きな被害を受けました。汚染された土地の総面積は1,500 km 2以上でした。

地域と詳細の両方のマップは、1991年から1995年までのセシウム汚染レベルを反映していることを覚えておく必要があります。それから四半世紀以上経ち、セシウムとストロンチウムの放射線レベルはそれ以来ほぼ半分になりました。しかし、だまされてはいけません。Т½= 25千年のプルトニウムの場合、アメリシウムとキュリウムの出現によって放射線状況は変化せず、悪化さえしています（図4）。人間に対するプルトニウムの致死量はごくわずかです-わずか1 mg [ 5 ]。プルトニウムの崩壊はまた、危険な放射性同位元素-キュリウムおよびアメリシウム（Т½= 18年で244 Cmのアルファエミッター、Am = 458年で241 Amのアルファおよびガンマエミッター）を引き起こします。時間が経つと、これらの要素が蓄積し、10〜15年後にはすべての生物に対する主要な脅威となります。これは、特に、死んだプリピャチの街を進んで訪れる多くの観光客が覚えておくべきです。彼らはチェルノブイリゾーンでは放射線が非常に高いため、ここで動物の死体は腐敗しないことを知っておく必要があります。微生物はなく、放射線によって殺されています。死体は乾いてミイラ化します。ロシア中に散らばって無秩序に散らばった、致命的に危険な放射線汚染のゾーンが発見され、輪郭が描かれ、遠隔で調査されました。このような作業は、AGS調査方法でのみ実行できます。 [ 6 ]。

図：4. 239、240 Ru（上）および関連するアメリシウム241 Am  の分布マップ[ 3 ]、セシウム137ハローとの高い相関を示す（図2を参照）
南ウラルのチェリャビンスク地域でも同様の調査を実施しました（図5）。ここが川です。オベ川の支流であるテキー川は、長い間原爆が生産されたマヤックコンバインです。秘密保持体制は、長年にわたるすべての環境法違反につながっています。その結果、チェリャビンスク、キシュティム、カスリなどの大都市に大きな危険が生じました [ 6 ]。秘密が取り除かれた後、私たちの作業により、セシウム137で汚染されたエリアの輪郭を描くことができました。これは7,000 km 2を超えました。この回路には、ストロンチウム、ウラン、プルトニウム、アメリシウム、キュリウムの多くの放射性同位元素が含まれています。専門家によると、ここに散乱した放射性同位元素の量はチェルノブイリの総放射能の4-5倍です。

図：5.ゾーン「マヤック」、南ウラルのチェリャビンスク地域。川への放射性同位元素の一定の放出。テカ（オブ川の支流）と1957年の軍事生産の液体放射性廃棄物を含む過熱したタンクの爆発により、チェリャビンスク地域が変わりました。ロシアで最も生態学的に危険な地域の一つに。1万分の1のスケールでのAGS調査。セシウム137のコンターには、セシウム、ストロンチウム、ウラン、プルトニウム、アメリシウム、キュリウムの放射性同位元素が含まれています

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結論として、ガンマ線分光法によって最も簡単にリモートで識別される放射性同位体セシウムは、より危険なベータおよびアルファエミッターによる複雑な感染の可能性を常に示すことを強調します。それらの検出は、計り知れないほど困難であり、土壌サンプリングによる特別な地上作業が必要です。 [ 7、8 ]。

セシウム137のガンマおよびベータエミッターは、体内に血液がんを引き起こします。ベータ線（通常はストロンチウム90とT½= 27.7年）が骨に蓄積し、肉腫を引き起こします。アルファエミッターは、粒子の経路が短い（空気中約2 cm）ため、検出が非常に困難であり、そのため、最も危険で陰湿です。これらには、非常に長寿命のプルトニウムとそれが生成するキュリウムとアメリシウムが含まれます。生態系に入る危険な長寿命のアルファエミッターには、ルテニウム-106および-103とポロニウム-210（T 1/2 = 120日）も含まれます。後者はテロリストによって3年後に消えるほとんど見えない毒として使用されます。アルファ線は人間の粘膜にがんを引き起こし、目、食道、胃、肺に影響を与えます。

ガンマ線の検出に一般的に使用されるシンプルで安価なガイガーカウンターは、ベータ線とアルファ線の影響を受けません。したがって、リモートで検出可能な137 Cs ガンマ異常は、重い放射性同位元素によるより危険な汚染の存在の重要な指標になります。

最近では、軽い自動ドローンが重い航空機に取って代わりつつあります。彼らは現代の携帯型地球物理学装置を持ち運び、広大な地域でより迅速に、そして最も重要なことには、はるかに安価に遠隔エクスプレス調査と環境作業を行うことができます。 [ 9 ]。さまざまなタイプの感染を検索する方法についての知識は、避けられない人為的災害の結果のリスクを減らすことができます。

AGS調査データが日本で発表されなかったことは驚くべきことです-福島原子力発電所の災害の分野で。また、ここで貯水槽に巨大な量の放射性同位元素で汚染された水の蓄積が奇妙に見えるのは奇妙です-吸着剤（石炭、さまざまな粘土など）の助けを借りて浄化する試みはありません。しかし、ロシア、ウクライナ、ベラルーシ（チェルノブイリ、ホメリ、ブリャンスク地域、およびマヤクゾーン）では、137の Cs 汚染マップは、ミナトムの労働者への最近の記念碑からの危険な「あいさつ」のままです。

文献
１。ペレルマンA.I.地球化学。M.、1989。
２。Losev KS環境問題とXXI世紀のロシアの持続可能な開発の展望。M.、2001。
３。ロシア、ベラルーシ、ウクライナのヨーロッパ地域の放射能汚染の地図。エド。Yu.A.イスラエル。M.、1998。
４。Linge I.I.、Ivanov A. Yu。、Kazakov KS核施設での粘土系材料の使用を拡大するための体系的な対策について//放射性廃棄物。2018; 4（5）：33-40。
５。ロシアのプルトニウム。生態学、経済学、政治。独立した分析。M.、1994。
６。Portnov A.M.一般地球化学。ザールブリュッケン、2015年。
７。Meleshin A.ゆう。炭酸塩の溶解とСОのリリース 2の高温//放射性廃棄物のベントナイトインチ 2019; 2（7）：65-75。
８。Varlakov A.P.、Barinov A.S.放射性物質を含む土壌およびシルト底質の調整//放射性廃棄物。2019; 3（8）：61–67。
９。ミネラル原料。系統的なシリーズ。固体鉱物の堆積を予測、調査、評価するための革新的なテクノロジー（情報および分析レビュー）。M.、2016; 17:55。

* Ci、キュリー-放射性核種放射能の測定のオフシステム単位（1 Ci = 3.7・10 10  Bq）。毎秒3.7・10 10の放射性崩壊が発生する場合、その物質の放射能は1 Ciに相当します。

**参照：Paramonova T. A.、Komissarova O. L.、Turikin P. A. et al。チェルノゼム地域の農業景観におけるチェルノブイリの痕跡：30年後の独立した評価//プリロダ。2019. No. 7. P. 40–51。
 

KVANTIKの2019年12月号に，下記の数学ツアー問題の解説がありました．
出題されている問題：
9個の金のインゴットがあり，それぞれに
100g，200g，300g，400g，500g，600g，700g，800g，900g　の刻印があります．しかし，1つのインゴットの重量だけが宣言された刻印よりも小さいことがわかっています．分銅なしの2皿天びんを使ってこのインゴットを見つける方法は？

皆さん挑戦してください．かなり難しい問題です．
さて，この問題は3x3の魔法陣と関係があることが指摘されます．

１～９の数字を3x3のマスに配置して，縦横斜めの3つの数の和がいつも15になるように配置したものが魔法陣です．1+2+3+･････+9=45ですが，中心の数Xは，4重に数えられます．従って，45+3X＝15x4　を解いて，X=5が決まります．3x3魔法陣の中心の数は5でなければなりません．
周囲の数を埋めて行き，3x3魔法陣が作れますが，3x3の場合は魔法陣の解はこれ一つ（対称的な入れ替えは同じとする）であることが知られています． 

金のインゴットの問題に戻ると，上図の魔法陣になります．縦横斜めの和はいつも1,500になります．魔法陣の縦横斜めの3個のインゴットで1組作れば8組できます．8組から2組選び天秤に載せ比較し，軽い方の組みにしるしをつけます．例えば，以下の赤で囲んだ組が軽ければ，交点にある900gが軽いインゴットであることがわかります．
4回測れば必ず見つけられますね．

■補足：
和が一定になるのではなく，積が一定になる魔法陣はどうやって作れるでしょうか？以下の例をご覧ください．