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■ PenroseタイリングとAmmann線
左図にはPenroseタイリング（小豆色の線）とAmmann線（青色の直線）が書き込まれている．非周期Penroseタイリングが完成しているこの状態は，Ammann線が５つの方向に走る直線筋（Ammannバーと呼ばれる）になっている．［図は *1）より借用］
Penroseタイリング（小豆色の線）は，太った菱形と痩せた菱形の2種類のタイルで出来ている．Ammann線とは，タイルの表面に描かれた線分（装飾）のことで，これらの線分が繋がり５つの方向に走る直線［青色直線＝Ammannバーと呼ばれる］になるようにタイルを組み合わせると，非周期のPenroseタイリングが完成する．アマチュア数学者Robert Ammannが，Penroseタイリングを観察していて発見したものだが，その一般的説明や構成原理はまだ十分に解明されていない．
Penroseタイリングで見られるAmmann線．Ammannバーは５つの方向に走る直線．赤矢印で記入した部分周期が見られる．部分周期の長さ比はφ=(1+√5)/2（フラクタル構造に見られる黄金比）［図は*3）より借用］
下図に示すようなタイルの表面に描かれたAmmann線分は，Penroseタイルの縁に矢尻マークで与えたPenroseのマッチング規則と局所的［有限領域で］に同値である．Penroseタイリングは多くの興味深い性質を持っており，いくつかの方法［置き換え法（分割とインフレーション），カット＆プロジェクション法（高次元空間の切断と射影）］で生成することができるが，Ammann線は，Penroseタイリングを高次元周期空間と結びつける鍵になるので興味深い．部分周期が観測されるのも，高次元空間を2次元に投影したためであろう．イスラムのモザイク模様を見ていると，大きなタイルユニットを張り詰めて作られているが，大きなタイルユニットのなかに，あたかもAmmann線を思わせるモザイク模様が描かれいるのに気づく．イスラムのモザイク模様の特徴は，フラクタル性，自己相似性（自分の中に縮小された自分か繰り込まれていく）で，高次元瞑想空間へと誘われる気持ちになる．（giriタイルと呼ばれる5種類のタイルで作られるモザイク模様にはAmmann線を思わせる線分が見られる）
(a) Penroseタイリングを構成する2つの菱形，痩せた菱形(緑)と太った菱形(青)．タイル内部に描かれた黒い線分がAmmann線．(b) Penroseタイリングのインフレーションルール．親菱形がインフレーションを起こすと，いくつかの子菱形の半分が生成される．この子菱形の半分は，隣接する親菱形のインフレーションによって生じる子菱形の半分（薄い色で示す）と組み合わされると親菱形と同じ菱形になる．［図は *1)より借用］
■ カット＆プロジェクション法
カット＆プロジェクション法は，1981年にドイツのEindhovenのN.G.de Bruijnによって代数的に研究された．彼の学生だったBeenkerは，これに基づきタイリングの全ファミリーを提示した．これには，Ammannがすでに独自に発見していたAmmann-Beenkerタイリングも含まれる．Penroseが局所5回対称の非周期タイリングの発見は1974年，Martin Gardnerにより広く知られるようになったのは1977年だった．Ammannの局所8回対称の非周期タイリングの発見は，Penroseの局所５回対称の非周期タイリングの発見と，ほとんど同時期であったが，Ammannはアマチュア数学者であったため知られるのが遅れた*2)．カット＆プロジェクション法は，$${n}$$ 次元ユークリッド空間 ($${n>2}$$) を 2 次元平面によりデジタル化したとみなすことができる．
最も簡単な$${2→1}$$ でタイリングの概念的な説明をしよう．
■ 高次元空間からの影（2次元の周期的世界→1次元の非周期の世界）
１辺の長さが１の正方形のタイル（赤色格子）を隙間なく張り詰めた周期的な２次元世界があります．タイルの中心に格子点があるとして，格子点を“１次元世界（水平な青色の線）”に射影しましょう．この１次元世界（青色の水平線）が過るタイルだけが影を作る対象になります．
①２次元の世界は，１次元の世界1，2，3，4，5，6……（それぞれ色を変えた）を束ねてできています．射影のスクリーンとなる１次元世界（水平な青色直線）は，これらの１次元世界1，2，3，4，5，6，…と角度 α で交わっています．tan α =n/m と有理数なら，１つの格子点が青色の直線に乗れば，その格子点がある部分空間の中で m 個のタイルを動き，他の部分空間に向って n 個のタイルを動いた場所にある格子点は，また青色の直線に乗っているはずで，青色の１次元世界にも周期ができています．もし tan α が無理数なら，１つの格子点が水平な青色直線に載ったら，他の格子点でこの直線に載るものはないはずです．このときは，青色の１次元世界は非周期になります．
②射影されてできた１次元の非周期格子を，図の下に取り出しました． この非周期格子の格子点は，各１次元空間1，2，3，4，5，6，…内に起源をもつ間隔と，次の１次元世界に飛び移るときに生じる間隔との２種類の間隔が混ざってできています．
③この非周期格子は，周期的２次元空間から１次元空間への射影で作りました．周期的２次元空間の１次元の断面そのものではありません．
[引用*３) P.81より]
■ $${n → 2}$$
周期的な$${n}$$次元空間の格子点を，その部分空間である2次元の平面に射影してタイリングを作る．この２次元平面（傾斜平面）には１つの格子点が原点として含まれるが，他の如何なる格子点も含まれない（有理数勾配の線は含まれない）場合は，タイリングは非周期である．Penroseタイルの場合がそうであり，これを定義するタイル集合は非周期：これを用いると非周期タイリングしかできない．$${5→2}$$の場合は，Penroseタイリング（5回対称準結晶）；$${4→2}$$の場合は，Ammann-Beenkerタイリング（8回対称準結晶）が作れる．概念的な説明でまとめると次のようになる：Penroseタイリングを例とする：5次元の周期的な空間の内部に，非有理数勾配の斜面「2次元の部分空間」を想定し，5次元周期空間をこの2次元に射影すると非周期の2次元パターンが得られる．この2次元パターンには，射影面の補空間の情報が畳まれて反映されているのだが，これが部分周期やAmmannバーの形で現れてくる．
引用文献
１．The Penrose Tiling is a Quantum Error-Correcting Code; Zhi Li and Latham Boyle; arXiv:2311.13040v2 [quant-ph] 25 Jan 2024
２．Images of the Ammann-Beenker Tilling; Edmund Harriss; https://archive.bridgesmathart.org/2007/bridges2007-377.pdf
３．Ammann Bars for Octagonal Tilings；Carole Porrier Thomas Fernique；arXiv:2205.13973v2 [cs.DM] 7 Nov 2022
４．美しい幾何学，谷克彦，技術評論社(2019)