SGK通信2014年

■2014/10/01---------------------------------------------------------------------------------------------- 

化学の日について 
「化学の日」10月23日は，化学4団体が昨年制定しましたが， アボガドロ数$$6.02×10^{23}$$に因んでいます．これもやはり米国が 先でNational Mole Foundationが10月23日をMole Dayと定め盛んな活動が行われているそうです．

以下は，化学と工業,Vol67-9,2014,玉尾皓平氏（日 本化学会前会長）の記事からの抜粋です・・・・・・・
◆2年前の会長就任時に提案した2つの具体的提案を紹介します。
「全国一斉オープンキャンパス」：これが 「化学の日」と直結する提案です。各大学. 研究機関や化学企業で独自に行っているオープンキャンパスやオー プンファクトリーを，「化学の日」「化学週間」にできるだけ 曰程を合わせて一斉に実施いただくことで，国民的イベントとして 認知度を高めようとの取組みです。
「『夢・化学-21』の全国統一ブランド化」： 「夢・化学-21」キャンペーンの強化策として，そのロゴマークを意匠登録し，上で述ベたようなこれまでの すべての化学啓発活動にロゴマークを付してビジビリティの向上を 目指すものです。

いずれもいわば全国区の活動ですが，期間限定型で集中的に盛り上 げる企画と，通年活動型で全国津々浦々いつでも「夢・化学-21 」ロゴマーク付きのイベントが行わ れている，という性格の異なる活動を2つ準備し，足並みをそろえ て最大の効果を狙おうとする点が特徴です。提案4団体だけではな く，経済産業省や文部科学省，さらにはマスコミ関係者の賛同も得 ており，産学官一体となった初めての本格的な取組みで，化学の啓 発活動，市民権獲得にとっての決め手となるものと期待しています 。

◆「化学の日」「化学週間」のイベントは？
「化学の日」を長く定着させるためには. 活動現場に新たなロードを課さないことが 重要と考えます。新たに企画するのではな くて，現在行われているイベントの開催日 をできるだけ「化学の日」「化学週間」の 日程に合わせていただくことで.最大の効 果を上げようとの考えです。すでに，各支 部や産業界に対して，日程調整のご協力を お願いしています。
ただ，初年度の今年は，「化学の日@開成学園」「化学週間@東京 大 学」「子ども実験ショー@近畿」などのキックオフイベントを企画 中です。
また，各種一般紙や月刊誌「ニュートン」「化学」「現代化学」「 子供の科学」などへのPR記事掲載の企画も進んでいます。

■2014/05/01---------------------------------------------------------------------------------------------

数学月間SGK通信
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数学月間SGK通信　[2014.05.01]　No.000
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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■■数学月間を知っていますか
7月22日~8月22日は数学月間です．日本数学協会は，2005年に，7月22日?8月22日を数学月間と定めました．
この期間は，数学の基礎定数 π(22/7=3.142..) とe(22/8=2.7..) に因んでいます．
「数学が社会を支えているのを知るとともに，逆に，社会の課題を数学が知る」機会でもあります．この期間に，数学への関心を高めるイベントが各地で開催されるよう応援しています．月間初日の7月22日には，数学月間懇話会を開催します．

■■お知らせ
数学月間懇話会（第10回）
日時●７月２２日，14:00-17:10
プログラム●
1.人口の集合関数としての「民力指数」
　松原望（東京大学名誉教授，聖学院大学）
2.スパゲッテイを巡る旅，
　中西達夫（株・モーション）
3.数学月間の狙と効用，今年の米国MAM
　片瀬豊，谷克彦（日本数学協会）
会場●東京大学（駒場）数理科学研究科棟，002号室
最寄り駅●京王井の頭線「駒場東大前」
参加費●無料
問合せ先●日本数学協会，数学月間の会（SGK）
sgktani@gmail.com，谷克彦（SGK世話人）
直接会場においでください．ご参加お待ちしています．
17:30より構内で各自払いの懇親会も予定しています．

■■数学に関心をもとう（連載）
米国MAMの紹介，英国MMPの紹介，日本の数学月間，数学まつりの紹介などを予定4月は，米国Mathematics Awareness Month（MAM）の実施月でした．
今年は，マーティン・ガードナー（サイエンス誌で長期にわたり数学コラムを連載）の生誕百年に当たるため，Maths, Magic and Mysteryがテーマでした．
米国MAMは，1986年4月18日のレーガン宣言により始まったもので，数学への関心を喚起し産業や社会への数学の融合を狙っています．米国MAMは毎年統一テーマを決めて国家を上げて実施されます．
選ばれるテーマは，複雑系，べき乗則，大量データの解析，など現代社会にタイムリーなもので，これらは，次号から順次紹介して行く予定です．
英国でも同じような活動 Millennium Maths Project (MMP)が実施され，生徒や学生，一般人への数学の啓蒙が行われています．これらも紹介しましょう．我々の数学月間や数学まつりの話題も紹介します．

■■編集後記
「漢字が読めないのは恥だが，数学は出来なくても構わない」と平気で語る大人たちのいる社会は問題です．
そのような両親では子供は数学嫌いになります．論理を軽視する社会では正義が成り立ちません．
私たちの世界は不確かで危うい．今，皆が信じている科学法則でも例外が発見されないとは限りません．
yes/noの答えを求めてもかないません．私たちは，デジタル思考ではなく確率を正しく理解し判断する必要があります．

■
数学月間の会(SGK)片瀬豊・谷克彦
sgktani@gmail.com
https://sgk2005.org/

 ■2014/05/01----------------------------------------------------------------------------------------------

SGK通信No001
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　数学月間SGK通信 ［2014.05.03］ No.001
　<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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■■数学月間を知っていますか
7月22日?8月22日は数学月間です．
日本数学協会は，2005年に，7月22日?8月22日を数学月間と定めました．
この期間は，数学の基礎定数 π(22/7=3.142..) とe(22/8=2.7..) に因みます．
「数学が社会を支えていることを知り，逆に，社会の課題を数学が知る」機会です．この期間に，数学への関心を高めるイベントが各地で開催されるよう応援しています．SGK通信に情報をお寄せください．
毎年，月間初日の7月22日には，数学月間懇話会を開催しています．

■■お知らせ
数学月間懇話会（第10回）
日時●７月２２日，14:00-17:10
プログラム●
1.人口の集合関数としての「民力指数」
　松原望（東京大学名誉教授，聖学院大学）
2.スパゲッテイを巡る旅，
　中西達夫（株・モーション）
3.数学月間の狙と効用，今年の米国MAM
　片瀬豊，谷克彦（日本数学協会）
会場●東京大学（駒場）数理科学研究科棟，002号室
最寄り駅●京王井の頭線「駒場東大前」
参加費●無料
問合せ先●日本数学協会，数学月間の会（SGK）
sgktani@gmail.com，谷克彦（SGK世話人）
一般の方が対象ですご参加お待ちしています．直接会場においでください．．
17:30からは，構内で各自払いの懇親会も予定しています．
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■■数学に関心を（第１回）

■米国MAMはレーガン宣言から始まった
連載第1回目は，米国MAMのスタートとなったレーガン宣言です．
全文を掲載します．
どなたの草稿か知りませんが，格調高く今日でも心を打ちます．
米国MAMのスタート時は月間行事ではなく，週間行事MAWでした．
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アメリカ合衆国大統領による宣言5461
　｢国家的数学週間」1986年4月17日

宣言(National Mathematics Awareness Week)

　およそ5000年前，エジプトやメソポタミアで始まった数学的英知は，
科学･通商･芸術発展の重要な要素である．
ピタゴラスの定理からゲオルグ･カントールの集合論に至る迄，目覚ましい進歩を遂げ，さらに，コンピュータ時代の到来で，我々の発展するハイテク社会にとって，数学的知識と理論は益々本質的になった．
　社会と経済の進歩にとって，数学が益々重要であるにも拘わらず，数学に関する学課が米国教育システムのすべての段階で低下する傾向にある．
しかし依然として，数学の応用が医薬，コンビュータ･サイエンス，宇宙探究，ハイテク商業，ビジネス，防衛や行政などの様々な分野で不可欠である．
数学の研究と応用を奨励するために，すべてのアメリカ人が，日常生活において，この科学の基礎分野の重要性を想起する事が肝要である．
　上院の共同決議261で，国会が1986年4月14日から4月20日の週を，国家的な数学週間に制定し，この行事に注目する宣言を出す事を大統領に要請した．
　今日，アメリカ大統領，私ロナルド･レーガンは，
1986年4月14日から4月20日の週を国家的数学週間とする事を，ここに宣言する．
私はすべてのアメリカ人に対して，合衆国における数学と数学的教育の重要性を実証する適切な行事や活動に参加する事を勧告する．
その証拠として，アメリカ合衆国の独立から210年の西暦1986年の４月17日，ここに署名する．ロナルド･レーガン(Ronald Reagan)
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■米国MAM活動の様子（2006年当時の記事）

　各地の大学を中心に，講演会，講習会，展示会等が展開される．
婦人向け数学講習会，女性数学者の伝記奨励，数学に関する優れた記事を書いたジャーナリストの表彰，教え方の優秀な高校の数学教師と大統領が食事を共にする等々の行事が報告されています．［いかにも米国らしい］
　毎年，国家的に統一テーマが選定され，開発されたテーマ用素材は，電気自動車［2006年当時は先端だった］を使って配られる．
活動の総括と結果集計は、毎年，春に行い，次年度への企画の検討に入る．

力を結集し参加を奨励するために，AMS，MAA，SIAMのリーダー，部門長，選ばれた高校の先生，公共政策の代表者，関係する団体のリーダー達へ，その年のMAMの小包が送付される．これには，カラーポスター，はがき，現地の活動に役立つ素材のリスト，特別なMAM行事を行うにあたりメディア報道等を含んでいる．
　MAMの活動は，学部，先生，諸学年の生徒，両親，他の公共社会のメンバー，公的政策リーダーやビジネスマン達の幾千人もの意見で評価される．
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■MAMの年度別テーマ

1986数学----基礎的訓練
1987美と数学の挑戦
1988米国数学の100年
1989発見のパターン
1990通信数学
1991数学----それが基本
1992数学と環境
1993数学と製造業
1994数学と医学
1995数学と対称性
1996数学と意思決定
1997数学とインターネット
1998数学と画像処理
--MAWからMAMへ------
1999数学と生物学
2000数学は全次元に
2001数学と海洋
2002数学と遺伝子
2003数学と芸術
2004ネットワークの数学
2005数学と宇宙
2006数学とインターネット保全
2007数学と脳
2008数学と投票
2009数学と気候2013持続可能性の数学
2010数学とスポーツ
2011解明進む複雑系
2012統計学とデータの洪水
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注）略語表
MAM：Mathematics Awareness Week
MAM: Mathematics Awareness Month(4月)
AMS：American Mathematical Society米国数学会
MAA: Mathematical Association of America米国数学協会
SIAM: Society for Industrial and Applied Mathematics工業応用数学会
ASA: American Statistical Association米国統計学協会
JPMB: Joint Policy Board for Mathematics米国連結政策協議会
*）2006年から、ASAが加盟することになった．

■■編集後記
　数学月間は数学者のものではなく，一般人が対象です．
数学は，ものごとの本質を追求し，装飾を剥ぎとり，その本質をあぶりだします．
出来上がった抽象化された概念体系（定理）を，数学者は美しいと感じます．
数学とは，そのような理論体系であるべきことは確かです．
しかし，このようにして出来上がった抽象的な数学を見せられても，一般人は興味が湧かない．そこで，数学月間は＜数学と社会の架け橋＞として，数学が実際の課題に使われていることを示して行こうと考えています．

　大学の数学では，完成され抽象化された数学を，数学科の先生が教えます．
これは，数学科の学生に対する教程としてはオーソドックスなものですが，数学科でない学生には不親切であります．工学，薬学，経済学など，それぞれの専門に適した内容の数学が必要であると考えられ始めました．
このような議論は，英国のMMPや日本の「教育数学の構築」などで見られます．

■2014/05/01--------------------------------------------------------------------------------------------

 数学月間SGK通信No002
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　数学月間SGK通信 ［2014.05.03］ No.002
　<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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■お知らせ
数学月間とは
2014年数学月間懇話会（第10回）

■大規模データの解析困難さ！
　2012年の米国MAMのテーマは，＜数学，統計学とデータの洪水＞でした．
統計学は，品質管理，医療・創薬・臨床，経済金融，統計調査，データマイニングなどの分野に係わり，現在ますます必要性が増しています．.
　大規模データ（データの洪水）といっても，被験者1人から大量（P個）の特性データを採集できるのだが，解析する特性数より被験者の数（N個）がはるかに少ない（N<<P）という状態で，推論を行うのはとても困難である．
これを「新NP 問題」という．
　つまり，大規模データがあっても，データがむしろ不足している状況で，このような状態に適用できる統計的推論の新手法が必要とされています．

■不確かさで満ち溢れた世界！
私達は，観測データからモデル（現象を起こす仕組み）を推定する．
このモデルが，全ての観測データをよく説明したとしても，このモデル（サイバー世界）が真実であるがどうか誰にもわからない．将来，このモデルで説明できないデータが観測される可能性は消せないのだから．
かように私達の世界は，不確かなことで満ち溢れています．

■■編集後記　
　私達は，yes/noのデジタル思考に毒されているので，数学や科学は，yes/noの答えを出せるはずと思い込んでいます．あるいは，判断できないと知りつつ「専門家の判断」と言って責任転嫁に利用するのは政治の常套手段です．
真実はあるのだが，yesでもnoでもないのが真実．それを，「yes/noに2値化」するのは科学ではない．まことに理不尽な要求です．このようなグレーゾーンを，自分に都合の良いように2値化するのは，似非科学．
これを報道する大手メディアの数学リテラシーの欠如を憂います．論理に忠実に，不確かなものは不確かと言うのが正しいのです．
例えば，安全/危険のデジタル区分は何処にありますか？
これは，数学や科学で答えを出せません．その判断は，国民がどのような価値を選択するかの問題です．
これは，科学を超えて判断する＜トランス・サイエンス＞の課題になります．
数学や科学の結果を恣意的に利用されて，科学の信用を落とすことが心配です．
数学月間が今ほど必要な時代はありません．

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数学月間の会(SGK)
sgktani@gmail.com
http://sgk2005.org/
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■2014/06/30-------------------------------------------------------------------------------------------

tex test
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数学月間SGK通信 ［2014.07.01］ No.018
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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今回も，MMP,plusマガジン42号の翻訳です．
(2007年の数学月間懇話会で配布したものです）
017号のHTML形式が正しく表示されなかったので，少し長くなりますが，018号は全文通しで掲載します．
数学が映画に入る
http://www.plus.maths.org/issue42/features/lasenby/index.html
Joan Lasenby
ポップコーンは手に入れたか？よい席は選んだか？座り心地は良いか？
それではタイトルロール....
◆数学が誇らしげにプレゼント....
映画の中の信じられないほど真に迫ったコンピュータで作られた映像に皆な驚く．ジュラシック・パークの恐竜，ロード・オブ・ザ・リングズの不思議 ---- 特に，ガーラムの出演者 --- は，数学なしではできなかったということを知らない人が何と多いことか．どのようにして，これらの驚くべき映像が作られるのだろう？  
コンピュータ・グラフィックス，コンピュータ・ビションは大きな課題だ．
この記事では，完成作品に使われる数学のいくつかを簡単に概観する．
最初に映画の世界を創造し，次にそれを生活へ持ち来たそう．
◆場面を作る
http://plus.maths.org/issue42/features/lasenby/trianglesurface_web.jpg
最初の対象物は，三角形のような単純多角形よりなる針金骨格として作られる．
コンピュータ生成映画を作る第一ステップは，物語中のキャラクターや，それらが棲む世界を創造することだ．これら対象物のそれぞれは，接続された多角形（通常は三角形）で構成された表面として作られる．
各三角形の頂点は， コンピュータメモリにストアされる．
どの三角形のどちらの面が，物体やキャラクターの外側であるかを知ることは重要だ．この情報は， ストアされている頂点の順番として，右ネジの規則に従い記号化される．これで，どちらが外か一意に決まる．
［頂点の順番に従い，三角形の周りを右手の指を, 人差し指，中指，．．と回したとき］
諸君の親指が向いているのが三角形の外側だ．例でやってみよう．
三角形（A,B,C）の外側方向（外側法線）は，三角形（A,C,B）の外側方向と反対であることがわかるだろう．
http://plus.maths.org/issue42/features/lasenby/rhrule_web.jpg
右ネジ規則で定義された（A,B,C)の外側法線は(A,C,B)とは反対方向
http://plus.maths.org/issue42/features/lasenby/rayfacet.jpg
諸君の視点からファセット面までの光線を追跡しよう．光線は反射して光源を通過するか？
いまや対象物の表面は三角形の針金網で，網のコンポーネントのそれぞれを彩色する準備ができた．
我々がモデル化している光景のライティングを，実際と同じにすることが重要である．
これは光線追跡と呼ばれるプロセスを用いなされる．
視点から物体へと遡り光線追跡し，反射させる．もし，目から出た光線がファセット面（針金網三角形の中の一つ）で反射され，光源を通過するなら，そのファセット面は光源に照らされ明るい色，もし，反射された光線が，光源を通過しないなら，そのファセット面は暗い色の影付をする．
光線を特定のファセット面まで追跡するには，表面を数学的に記述し，光線とファセット面の平面とが係わる幾何学方程式を解くことが必要になる．
これはベクトルを用いなされる．光景の３次元座標系に，視点となる原点(0,0,0)を加える．
ベクトル$$v=(a, b, c)$$は，原点から発し座標 $$ a, b, c$$で終わる矢である．
例えば，$$v$$にスカラー2を乗ずるのは，規則 $$2v=2(a,b,c)=(2a,2b,2c)$$のように行う．
$$2v$$は$$v$$と同じ方向で２倍長い矢だ．表現$$λv$$を見よう．$$λ$$は変数（言い換えれば，任意の実数）．
これはもはや，ある長さの矢ではない．  長さが変数になったのだから，矢の方向だけを表している．別の言葉でいえば，この表現はベクトルvを含む直線を表す．それは我々の視点からベクトルvの方向に発する光線を記述する．
三角形のファセット面で定義される平面は，３つの情報で表現される：
３頂点のうちの１つの位置頂点$$a_1$$と，$$a_1$$から$$a_2$$へのベクトルと，
$$a_1$$から$$a_3$$へのベクトルである．
下の囲みの中に，目とファセットで決定される面から発する一本の光線の方程式を与えた．光線がファセットをよぎるか否か，何処でよぎるかを知り，反射された光線の方程式を計算するには，これらの2式を解かねばならぬ．
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光線の表現 $$ r=λv $$
頂点  $$ a_{1},a_{2},a_{3} $$のファセットが定義する平面の式
$$ r=a_1+μ_1(a_2-a_1)+μ_2(a_3-a_1) $$
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（光線追跡の数学の詳細は，Turner Whittedの革新的な論文
”影付け表示のための改良された照明モデル”，Communication of the ACM,Vol.23,Isuue6に見ることができる．）
光線追跡は現実味ある光景を作り出すことができるが，たいへん遅い．
これはコンピュータが作る映画の製作には用いることができるが，コンピュータゲームのようにリアルタイムで照明を変化させることが必要な場合問題である．
影や火線束（コースティク）［収差による回り込みでできる光像］，多重反射のような複雑な現象は，モデル化が困難で，動的あるいはもっと巧妙な数学的な手法，事前計算放射輝度伝搬（PRT)やラジオシティ（R)が使われる．
http://plus.maths.org/issue42/features/lasenby/doom3_web.jpg
http://plus.maths.org/issue42/features/lasenby/neverwinter_web.jpg
コンピュータゲームDOOM3，Neverwinter nights はダイナミックライティングが必要だ．
◆必要なのは若干の想像力
光景，照明が出来てしまえば，監督が”アクション！”と叫び，キャラクターが動き出すのを待っばかりだ．
いまや，数学がイメージに命を吹き込むのを確かめよう．
最も基本的な物体の動きの一つは，与えられた軸の回りの与えられた角度の回転である．
座標幾何学は，回転後の物体各点各点の位置を計算するツールを提供する．
だがこれらのツールは効率的で高速であることが重要だ．
これらのツールを見るにあたり，数学授業に一寸立ち寄って見る．．．．
［訳注：この後に，複素平面のこと，複素数に虚数 $$ i$$ を乗じると反時計回りの90度回転になること，などの説明が続くのだが略］．．．．．．．．
http://plus.maths.org/issue42/features/lasenby/complexplane.gif
1806年にアマチュア数学者Jean Ribert Argandは複素数と $$ i$$ に幾何学的な解釈を与えた．
複素数を乗ずることは，幾何学的には回転を表す．
◆3Dへ
http://plus.maths.org/issue42/features/lasenby/plaque.jpg
Broone橋にある記念プレート，
Hamiltonが４元数を発明したときこの橋の下を散歩していた．
数学者William Rowan Hamilton卿はDublinのTrinity学寮の最も著名な息子であろう．
彼は最後の20年，複素数が２次元の回転を表すのと同様な３次元の回転の表現を捜し求めた．
人生の最後にHamiltonは，4元数という答えを見出した．
$$ q=a_{0}+a_{1}i+a_{2}j+a_{3}k $$
ここで，$$i^2=j^2=k^2=ijk=-1$$，   $$a_0, a_1, a_2, a_3$$は実数．
複素数でしたように，４元数を幾何学的に記述し，回転の表現に用いよう．
今度は2次元でなく３次元の回転だ．
$$i, j, k$$は，3次元内の基本平面：$$i$$はyz平面，$$j$$はxz平面，$$k$$はxy平面で,
外側向き法線はそれぞれ  x，-y，z方向である．
http://plus.maths.org/issue42/features/lasenby/planes_web.jpg
$$i, j, k$$は，３次元空間の基本平面という幾何学的解釈ができる．

点$$a=(a_1,a_2,a_3)$$を，角$$β$$だけ原点を通る$$b=(b_1,b_2,b_3)$$軸の回りに
回転してみよう．２つの４元数$$q_1,q_2$$を$$b,β$$から作る．
$$ q_1=cos(β/2)+sin(β/2)(b_{1}i+b_{2}j+b_{3}k) $$
$$ q_2=cos(β/2)-sin(β/2)(b_{1}i+b_{2}j+b_{3}k) $$
a(x,y,z方向の単位ベクトルの線形結合)に，これら２つの４元数を乗じて
$$a'=q_1aq_2$$
この積で得られる点$$a'$$は，$$a$$を与えられた軸の回りに角度$$β$$だけ回転したものだ．
複素数は平面内の回転記述，４元数は３次元空間内の回転記述に用いられる．
ダブリンの橋の下を通りかかったとき，Hamiltonのひらめきは，３次元で物体を回転させる最も効率の良い方法であることがわかった．だが彼の新しい乗法で，だれも幸福にならなかった．
物理学者Kelvin卿は４元数のことを：”....美しく巧妙だが，とにかく，これに触れるものには，純粋邪悪である...と評した．とりわけ厄介なのは，２つの4元数を掛け合わせるとき，答えがかける順番で変わることだ．
この特性を非可換という．Hamiltonの積則をみれば，$$ij=k, ji=-k$$が示せる．
もし，$$i, j, k$$を単位平面のように扱えば，Kelvinや彼の同時代の人々を困らせた特性は，直接導ける．
◆映像を生活へ
Hamiltonの発明はいまや多数の物体を動かしたり，運動の創出へのｸﾞﾗﾌｨｯｸ応用に使われる．コンピュータグラフィックで最も重要なツールの２つは，変形と補間である．
補間とキーフレーミング技術は，物体の初めと終わりの形と位置の特定と，その間の様子をコンピュータに計算させることだ．以下に示す映像のように：
http://plus.maths.org/issue42/features/lasenby/teapots_web.jpg
一連のフレームにわたって徐々に変形するティーポットの形
諸君は，未発達のへびのアニメーション（Richard Wareham製作）を見ることができる．
ここではへび全体が，いくつかの特定な点の運動から，補間を用いてコンピュータで作られた．
[訳注：ファイルのダウンロード先は略]
変形は単純なものから複雑なものを作り出す方法だ．
下の映像のように，変形球を覆っている布は，普通の球面で起こる同じ光景を数学的な変形をして得られる．
変形も補間も速くて安定な数学的技術を必要とし，４元数関連の手法がこれを提供する．
http://plus.maths.org/issue42/features/lasenby/sphere.png
http://plus.maths.org/issue42/features/lasenby/deformed_sphere.png
◆ガーラムを信じさせる
http://plus.maths.org/issue42/features/lasenby/motioncapture1.jpg
http://plus.maths.org/issue42/features/lasenby/dots.jpg
http://plus.maths.org/issue42/features/lasenby/skeleton.jpg
データは体の色々な部分に付属しているリフレクターの運動からキャプチャーされる．....
....骨格は，データに数学的にフィットさせる．
上で記述したテクニークは古典的なアニメーションでも基本的なツールである．
漫画キャラクターでは，我々はその結果が信じられるのはとても幸せだ．
しかし，人間のアニメーションでは，たちまち偽者とわかってしまう．
現実味ある動きを作り出すにはモーションキャプチャーが必要になる．
ロードオブザリングズのフィルムバーションから，ガーラムのような多数のキャラクターを作るにはモーションキャプチャーによる．これらは，身体，頭，肩，ひじ，ひざなどの回転点に，本当の人のリフレクターを付加して作られる．それぞれは，多重のカメラによってフィルム化されリフレクターの位置の変化をコンピュータに記録する．
骨格は３次元データでフィットされる．
最後に，上に記述された技術はすべて，骨格上に具体化し，生活し，呼吸し，動くキャラクターを作り出す．
もしまだ諸君がタイトルロールを完全に見るために留まっているなら，首尾よい映画作製で使われた種々の製作タレントに気づくだろう．
作者，ディレクタ，俳優，衣装デザィナー，プロップビルダー，．．．．これらのクレジットリストが続々流れる．
しかし一つの名前がしばしばタイトルロールから忘れられている?数学だ．
今日の映画の多くは，光線追跡の幾何学，４元数による空間内の回転なくしてはできない．
次回は，あなたの映画シートで，CGスペクタクルを楽しむために，数学に対してポップコーンを掲げよう．ショーの隠れたスターへ．（訳：谷 克彦）
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著者
http://plus.maths.org/issue42/features/lasenby/jl_small.jpg
Joan  Lasenbyはケンブリッジ，トリニティカレッジで数学を専攻し，電波天文学グループ物理学科のPhDをとった．
マルコーニの企業で短期間働いた後に，大学に戻り，現在，ケンブリッジ大学工学部の信号処理グループの講師や
トリニティカレッジの研究のディレクター，研究員である．
彼女の興味は，コンピュータビジョン，コンピュータグラフィックス，画像処理，モーションキャプチャと幾何代数の分野にある．

■2014/05/01------------------------------------------------------------------------------------------

 事故のなだれが大事故になる複雑系
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　数学月間SGK通信第2号［2014.05.21］
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■「複雑系とは何か」は，別号で取り上げるとして，大規模送電網や原発は複雑系です．
2011年７月の数学月間懇話会（第７回）では，これを取り上げました．
2011年４月の米国MAMのテーマは「複雑系」でした．
米国で何度か起きた大規模停電の仕組みを解析しています．
ほんのささいな原因（多分，樹木が送電線に触れスパーク）により，
送電網に局所的停電が起きた．⇒送電網の残りの部分に過剰な負荷がかかり，健全だった部分の電線が切れる．⇒
⇒あっという間に,次々と送電網全体に停電が拡がる．

「小さな事故が雪崩となり，大きな事故を生む」という複雑系での事故の特徴です．

2011.3.11の日本の原発事故でも、同じようなことになりました．
今回の事故の引き金は地震・津波だったかも知れませんが，引き金になるのは，地震・津波だけではありません．
組織やエージェントを含め、何処に発端があるか予測できません．
複雑系は,＜バタフライ・エフェクト＞が起こり得る世界です．     image1

  複雑系の特徴
送電網ネットワーク中にある節点の次数(=その節点に集まる経路の数)の頻度分布図を作ったとき，節点の次数の高いものも残っているような（べき乗則分布）ネットワークですと，次数の高い節点が攻撃されると故障の雪崩につながります．         image2  　　 image3

●べき乗則
大規模停電，巨大地震，所得の分布，....　いろいろな頻度分布に＜べき乗則分布＞が見られます．正規分布，ポアソン分布，ワイブル分布など，中心値のまわりに釣鐘型の分布を作りますが，べき乗則分布では，規模の大きい事象が起こる確率もいつまでも残っています．
被害コストの期待値は，被害コストと確率の積であり，巨大地震は巨大な被害コストをもたらすので，巨大地震の確率が小さいと言って無視することは間違いです．原発事故も同様です．

（引用文献）ーーーーー
１．2011MAM、http://www.mathaware.org/mam/2011/essays/
Cascading Failures: Extreme Properties of Large Blackouts in the Electric Grid
２．数学文化（2011）,16,p113-127
今年の米国MAMの話題と日本の原発事故
３．SGK通信（2011-06）数学月間懇話会報告
http://www.sugaku-bunka.org/modules/journal/journal_main.php?block_id=514&journal_id=22&page_no=2#514

■2014/09/30--------------------------------------------------------------------------------------------

化学の日
「化学の日」に関する情報を数学月間応援者から頂きました：
日本化学会，化学工学会，日本化学工業協会，新化学技術推進協会の4団体が，
10月23日を「化学の日」，その日を含む月曜日から日曜日までの1週間を
「化学週間」と昨年制定しました．
早速今年は産官学一体となって，化学の普及活動が国民亭イベントとなるように
呼びかけています．数学月間でもこのような取り組みが必要です．

＊今年の「化学の日」活動記事はCCI_67_787(1).pdf
イベント一例
＊「化学週間」君たちの将来と化学の未来＠東京大学
http://www.s.u-tokyo.ac.jp/info.html?id=4165
の高校生向きの催しの情報もあります．

2014/07/23
数学月間懇話会（10）
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◆数学月間懇話会（第１０回）
日時●７月２２日，14:00-17:10

1.人口の集合関数としての「民力指数」

　松原望（東京大学名誉教授，聖学院大学）
　14:10-15:10
2.スパゲッテイを巡る旅，
　中西達夫（株・モーション）
　15:20-16:20
3.数学月間の狙と効用，今年の米国MAM
　片瀬豊，谷克彦（日本数学協会）
　16:30-17:10
ーーーー
会場●東京大学（駒場）数理科学研究科棟，002号室
最寄り駅●京王井の頭線「駒場東大前」
参加費●無料
問合せ先●日本数学協会，数学月間の会（SGK）
sgktani@gmail.com，谷克彦（SGK世話人）
直接会場においでください（開場13:30）．ご参加お待ちしています．
17:30より構内で各自払いの懇親会も予定しています．

2014/04/13
Globe朝日新聞記事

http://globe.asahi.com/feature/100201/memo/06.html

「0」を教えない罪

算数や数学を教える「遠山真学塾」を主宰する小笠毅（69）は、いまの学校での算数教育を嘆く。
小笠が例に挙げるのは、小学1年生の教科書の最初に出てくる数字だ。海外では、0（ゼロ）、1、……9と教えることが多い。しかし日本の教科書には、1、2、…9、10と並ぶ。
算数教育で最初に子どもがつまずくのが「位取り」の概念だが、「0」を教えずに「10」を示す。だから「じゅういちを書いてごらん」と言うと、「101」と書いてしまう子もいる。「0」を教わらずに、「10」を一つの数字として教わるから、「20」や「100」など、「0」が出てくる数字をどう理解したらよいのか戸惑ってしまうのだという。

本来、ものの仕組みを調べ、実態に迫ろうとするのが、数学だ。いまの教育は、理屈も説明せずに覚えさせる。覚えられなかったり、なぜそうなるのか躊躇したりしていると置いていかれる。
小笠は言う。「本当は、数は楽しい『数楽（すうがく）』。現状は、『数が苦』になってしまっている」

2014/04/13
Globe朝日新聞記事

http://globe.asahi.com/feature/100201/memo/05.html
友愛は無限か

数をめぐっては、未解決の問題がたくさんある。

（1）「双子素数」は無限に存在するか
双子素数とは、11と13、857と859など、差が2の素数の組のこと。「素数が無限個ある」ことは、紀元前から証明されているが、双子素数が無限に存在するのかは、今もわかっていない。

（2）4以上のすべての偶数は、2つの素数の和で表すことができる
ゴールドバッハ予想と呼ばれる未解決問題だ。6＝3＋3、8＝3＋5、10＝3＋7…というように、4以外の偶数は、2つの素数の和で表されることが、コンピュータにより、20桁ぐらいまでのすべての偶数について成り立つことは確認されている。

（3）「友愛数」は無限に存在するか
友愛数は、小川洋子の小説『博士の愛した数式』にも登場する。異なる自然数の組で、自分自身を除いた約数の和が、相互に等しくなる数の組をいう。
一番小さな友愛数は、220と284。220の自分自身を除いた約数は、1、2、4、5、10、11、20、22、44、55、110で、足すと284。一方、284の自分自身を除いた約数は、1、2、4、71、142で、その和は220となる。友愛数の組が無限に存在するのかは、証明されていない。

2014/04/13
Globe朝日新聞記事
 
http://globe.asahi.com/feature/100201/memo/04.html

ヒマワリとダビンチ

自然界には、多くの「数学」が潜む。
例えば「フィボナッチ数」。0、1、1、2、3、5、8、13、21……。1＋2＝3、2＋3＝5というように、隣り合った数の和が次の数になる数列だ。実は、このフィボナッチ数が、ヒマワリに姿を現す。ヒマワリの種は、中心に向かってらせん（渦巻き）状に並ぶが、このらせんの本数は決まってフィボナッチ数のどれかに一致すると言われている。
梅や桜の花びらは5枚、コスモスの多くは8枚だ。あたかも植物が数学を知っているかのようだ。

このフィボナッチ数の隣り合う比をとると、数が大きくなるにつれ、1.618に近づく。1対1.618…は黄金比と呼ばれ、「もっとも美しく見える比」として、レオナルド・ダビンチの絵画など、芸術の世界に頻繁に登場する。人間の「美的感覚」にも数学が潜んでいる

2014/04/13
Globe朝日新聞記事
 
http://globe.asahi.com/feature/100201/memo/03.html

数学と社会／「数学の誤用」 監視も必要

産業と数学の急接近を、数学界全体が歓迎しているわけではない。特に、美や真理に魅せられた数学者にとっては「数学は実社会に役立たないからこそ、純粋で美しい」との美意識が根強い。

近代日本の代表的な数学者、高木貞治は、数学の社会への貢献の必要性を説きつつ、「『実用』と言っても、本当には実用にはならない。実用的というのは、つまり融通が利かないということだ」と語った。目先の実利で「応用」を考えた数学は、大成しないというわけだ。

コンピューターの原理を考案した数学者フォン・ノイマンは、原爆開発のマンハッタン計画で中心的役割を果たした。一方で、同時期に活躍した数学者、ノーバート・ウィナーは戦後、「もし研究が無責任な軍関係者の手に渡れば、必ず害になる」として、軍や兵器開発への協力を拒絶し、医療分野などへの応用を望んだとされる。

数学者で哲学者のバートランド・ラッセルは反核・反戦運動を展開。「ラッセル・アインシュタイン宣言」を出した。これには湯川秀樹も参加した。学生時代に物理を専攻した応用数学者の津田一郎・北大教授は「核分裂を自然現象として記述するのはいいが、爆弾に使うといった瞬間に悪魔になる。数学や科学が持つ『美意識』とは違うモラルが要求される」と話す。

数学者の遠山啓はかつて「数学の役割の増大に伴い、数学者の社会的役割も増大する。社会的にどのような責任をとるべきか、議論せねばならない」と主張。「数学の誤用がいかに大きな害を社会に及ぼしうるかも知っておかねばならない」と指摘した。

2014/04/13
Globe朝日新聞記事

http://globe.asahi.com/feature/100201/memo/02.html

数学と社会／他分野との連携模索

日本の文部科学省科学技術研究所も06年、「忘れられた科学―数学」という報告書で、産業分野における数学を「構図や構造を支配する原理を見いだすための強力なツール」と位置づけた。

大学での取り組みも始まっている。

九州大は06年、数学科の博士課程の一部で、企業での実習を義務づける「インターンシップ制」を導入。当初、260社に案内したが、「何をさせたらいいのかわからない」と受け入れはゼロ。しかし徐々に浸透するうち、特許や共同研究にも発展する成果も生まれている。若山正人・数理学府長は「企業側にもようやく、社会インフラとして数学に注目しようという風潮が芽生えてきた」と語る。

文科省から委託を受けた九大、東大と日本数学会、新日鉄は、人文系も含めた国立大学の研究者5000人（数学、物理は除く）に、「数学と科学・産業」の問題意識を探るアンケートを実施。回答者の約3分の2が「自分の研究に数学の力を借りたい」と答えたという。

北大では、数年前から「数学質問箱」を設け、学内の他分野の研究者からの相談に乗っている。社会紛争を研究する経済学者、たんぱく質の結晶構造の生物科学者、一票の格差を検証しようとする法学者などが訪れた。08年には「数学連携研究センター」を設置した。

日本数学会では「様々な科学を縦糸とすれば、数学は横糸。同じような壁にぶつかっている課題に、横のネットワークで連携する仕組みを作りたい」（坪井俊・理事長）と、他分野や産業界と連携する枠組みを検討しているという。

2014/04/09
SGK通信(2014-16)数学月間について_片瀬

片瀬豊氏から，「数学月間」について以下の投稿がありました．
数学月間の栞.docx
〈数学月間）の狙いと効用.docx
クリックしてお読みください．

プレセンテーションs-数学月間の狙いと効用_片瀬豊.pdf

資料　日・米数学月間物語_片瀬.pdf

2014/03/26
SGK通信(2014-08)公開シンポジウム報告

「数理モデリング（数学と諸科学・産業）との連携の観点から）」
3月26日（13:00-15:30）日本学術会議にて，以下の５つのプレゼンテーションがあった．
楠岡成雄（東大），高田章（旭ガラス），山本昌宏（東大），長松昭男（キャテック），三村昌泰（明大）．［このあと引き続きパネルディスカッションが行われたが報告は略］

****　これらをまとめて，その要点を以下に報告する(谷）　****
◆
諸科学分野の研究者（モデリング発案）と数理解析の連携が望まれる．
連携で生れるのは，「現象数理科学」と呼べるような分野である．
◆
工業（産業界）では，現場で使えるシミュレータを望んでいる．
これは，オーダー評価ができることが重要で，真実追求とも違う筋書のようである．
このためのモデリングは，経験則と第一原理（＝物理や数学理論）でもなく，この両極端の中間にある．
少しでも現実に合った単純化されたモデリングは，その分野の研究者と数理解析者との連携でできる．
◆示された実例
・ガラスの結晶化のシミュレーションに結晶化を加速するために，変換されたポテンシャル地形を用いた．
・高炉の熱伝達のシミュレーション．数十か所のモニター・センサーのデータから，異常な温度変動の事前予知ができる．
・粉じん拡散のシミュレーション．セシウム137の拡散シミュレーション．実データを説明できる．

2014/02/23
SGK通信(2014-06)公開シンポジウム情報

3月には数学連携のいくつかの公開シンポジウムがあります．
以下の情報は， 出口隆之さんからです．
???
◆情報環境と人
-「突き抜ける」さきがけ研究の成果から-　
http://www.human.jst.go.jp/index.html
日時：3月１日（土）14:00?17:15
場所：7階 みらい館HALL（デモ展示は、１Fのインタラククティブ発表と連携）
主催：独立行政法人　科学技術振興機構振興機構（JST）
問い合わせ：さきがけ「情報環境と人」研究領域　領域事務所
e-mail: sympo@human.jst.go.jp　TEL:075-315-5261
事前登録制となっておりますが当日参加も受け付けます。
こちらの詳細ページhttp://www.human.jst.go.jp/index.html　から登録をお願いします。

◆数学連携ワークショップ
---生命科学、材料科学における数理---
日時3月16日（日）9:30-12:00
会場学習院大学北1号館201教室
主催文部科学省、統計数理研究所
共催日本数学会

プログラム
9:30--12:00 背景説明（文部科学省）
9:40--10:10 発表１「転写機構解明のための数理モデルとシミュレーション」
（大田佳宏 東京大学大学院 数理科学研究科 数理科学連携基盤センター/生命動態システム科学推進拠点/特任准教授）
10:10--10:20 質疑応答
10:20--10:50 発表２「Mixing time of molecules inside of nanoporous gold」
（Daniel M. Packwood 東北大学 原子分子材料科学高等研究 機構 助教）
10:50--11:00 質疑応答
11:00--11:30 発表３「生物と数学とロボットと」
（小林亮 広島大学大学院理学研究科 数理分子生命理学専攻/生命動態システム科学推進拠点/教授）
10:30--10:40 質疑応答
11:40--12:00 総合討論
参加費無料　事前予約不要
http://mathsoc.jp/meeting/gakushuin14mar/renkeiWS.html

◆日本学術会議公開シンポジウム
「数理モデリング（数学と諸科学・産業との連携の観点から）」が開催されます。
会場は日本学術会議講堂で、13時開催です。事前申し込み等は不要ですので、参加を希望される方は直接会場へお越し下さい。

公開シンポジウム
「数理モデリング（数学と諸科学・産業との連携の観点から）」
日時：2014年3月26日（水）１３：００?１７：３０
会場：日本学術会議講堂
主催：日本学術会議
共催：日本応用数理学会、日本統計学会、日本数学会　
参加費無料　事前申し込み不要
http://www.scj.go.jp/ja/event/pdf2/184-s-3-1.pdf
ーーー以上

2014/02/20
SGK通信(2014-05)サイエンスカフェ情報

「サイエンスカフェみたか」の以下の情報を岡崎昌史さんから頂きました：
?????
日本の伝統的な文化である折り紙は数学でも研究されています。太陽電池パネルを小さく畳み、宇宙で広げる際に折り紙の手法が使われている他、産業界やファッションでも採用されています。折り紙が意外なところで使われていることや「折り畳みの数学」について、石田さんからわかりやすく話していただきます。また、いろいろな試作品を持って来られますのでご覧ください。最後に、折り紙で簡単なフラワーポットを作ってみましょう。コーヒーなどソフトドリンクとクッキーを食べながら気楽に話をお聞きいただき、自由に質問をしてください。ご参加をお待ちしています。
　折り紙の手法を使った試作品は石田さんの下記のサイトで見ることができます。
　　http://sachi7.webnode.jp/
　◆期日：３月６日（木）午後６時半?８時半
　◆場所：三鷹ネットワーク大学　三鷹駅南口徒歩2分　三鷹駅前協同ビル３階　　　　　　　　0422?40?0313
　◆ゲスト：石田祥子（いしだ・さちこ）さん
明治大学先端数理科学インスティテュート研究員。2004年京都大学大学院航空宇宙工学専攻修士課程修了。数値流体力学と流体の安定性を学ぶ。民間企業で振動と騒音を研究。東京工業大学大学院機械物理工学専攻研究員を経て、12年4月より現職。折り紙の数理に基づいた構造設計と折り紙構造物の振動音響解析を研究。
　◆定員：25人（先着順）　ネットワーク大学事務局（0422?40?0313、
　　E-mail：info@mitaka-univ.jp）へお申込みください
　◆参加費：800円（茶菓子代を含みます）

2014/02/16
Globe朝日新聞記事
 
http://globe.asahi.com/feature/100201/memo/01.html
数学と社会／「数学力」が国力を左右

「数学が戦争に勝たせた。数学者が日本軍の暗号を解き、原子爆弾を作った。君らもその数学者だ。アメリカの未来は、君らの手の中にある」。映画「ビューティフル・マインド」の一幕。第2次世界大戦直後、数学者の卵たちを前に、大学教授が語った言葉だ。

国家と数学の密かなかかわり。そして、数学が新分野を切り開き、「産業の核」になるのではないか。ここ数年、産業界は「数学の実用化」への期待感を、にわかに高めている。

経済協力開発機構（OECD）は2007年、ワークショップ「産業における数学」を初めて開いた。翌年にまとめた報告書では、産業界が直面している問題の多くに数学的要素が含まれている、と指摘。数学と産業が協力することが双方の利益になり、国家経済にもメリットがあると強調している。

米国でも06年、ブッシュ大統領（当時）が、国際競争力の強化策として、数学教育の向上を一般教書演説で打ち上げた。これは98年に「米国での数学研究が欧州に後れを取っている」と危機感をあらわにした全米研究会議の報告書が出たのがきっかけだ。

ドイツでは08年、ダイムラーやルフトハンザなど様々な分野の企業トップらが数学の有用性を語った『数学が経済を動かす』（邦訳はシュプリンガー・ジャパン）という本を出版。前書きで、教育・研究相は「数学は私たちの日常生活にどれだけ浸透しているか。数学によって、現在住む世界をよりよく理解できる」と熱っぽく語る。

同じく数学の「先進国」であるフランスの高等科学研究所も09年、「産業と数学」に関するシンポジウムを開いた。

2014/02/15
SGK通信(2014-03)RIMS研究集会の様子

◆教育数学の一側面?“高等教育における数学の規格とは”
RIMS研究集会，研究代表者：岡本和夫（2014.2.12?2.14，京都大学RIMSにて）が開催されました．
最終日は雪でしたが，3日間熱心な議論が行われました．
プログラム→program　pdf
主に学習の質保証・参照基準の観点から，教育数学への意見交換がなされました．
-------------------
◆以下は，数学月間の会（SGK)から見た感想です：
工学部においても数学科で教える内容の数学で間に合わせるのではなく，それぞれの専門に必要なレベルにあった教育数学が望ましい．非数学系に対しての数学も同様に必要である．
数学月間の視点からは，工学や社会の課題に直面して既成の数学を学習せよという姿勢ではなく，数学者の方が入り込み，ニーズに合った数学を示し解いて見せることが，数学の信頼獲得に非常に重要であると考える．今回の教育数学の提案の中にもそのような方向性がうかがえる議論が多かった．
-------------------

2014/02/15
SGK通信(2014-04)世界は計算されている-ご案内

数学協働プログラムシンポジウムのご案内
??世界は計算されている？，　3月9日
詳しくは，　http://kuba.jp/~math/　をご覧ください．

2014/01/09
SGK通信(2014-02)教育数学の研究集会

教育数学の研究集会があります．
公開ですので興味ある方，一緒に考えることをお勧めします．
今日，学生にどのような内容の数学が必要であるのか？
他教科との連携や数学の体系としての完備の考慮が必要でしょう．
「数学と社会の架け橋」数学月間の立場からも参加します．
---------------------
RIMS研究集会
教育数学の一側面
―高等教育における数学の規格とは?
京都大学数理解析研究所の共同研究事業の一つとして下記のように研 究集会を催しますのでご案内申し上げます.
岡本和夫（大学評価・学位授与機構)， 蟹江幸博
日時：2014年2月12曰（水）9:30〜2月14曰（金）17:00
会場：京都大学数理解析研究所420号室
プログラムprogram_RIMS.pdf
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2014/01/06
SGK通信(2014-01)今年のMAMと数学月間懇話会予定

◆　2014年の米国MAMのテーマは，
“Mathematics, Magic and Mystery”
に決まりました．おもしろそうですね．
この３Mは切っても切れない縁がありますね．
http://mathplace.org/news/mathematics-awareness-month-april-2014

◆数学と社会の架け橋＝数学月間は7/22~8/22です．
この期間に数学に関心を持つイベントが活発になることを願っています．
2014年の「数学月間懇話会（第10回）」は，
例年通り7月22日午後に，東大（駒場）で実施予定です．

本年もよろしくお願いいたします．

2014/10/01
化学の日について

「化学の日」10月23日は，化学4団体が昨年制定しましたが，アボガドロ数$$6.02×10^{23}$$に因んでいます．これもやはり米国が先でNational Mole Foundationが10月23日をMole Dayと定め盛んな活動が行われているそうです．

以下は，化学と工業,Vol67-9,2014,玉尾皓平氏（日本化学会前会長）の記事からの抜粋です・・・・・・・
◆2年前の会長就任時に提案した2つの具体的提案を紹介します。
「全国一斉オープンキャンパス」：これが 「化学の日」と直結する提案です。各大学. 研究機関や化学企業で独自に行っているオープンキャンパスやオープンファクトリーを，「化学の日」「化学週間」にできるだけ 曰程を合わせて一斉に実施いただくことで，国民的イベントとして認知度を高めようとの取組みです。
「『夢・化学-21』の全国統一ブランド化」： 「夢・化学-21」キャンペーンの強化策として，そのロゴマークを意匠登録し，上で述ベたようなこれまでのすべての化学啓発活動にロゴマークを付してビジビリティの向上を目指すものです。

いずれもいわば全国区の活動ですが，期間限定型で集中的に盛り上げる企画と，通年活動型で全国津々浦々いつでも「夢・化学-21」ロゴマーク付きのイベントが行わ れている，という性格の異なる活動を2つ準備し，足並みをそろえて最大の効果を狙おうとする点が特徴です。提案4団体だけではなく，経済産業省や文部科学省，さらにはマスコミ関係者の賛同も得ており，産学官一体となった初めての本格的な取組みで，化学の啓発活動，市民権獲得にとっての決め手となるものと期待しています。

◆「化学の日」「化学週間」のイベントは？
「化学の日」を長く定着させるためには. 活動現場に新たなロードを課さないことが 重要と考えます。新たに企画するのではな くて，現在行われているイベントの開催日 をできるだけ「化学の日」「化学週間」の 日程に合わせていただくことで.最大の効 果を上げようとの考えです。すでに，各支 部や産業界に対して，日程調整のご協力を お願いしています。
ただ，初年度の今年は，「化学の日@開成学園」「化学週間@東京大 学」「子ども実験ショー@近畿」などのキックオフイベントを企画中です。
また，各種一般紙や月刊誌「ニュートン」「化学」「現代化学」「子供の科学」などへのPR記事掲載の企画も進んでいます。

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数学月間SGK通信 ［2014.07.01］ No.018
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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今回も，MMP,plusマガジン42号の翻訳です．
(2007年の数学月間懇話会で配布したものです）
017号のHTML形式が正しく表示されなかったので，少し長くなりますが，018号は全文通しで掲載します．
数学が映画に入る
http://www.plus.maths.org/issue42/features/lasenby/index.html
Joan Lasenby
ポップコーンは手に入れたか？よい席は選んだか？座り心地は良いか？
それではタイトルロール....
◆数学が誇らしげにプレゼント....
映画の中の信じられないほど真に迫ったコンピュータで作られた映像に皆な驚く．ジュラシック・パークの恐竜，ロード・オブ・ザ・リングズの不思議 ---- 特に，ガーラムの出演者 --- は，数学なしではできなかったということを知らない人が何と多いことか．
どのようにして，これらの驚くべき映像が作られるのだろう？  
コンピュータ・グラフィックス，コンピュータ・ビションは大きな課題だ．
この記事では，完成作品に使われる数学のいくつかを簡単に概観する．
最初に映画の世界を創造し，次にそれを生活へ持ち来たそう．
◆場面を作る
http://plus.maths.org/issue42/features/lasenby/trianglesurface_web.jpg
最初の対象物は，三角形のような単純多角形よりなる針金骨格として作られる．
コンピュータ生成映画を作る第一ステップは，物語中のキャラクターや，それらが棲む世界を創造することだ．これら対象物のそれぞれは，接続された多角形（通常は三角形）で構成された表面として作られる．
各三角形の頂点は， コンピュータメモリにストアされる．どの三角形のどちらの面が，物体やキャラクターの外側であるかを
知ることは重要だ．
この情報は， ストアされている頂点の順番として，右ネジの規則に従い記号化される．これで，どちらが外か一意に決まる．
［頂点の順番に従い，三角形の周りを右手の指を人差し指，中指，．．と回したとき］
諸君の親指が向いているのが三角形の外側だ．例でやってみよう．
三角形（A,B,C）の外側方向（外側法線）は，三角形（A,C,B）の外側方向と反対であることがわかるだろう．
http://plus.maths.org/issue42/features/lasenby/rhrule_web.jpg
右ネジ規則で定義された（A,B,C)の外側法線は(A,C,B)とは反対方向
http://plus.maths.org/issue42/features/lasenby/rayfacet.jpg
諸君の視点からファセット面までの光線を追跡しよう．
光線は反射して光源を通過するか？
いまや対象物の表面は三角形の針金網で，網のコンポーネントのそれぞれを彩色する準備ができた．
我々がモデル化している光景のライティングを，実際と同じにすることが重要である．
これは光線追跡と呼ばれるプロセスを用いなされる．
視点から物体へと遡り光線追跡し，反射させる．もし，目から出た光線がファセット面（針金網三角形の中の一つ）で反射され，
光源を通過するなら，そのファセット面は光源に照らされ明るい色，もし，
反射された光線が，光源を通過しないなら，そのファセット面は暗い色の影付をする．
光線を特定のファセット面まで追跡するには，表面を数学的に記述し，光線とファセット面の平面とが係わる幾何学方程式を解くことが必要になる．
これはベクトルを用いなされる．光景の３次元座標系に，視点となる原点(0,0,0)を加える．
ベクトル$$v=(a, b, c)$$は，原点から発し座標 $$ a, b, c$$で終わる矢である．
例えば，$$v$$にスカラー2を乗ずるのは，規則 $$ 2v=2(a,b,c)=(2a,2b,2c)$$のように行う．
$$2v$$は$$v$$と同じ方向で２倍長い矢だ．表現$$λv$$を見よう．$$λ$$は変数（言い換えれば，任意の実数）．
これはもはや，ある長さの矢ではない．  長さが変数になったのだから，
矢の方向だけを表している．別の言葉でいえば，この表現はベクトル$$v$$を含む直線を表す．
それは我々の視点からベクトル$$v$$の方向に発する光線を記述する．
三角形のファセット面で定義される平面は，３つの情報で表現される：
３頂点のうちの１つの位置頂点$$a_1$$
と，$$a_1$$から$$a_2$$へのベクトルと，$$a_1$$から$$a_3$$へのベクトルである．
下の囲みの中に，目とファセットで決定される面から発する一本の光線の方程式を与えた．光線がファセットをよぎるか否か，何処でよぎるかを知り，反射された光線の方程式を計算するには，これらの2式を解かねばならぬ．
------------------------------------------
光線の表現  $$r=λv$$
頂点  $$a_1,a_2,a_3$$
のファセットが定義する平面の式
$$r=a_1+μ_1(a_2-a_1)+μ_2(a_3-a_1)$$
-------------------------------------------
（光線追跡の数学の詳細は，Turner Whittedの革新的な論文
”影付け表示のための改良された照明モデル”，Communication of the ACM,Vol.23,Isuue6に見ることができる．）
光線追跡は現実味ある光景を作り出すことができるが，たいへん遅い．
これはコンピュータが作る映画の製作には用いることができるが，コンピュータゲームのようにリアルタイムで照明を変化させることが必要な場合問題である．
影や火線束（コースティク）［収差による回り込みでできる光像］，多重反射のような複雑な現象は，モデル化が困難で，動的あるいはもっと巧妙な数学的な手法，事前計算放射輝度伝搬（PRT)やラジオシティ（R)が使われる．
http://plus.maths.org/issue42/features/lasenby/doom3_web.jpg
http://plus.maths.org/issue42/features/lasenby/neverwinter_web.jpg
コンピュータゲームDOOM3，Neverwinter nights はダイナミックライティングが必要だ．
◆必要なのは若干の想像力
光景，照明が出来てしまえば，監督が”アクション！”と叫び，キャラクターが動き出すのを待っばかりだ．
いまや，数学がイメージに命を吹き込むのを確かめよう．
最も基本的な物体の動きの一つは，与えられた軸の回りの与えられた角度の回転である．
座標幾何学は，回転後の物体各点各点の位置を計算するツールを提供する．
だがこれらのツールは効率的で高速であることが重要だ．
これらのツールを見るにあたり，数学授業に一寸立ち寄って見る．．．．
［訳注：この後に，複素平面のこと，複素数に虚数 $$ i$$ を乗じると反時計回りの90度回転になること，などの説明が続くのだが略］．．．．．．．．
http://plus.maths.org/issue42/features/lasenby/complexplane.gif
1806年にアマチュア数学者Jean Ribert Argandは複素数と $$ i$$ に幾何学的な解釈を与えた．
複素数を乗ずることは，幾何学的には回転を表す．
◆3Dへ
http://plus.maths.org/issue42/features/lasenby/plaque.jpg
Broone橋にある記念プレート，
Hamiltonが４元数を発明したときこの橋の下を散歩していた．
数学者William Rowan Hamilton卿はDublinのTrinity学寮の最も著名な息子であろう．
彼は最後の20年，複素数が２次元の回転を表すのと同様な３次元の回転の表現を捜し求めた．
人生の最後にHamiltonは，4元数という答えを見出した．
$$ q=a_0+a_1i+a_2j+a_3k $$
ここで，$$i^2=j^2=k^2=ijk=-1$$，  $$ a_0, a_1, a_2, a_3 $$は実数．
複素数でしたように，４元数を幾何学的に記述し，回転の表現に用いよう．
今度は2次元でなく３次元の回転だ．
$$i, j, k$$は，3次元内の基本平面：$$i$$はyz平面，$$j$$はxz平面，$$k$$はxy平面で，外側向き法線はそれぞれ  x，-y，z方向である．
http://plus.maths.org/issue42/features/lasenby/planes_web.jpg
$$i, j, k$$は，３次元空間の基本平面という幾何学的解釈ができる．
点$$a=(a_1,a_2,a_3)$$を，角$$β$$だけ原点を通る$$b=(b_1,b_2,b_3)$$軸の回りに回転してみよう．

２つの４元数$$q_1,q_2$$を$$b,β$$から作る．
$$q_1=cos(β/2)+sin(β/2)(b_1i+b_2j+b_3k)$$
$$q_2=cos(β/2)-sin(β/2)(b_1i+b_2j+b_3k)$$
$$a$$(x,y,z方向の単位ベクトルの線形結合)に，これら２つの４元数を乗じて
$$a'=q_1aq_2$$
この積で得られる点$$a'$$は，$$a$$を与えられた軸の回りに角度$$β$$だけ回転したものだ．
複素数は平面内の回転記述，４元数は３次元空間内の回転記述に用いられる．
ダブリンの橋の下を通りかかったとき，Hamiltonのひらめきは，３次元で物体を回転させる最も効率の良い方法であることがわかった．だが彼の新しい乗法で，だれも幸福にならなかった．
物理学者Kelvin卿は４元数のことを：”....美しく巧妙だが，とにかく，これに触れるものには，純粋邪悪である...と評した．
とりわけ厄介なのは，２つの4元数を掛け合わせるとき，答えがかける順番で変わることだ．この特性を非可換という．
Hamiltonの積則をみれば，$$ij=k, ji=-k$$が示せる．
もし，$$i, j, k$$を単位平面のように扱えば，Kelvinや彼の同時代の人々を困らせた特性は，直接導ける．
◆映像を生活へ
Hamiltonの発明はいまや多数の物体を動かしたり，運動の創出へのｸﾞﾗﾌｨｯｸ応用に使われる．
コンピュータグラフィックで最も重要なツールの２つは，変形と補間である．
補間とキーフレーミング技術は，物体の初めと終わりの形と位置の特定と，その間の様子をコンピュータに計算させることだ．以下に示す映像のように：
http://plus.maths.org/issue42/features/lasenby/teapots_web.jpg
一連のフレームにわたって徐々に変形するティーポットの形
諸君は，未発達のへびのアニメーション（Richard Wareham製作）を見ることができる．
ここではへび全体が，いくつかの特定な点の運動から，補間を用いてコンピュータで作られた．
[訳注：ファイルのダウンロード先は略]
変形は単純なものから複雑なものを作り出す方法だ．
下の映像のように，変形球を覆っている布は，普通の球面で起こる同じ光景を数学的な変形をして得られる．
変形も補間も速くて安定な数学的技術を必要とし，４元数関連の手法がこれを提供する．
http://plus.maths.org/issue42/features/lasenby/sphere.png
http://plus.maths.org/issue42/features/lasenby/deformed_sphere.png
◆ガーラムを信じさせる
http://plus.maths.org/issue42/features/lasenby/motioncapture1.jpg
http://plus.maths.org/issue42/features/lasenby/dots.jpg
http://plus.maths.org/issue42/features/lasenby/skeleton.jpg
データは体の色々な部分に付属しているリフレクターの運動からキャプチャーされる．....
....骨格は，データに数学的にフィットさせる．
上で記述したテクニークは古典的なアニメーションでも基本的なツールである．
漫画キャラクターでは，我々はその結果が信じられるのはとても幸せだ．
しかし，人間のアニメーションでは，たちまち偽者とわかってしまう．
現実味ある動きを作り出すにはモーションキャプチャーが必要になる．
ロードオブザリングズのフィルムバーションから，ガーラムのような多数のキャラクターを作るにはモーションキャプチャーによる．これらは，身体，頭，肩，ひじ，ひざなどの回転点に，本当の人のリフレクターを付加して作られる．それぞれは，多重のカメラによってフィルム化されリフレクターの位置の変化をコンピュータに記録する．
骨格は３次元データでフィットされる．
最後に，上に記述された技術はすべて，骨格上に具体化し，生活し，呼吸し，動くキャラクターを作り出す．
もしまだ諸君がタイトルロールを完全に見るために留まっているなら，首尾よい映画作製で使われた種々の製作タレントに気づくだろう．作者，ディレクタ，俳優，衣装デザィナー，プロップビルダー，．．．．これらのクレジットリストが続々流れる．
しかし一つの名前がしばしばタイトルロールから忘れられている?数学だ．
今日の映画の多くは，光線追跡の幾何学，４元数による空間内の回転なくしてはできない．
次回は，あなたの映画シートで，CGスペクタクルを楽しむために，数学に対してポップコーンを掲げよう．ショーの隠れたスターへ．
（訳：谷 克彦）
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著者
http://plus.maths.org/issue42/features/lasenby/jl_small.jpg
Joan  Lasenbyはケンブリッジ，トリニティカレッジで数学を専攻し，電波天文学グループ物理学科のPhDをとった．
マルコーニの企業で短期間働いた後に，大学に戻り，現在，ケンブリッジ大学工学部の信号処理グループの講師や
トリニティカレッジの研究のディレクター，研究員である．
彼女の興味は，コンピュータビジョン，コンピュータグラフィックス，画像処理，モーションキャプチャと幾何代数の分野にある．

2014/05/01
事故のなだれが大事故になる複雑系

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　数学月間SGK通信第2号［2014.05.21］
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■「複雑系とは何か」は，別号で取り上げるとして，大規模送電網や原発は複雑系です．
2011年７月の数学月間懇話会（第７回）では，これを取り上げました．
2011年４月の米国MAMのテーマは「複雑系」でした．
米国で何度か起きた大規模停電の仕組みを解析しています．
ほんのささいな原因（多分，樹木が送電線に触れスパーク）により，
送電網に局所的停電が起きた．⇒送電網の残りの部分に過剰な負荷がかかり，健全だった部分の電線が切れる．⇒
⇒あっという間に,次々と送電網全体に停電が拡がる．

「小さな事故が雪崩となり，大きな事故を生む」という複雑系での事故の特徴です．

2011.3.11の日本の原発事故でも、同じようなことになりました．
今回の事故の引き金は地震・津波だったかも知れませんが，引き金になるのは，地震・津波だけではありません．
組織やエージェントを含め、何処に発端があるか予測できません．
複雑系は,＜バタフライ・エフェクト＞が起こり得る世界です．   イメージ?1
 
 
 複雑系の特徴
送電網ネットワーク中にある節点の次数(=その節点に集まる経路の数)の頻度分布図を作ったとき，節点の次数の高いものも残っているような（べき乗則分布）ネットワークですと，次数の高い節点が攻撃されると故障の雪崩につながります．
イメージ?2
イメージ?3
 
●べき乗則
大規模停電，巨大地震，所得の分布，....　いろいろな頻度分布に＜べき乗則分布＞が見られます．正規分布，ポアソン分布，ワイブル分布など，中心値のまわりに釣鐘型の分布を作りますが，べき乗則分布では，規模の大きい事象が起こる確率もいつまでも残っています．
被害コストの期待値は，被害コストと確率の積であり，巨大地震は巨大な被害コストをもたらすので，巨大地震の確率が小さいと言って無視することは間違いです．原発事故も同様です．

（引用文献）ーーーーー
１．2011MAM、http://www.mathaware.org/mam/2011/essays/
Cascading Failures: Extreme Properties of Large Blackouts in the Electric Grid
２．数学文化（2011）,16,p113-127
今年の米国MAMの話題と日本の原発事故
３．SGK通信（2011-06）数学月間懇話会報告
http://www.sugaku-bunka.org/modules/journal/journal_main.php?block_id=514&journal_id=22&page_no=2#514

2014/05/01
数学月間SGK通信No002

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　数学月間SGK通信 ［2014.05.03］ No.002
　<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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■お知らせ
数学月間とは
2014年数学月間懇話会（第10回）

■大規模データの解析困難さ！
　2012年の米国MAMのテーマは，＜数学，統計学とデータの洪水＞でした．
統計学は，品質管理，医療・創薬・臨床，経済金融，統計調査，データマイニング
などの分野に係わり，現在ますます必要性が増しています．.
　大規模データ（データの洪水）といっても，被験者1人から大量（P個）の特性データ
を採集できるのだが，解析する特性数より被験者の数（N個）がはるかに少ない
（N<<P）という状態で，推論を行うのはとても困難である．
これを「新NP 問題」という．
　つまり，大規模データがあっても，データがむしろ不足している状況で，
このような状態に適用できる統計的推論の新手法が必要とされています．

■不確かさで満ち溢れた世界！
私達は，観測データからモデル（現象を起こす仕組み）を推定する．
このモデルが，全ての観測データをよく説明したとしても，このモデル（サイバー世界）が真実であるがどうか誰にもわからない．将来，このモデルで説明できないデータが観測される可能性は消せないのだから．
かように私達の世界は，不確かなことで満ち溢れています．

■■編集後記　
　私達は，yes/noのデジタル思考に毒されているので，数学や科学は，yes/noの
答えを出せるはずと思い込んでいます．あるいは，判断できないと知りつつ
「専門家の判断」と言って責任転嫁に利用するのは政治の常套手段です．
真実はあるのだが，yesでもnoでもないのが真実．それを，「yes/noに2値化」
するのは科学ではない．まことに理不尽な要求です．
このようなグレーゾーンを，自分に都合の良いように2値化するのは，似非科学．
これを報道する大手メディアの数学リテラシーの欠如を憂います．
論理に忠実に，不確かなものは不確かと言うのが正しいのです．
例えば，安全/危険のデジタル区分は何処にありますか？
これは，数学や科学で答えを出せません．
その判断は，国民がどのような価値を選択するかの問題です．
これは，科学を超えて判断する＜トランス・サイエンス＞の課題になります．
数学や科学の結果を恣意的に利用されて，科学の信用を落とすことが心配です．
数学月間が今ほど必要な時代はありません．

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数学月間の会(SGK)
sgktani@gmail.com
http://sgk2005.org/
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2014/05/01
SGK通信No001

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　数学月間SGK通信 ［2014.05.03］ No.001
　<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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■■数学月間を知っていますか
7月22日?8月22日は数学月間です．
日本数学協会は，2005年に，7月22日?8月22日を数学月間と定めました．
この期間は，数学の基礎定数 π(22/7=3.142..) とe(22/8=2.7..) に因みます．
「数学が社会を支えていることを知り，逆に，社会の課題を数学が知る」機会
です．この期間に，数学への関心を高めるイベントが各地で開催されるよう
応援しています．SGK通信に情報をお寄せください．
毎年，月間初日の7月22日には，数学月間懇話会を開催しています．

■■お知らせ
数学月間懇話会（第10回）
日時●７月２２日，14:00-17:10
プログラム●
1.人口の集合関数としての「民力指数」
　松原望（東京大学名誉教授，聖学院大学）
2.スパゲッテイを巡る旅，
　中西達夫（株・モーション）
3.数学月間の狙と効用，今年の米国MAM
　片瀬豊，谷克彦（日本数学協会）
会場●東京大学（駒場）数理科学研究科棟，002号室
最寄り駅●京王井の頭線「駒場東大前」
参加費●無料
問合せ先●日本数学協会，数学月間の会（SGK）
sgktani@gmail.com，谷克彦（SGK世話人）
一般の方が対象ですご参加お待ちしています．直接会場においでください．．
17:30からは，構内で各自払いの懇親会も予定しています．
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■■数学に関心を（第１回）

■米国MAMはレーガン宣言から始まった
連載第1回目は，米国MAMのスタートとなったレーガン宣言です．
全文を掲載します．
どなたの草稿か知りませんが，格調高く今日でも心を打ちます．
米国MAMのスタート時は月間行事ではなく，週間行事MAWでした．
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アメリカ合衆国大統領による宣言5461
　｢国家的数学週間」1986年4月17日

宣言(National Mathematics Awareness Week)

　およそ5000年前，エジプトやメソポタミアで始まった数学的英知は，
科学･通商･芸術発展の重要な要素である．
ピタゴラスの定理からゲオルグ･カントールの集合論に至る迄，
目覚ましい進歩を遂げ，さらに，コンピュータ時代の到来で，
我々の発展するハイテク社会にとって，数学的知識と理論は
益々本質的になった．
　社会と経済の進歩にとって，数学が益々重要であるにも拘わらず，
数学に関する学課が米国教育システムのすべての段階で低下する傾向にある．
しかし依然として，数学の応用が医薬，コンビュータ･サイエンス，宇宙探究，
ハイテク商業，ビジネス，防衛や行政などの様々な分野で不可欠である．
数学の研究と応用を奨励するために，すべてのアメリカ人が，日常生活において，
この科学の基礎分野の重要性を想起する事が肝要である．
　上院の共同決議261で，国会が1986年4月14日から4月20日の週を，
国家的な数学週間に制定し，この行事に注目する宣言を出す事を
大統領に要請した．
　今日，アメリカ大統領，私ロナルド･レーガンは，
1986年4月14日から4月20日の週を国家的数学週間とする事を，ここに宣言する．
私はすべてのアメリカ人に対して，合衆国における数学と数学的教育の重要性を
実証する適切な行事や活動に参加する事を勧告する．
その証拠として，アメリカ合衆国の独立から210年の西暦1986年の４月17日，
ここに署名する．ロナルド･レーガン(Ronald Reagan)
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■米国MAM活動の様子（2006年当時の記事）

　各地の大学を中心に，講演会，講習会，展示会等が展開される．
婦人向け数学講習会，女性数学者の伝記奨励，数学に関する優れた記事を書いた
ジャーナリストの表彰，教え方の優秀な高校の数学教師と大統領が食事を共にする
等々の行事が報告されています．［いかにも米国らしい］
　毎年，国家的に統一テーマが選定され，開発されたテーマ用素材は，電気自動車
［2006年当時は先端だった］を使って配られる．
活動の総括と結果集計は、毎年，春に行い，次年度への企画の検討に入る．
　力を結集し参加を奨励するために，AMS，MAA，SIAMのリーダー，部門長，
選ばれた高校の先生，公共政策の代表者，関係する団体のリーダー達へ，
その年のMAMの小包が送付される．これには，カラーポスター，はがき，現地の活動
に役立つ素材のリスト，特別なMAM行事を行うにあたりメディア報道等を含んでいる．
　MAMの活動は，学部，先生，諸学年の生徒，両親，他の公共社会のメンバー，
公的政策リーダーやビジネスマン達の幾千人もの意見で評価される．
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■MAMの年度別テーマ

1986数学----基礎的訓練
1987美と数学の挑戦
1988米国数学の100年
1989発見のパターン
1990通信数学
1991数学----それが基本
1992数学と環境
1993数学と製造業
1994数学と医学
1995数学と対称性
1996数学と意思決定
1997数学とインターネット
1998数学と画像処理
--MAWからMAMへ------
1999数学と生物学
2000数学は全次元に
2001数学と海洋
2002数学と遺伝子
2003数学と芸術
2004ネットワークの数学
2005数学と宇宙
2006数学とインターネット保全
2007数学と脳
2008数学と投票
2009数学と気候2013持続可能性の数学
2010数学とスポーツ
2011解明進む複雑系
2012統計学とデータの洪水−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
注）略語表
MAM：Mathematics Awareness Week
MAM: Mathematics Awareness Month(4月)
AMS：American Mathematical Society米国数学会
MAA: Mathematical Association of America米国数学協会
SIAM: Society for Industrial and Applied Mathematics工業応用数学会
ASA: American Statistical Association米国統計学協会
JPMB: Joint Policy Board for Mathematics米国連結政策協議会
*）2006年から、ASAが加盟することになった．

■■編集後記
　数学月間は数学者のものではなく，一般人が対象です．数学は，
ものごとの本質を追求し，装飾を剥ぎとり，その本質をあぶりだします．
出来上がった抽象化された概念体系（定理）を，数学者は美しいと感じます．
数学とは，そのような理論体系であるべきことは確かです．
しかし，このようにして出来上がった抽象的な数学を見せられても，
一般人は興味が湧かない．そこで，数学月間は＜数学と社会の架け橋＞として，
数学が実際の課題に使われていることを示して行こうと考えています．

　大学の数学では，完成され抽象化された数学を，数学科の先生が教えます．
これは，数学科の学生に対する教程としてはオーソドックスなものですが，
数学科でない学生には不親切であります．工学，薬学，経済学など，
それぞれの専門に適した内容の数学が必要であると考えられ始めました．
このような議論は，英国のMMPや日本の「教育数学の構築」などで見られます．
SGK通信にご意見などをお寄せください．

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数学月間の会(SGK)
sgktani@gmail.com
http://sgk2005.org/
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2014/05/01
数学月間SGK通信

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数学月間SGK通信　[2014.05.01]　No.000
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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■■数学月間を知っていますか
7月22日~8月22日は数学月間です．日本数学協会は，2005年に，
7月22日?8月22日を数学月間と定めました．
この期間は，数学の基礎定数 π(22/7=3.142..) とe(22/8=2.7..) に因んでいます．
「数学が社会を支えているのを知るとともに，逆に，社会の課題を数学が知る」機会
でもあります．この期間に，数学への関心を高めるイベントが各地で開催されるよう
応援しています．月間初日の7月22日には，数学月間懇話会を開催します．

■■お知らせ
数学月間懇話会（第10回）
日時●７月２２日，14:00-17:10
プログラム●
1.人口の集合関数としての「民力指数」
　松原望（東京大学名誉教授，聖学院大学）
2.スパゲッテイを巡る旅，
　中西達夫（株・モーション）
3.数学月間の狙と効用，今年の米国MAM
　片瀬豊，谷克彦（日本数学協会）
会場●東京大学（駒場）数理科学研究科棟，002号室
最寄り駅●京王井の頭線「駒場東大前」
参加費●無料
問合せ先●日本数学協会，数学月間の会（SGK）
sgktani@gmail.com，谷克彦（SGK世話人）
直接会場においでください．ご参加お待ちしています．
17:30より構内で各自払いの懇親会も予定しています．

■■数学に関心をもとう（連載）
米国MAMの紹介，英国MMPの紹介，日本の数学月間，数学まつりの紹介などを予定

4月は，米国Mathematics Awareness Month（MAM）の実施月でした．
今年は，マーティン・ガードナー（サイエンス誌で長期にわたり数学コラムを連載）
の生誕百年に当たるため，Maths, Magic and Mysteryがテーマでした．
米国MAMは，1986年4月18日のレーガン宣言により始まったもので，
数学への関心を喚起し産業や社会への数学の融合を狙っています．
米国MAMは毎年統一テーマを決めて国家を上げて実施されます．
選ばれるテーマは，複雑系，べき乗則，大量データの解析，など
現代社会にタイムリーなもので，これらは，次号から順次紹介して行く予定です．
英国でも同じような活動 Millennium Maths Project (MMP)が実施され，
生徒や学生，一般人への数学の啓蒙が行われています．これらも紹介しましょう．
我々の数学月間や数学まつりの話題も紹介します．

■■編集後記
「漢字が読めないのは恥だが，数学は出来なくても構わない」
と平気で語る大人たちのいる社会は問題です．
そのような両親では子供は数学嫌いになります．
論理を軽視する社会では正義が成り立ちません．
私たちの世界は不確かで危うい．
今，皆が信じている科学法則でも例外が発見されないとは限りません．
yes/noの答えを求めてもかないません．
私たちは，デジタル思考ではなく確率を正しく理解し判断する必要があります．

■
数学月間の会(SGK)片瀬豊・谷克彦
sgktani@gmail.com
https://sgk2005.org/

2014年の広報記録URL
kinat2014/12/30 12:12:22(0票)

◆数学月間懇話会（第１０回）
日時●７月２２日，14:00-17:10
終了しました．ご参加有難うございます．

◆大阪大学では以下の講座が開催されます．
(1)高校生のための公開講座
「多面体の不思議」
日時：8月12日（火） 10:00-12:00
場所：大阪大学理学研究科 D棟3階 D307
講師：村井聡　准教授
*事前申し込み不要，参加費なし
URL: http://www.math.sci.osaka-u.ac.jp/koukai/index.html
終了しました．

オープンキャンパス（大学説明会）
模擬講義：
「関数の傾きと形 -- 数学挑戦枠の入試問題から --」
日時：8月12日（火） 15:00-15:45
場所：大阪大学基礎工学部国際棟Σホール
講師：宮地秀樹　准教授
*無料，ただし事前申し込みが必要．詳しくは下記のURL：
http://www.math.sci.osaka-u.ac.jp/event/opencampus.html
終了しました．
◆　日本フィボナッチ協会，第 12 回研究集会
日時　8月24日(日) 13:00-17:30
場所　東京海洋大学越中島校舎
会費　1000円

◆　サイエンスセミナー2014in江戸川大学
江戸川大学駒木学習センター
7月25日,13:00ー17:00
http://www.edogawa-u.ac.jp/news/140625.html
終了しました

◆　とっとりサイエンスワールド2014in米子
2014年度〔西部〕は，日本数学教育学会第96回全国算数・数学教育研究（鳥取）大会
とコラボで実施されるので，会場が例年の児童文化会館とは異なるようです．
米子コンベンションセンターにて（8月2日12：00?16：00）
終了しました．

◆　とっとりサイエンスワールド2014in鳥取
8月31日
終了しました
◆　とっとりサイエンスワールド2014in倉吉
9月21日
◆日本数学協会年次大会，　9月14日，　
　　　東京大学（駒場），数理科学研究科棟

講演会のご案内
kinat2014/06/26 15:45:45(1票)

◆講演会のご案内
日本数学協会の第13回総会が開催されます：　6月1日，13:15-13:45
その後，講演会があります．講演会は会員外の方も参加自由です．
13:45-14:35　建部賢弘　生誕350周年を記念して，森本光生（四日市大学）
14:45-15:35　建部賢弘をめぐって，鳴海風（作家）
15:45-16:35　建部賢弘とそろばん，小川束（四日市大）
場所：大東文化会館ホール（東京都板橋区徳丸２-４-２１）

投稿のお誘い
kinat2014/04/03 18:13:15(0票)

ログインして，ここになんでもご投稿ください．

広報予告
kinat2014/04/03 18:10:22(0票)

◆4月1日より，米国MAMが始まりました．4月の毎日，パズルが１つ公開されます．
SGK通信でも毎日紹介します．
◆今年の”数学月間懇話会”のお知らせ
日時：7月22日，14:00-17:30
場所：東京大学（駒場）数理科学研究科棟002号室
無料
詳細はSGK通信に広報します．
ふるってご参加ください．

2014/07/29
とっとりサイエンスワールド2014in米子

8月2日（土）は「とっとりサイエンスワールドin米子」です．
2014年度〔西部in 米子〕は，日本数学教育学会第96回全国算数・数学教育研究（
鳥取）大会とコラボで実施されるので，会場が例年の児童文化会館とは異なるようです．
米子コンベンションセンターにて（12：00?16：00）

私も万華鏡で参加します．
米子では110人分用意しました．分数型の万華鏡を作製します．
以下に画像を掲載します：

2014/11/23
040_円による反転鏡映

007_インドラの網と反転円で言及したことがありますが
円による反転鏡映について，その性質や利用法を眺めて見ましょう．

◆円による反転鏡映の性質
下図に赤い円による反転鏡映の代表的な例を２つ示します．
・反転円をよぎる直線aを反転すると，反転円の中心を通る円Aになる．
・円bを反転すると，円Bになる．
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この性質を知っていると，色々なことに利用できます．
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例えば，このような図形はアルベロス（靴屋のナイフ）
といいますが，この中の幾何学世界の面白さなどです．

下図のアポロニウスの窓の中にある黄色の円とピンクの円は，
緑色の円を反転円として，それぞれ反転円内の黄色とピンクの円が
鏡映像になります．これらの鏡映像は平行な直線（黒）に挟まれた
領域内に入ります．
平行直線の左はアポロニウスの窓の外周円の反転鏡映，
平行直線の右はアポロニウスの窓内にある左側の大きな円（灰）の
反転鏡映像です．なぜなら，外周円も左側の大きな円（灰）も
反転円の中心を通っているので，鏡映像はどちらも直線になるからです．
アポロニウスの窓内にある初めの黄色い円もピンクの円も，外周円と
内部の左側の大きな円（灰色）に接しているので，
それらの反転鏡映像でもそのような状態が保たれています．

このようなことがわかると，以下のパップスの定理が導かれます．
アルベロスの中で，右側の大きなピンクの円の上に生じる
黄色の円（ω1），続いて生じる灰色の円（ω2），の系列を考えると，
「円ωnの中心と直径ABとの距離は円ωnの直径のn倍である」
（パップスの定理）ことがわかります
以下の図は，ω2の場合の例です．
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2014/10/28
037_因果律ピエール・キューリーの原理

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ことしは結晶学の生誕100年にあたります
結晶にX線ビ?ムを照てると，
結晶がブロック積みのような周期的な構造なら回折が起こります．
（結晶内部の繰り返し構造の周期と，X線の波長が好都合なことに同程度だったのです）そう考えたのはラウエでしたのでこの実験をラウエの実験と言います（1912年）．X線がレントゲンにより発見（1895年）されて間もない頃でした．
結果として得られたラウエの回折像には，その原因になった結晶内部の対称性が反映されているべきです．これは「キューリーの原理」という因果律です．
回折像を撮影して，小さくて目に見えない（~nm）結晶の内部構造の解析をしたのがブラック親子（1913年）です．
レントゲン(1901)，ラウエ(1914)，ブラック(1915)，それぞれノーベル賞をもらっています．

2014/10/28
037_結晶世界はデジタル

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大小いろいろな結晶がありますが，写真は全部，水晶の結晶です．
結晶個体は，いろいろな種類の結晶面で囲まれており，
その結晶面の大きさも結晶個体により様々です．
しかし，同じ組み合わせの結晶面どうしのなす角度は
どの結晶個体で測っても，同じになります．
例えば，黄色い面と青い面のなす角度は（各面に立てた垂線のなす角のこと）
どの結晶で測っても同じになります．⇒?面角一定の法則（1772）

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アウイ（1783）は，
「結晶は小さな単位胞がブロック細工のように積み重なって出来ている」
と考えました．→すなわち，結晶世界はデジタルな空間です！
それなら，現れる結晶面(上図の青い線)は格子点を載せている面なので，
面の傾きは有理数になります．→?有理指数の法則（1783）

2014/10/27
039_空間のデジタル化．伝統模様

◆平面のブラベー格子は５つのタイプがあります．
それぞれの繰り返し模様は，どの格子に対応しますか？

日本の伝統文様には美しい繰り返し模様がたくさんあります．
着物や食器，籠バック，インテリアなど色々な所で見られます．
どのような対称性があるか模様を鑑賞しましょう．

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2014/10/27
036_空間のデジタル化

◆空間のデジタル化
写真フィルムは連続な平面ですが，デジカメの感光面は半導体のドットが並んでいます．人間の網膜も視細胞が配列しているデジタル化された平面です．最近の交通信号は円の中に発光ダイオードのドットが配列しています．これらが平面のデジタル化の例です．結晶も原子や分子が詰まった単位ブロック（胞）があり，これがきちんと積み重なりできている周期的な構造で，デジタル化された空間の例です．
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◆平面のデジタル化の様式
無限に広がる平面の何処も均一なようにデジタル化する（ドットを配列する）なら，規則正しく周期的な構造になります．交通信号の円内は均一なデジタル化はできません．平面のデジタル化はどのような様式に分類できるでしょうか？
（注）周期的なドットの配列は「格子」と呼ばれます．
格子の様式分類は，研究した人の名前をつけて「ブラベー格子」と呼ばれます．
2次元の「ブラベー格子」は5種類あることを説明します．

対称性から分類すると,これらの５つのタイップがある．
これらから格子を作ったものが以下の図
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上図に示した緑色のタイルは「W-S（ウイグナー・ザイツ）胞」といいます．
このタイルを赤い格子点に配置すると平面がタイル張りされることを確かめましょう．さて，
これらの周期的平面は，格子点（周期的な平行移動で生じる点）をすべて同値と考えると，
１つのタイルの中に引き戻せます．
以下の図には，それぞれのタイルの対称要素を記入しておきました．
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上図左は，タイルの対称性が一目瞭然のW-S胞．右は，単位胞タイルです．
（注）単位胞の図を見るとわかるように，これらの５つはすべて単位胞に格子点が1つ含まれる1格子点胞です．
上段右の菱形胞を用いずに，面心型の2格子点胞を用いるのが慣例となっていることを申し添えます．

2014/10/23
038_対称性の話２

◆対称図形の重ね合わせ
正3角形の部品を複数重ね合わせると，一般に，全体の対称性は低下するが
配置の仕方により全体の対称性が上昇することもある．
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このようなことをとり上げている本は見かけませんが，とても面白い現象です．

◆対称性の重畳
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正6角形は正3角形の対称性を含んでいますから，正6角形と
正3角形を鏡映面が共通になるよう重ね合わせる（下左）と
正3角形の対称性が残ります．

正3角形と正6角形の回転軸をそろえて，鏡映面が共通でないように重畳すると，
結果は3回回転対称だけが残ります（上左）

他の図も同様ですので，各自確認ください．正6角形と正5角形の重畳の場合は，
6回回転対称と5回回転対称に含まれる下位の対称性（共通な部分群）はないので，
鏡映面の一致がなければ，対称性はなにも残りません（上右）．

2014/10/23
038_対称性の話１

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◆正3角形の対称性
正3角形は，中心に回転軸を立て右回りに120°回転しても，始めの
状態と全く同じで回転したかどうかわかりません．この回転を続けて２回
行い240°の回転になっても同様です．120°の回転を3回続けて行うと1回転して
始めの状態に戻ります．正3角形は3回回転対称があります．このような
回転軸を3回軸といい，記号は3と書きます．
その他に，正3角形は鏡映対称があります．図に示した赤い線が鏡映面です．
ここにある3枚の鏡映面は3回軸で互いに移り変われるわけで，
全部同じ性質です．従って，正3角形の対称性は，
3回軸と1種類の鏡映面があり，記号では3mと書きます．
◆正4角形の対称性
正3角形の場合と同様に，こんどは中心に4回回転軸があります．記号は４です．
正4角形を見ると鏡映面が4枚あることがわかります．図で赤線で描いた2枚と
オレンジ線で描いた2枚です．4回軸によって，赤い鏡映面どうしは互いに移り変われるし，オレンジ鏡映面どうしも移り変われますが，赤とオレンジの鏡映面は，互いに
移り変わることができません．従って，今度は2種類の鏡映面があることになります．正4角形の対称性は，記号で4mmと書くことに注意してください．

◆同様に，正5角形，正6角形の場合は，図のようになることを各自確かめてください．

2014/10/12
033_大阪大学公開講座

大阪大学理学部数学教室は，
現代数学の様相と数学研究の実際，自然科学や社会科学に及ぼす数学の影響，文化としての数学の在り方などについて，多角的な視点から易しく解説する公開講座を，高校生を対象に夏休みのこの時期に開催しています（ オープンキャンパスも同日実施されます）．
まさに数学月間の模範になるイベントで，毎年，杉田洋教授より情報を頂きSGKのwebに掲載しています．今年のテーマは，“多面体の不思議”でした．
2014年8月12日（火），10:00?12:00
会場： 大阪大学豊中キャンパス　理学研究科 D棟 D307教室
講師： 村井 聡（情報科学研究科情報基礎数学専攻　准教授）
毎年，興味深いテーマが選ばれ，私も参加したいと思いつつまだ参加できずにおります．今回のイベントでは受講生が殺到し,準備した教室に定員の2倍近い人（約100人）が集まり，来年は教室の選択を考える必要がありそうと伺っております．
（出席していないので以下は私の勝手な解説です）

多面体はとても古くから考えらてきた図形で、紀元前のギリシャ時代には既にその性質が調べられていました．
多面体で基本的な定理は，オイラーの定理V+F-E=2（３次元）が有名です．これを使うとプラトンの正多面体（凸多面体）が５つというのがすぐ証明できます．正多面体というのは，面が１種類の正多面体でできており，どの頂点のまわりの状態も同一なものです．正多面体の記述は，定義の本質を捉えているシュレーフリの記号を用います．正p角形が頂点にq個集まっている（同じことだが辺がq個集まっている）状態は，{p,q}と記述されます．３次元の多面体は，面が３個以上集まらないと作れませんし，面が正３角形の場合には，６個集まると平面になってしまいますので，正3角形の面をもつ凸多面体は，{3,q}，q=3,4,5しかありません．q=3の場合は正4面体，q=4の場合は正８面体，q=5の場合は正20面体です．
全ての面が合同な正3角形であるが正多面体でないものまで数えると8種類になりこれらをまとめてデルタ多面体と呼びます．
1種類で空間を隙間なく充填できる正多面体は立方体だけですが，2種類の組み合わせで空間を充填できる正多面体は，正4面体と正8面体です．
結晶学では良く知られていることですが，面心格子と体心格子というのも立方体と同じ対称性を持ち，それぞれのウイグナー-ザイツ胞（デリクレ胞とも言う）は，それぞれ菱形12面体，切頂正8面体になります．数学と諸科学［科学や造形］の関わり合いで現れる多面体の性質は，非常に興味を惹く話題です．

2014/10/12
034_結晶で見られる多面体（その２）

◆黄鉄鉱の結晶粒の外形には，多面体がいろいろ現れることを，
028号で述べました．整理すると下図のようです．
イメージ?1
さて，この図の中に正12面体や正20面体の外形が見られるようですが
結晶（周期的な内部構造をもつ）では，5回対称軸は存在できず,
5回対称のある正12面体や正20面体は外形にも生じないはずです．
詳しく調べてみると，黄鉄鉱の正12面体のような5角12面体は，
(2,1,0)面で囲まれているようです．＊ミラー指数
両者の多面体で二面角の比較をしてみましょう：
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
黄鉄鉱　　 　126.89°　(2回軸を挟む二面角）
正12面体　　116.57°
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
黄鉄鉱の外形（5角12面体）は正12面体ではありません．

◆ミラー指数
ミラー指数とは面の傾きの表示です．
下図のブロックのサイズは，x,y,z各１単位
（x,y,zの各単位は互いに等しくなくて，斜交軸でもかまいません）
例えば，(2,1,0)面の，x軸，y軸，z軸との切片は，1/2，1，∞です．
切片の逆数の比をとると，ミラー指数　2,1,0　が得られます．

結晶は単位ブロックが積み重さなった周期的な世界です．
周期的な世界（格子点が並んだデジタル世界）の格子点を載せた
面の傾きは有理数ですから，すべての結晶面のミラー指数は整数となります．

周期的な世界に5回対称軸は存在できませんので
結晶（周期的な内部構造を持つ）は，正20面体の外形になることはできません．
（注）“準結晶”には5回対称がありますが，周期的な世界ではありません．

◆黄鉄鉱pyriteの6面体，5角12面体と準結晶（正12面体）
イメージ?2イメージ?3イメージ?4

◆柘榴石garnetも立方晶系の結晶構造ですので
外形もさいころのような対称性を示します．
菱形12面体~24面体（これらは正多面体や半正多面体ではありません）
の晶系の変化があります．

写真はwebで拾った岩手県和賀仙人鉱山産の柘榴石結晶です
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2014/10/01
032_化学の日は10月23日

日本化学会，化学工学会，日本化学工業協会，新化学技術推進協会の4団体が，
10月23日を「化学の日」，その日を含む月曜日から日曜日までの1週間を「化学週間」と昨年制定しました．なぜ10月23日が？これはアボガドロ数6.02×10^23に因んでいます．これもやはり米国が先でNational Mole Foundationが10月23日をMole Dayと定め盛んな活動が行われているそうです．
早速，今年は産官学一体となって，化学の普及活動が国民的イベントとなるように呼びかけています．数学月間でもこのような取り組みが必要です．経緯を見てみましょう．

［以下，化学と工業,Vol67-9,2014,玉尾皓平氏（日本化学会前会長）の記事の抜粋］??
◆2年前の会長就任時に提案した2つの具体的提案を紹介します。
「全国一斉オープンキャンパス」：これが 「化学の日」と直結する提案です。各大学. 研究機関や化学企業で独自に行っているオープンキャンパスやオープンファクトリーを，「化学の日」「化学週間」にできるだけ 曰程を合わせて一斉に実施いただくことで，国民的イベントとして認知度を高めようとの取組みです。
「『夢・化学-21』の全国統一ブランド化」： 「夢・化学-21」キャンペーンの強化策として，そのロゴマークを意匠登録し，上で述ベたようなこれまでのすべての化学啓発活動にロゴマークを付してビジビリティの向上を目指すものです。

いずれもいわば全国区の活動ですが，期間限定型で集中的に盛り上げる企画と，通年活動型で全国津々浦々いつでも「夢・化学-21」ロゴマーク付きのイベントが行わ れている，という性格の異なる活動を2つ準備し，足並みをそろえて最大の効果を狙おうとする点が特徴です。提案4団体だけではなく，経済産業省や文部科学省，さらにはマスコミ関係者の賛同も得ており，産学官一体となった初めての本格的な取組みで，化学の啓発活動，市民権獲得にとっての決め手となるものと期待しています。

◆「化学の日」「化学週間」のイベントは？
「化学の日」を長く定着させるためには. 活動現場に新たなロードを課さないことが 重要と考えます。新たに企画するのではな くて，現在行われているイベントの開催日 をできるだけ「化学の日」「化学週間」の 日程に合わせていただくことで.最大の効 果を上げようとの考えです。すでに，各支 部や産業界に対して，日程調整のご協力を お願いしています。
ただ，初年度の今年は，「化学の日@開成学園」「化学週間@東京大 学」「子ども実験ショー@近畿」などのキックオフイベントを企画中です。
また，各種一般紙や月刊誌「ニュートン」「化学」「現代化学」「子供の科学」などへのPR記事掲載の企画も進んでいます。

2014/09/30
035_民力指数

今年の「数学月間懇話会」で松原望さんから「民力指数」についての
講演がありました．指数といえば「消費者物価指数」などが有名です．
数学で指数というのは桁（比率）の表現なので，例えば，基準年の物価
に対して何倍の変化があったかという「消費者物価指数」を，
指数というのは適当でありましょう．

しかし，「民力指数」の指数の意味はこれとは違うようです．
地域の「民力指数」とは，正の数値（スカラー）で，その地域の
生産・消費・文化，および，人口などの基本指標の関数として
（26種の経済統計量の関数として）定義されます．
これは朝日新聞が30年以上前に発案した定義だそうです．

地域の「民力指数」は，地域の経済活動力の表現になります．
都道府県に対する「民力指数」は全国を1,000に，市町村に対する
「民力指数」は全国を100,000になるように規格化します．

「民力指数」は数学的には測度であるので加法的であることが
松原さんの講演で指摘されました．
地域Aと地域Bの合併の「民力指数」の試算も合理性があり
色々な利用が期待できます．

2014/09/29
031_べき乗則と地震

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数学月間SGK通信 ［2014.09.30］ No.031
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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地震に関心が高まっていますが，地震は地殻の破壊現象ですから
“いつ”その地層がポッキリ折れるかという予知はできません．

◆地震の規模（マグニチュード）M
まず，地震のマグニチュードMとは何でしょうか？
これは地震のエネルギーEの対数です．
大体，地震のエネルギーの大きさの桁と思ってよいでしょう．
リヒターが当初発案したマグニチュードの定義は，
震央から100kmに設置したと仮想した，特定な型の地震計で
観測される最大振幅の対数でした．しかし，現在では
もっと理屈に合ったモーメント・マグニチュード
（あるいは気象庁マグニチュード）が採用されています．

◆起こり得る最大地震
地震で解放されるエネルギーは，生じた断層面の面積と
その平均変位とその付近の地層の剛性の積です
（大雑把にいえば生じた断層の長さに比例します）．
地層に溜まった歪エネルギーが地震で解放されるわけですが，
断層の長さが長い方が解放されるエネルギーは大きいし，
地層の剛性が大きいほど大きな歪エネルギーが蓄えられます．
これらから起こり得る地震の最大エネルギーを見積もると
M9.5程度と考えられています
（1960年のチリ地震ではM9.5が観測されている）．

◆べき乗則
地震の規模（マグニチュード）Mと発生頻度（回/年）ｎ
の間に　n=10^(a-bM)　の関係があります．
これはグーテンベルクとリヒターが発見しました．
a,bはその地域の地層の特性を表す定数でが，b≒1程度ですので
地震のマグニチューﾄﾞが1つ大きくなるごとに，地震の回数は1/10に減ります．
だからこれをべき乗則と言います．

地震の規模Mには最も発生しやすい典型というのがありません
（釣鐘型の正規分布ではありません）．
大きな地震は少なくなりますが，M=9あたりも起こり得るし，
そんな巨大な地震に見舞われると壊滅的なダメージです．
従って，頻度は小さいけれど致命的なダメージとなる巨大地震が起きても
被害が最小となるように対策する必要があります．原発は止めましょう．

クリーン・ルームのチリのサイズ分布もべき乗則だと言われています．
もし正規分布のように頻度の高いサイズがあるなら
そのサイズのチリの発生に注目した対策ができるのですが
べき乗則では特別な対策は困難です．でもこの場合は，
大きなサイズのチリが大きな被害を与えるわけではありません．

◆分布関数を求める実験
凍ったジャガイモを投げて砕き，破片のサイズ分布を調べた人が居ます
（南デンマーク大，1993年）．ここでもべき乗則が確認されました．
スパゲッティやクラッカーを砕くとどのようなサイズ分布になるか
実験した話が今年の数学月間懇話会で中西達夫さんからありました．

2014/09/23
030_とっとりサイエンスワールド2014in倉吉

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数学月間SGK通信 ［2014.09.23］ No.030
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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◆今年のとっとりサイエンスワールド2014（矢部敏昭会長）が
9月21日（中部，倉吉）で無事終わりました．例年のように
8月31日（東部，鳥取），8月2日（西武，米子）の計3回開催され
各回,1000人に達する参加者が集まりました．
スタッフも先生方100人＋高校生ボランティア60人の規模です．
8年目ですが，小さい子供から，両親，お年寄りまで，楽しみに集まる
算数イベントに定着しました．
イメージ?1

◆万華鏡は，各会場でそれぞれ異なる3角形の鏡の組み合わせを作りました．
西部110人，東部160人，中部110人用意しました．
鳥取でやったけれど倉吉にまた来たという小さい小学生もいたり，
彼女はすっかり内容を理解していてもうベテランです．大したものだ．
鏡の組み合わせが作る3角形が変われば，違うタイル張り模様が見られることを
知ることが眼目なので，色々な鏡の組み合わせの万華鏡や，
多面体が立体的に見える万華鏡などの展示物も用意して行きます．
これらの内で，2枚鏡の万華鏡の人気が高く
来年のリクエストとして聞いておきました．
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2014/09/16
029_4次元を見る万華鏡

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数学月間SGK通信 ［2014.09.16］ No.029
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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読者の皆様へ．
8月19日（025号）からまぐまぐの遅配が続いています．
特に，026号，027号はまだ配送されていない方があるようです．
届かない方がありましたら，ご一報ください．
これらの最近号では多面体に関する話をしています．

メルマガ更新は毎火曜日の朝7:00に行っておりますので，
以下のサイトでもご覧になれます．
http://blogs.yahoo.co.jp/tanidr/folder/545271.html　あるいは
https://sgk2005.org/htdocs/?page_id=32
??????????

 
◆4次元の正多面体は6種あるのですが，3次元以上が見えない私たちには
理解が困難です．
色々な図や説明が種々の本やwebで見られますが，どれもしっくりしません．
結局，4次元の正多胞体6種を最初に見つけたシュレーフリの説明が
最もわかり易いようです．（コクセター［幾何学入門］や
ヒルベルト，コーン・フォッセン［直観幾何学］に載っています）．
さて，このようなものを記述するシュレーフリの記号というのは
大変良くできています．この記号の仕組みを理解することが
4次元の理解に直結します．シュレーフリの記号を単純な例で見てみましょう．

◆3次元の正多面体の例
面（2次元）が頂点（0次元）で3つ以上集まらないと立体（3次元）はできません．
シュレーフリの記号は以下のようです．

（１）正4面体　　　　　　　　　{3,3}←シュレーフリ記号正3角形の面（2次元）が頂点（0次元）で３つ集まっている．
（２）正6面体（立方体）　　　　{4,3}←シュレーフリ記号
正４角形の面（2次元）が頂点（0次元）で3つ集まっている．

正多面体が記述の対象ですから，どの頂点まわりの状態も同じです．
 

◆4次元の正多面体の例
胞（3次元の多面体）が辺（2次元）で３つ以上集まらないと
4次元の立体はできません．
シュレーフリの記号は以下のようです．

（１）正5胞体　　　　　　　｛3,3,3｝
3次元正4面体｛3,3｝が辺（2次元）で３つ集まっている．
（２）正8胞体　　　　　　　｛4,3,3｝
3次元正6面体｛4,3｝が辺（2次元）で３つ集まっている．

正多胞体なので，どの辺まわりの状態も同じです．

（参考）　　｛4,3,4｝　というのはどのようなものでしょうか？
これは，3次元正6面体が辺のまわりに４つ集まっている状態ですから
角砂糖を頂点を合わせて無限に積み重ねたような状態．
これは3次元空間の中で無限に続く立方格子です（３次元で納まってしまいます）．

◆双対図形について
3次元の正多面体｛p,q｝の双対図形は｛q,p｝です．
｛p,q｝：正p角形の面が頂点でq個（辺がq本）集まっている．

この図形で面を頂点に変えた図形は，｛q,p｝となります．
同様に，｛p,q,r｝の双対図形は｛r,q,p｝になります．

◆4次元のイメージの万華鏡
雰囲気だけです（色々工夫していますが残念ながら困難なようです）．

2014/09/07
028_結晶で見られる多面体

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数学月間SGK通信 ［2014.09.09］ No.028
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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◆プラトンの正多面体は5種類あります．
これら5種類の正多面体の対称性を考慮して
方位を合わせ重ね合わせた図が以下のものです．
この図のように２つの正多面体を重ね合わせると
それぞれの多面体の対称性で共通なもの（共通部分群）が残ります．
イメージ?1
◆黄鉄鉱FeS2の結晶は，色々な外形（晶相）のものが見られます．
黄鉄鉱は愚者の金とも言われ金色できれいです．
私は，川底に金色の砂がキラキラ光って貯まっているのを見つけて
採集したことがあります．1mm程度の結晶粒ですが
皆整った多面体の形をしていました．
結晶の外形は，正6面体，正8面体，正5角12面体が基本で，
ミラー指数で言うと，正6面体は結晶面(100)面，
正8面体は(111)面，正5角12面体は(210)面で囲まれています．
このほかに，これら正多面体の切頂多面体も見られ，
また，他の指数の面(211)，(321)が加わった複雑な多面体もあります．
多面体の形が連続的に変化することを示す良い自然の手本です．
黄鉄鉱の結晶は立方対称の内部構造（原子の配列）ですが，
結晶粒の外形は，どの指数の面が大きく成長するかによって変わります．

◆そこで，昔読んだ記憶のある砂川一郎の論文（1957）を
再度見てみました．奈良県や島根県にある絹雲母の鉱床や凝灰岩の
母岩中に晶出した黄鉄鉱の結晶粒の大きさと形の統計を述べています：
「小さい結晶粒では正6面体，大きい結晶粒では5角12面体の外形が多い」
晶相の変化を起こす機構は大変複雑で一概に言えませんが，
黄鉄鉱結晶の成長に伴って大きく成長する面が，
正6面体の面（100）→正8面体の面（111）→5角12面体の面（210）
と変化し晶相が変る．これは結晶面の性質と母岩（絹雲母化）との
化学的反応がかかわっているらしい．
◆今回，砂川一郎の論文中の図が，
Tシャツとして博物館グッズになっていることを知りました．
http://ameblo.jp/hakubutufes-sub/image-11876822744-12970852035.html

2014/09/02
027_とっとりサイエンスワールドin鳥取

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数学月間SGK通信 ［2014.09.02］ No.027
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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「とっとりサイエンスワールド」in鳥取市（8月31日）に参加しました．
とっとりサイエンスワールドは今年で8年目になり，小さい子供から
お年寄りまで楽しめる市民イベントとしてすっかり定着しました．
学生ボランティア54人（短大・高45人，中9人）を含む先生方150人のスタッフで
運営され，大変さまざまなワークショップがあります．
私は万華鏡のワークショップで参加しました．
1時間のクラスを5回実施し，160人が自分の万華鏡を作りました．
イメージ?1イメージ?2

◆今年，鳥取で作ったものは，3枚鏡が作る3角形が，90°ー36°ー54°のものです．
交差する2枚の鏡が反射を繰り返し生じる結果が群をなすのは
2枚の鏡の交差角が360°を偶数で割り切る角度のときです．
通常の万華鏡はそのような鏡の交差角に設定されます：
例えば，60°(360/60＝６）．36°（360/36=10）などです．
これは，1817年のブリュースターの万華鏡の特許にも記載されています．
群をなすときには生じる映像は規則正しく美しく見えます．
しかし，今回作成した万華鏡は，3角形の１つの角の交差角だけが
54°（360/54＝6.666）と偶数で割り切れません．
このような角度に対応する所はどのような映像が見られるでしょうか？
数学では3周回ってもとに戻る（360°×3）ような空間を想像しても良く，
そのときは10回回転対称が完成するのですが，
実際の物理的な空間の光はそのようには回ってくれません．
他の2つの角の所では規則正しい映像になるのですが，
この角度の所だけ秩序が乱れることになります．
昨年のサイエンスワールドから，このようなシリーズの万華鏡を作っています．

2014/08/26
026_ケプラー予想

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数学月間SGK通信 ［2014.08.26］ No.026
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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この所，正多面体による空間の充填などを見てきました．
今回は，最密充填構造の話です．以下の本が参考になります：
ケプラー予想，ジョージ・G・スピーロ（青木薫訳）新潮社

◆ケプラー予想とは：
「3次元空間で最も高密度に同じ大きさの球を充填した状態は，
１つの球のまわりを12個の球が取り囲む状態で，
その空間充填率は74.04％である」というものです．
これは，結晶学では最密充填構造として常識になっていることがらです．
立方最密充填(=立方面心格子)，６方最密充填，および，両者の混合のポリタイプは
無数にありすべて同じ充填率74.04％です．この起源は1883年，結晶学者ウィリアム・バーロウが６方および立方の最密充填の２つの最密充填構造をネイチャーに掲載したことにあります．
バーロウは結晶空間群の数え上げ（フェドロフ，シェンフリーズもそれぞれ独立に数え上げた）でも有名です．

注：スピーロの著書p.23でバーロウの図に言及し，立方最密充填は6方最密充填とまったく同じ配置なのだ！」と言っているのは，数学と結晶学との見解の相違．
111面（切断）が同一であるのは当たり前で，その積層様式に結晶学的違いがあるのだ．

◆ケプラー予想は多くの人が挑戦しましたが，どうやってもこれより稠密な充填構造はつくれません．これより充填密度の高い構造はないという証明はとても難しいのです．このケプラー予想をヒルベルトは，1900年8月，第2回国際数学者会議の講演で，未解決の23の問題（ケプラー予想は第18問題）として提起しました．
周期的に規則正しく並べる（結晶）という条件では，ケプラー予想は証明できるのですが，不規則な並べ方まで含めてこれが最密であるということの証明はとても困難です．正4面体でも正8面体でも正12面体でも正20面体でも，単一では空間の充填ができません．前号で正4面体と正8面体を2:1で混ぜると周期的に空間が充填できることを示しましたが，それは面心立方の最密充填構造にほかなりません．さらに高密度な様式はないのだろうか？
例えば，立方最密充填では1つの球の周りに6個の球が囲み，上の段，下の段に3個づつ球が接します．上下の3角形が点対称であるような配置が立方最密充填，上下の3角形が周りを囲む6角形を鏡として鏡映対称であるような配置が6方最密充填です．
このような１つの球のまわりに12個の球が配置する構造と言っても，次のようなものがあります．
中心球の赤道面の上側から5個の球，下側から5個の球が接し，上下の正5角形が点対称に配置し，さらに，中心球の上下に球が1個づつ配置するのも12個配置です．これは正20面体配置と呼ばれます．しかし，この配置は局所的には充填密度が高いが，正20面体だけでは空間の充填ができません．
どうも数学的にエレガントな証明は無理なようです．

◆ケプラー予想の証明は，トマス・ヘールズ（ミシガン大学）によってコンピュータを用いたしらみつぶし法で完成したということです．ケプラー予想（1611年「六角形の雪について」という友人向けの小冊子にあるという）から400年近く経過した1998年のことです．
ヘールズはドロネーの四面体分割を基礎に，シンプレックス法で計算されました．
評価関数を導入して，密度の低い配置は減点，密度の高い配置は加点を繰り返すものです．300ページもあるヘールズの論文は，トート（Toth）ら審査員12人が4年かかってチェックしましたが最後まで詰められず99%正しいと報告されました．
そこで，2003年にヘールズ自身が証明支援ツール（HOL Light，Isabelle　など）を使いチェックを始めやっと証明できたと言います．コンピュータを用いる証明は「4色問題」の時にもありました．

2014/08/19
025_空間を充填できる多面体

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数学月間SGK通信 ［2014.08.19］ No.025
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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お盆休みも終わりました．
皆様お元気でお過ごしのことと存じます．
お知らせがあります．今までバックナンバーを
まぐまぐにすべて公開していましたが，
お盆休み中に，公開は最新号のみに変更しました．
バックナンバーをご覧になる場合には，
ブログ：http://blogs.yahoo.co.jp/tanidr/　あるいは，
公式HP: http://sgk2005.org/　で
メルマガ倉庫の項目をご覧ください．

◆今回は，空間を隙間なく充填できる正多面体についての話です．
正６面体（角砂糖の形）が隙間なく積み重ねられ空間を充填する
ことはご存知でしょう．
◆それでは，正４面体，正８面体はどうでしょうか？
どちらもそれだけでは隙間なく空間を充填することはできません．
しかし，正8面体と正4面体を1:2の比率で混ぜると
周期的に空間を隙間なく充填できます．
イメージ?2

イメージ?3

このパズルは,osa工房，小梁さんが販売しています．
さて，幾何学的にこのようなうまい構造を思いつくのは
特殊なことなのですが，
自然界でこのような空間充填構造はたくさんあります．
結晶学では，ダイヤモンドがこのような構造であることは
古くから知られています．半導体で知られるシリコンも
ダイヤモンド型結晶構造です．
イメージ?4

他の例では，ペロブスカイトと言う鉱物があり，
常温超伝導などの多くの有用な材料がペロブスカイト型の結晶構造です．
正8面体が骨組みを作っています．
イメージ?5
◆菱形12面体はこれだけで空間の充填ができる多面体です．
菱形12面体は，面心格子のウイグナー-ザイツ胞であるので
空間を充填できることは明らかです．

切頂正8面体は，体心格子のウイグナー-ザイツ胞であり
もちろんこの多面体も空間を充填できます．
イメージ?1
面心格子の格子点に原子を配置した結晶構造は，銅やアルミニウムなど
多くの金属の結晶構造で知られています．
また，体心格子構造は，鉄，タングステン，セシウムなど
多くの結晶構造で知られています．

◆今回の話の眼目は，純粋に数学的に空間充填構造を導くのは
とても大変なことですが，結晶学などでは昔から知られていたということです．
自然科学の分野から数学への多くの貢献がなされてきました．
結晶点群や空間群なども化学や鉱物学で発展し数学に貢献した例です．

2014/08/12
024_立体万華鏡(続)

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数学月間SGK通信 ［2014.08.12］ No.024
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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お盆休みの時期ですが，皆様いかがお過ごしですか．
今回のメルマガは，No.023に続き多面体に関してです．

（１）多面体の分類を整理しておきます．
■正多面体
1種類の正多角形で囲まれた凸多面体です．
頂点のまわりに集まっている多角形の状態は，すべての頂点で同じです．
もちろん，辺のまわりの状態もすべての辺で同じです．
プラトンの正多面体とよばれる5種類があります．
■半正多面体
２種類以上の正多角形で囲まれた凸多面体です．
頂点のまわりに集まっている多角形の状態は，すべての頂点で同じです．
しかし，辺のまわりの状態は，すべての辺で同じとは限りません．
アルキメデスの半正多面体といい13種類あります．
（右回りと左回りを区別するなら15種類）
特に，辺のまわりの状態が．すべての辺で同じものは，準正多面体と言います．
■準正多面体（半正多面体に含まれる）
立方８面体と12･20面体の2種類があります．

（２）菱形12面体と菱形30面体について
これらの多面体は，準正多面体の双対として得られます．
イメージ?1
■菱形12面体と菱形30面体を万華鏡で作ろう
イメージ?2

イメージ?3
■菱形12面体は空間を充填できる
実は，菱形12面体は，立方面心格子のウィグナー=ザイツ
（あるいはデリクレ）胞に他なりません．
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2014/08/12
023_立体万華鏡

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数学月間SGK通信 ［2014.08.05］ No.023
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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皆さま如何お過ごしでしょうか？書中お見舞い申し上げます！
現在，数学月間(7/22?8/22)の期間中です．暑い最中ですが
数学月間懇話会(7/22)，とっとりサイエンスワールドin米子
も無事終了しました．

■プラトンの正多面体

正多面体とは，次の（１），（２）を満たすもので，
特に凸多面体がプラトン正多面体と呼ばれる：
（１）すべての面が同一の正多角形でできている
（２）すべての頂点まわりの状態は同一である
従って，正p多角形が頂点まわりでq個集まっている正多面体は
{p,q}と表記できる．これを正多面体のシュレーフリの記号という．
イメージ?1
■５つのプラトン正多面体を万華鏡で作る

上図の各多面体には鏡映対称面がたくさんあります
（煩雑になるので記入していません）．
各多面体で3つの鏡映面を選び，これを鏡とする万華鏡を作れば
それぞれの多面体の映像が見られるでしょう．
ここでは，幾つかの多面体に共通な鏡映対称面を利用して
まとめてプラトンの正多面体の映像を生成してみましょう．
イメージ?2イメージ?3

2014/07/29
022_とっとりサイエンスワールド2014in米子

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数学月間SGK通信 ［2014.07.29］ No.022
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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8月2日（土）は「とっとりサイエンスワールドin米子」です．
2014年度〔西部in 米子〕は，日本数学教育学会第96回全国算数・数学教育研究（
鳥取）大会
とコラボで実施されるので，会場が例年の児童文化会館とは異なるようです．
米子コンベンションセンターにて（12：00?16：00）

私も万華鏡で参加します．
米子では110人分用意しました．分数型の万華鏡を作製します．

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2014/07/22
021_数学月間初日

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数学月間SGK通信 ［2014.07.22］ No.021
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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本日は数学月間（7/22-8/22）の初日です．
22/7＝3.14....＝π　，22/8＝2.7...＝e
数学に興味を集めるようなイベントが
各地で盛んになることを応援しています．
まず初日は数学月間懇話会です．
◆数学月間懇話会（第10回）
日時●７月２２日，14:00-17:10
1.人口の集合関数としての「民力指数」
　松原望（東京大学名誉教授，聖学院大学）
　14:10-15:10
2.スパゲッテイを巡る旅，
　中西達夫（株・モーション）
　15:20-16:20
3.数学月間の狙と効用，今年の米国MAM
　片瀬豊，谷克彦（日本数学協会）
　16:30-17:10
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会場●東京大学（駒場）数理科学研究科棟，002号室
最寄り駅●京王井の頭線「駒場東大前」
参加費●無料
問合せ先●日本数学協会，数学月間の会（SGK）
sgktani@gmail.com，谷克彦（SGK世話人）
直接会場においでください（開場13:30）．ご参加お待ちしています．
17:30より構内で各自払いの懇親会も予定しています．

◆幾何学的な消滅
さて，メルマガ020に掲載した　幾何学的な消滅　のその後の記事です．
メルマガ020の図面のように作製してみましたが，
断層を挟んだ行だけが明らかに（目立って）小さくなるのです．そこで，
初期状態のこの行だけ目立たない程度大き目に作ろうかと考えていたところ，
以下の動画を発見しました．
http://youtu.be/QbpfjM0NP7Q
さすがマジシャンもうひとひねりあったのです．

パーツ２は表面が（A)で裏面が（B)です．このパーツの断面形状は台形です．
◆結局，3コマ除去するとタイル1コマの3/7だけ縮みますので，
タイル1コマの長さを14mmとすると，部品２の表（A）と裏（B)では
裏の方が3mmだけ幅広にします．
この3mmは，部品2の上境界，下境界に1.5mmずつ振り分けます．
このように作ると，部品2を裏返したとき上境界と下境界で3mmづつ
（全体で6mm）長くなるので，6/14=3/7だけ延びることができます．
断面の台形が目立たないように厚手の板で作ります．

2014/07/22
020_幾何学的消滅

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数学月間SGK通信 ［2014.07.15］ No.020
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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幾何学的な消滅

◆7×9の板で1コマが幾何学的に消滅する
これは今年の米国MAMで取り上げられたマジックです．
http://www.mathaware.org/mam/2014/calendar/areapuzzles.html

まずは，アルゼンチンのマジシャン，ノルベルトジャンセンによるプレゼンを
ご覧ください．　http://youtu.be/3PszMaZ5Ipk
7x9のエリアにタイル片が配置されています，断層に沿って滑らせ
上部の左3コラム分と右4コラム分を入れ替えると，不思議なことにタイルが１つ減ります．
この操作を繰り返すたびにタイルが1つづつ減り３つまで減らせます．
タイルが1つ減っても，2つ減っても，3つ減っても，
元通りの7x9枠内にタイルはきちんと配置され変わらないように見えます．
これは不思議ですね．どうしてタイルが１つづつ余るのでしょうか？

ビデオを観察していると，タイルが消滅する原理がだんだんわかってきます．
原理理解を助ける図を以下に作成しました．
青色の面積がだんだん減じているのがわかります．

このおもちゃを作製して見ようとする方は，この原理図を参考にしてください．
数学マジシャンの使っているタイルのパーツは目地が太いですね
私の原理図には，目地はありませんが，作製するときは目地の効果も考慮すべきでしょう．
結局，断層をはさんだある行だけ，1コマ縦の長さが1/7だけ縮むので，
7コラムあるから面積としては1コマ分取り出せることになります．

◆なぜタイルが１コマ減るのか
左のコラムと右の3列を入れ替えると，１コマ減る．
１コマの高さをbとすると，断層を挟んでb/4だけ縮みます．
ただし，右端のコラムの断層ではコマ間の目地が消えるのが残念！

◆真ん中を取り除いたお札が再現できる
http://youtu.be/-h0AXeLIHqQ
お札の中心を取り除いて，裏向きにして並べると
完全な1枚が再現できたように見えます．
真ん中が消えるとは，あり得ないことが起ったように見えます．
数学マジシャンの使っているおさつの裏面には
再配列したときに完成するようなお札の裏面の絵が描いてあるので
お札が再現したように錯覚します．以下の原理図を参考に作製してください．

2014/07/12
019_完全なる建物：モダーン建築術を支える数学

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 数学月間SGK通信 ［2014.07.12］ No.019
 <<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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完全なる建物：モダーン建築術を支える数学
http://plus.maths.org/issue42/features/foster/index.html
Marianne Freiberger

建築術は，過去に，幾何学に対し素晴らしい業績を残した．自分の住む土地を測る必要性と共に，建物を建てる必要性から，形態と形の理論の研究が起こった．エジプトでの偉大なピラミッド建設から4500年がたった今日，数学は建築術に何ができるだろうか？　昨年［*2006年］の"数学と芸術デザインの連携を探る架け橋会議"（Bridges　conference）で， プラスは， Foster ＋ パートナー専門家モデリンググループの二人の建築家Brady PetersとXavier De Kestlierに出会った．彼らの作品を数学的視点から見る．

テームス川にかかるロンドンシティホール．内部の巨大な螺旋階段ケースに注目．
映像©Foster + Partners

Foster+パートナーは，Norman Foster とシニアーパートナーグループが指導する国際的に著名な建築スタジオである． ロンドンの30St Mary Axe (ガーキンGherkinとして知られる)や，ロンドンシティホール，大英博物館の大広場のようなランドマークを作った．進行中のプロジェクトには地上最大建設の一つワシントンDCのスミソニアン研究所の中庭，ロンドンのウエンブリースタジアム，北京国際空港がある．
Foster+パートナープロジェクトには共通な一点がある：巨大．これは，環境に最大限の影響を与えることを意味する．このような巨悪のデザインは，微妙なバランスの技である．建造物は構造的に健全で，美的に快いものであるだけでなく，設計規制，工費の制約，目的に良く合うこと，エネルギー効率の極大化などを遵守しなければならない．デザイン過程は，複雑な最適化問題に要約される．この問題を解く方法が，モダーン建築術と古代エジプトの建築術とで異なる：先進的なデジタルツールが，制約の膨大な配列を分析統合し，最適解を見出す．数学は建設される構造の形，知っておかなければならない物理的特徴を記述する．数学はコンピュータの言語で，モデリングのすべての段階の基礎になっている．

専門家モデリンググループ
Foster+パートナー専門家モデリンググループ（SMG）は，De KestelierとPetersがメンバーになっており，1997年に設立された．SMGの仕事は，建築家を助けて，プロジェクトのバーチャルモデルを創造することだ．”通常，チームは概念を持って我々のもとにやって来る” とDe Kestelierは語る．”スケッチか何かから，さらに発展させたものまである．そこで我々は，CADツールを用いるか，ツールを開発し，モデル作りで彼らを助ける

”パネルを収めた数学的表面．映像提供 ΕBradyPeters

コンピュータの助けを借り，その物理から外観まで，建物のほぼすべての様相を設計することができる．コンピュータ モデルで，建物の周囲を風が流れる様や，建物内部の音波の反響をシミュレートできる．グラフィックプログラムで，異なった数学的な表面を探究し，それらに異なった柄のパネルをはめてみることができる．そして，これらのモデルから手に入る情報のすべては，近年の建築 CAD ツールで最も重要な発明であるパラメトリックモデリングに連動できる．

30St Mary Axeの建築モデル.
映像 © Foster + Partners.

パラメトリックモデリングは，１９６０年代からあった．しかし，建築家がその力をフルに利用できるようになったのはついこの頃である．モデルは,諸君が建物に加えた変化により影響を受ける他の特徴を再計算せずに，建物のある特定の特徴をいじることを可能にする．これはたいへん強力なデザインツールである．左に示されているガーキンを例にとろう． もし，建物をもっとスリムにしようと思うなら，他の何らかの特徴が犠牲になるだろう．外側ライニングカーブやダイヤモンド型の角度など再計算が必要となる．これはまったくたいへんな仕事量で，もしなされたとしても，手書きであれ再プログラミングであれ，新しいスケッチを描きなおさねばならない．
パラメトリックモデルはこれらのすべてを諸君のためにやってくれる．変えないようにしようと決めた特性は固定されたままで，幾何学的特徴を色々変えることができる．モデルはスプレッドシートのような働きで，建物の特徴を変えることは， スプレッドシートの項目を変えるようなものだ．変化に応じ，ソフトウエアは先に決めた関係を保ちつつ，モデルを再度生成する．丁度スプレッドシートがそのすべての項目を再計算するようにSMG によって提供されたデジタルのツールが装備され，デザインチームは，短期間のうちにデザインオプションの莫大な範囲を探検することができる．チームは建物の幾何学的な特徴を変えて，変化がどのように，?例えば，気流，あるいは音響特性に?影響を与えるかを見ることができる．建てるのが難しいようなどのような複雑な形でも，探究することができ，単純な形へと分解することもできる．必要な材料はどれほどで，コストはいくらかもすばやく見積ることができる．複雑な形がほとんど建設不可能であったためと，最良な環境への適合に科学を充分使いこなせなかったため，数十年前には実現不可能であった建物が建設できるようになった．

ガーキン　［＊ガーキンとは”キュウリ”のこと］

ガーキンの周囲の気流のモデル．映像 © Foster + Partners.

ガーキン、は SMG が関与したプロジェクトの１つで，形がどのように制約を満足させるように選ばれたかの主要な例である．３０St mary Axe の公式名称で，高さ180m，ナイアガラの滝の3倍の高さ．他の高層建築に比べて，３つの際立った特徴がある：方形でなくむしろ丸い．膨らむ中央と先細るトップ．螺旋のデザインに基づいている．これらすべてが，純粋に審美的特徴となることに容易に気づく．だがそれだけでなく，これらは特定の制約を満足させる．
ガーキンサイズの建物の主要な課題は，周囲を吹き抜ける気流だ．ベースから旋風がまきおこり，近隣地域を不快な地にする． この問題を扱うために，SMG は建築家に，乱気流の数学に基づき，建物の空気力学特性をシミュレートするコンピュータモデルを使うように助言した．モデルは円筒状が方形のものより空気の流れへの応答が良く，旋風を減らすことを示した．中央が太く１６階で最大直径に達するものが，スリムなものより風の低減の助けになるということもわかった．
強風でくちゃくちゃにならないとしても，高層ビルの隣に立つのは恐ろしい．それは諸君を小さく見せ，低い建物の輝きを奪い，日光を奪い取る．これらの効果を最小に抑えるのは，ガーキンの特有な形である．膨らんだ中央と先細のトップは，下からトップが見えないようにする．かくして諸君を小さいとは感じさせない．太陽と他の景観は底から覗き込める可能性がある．

ガーキンの床面プラン. 映像 © Foster + Partners.

最初に決定されたこと，ガーキンが可能な限り持続可能な建物であるべきということだ．そしてこれは，自然な換気（エアコンの節約のため）と自然の日光照射（光熱費の節約）を最大にする形の選択を意味する．６つの三角形のくさび形を，建物の内部に貫入するように各フロアの円形プランから切り取る．これらは光の井戸の役をする．それらが作る光線は，自然の喚気を促進する．しかしながら，くさび形はお互いの直上には位置していない．空気力学のモデリングは， １つの床のプランが下の床のに対して数度回転していると，換気が最大になることを示した．それで， くさび形が作るシャフトは建物を昇る螺旋を作り，建物の外形により起こる空気の流れと，最適に相互作用する． くさび形のファサドの窓が自動的に開いて，新鮮な空気を建物に引き込む．慎重に選んだ幾何学の結果として，この建物は，同程度の他の建物に比べて，エネルギーが50%削減されたという．

ガーキンの内部．三角形のくさび形は，床面プランから切り取られる．それらは，光の井戸の役をするし，喚気も促進する．映像 © Foster + Partners.

ロンドンシティホール
ロンドンシティホールは，ロンドン市長，ロンドン議会，大ロンドン当局を収容する．ガラスの使用と内部の巨大ならせん階段が，透明性と民主的プロセスへの近づき易さを象徴しているようである． 外部から見たとき，最も印象的なことは，建物の奇妙な形である．

テムズ川にかかるロンドンシティホール．

テムズ川の土手の上に置かれて，建物は，川原の小石を思わせる．そのまるみが再び民主的な理想を思わせる．けれども，ガーキンと同じように，形が決められたのは，単に形のためだけではなく，エネルギー効率を最大化するためでもある． これを実現する１つの方法は，建物の表面積を最小にすることである．それにより，望まない熱の損失と流入を防ぐことができる． 諸君の中の数学者は，あらゆる形の中で，体積を基準にすると，球形が最も表面積が小さいことを知つている．これが，ロンドンシティホールが球に近い形をしている理由だ．
建物の不均衡も同じくエネルギー効率に貢献する：南面のオーバーハングが，ここの窓を上階の床で陰にして，夏季の冷房需要を低下させる．ガーキンでと同じく，コンピュータモデリングが，建物の中で気流が如何動くか示し，自然の換気が最大になるように建物内の形が選ばれた．実際，建物は冷房を必要としない．同程度のオフィス
スペースのエネルギーに比べ，たつた1/4と伝えられる．
螺旋階段さえ，単に審美的理由で選ばれたのではない．それらの分析の一部として，ロビーの音響効果，人々の声が適切に聞こえるような建物をSMGは設計した．初めは音響効果は，広いホール内をエコーが跳ねるという状態でひどく，何らかの対策が必要だった．Foster＋パートナーの過去のプロジェクトの１つが手がかりを提供した：ベルリンの Reichstag は大きいホールを含むが，大きい螺旋の傾斜路があり反響が起きない．SMG はロンドンのシティホールに同様な螺旋階段のモデルを作り，Arup Acoustics会社がこの新モデルの音響効果を分析した．諸君は，以下のアニメーションで，音が階段後ろに閉じ込められ，エコーが減じるのを見ることができる．このアイデアは最終設計に採用された． (アニメーション © Arup Acoustics.)

ロンドンシティホール

ガーキンの全貌．平面パネルが曲面を近似していることに注意．映像 © Foster + Partners

ガーキン，ロンドンシティホール，他の多くのFoster+パートナー作品がたいへんモダーンに見えるのは，外側が曲面であるためだ． これらは，名うての困難さで，建設費が高くなる．そこで幾何学者のチャレンジがある：単純な形から作る一番良い方法は何か？
” これは我々の主たるチャレンジの一つだ，”De Kestelierは語る，”我々のプロジェクトの実に99％は，いかなる曲面も使っていない．例えばガーキン，1種類の曲面パネルはトップにあるレンズのみ．建物が曲面という印象は，多数の多角形の平面パネルで曲面を近似的に作ることで生じる．パネルが多いほど錯視も真実味をおびる．
複雑な表面を記述するこのような平面パネル解を見いだすことで， SMG は専門家になった．De Kestelier が説明するように，幾何学［その形]は，しばしば経済により決定される：”我々は矩形に近いパネルを使う傾向がある．なぜならそれはいっそう経済的であるからだ．資材をカットするとき安くなる．三角形では，多くの材料ロスがあるが，矩形に近いとロスが少ない．矩形に近いと構造が少ないので，視覚的にもさらによい．”これは，表面が完全に矩形から成り立っているロンドンシティホールで例証される．実際、ロンドンシテイホールは，理想的な幾何学形と建設容易さのバランスをとる必要性をよく例証している：　扱い難い丸い形はスライスに切ることで扱われた．スライス一つ一つは，僅かに傾いたコーンで，容易に数学的に記述でき，平面パネルでの近似も容易である．

合理的な設計
数学的な方程式で記述されるコーンのスライス，トーラス，球などの表面は，しばしば，SMGデザインの基礎となる． これらを，バーチャルモデル創造に使うときに，数学的に生成される表面はコンピュータ上で容易に表現できるので，たいへん利点がある．多くの個別座標を蓄え記述する構造ではなく，方程式を蓄えるだけでよい．表面の正確な形は方程式のパラメータを変じて制御できる（例として下図を見よ）．平面解はやはり比較的容易に設計できる：ソフトウェアはオリジナルの表面のノードポイント集合に直線を引くようにする．

これらの表面は，関数z=e^-a(x^2-y^2) のグラフである．ここで，３次元座標系は，ｘ，ｙと垂直ｚ軸である． a は表面の形を決める．第一の表面はa=1 ，第二の表面はa=5 ，第三の表面はa=7 ．

数学的に定義された要素の集合からなる複雑な構造を考えるのは，バーチャル世界では有用ではない：実際にどのようにそれを建設するべきかを，建物モデルの建設の一歩一歩のガイドにつくる．合理化のこのプロセスは，もう一つの SMG の仕事の重要な部分だ．前と同じように，数学的な完全性は，実用性のために道を明渡さなければ
ならない:"２?３週間前に，誰かが楕円の一部である壁のプランのことで私のところに来た”De Kestelierは語る．”
もちろん楕円は数学的には描くのは易しい．それをさらに合理化することをなぜ望むのか？さて，私は楕円のこの部分を３つの円弧に合理化することを決めた．理由は，壁の建設で，コンクリート壁用の型が要るためだ．これは全体の形を建設するのに多くの型パネルを使ってなされる．もし諸君が楕円にしたいなら，すべての型パネルは異なっていなければならない：楕円の周囲を進むと，楕円の曲率はたえず変化しつづけるのだから． もし楕円をやめて３つの弧にするなら，諸君が必要とするのは，3セットのパネルだけで，各セットのパネルは同じである．これはずっと簡単になる．" 数学者に理想的なものは常に建築家に理想的であるわけではない．”

英国博物館の屋根．設計Foster+パートナー

博才の人
SMG が，建物の外見と気流・音響のような物理現象の双方をモデル化するには，コンピュータプログラミングを使う．幾何学［形］の理解は，デザインと建設プロセスに直結する． 建築家でなく数理科学の専門家なのか？SMGメンバーの8人中７人が，プロの建築家だが，専門的知識は，複雑な幾何学，環境シミュレーションからパラメトリックなデザイン，コンピュータプログラミングにまで及んでいる． グループの８番目のメンバーはエンジニアで，主プログラマーである．
こみいった数学に基づき，物理的特徴をモデリングするとなれば，チームはしばしば専門コンサルタントを使う．”チーム内で予備的な解析を行う．もしさらに知りたければ，別の解析を行う．我々は，専門コンサルタントとデザイナー間の接点となる， ”Petersは説明する．純粋数学，幾何学は如何？ どれぐらい複雑なのか？ "オフィスに１Ａレベルの本がある． ” とDe Kestelierが語る．結局のところ，それはすべて建設可能な構造を作ることに関わり，古典幾何学を越えるものはここでは用いない．
SMG の大部分の活動には数学が付随しているのだが，彼らのデザインとは，仕事に対して制限を与えるものであるとPetersとDe Kestlierは主張する． "悟るべき重要なことは，我々はアーキテクチャで働くプログラマーではなく，プログラミングをするアーキテクトだということだ，”De Kestlierは語る．Ptersは同意する：”我々の主な仕事はモデリングではない．プロジェクトのパラメータは何かを理解し，噛み砕き定義できる規則にする．我々は，何処に適応性があり何処に制限があるかを理解できるようにする．”制限の最適化と建設可能な物体の創造．もちろん，建築家はいつもそうしてきたし，PetersとDe Kesteierも建築の仕事は本質的には変わっていないと思っている．現代のデジタルツールにより，今日の建築家は，過去の世代には夢であったデザインオプションの領域も探索できるようになっただけだ．形と模様，科学とコンピュータの言語として，これらのツールを譲渡処分にしたのは数学だ．数学は，確かにその料金を取り戻している． （訳：谷克彦）
================

Xavier(左)とBrady（右）はFoster+Partnersのモデリング専門家メンバーである．
プラスは，ロンドンの数学と芸術ブリッジ会議（2006年）で，二人に出会った．
ブリッジ会議の詳細はウエブサイトhttps://www.bridgesmathart.org/にある．
著者：Marianne Freiberger（プラス編集者）

2014/06/28
017_数学が映画を作る（上）

今回も，MMP,plusマガジン42号の翻訳です（2回に分けて掲載）．
(2007年の数学月間懇話会で配布したものです）
数学が映画に入る
http://www.plus.maths.org/issue42/features/lasenby/index.html
Joan Lasenby
ポップコーンは手に入れたか？よい席は選んだか？座り心地は良いか？
それではタイトルロール....
◆数学が誇らしげにプレゼント....
映画の中の信じられないほど真に迫ったコンピュータで作られた映像に，
皆な驚く．ジュラシック・パークの恐竜，ロード・オブ・ザ・リングズの不思議 ----
--- 特に，ガーラムの出演者 --- は，数学なしではできなかった
ということを知らない人が何と多いことか．
どのようにして，これらの驚くべき映像が作られるのだろう？  
コンピュータ・グラフィックス，コンピュータ・ビションは大きな課題だ．
この記事では，完成作品に使われる数学のいくつかを簡単に概観する．
最初に映画の世界を創造し，次にそれを生活へ持ち来たそう．
◆場面を作る
最初の対象物は，三角形のような単純多角形よりなる針金骨格として作られる．

コンピュータ生成映画を作る第一ステップは，物語中のキャラクターや，
それらが棲む世界を創造することだ．これら対象物のそれぞれは，
接続された多角形（通常は三角形）で構成された表面として作られる．
各三角形の頂点は， コンピュータメモリにストアされる．
どの三角形のどちらの面が，物体やキャラクターの外側であるかを知ることは重要だ．
この情報は， ストアされている頂点の順番として，右ネジの規則に従い記号化される．
これで，どちらが外か一意に決まる．
［頂点の順番に従い，三角形の周りを右手の指を人差し指，中指，．．と回したとき］
諸君の親指が向いているのが三角形の外側だ．例でやってみよう．
三角形（A,B,C）の外側方向（外側法線）は，三角形（A,C,B）の外側方向と
反対であることがわかるだろう．
右ネジ規則で定義された（A,B,C)の外側法線は(A,C,B)とは反対方向
諸君の視点からファセット面までの光線を追跡しよう．光線は反射して光源を通過するか？

いまや対象物の表面は三角形の針金網だ．網のコンポーネントのそれぞれを彩色する準備ができた．
我々がモデル化している光景のライティングを，実際と同じにすることが重要である．
これは光線追跡と呼ばれるプロセスを用いなされる．視点から物体へと遡り光線追跡し，
反射させる．もし，目から出た光線がファセット面（針金網三角形の中の一つ）で反射され，
光源を通過するなら，そのファセット面は光源に照らされ明るい色，もし，
反射された光線が，光源を通過しないなら，そのファセット面は暗い色の影付をする．
光線を特定のファセット面まで追跡するには，表面を数学的に記述し，
光線とファセット面の平面とが係わる幾何学方程式を解くことが必要になる．
これはベクトルを用いなされる．光景の３次元座標系に，視点となる原点(0,0,0)を加える．
ベクトルv=(a, b, c)は，原点から発し座標  a, b, cで終わる矢である．
例えば，vにスカラー2を乗ずるのは，規則  2v=2(a,b,c)=(2a,2b,2c)に従い行う．
2vはvと同じ方向で２倍長い矢だ．
表現λvを見よう．λは変数（言い換えれば，任意の実数）．
これはもはや，ある長さの矢ではない．長さが変数になったのだから．
矢の方向だけを表している．別の言葉でいえば，この表現はベクトルvを含む直線を表す．
それは我々の視点からベクトルvの方向に発する光線を記述する．
三角形のファセット面で定義される平面は，３つの情報で表現される：
３頂点のうちの１つの位置頂点a1
と，a1
からa2
へのベクトルと，a1
からa3
へのベクトルである．
下の囲みの中に，目とファセットで決定される面から発する一本の光線の方程式を与える．
光線がファセットをよぎるか否か，何処でよぎるかを知り，反射された光線の方程式を計算するには，
これらの2式を解かねばならぬ．
------------------------------------------
光線の表現  r=λv
頂点  a1
, a2
, a3
のファセットが定義する平面の式
r=a1
+μ1
(a2
-a1
)+μ2
(a3
-a1
)
-------------------------------------------
（光線追跡の数学の詳細は，Turner Whittedの革新的な論文
”影付け表示のための改良された照明モデル”，
Communication of the ACM,Vol.23,Isuue6に見ることができる．）
光線追跡は現実味ある光景を作り出すことができるが，たいへん遅い．
これはコンピュータが作る映画の製作には用いることができるが，
コンピュータゲームのようにリアルタイムで照明を変化させることが必要な場合問題である．
影や火線束（コースティク）［収差による回り込みでできる光像］，
多重反射のような複雑な現象は，モデル化が困難で，動的あるいは
もっと巧妙な数学的な手法，事前計算放射輝度伝搬（PRT)や
ラジオシティ（R)が使われる．
コンピュータゲームDOOM3，Neverwinter nights はダイナミックライティングが必要だ．

◆必要なのは若干の想像力
光景，照明が出来てしまえば，監督が”アクション！”と叫び，キャラクターが動き出すのを待っばかりだ．
いまや，数学がイメージに命を吹き込むのを確かめよう．
最も基本的な物体の動きの一つは，与えられた軸の回りの与えられた角度の回転である．
座標幾何学は，回転後の物体各点各点の位置を計算するツールを提供する．
だがこれらのツールは効率的で高速であることが重要だ．
これらのツールを見るにあたり，数学授業に一寸立ち寄って見る．．．．
［この後，複素平面のこと，複素数に虚数iを乗じると反時計回りの90度回転になること，
などの説明があるが略］．．．．．．．．
1806年にアマチュア数学者Jean Ribert Argandは複素数とiに幾何学的な解釈を与えた．

複素数を乗ずることは，幾何学的には回転を表す．

◆3Dへ
Broone橋にある記念プレート，Hamiltonが４元数を発明したときこの橋の下を散歩していた．

数学者William Rowan Hamilton卿はDublinのTrinity学寮の最も著名な息子であろう．
彼は最後の20年，複素数が２次元の回転を表すのと同様な，３次元の回転の表現を捜し求めた．
人生の最後にHamiltonは，4元数という答えを見出した．
⇒次号に続く

2014/06/24
016_数学月間お知らせ

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
数学月間SGK通信 ［2014.06.24］ No.016
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
■plusマガジンの記事について
2号に分けてplusマガジンの翻訳を掲載してみました．如何でしたでしょうか．
全体，海外のマガジンは冗長と思います．でも，わかり易く親切な所もあります．
今回の14&15号に掲載した論文がplusマガジンにでた頃，
翻訳配布について問い合わせたことがあります．
全文をこのまま翻訳するなら良いと言う返事でした．

■数学は「事のなりたちの本質を見極める」
次のようなジョークがあります..................
天文学者、物理学者、そして数学者がスコットランドを走る列車に乗っている。
天文学者は窓の外を眺め、一頭の黒い羊が牧場に立っているのを見て、
「なんと奇妙な。スコットランドの羊はみんな黒いのか」と言った。
すると物理学者はそれに答えて「だから君たち天文学者はいいかげんだと馬鹿にされるんだ。
正しくは『スコットランドには黒い羊が少なくとも一頭いる』だろう」と言う。
しかし最後に数学者は「だから君たち物理学者はいいかげんだと馬鹿にされるんだ。
正しくは『スコットランドに少なくとも一頭、少なくとも片側が黒く見える羊がいる』だ」と言った。
.........
なるほどと感心するジョークではあります．
おそらく，私たち一般に近いのは物理学者（工学者）の感覚でしょう．
数学とは，厳密で正確だという所を強調したのがこのジョークの趣旨です．
なるほど，そのようなつき合い難い性格の数学者も多いことでしょう．
しかし，重箱の隅を突っつくような厳密さが数学ではありません．
事（あるいは現象）の成り立ちを支配する本質はなにかを追求するところにあります．
事を飾っているあらゆる装飾を取り去り，事の因果関係だけを顕にする．
こうして得た本質は，無駄の一切ない抽象的な命題となります．
別の言い方をすれば，数学の練習問題には色々な解き方があって，
論理が正解ならばどれでも正しいわけですが，
一番美しい解き方は，回り道がなく本質にズバリと迫るものです．
（補助線一本で謎がすべて氷解するというのがその例です）
これは，数学に限ったことではない．求められているのは何かを
的確に判断し，話をそらさずに誠実に対応することにつながります．

■複雑系は不確かな世界．確率の2値化は我々の意思で！
社会の色々な現象は非常に複雑で多くの因果関係が絡み合っています．
一人の人間でも望む理想とその行動とが首尾一貫していないようですし，
その集合としての社会の動きはとても危うい．
論理を重要視しない社会に正義や公正はありません．
専門家が科学的に結論を出せると思うのは大きな間違いです．
学識経験者などという定義のわからないものもありますし，
複雑系は不確かな世界で，yes/noの答えを望んでも存在しないものですから．
数学（統計）で得られるのは確率までで，これをyes/noの2値化をするのは
国民の一人一人で，科学で決定できない「トランス・サイエンス」の領域になります．

■統計学は恣意的に利用されることが多い．
統計学自体は数学的に正しいのですが，集めたデータに問題があることが多いようです．
選択肢の論理がおかしいものや答えようもないアンケートから，
いったいどのような結論が引き出されるでしょうか？
結論に合うような都合の良いデータの母集団を恣意的に用いたりもします．
このような利用のされ方をすると，統計学や数学の信用を落とすことになります．
私たちは，処理された数値やグラフを見ても，その欠点を見抜くことは困難です．

■■お知らせ
7月22日?8月22日は数学月間です．
この期間は，数学の基礎定数 π(22/7=3.142..) とe(22/8=2.7..) に因んでいます．
（予告）......
講演１は，私たちが知っておくべき統計学の話です．
講演２は，変わった表題ですが，スパゲティを砕くと破片の分布はポアソン分布
クラッカーを砕くと破片の分布はべき乗則に従うという実験の話です．
講演３で私は今年の米国MAMの話題をとり上げます．

■数学月間懇話会（第10回）
日時●７月２２日，14:00-17:10
プログラム●
1.人口の集合関数としての「民力指数」
松原望（東京大学名誉教授，聖学院大学）
2.スパゲッテイを巡る旅，
中西達夫（株・モーション）
3.数学月間の狙と効用，今年の米国MAM
片瀬豊，谷克彦（日本数学協会）
ーーーー
会場●東京大学（駒場）数理科学研究科棟，002号室
最寄り駅●京王井の頭線「駒場東大前」
参加費●無料
問合せ先●日本数学協会，数学月間の会（SGK）
sgktani@gmail.com，谷克彦（SGK世話人）
開場13:30，直接会場においでください．ご参加お待ちしています．
17:30より構内で各自払いの懇親会も予定しています．

2014/06/24
016_数学月間お知らせ

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数学月間SGK通信 ［2014.06.24］ No.016
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
■plusマガジンの記事について
2号に分けてplusマガジンの翻訳を掲載してみました．如何でしたでしょうか．
全体，海外のマガジンは冗長と思います．でも，わかり易く親切な所もあります．
今回の14&15号に掲載した論文がplusマガジンにでた頃，
翻訳配布について問い合わせたことがあります．
全文をこのまま翻訳するなら良いと言う返事でした．

■数学は「事のなりたちの本質を見極める」
次のようなジョークがあります..................
天文学者、物理学者、そして数学者がスコットランドを走る列車に乗っている。
天文学者は窓の外を眺め、一頭の黒い羊が牧場に立っているのを見て、
「なんと奇妙な。スコットランドの羊はみんな黒いのか」と言った。
すると物理学者はそれに答えて「だから君たち天文学者はいいかげんだと馬鹿にされるんだ。
正しくは『スコットランドには黒い羊が少なくとも一頭いる』だろう」と言う。
しかし最後に数学者は「だから君たち物理学者はいいかげんだと馬鹿にされるんだ。
正しくは『スコットランドに少なくとも一頭、少なくとも片側が黒く見える羊がいる』だ」と言った。
.........
なるほどと感心するジョークではあります．
おそらく，私たち一般に近いのは物理学者（工学者）の感覚でしょう．
数学とは，厳密で正確だという所を強調したのがこのジョークの趣旨です．
なるほど，そのようなつき合い難い性格の数学者も多いことでしょう．
しかし，重箱の隅を突っつくような厳密さが数学ではありません．
事（あるいは現象）の成り立ちを支配する本質はなにかを追求するところにあります．
事を飾っているあらゆる装飾を取り去り，事の因果関係だけを顕にする．
こうして得た本質は，無駄の一切ない抽象的な命題となります．
別の言い方をすれば，数学の練習問題には色々な解き方があって，
論理が正解ならばどれでも正しいわけですが，
一番美しい解き方は，回り道がなく本質にズバリと迫るものです．
（補助線一本で謎がすべて氷解するというのがその例です）
これは，数学に限ったことではない．求められているのは何かを
的確に判断し，話をそらさずに誠実に対応することにつながります．

■複雑系は不確かな世界．確率の2値化は我々の意思で！
社会の色々な現象は非常に複雑で多くの因果関係が絡み合っています．
一人の人間でも望む理想とその行動とが首尾一貫していないようですし，
その集合としての社会の動きはとても危うい．
論理を重要視しない社会に正義や公正はありません．
専門家が科学的に結論を出せると思うのは大きな間違いです．
学識経験者などという定義のわからないものもありますし，
複雑系は不確かな世界で，yes/noの答えを望んでも存在しないものですから．
数学（統計）で得られるのは確率までで，これをyes/noの2値化をするのは
国民の一人一人で，科学で決定できない「トランス・サイエンス」の領域になります．

■統計学は恣意的に利用されることが多い．
統計学自体は数学的に正しいのですが，集めたデータに問題があることが多いようです．
選択肢の論理がおかしいものや答えようもないアンケートから，
いったいどのような結論が引き出されるでしょうか？
結論に合うような都合の良いデータの母集団を恣意的に用いたりもします．
このような利用のされ方をすると，統計学や数学の信用を落とすことになります．
私たちは，処理された数値やグラフを見ても，その欠点を見抜くことは困難です．

■■お知らせ
7月22日?8月22日は数学月間です．
この期間は，数学の基礎定数 π(22/7=3.142..) とe(22/8=2.7..) に因んでいます．
（予告）......
講演１は，私たちが知っておくべき統計学の話です．
講演２は，変わった表題ですが，スパゲティを砕くと破片の分布はポアソン分布
クラッカーを砕くと破片の分布はべき乗則に従うという実験の話です．
講演３で私は今年の米国MAMの話題をとり上げます．

■数学月間懇話会（第10回）
日時●７月２２日，14:00-17:10
プログラム●
1.人口の集合関数としての「民力指数」
松原望（東京大学名誉教授，聖学院大学）
2.スパゲッテイを巡る旅，
中西達夫（株・モーション）
3.数学月間の狙と効用，今年の米国MAM
片瀬豊，谷克彦（日本数学協会）
ーーーー
会場●東京大学（駒場）数理科学研究科棟，002号室
最寄り駅●京王井の頭線「駒場東大前」
参加費●無料
問合せ先●日本数学協会，数学月間の会（SGK）
sgktani@gmail.com，谷克彦（SGK世話人）
開場13:30，直接会場においでください．ご参加お待ちしています．
17:30より構内で各自払いの懇親会も予定しています．

2014/06/21
015_鳥の群れのシミュレーション（下）

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数学月間SGK通信 ［2014.06.21］ No.015
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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014号よりの続き

◆揺動させる
もう一つの重要なモデリングパラメータはランダムジグリングである
（プログラム中にrandomJiggleと記す）．
各鳥周囲の鳥の平均飛行方位の査定がいつも正確になされる訳ではないという事実を考慮に入れよう．プログラムが時時刻，各鳥の方位を更新するとき，ランダムジグリング変数により与えられる範囲内のランダム角で調整されるようにする．
10°より小さいrandomJigle値なら，群れは最終的に一方向への一体運動になるが，randomJiggleを180°にセットすると系は塵微粒子のブラウン運動のシミュレーションと同じになる．
ガス分子の例のように，このモデルをさらに自然に近づけるいくつかの方法がある．
このヒントのいくつかはプログラムファイルの末尾にある．

◆単純さと速度
モデル記述で重要な因子は，用いるアルゴリズムの効率である．
”アルゴリズム”の起源は，アラブの数学者al-Khowarazmiの名前であるが，”仕事を完成させるための一連の指示”を意味するようになった．
ここの鳥の群れの例で用いたアルゴリズムは，おそらくそれほど自然ではない．
本当の鳥は，他のすべての鳥の位置を記録し，自身と他のすべての鳥間の斜辺距離を計算し，正確に5ｍ内のものを選択し，それらの進路の算術平均の方位に向けて舵を切るなどということはしない．
これらのステップは，追従が容易で，望ましい結果が得られるので，
モデルとして選ばれたのだ．これは，なかなか冗長な方法だ．
一つの鳥から他のすべての鳥までの距離を計算しなければならない．
これを順番にそれぞれの鳥について，各時間ステップごとに行う．
高速なデスクトップコンピュータでも，鳥の数が500より大きいとシミュレーションはゆっくりゆっくり進む．

そこでモデルのデザインでは，仕事をどのように達成するか考える必要がある．
可能な限り速いアルゴリズムを使うか，現実の系の現実の方法に近づけるか，単純に効率は悪いかもしれないが仕事はできる方法にするか．プログラミングで，しばしば，特定の仕事部分のアルゴリズムを関数にするのは良いアイディアだ．
こうすればプログラム内で特定の計算が必要になったときいつでも呼び出せる．
（鳥の群れのコードを見れば，MeanHeading()関数でこれがなされるのを見るだろう．）
見守る間にシミュレーションがずっと速く走るようにしたければ，プログラムを２つの段階に分割するとよい．
最初は，コンピュータを貪り尽くすようなすべての計算を通して行い，各時間ごとに系の状態を別々な行列として記録する．
この計算の後は，例えば1000回の時間間隔の行列リストの束のような３次元行列に行き着く．
シミュレーションを一回通しで行えば，すべての情報が保存される．
第二のステージは時間ステップごとに順番に表示する（今度は計算処理のために待つ必要はない）．
あたかもアニメーションを見るのに，行列の本の頁をパラパラするようなものだ．
我々は，単純な鳥の群れシミュレーションに絞ってきた．
コンピュータプログラムの構造，特定の仕事をするアルゴリズムや関数の記述などのコンピュータモデリングの重要な様相が浮彫りになるからだ．
このように単純なモデルでも，複雑で大変自然に近い群れのふるまいが作れる．
これはまさに，動物研究者が作ろうとし，理解しようとした鳥の群れのふるまいや，魚の群れのコンピュータモデルだ．
例えば，Iain Couzin博士が動物のふるまいを理解するために巨大グループのコンピュータモデルを使つている．
彼のモデルは，この論文で見てきたものとまったく同じ原理に基づいており，同様の複雑性がみごとに出現する．
モデルはさらに複雑になっており，（我々の2次元平面を超え）３次元で動き，冗長だが現実に近い各個体のふるまいを制御する規則の集合を持つ．
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◆Iain Couzin
イアンは，プリンストン大学とオックスフォード大学の両方に拠点を置く動物行動の専門家だ．バッタから魚，鳥に至るまでの群れのダイナミックスのコンピュータモデルを作った．
彼の研究は，如何に動物の群れが集団としての決定をなすか驚異的な特徴を見いだすことと，アフリカの政府機関の行うバッタの致命的な群移動コントロールを手伝うことだ．最近まで，イアンは群れがどのように肉食動物のアプローチに反応するかに集中していた．
諸君はイアンの研究の詳細をhttp://www.princeton.edu/?icouzin/で読むことができる．
下の映像は彼のモデルの一つから作ったビデオの静止画だ．
ＢＢＣのドキュメンタリシリーズ”肉食動物”で使われた．

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◆重力モデル
この種類の粒子運動モデリングの拡張は，地図をよぎって伸びる効果を含めることである．
このわかりやすい例は，重力である．
重力は消えそうなほどわずかかもしれないが，太陽の重力の影響は非常に長距離まで達する．
processingを使い単純な重力モデルを作るには，太陽としてスクリーンの中心に小円を描き，
他のすべての点から太陽までの方位と距離を計算する関数を記述する．これで，諸君のモデル化した世界にある
粒子が影響を被り速度を変じる重力を計算できる．
ランダムな位置に置かれランダムな速度を持った惑星でシミュレーションを初期化し，これらの太陽の周りの円弧運動をアニメートしよう．次の時間ステップのこれらの位置は，現在の重力と速度で決定される．諸君はプログラムを，各惑星が後ろに軌道の軌跡を残すように変更することもできる．
（draw()関数BYの背景コマンドを取り除く．ラインの始めに//でコメントにする）．

何十億という星がアンテナ銀河の衝突の間に形成された．
下に示した銀河衝突モデリングで色々見いだそう．
このイメージはハッブル宇宙望遠鏡で撮影された（ＮＡＳＡ提供）．

太陽系の表示のために，各惑星の円軌道を生む速度を注意して解く必要がある．太陽系の圧倒的な支配力，太陽の重力だけを含めば，第一近似で正確なモデルができる．
だが，巨大ガスの木星は他の惑星に注目すべき影響を与える．
このような二次的な効果を含めるなら，さらに正確なモデルができる．
水星の軌道を完全に観察に合わせるには，もっと複雑なレベルが必要で，アインシュタインの相対性理論?これはNewtonの重力の法則よりも，ある特定の状況では正確?を含める必要がある．
再度，モデリングのコツは，月面に人を着陸させるアポロプログラムが含める必要のある詳細の最小量を巧みに考慮することだ．
単純な Newtonの重力モデルで地球と月の影響以外のすべてを無視している．
すべての粒子が互いに相互作用するもっと大きな重力系ダイナミックスのモデリングは，非常に高速なコンピュータで膨大な計算が必要で，極端な”計算浪費”である．
しかし，このような数値シミュレーションは多くの研究者にとって極めて重要だ．例えば，下の枠中に，２人の主導的な研究者の仕事に焦点を合わせ，過去と未来の何十億年のイベントを見る．
世界を打ち砕く衝突を通して月が作られ，我々自身の銀河と我々の最も近くの隣人の巨大な重力の引きが，何十億年もの年を超えお互いを分裂させるであろう．
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◆Robin Canup
ロビンはデキサスのサウスウエスト研究所の宇宙科学者だ．
彼女は月がいかにして形成されたかに興味を持ち，太陽系生成の初期に，若い地球がより小さい原始の惑星に衝突した時のイベントから月が生まれたという理論をテストした．
彼女のコンピュータモデルは衝突の熱で地球全体が融け大量の岩が宇宙に放出され，その多くは衛星の軌道でに合体し月になった．
http://www.boulder.swri.edu/?robin/でもっと多くを見ることができる．

-----
◆John Dubinski
ジョンはトロント大学で全銀河のダイナミックスを研究している宇宙物理学者．
我々の銀河，天の川，アンドロメダと呼ばれるらせん銀河の隣人は重力的に互いに引き合っていて，500,000km/時間でお互いに向かって落ちて行く．
２人がお互いを破壊する（とき・から・につれて・ように）、
これらの２つの巨大銀河が星の大きい細長い布をもぎ取って、合流し始めるであろうとき、
ジョンは将来の30億年の時間のモデル作りにスーパーコンピュータ使い，
これらの２つの巨大銀河が混合し始め，
星の巨大な細長い布をもぎ取り2つの裂け目のようになる．
驚異的なのは，このすべての混乱にもかかわらず個々星間のギャップは
非常に大きいので，実際には一つも衝突しないであろう．
我々の太陽の運命は不確実である．
しかしそれはあるいは銀河間の宇宙の暗虚に排出されるか，
混合銀河の密集しているコアに飛び込むかである．諸君は，
http://www.cita.utoronto.ca/?dubinski/tflops/で，
地球の夜空の景色も含めて，さらに色々な映画を見ることができる．

-----
◆著者：Lewis Dartnell
ルイスはオックスフォード，クイーンズ・カレッジで生物科学を専攻している．
現在［訳注:2004年当時］，生命科学と実験生物学の数学と物理センター，学際科学のロンドン大学センターの生物学的複雑系モデリングの4年間のMRes-PhD課程にいる．彼は宇宙生物学の分野で研究している．
火星の放射線レベルのコンピュータ・モデルを用い，火星の表面付近で生命が生きられるかの予測をし，最近ニュースで報じられた．
彼はデイリーテレグラフ/ BASFの若手科学ライター賞などを4回受賞した．
彼のポピュラーサイエンス本，宇宙での生活：初心者向けガイドは，2007年3月に出版された．彼のウェブサイトで多くの作品を読むことができる．
（訳:谷克彦）

2014/06/17
014_鳥の群れのシミュレーション（上）

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数学月間SGK通信 ［2014.06.17］ No.014
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
proccessingという使いやすいオープンソースのプログラムがあります．
現在はver.2が出ています．これで何ができるか紹介します．
この記事は，英国MMPのplusマガジン42号(2004)の翻訳です．
http://plus.maths.org/issue42/features/dartnell/index.html
by Lewis Dartnell

鳥の群れが黄昏空に飛び交う様，魚群が敵をかわす様を見たことがあるなら，
その完璧に振り付けられた動きに驚愕したことだろう．この行動は，
複雑に思えるかもしれないが，コンピュータでそのモデル化を行うのは，
それほど難しくはない．Lewis Dartnellが諸君自身のシュミレーションの
実地ガイドをする⇒経験不要．
粒子モデルにより，鳥の群れの運動，銀河系誕生，原子分子の物質構成，
などをシミュレート！

■マトリックス［訳注：1999年アメリカ映画］
世界をシミュレート　　　第１部---粒子モデル

モデルの構築は，科学や工学の多くの研究分野の核心である．
モデルの本質は複雑な系の表現であり，複雑な系のふるまいを理解するのに
異なった種々の方法で系の単純化がなされてきた．
例えば，航空技師は，風胴テストのために戦闘機のミニチュア模型を
作るかもしれないが，現代は，数学モデルをコンピュータ上で
たいへん高速に走らせるモデリングが，ますます盛んになっている．
超音速気流のコンピュータモデルは，信じられないくらい複雑だが，
プログラムのデザインとシミュレーションは非常に基礎的な原理に基づいている．
モデルのふるまいに関するこの論文の前半で，
たいへん興味深い自然系研究のコンピュータモデルが，
いとも簡単にプログラムできることを述べる．
先端研究にこのようなモデルを用いている科学者の何と少ないことか．

◆はじめよう

Fig.1 どちらに行くのか？魚の行動をシミュレートする方法を見出せ．

これは，数学的なモデリングとコンピュータ・シミュレーションへの
体験入門である．だが，プログラミングそのものの学習には深入りしない．
これまでにプログラムを見たことがないとしても，心配は要らない．
シミュレーションのすべては，
このウエブサイトでJavaビデオとして見ることができる．
もし諸君がコンピュータプログラミングをすこしやったことがあるなら，
この論文で用いた全コードをダウンロードして，改良や調節など
試してみたいだろう．これらのシミュレーションを書いたり，
アニメーション作りに用いたソフトウェアはプロセッシングと呼ばれ，
無料でダウンロードでき，ＰＣやMac バージョンで利用可能だ．
プロセッシングはコンピュータ科学者とアーティストの協力でリリースされ，
自分で容易に改良や開始ができる．http://processing.org/download/index.html
プロセッシングが使われた世界中の種々プロジェクトすべてのリストを
ホームページで一見されたし．http://processing.org/
よいモデルを組み立てる本質は，複雑な問題をいかにうまく単純化し，
系の重要な特徴を抽出し，
モデルのふるまい解析を混乱させるものは取り除くように考えることだ．
例えば、ライフル銃から発射された銃弾弾道の単純なモデルは，
明らかに重力の影響を考慮する必要があるが，
空気抵抗のわずかな影響は無視してよい．
この場合の空気抵抗は，２次オーダーの効果と呼んでよい．
別の系のモデリング，航空機の翼による揚力では，
空気の影響を無視することはできないが他の因子は無視できる．
コツは，そのふるまいが理解しやすいように，
モデルをできうる限り単純に保つことと，
意味のない結果が生じないように重要と思われる因子を
あまりカットしないようにし，
入力因子の一つを変えて全系の応答の影響を見ることとのバランスにある．
この最初の論文のすべての例は，
各点が空間内を色々な規則に従い動き回る粒子モデルとして知られるものである．

◆箱の中のガス分子
最初のモデルは，箱につめられたガス分子の大変基礎的な物理シミュレーションだ．
見やすく単純にするため正方形内に閉じ込められた２次元粒子とする．
この場合の物理は簡単である．各粒子は，箱の壁に当たるまで，
出発したときと同方向・同スピードで直線運動し続ける．壁に衝突すると，
粒子は跳ね返り方向を変えるがスピードは変えない．映画と同じで，
この論文のアニメーションは流体の運動を印象づけるフレームのシリーズからなる．
プログラムの仕事は各粒子の位置，方向，スピードを各時間ステップごとに
前のステップの情報に基づき計算することである．この論文のすべての例では，
各時間ステップごとのデータを配列または行列に蓄える．
行列の各行は異なる粒子に関する必要な情報を蓄える．このガスの例では，
各粒子の状態は４つの数で記述される．
これらのうちの２つは平面内の位置(x,y)である．
残りの２つは，粒子の運動の２成分を記述する．これらはdeltaX, deltaYと
呼ばれる（”X位置の変化”，”Y位置の変化”の意）．粒子の速度も定義する．
この場合の行列は４つの列を持ち，全粒子に対する十分な行数を持つ．
シミュレーションの各時間ステップごとに，各粒子の位置(x,y)は，その速度に依存した更新を受ける．
このプロセスのモデルを記述するプログラムの構造は，かなり直接的である．
どのように機能するか一般的な要点がつかめるかコードを見てみよう．
http://plus.maths.org/issue42/features/dartnell/Gas_molecules.pde
最初にするのは，モデルの最も重要なパラメータ
（含まれる分子の数，各粒子の位置と速度の情報を格納する行列など）
の定義である．次に，プロセッシングは，世界の大きさ?この例では正方形，
アニメーションのフレームレート?を決め，シミュレーションのセットアップをする必要がある．
それからシミュレーションの初期化をする．これはデータを蓄える行列で，
各粒子の初期位置，速度の必要な情報を順次蓄える．
今回は，粒子のランダム散布を選んだ．
次に，トルコ石色の背景と各粒子の(x,y)位置に置かれた赤い円で
系の現状を記述するコードがある．
最後に，シミュレーションの中核，アップデート関数が来る．
各時間ステップごとに，
この関数は，行列中の各粒子に順番にあたり，時間ステップ内に，
その速度が箱の境界を越えその粒子を飛び出させないかどうか計算する．
もし飛び出すなら，箱の壁で跳ね返り，粒子速度は変化するが，
そうでなければ，その速度ベクトルで決められる距離だけ前進し続ける．
かくして，各粒子は新しい位置と新しい速度ベクトルをもち，
行列は新しい値にアップデートされる．

箱に閉じ込められたガス分子のモデル．Java始動には映像をクリック．
全プログラムは，粒子が系をアップデートした後，再び描画し，
粒子はもう一度アップデートされ，これが繰り返されるように，
ループにセットされる．高速な現在のコンピュータでは，
これがたいへん高速に行われるので，ガス分子のスムーズなアニメーションになる．
この絵はプログラムのJAVAバージョンを開くようになっているので，
プロセッシングソフトウエアをインストールしなくても，動作を見ることができる．

この過剰に単純化したモデルは，２つの問題点があることに気づくだろう．第一に，
我々のプログラムではdeltaX，deltaYに整数値だけ使っていること．
このため粒子が動ける異なる方向の多くがなくなってしまう．
粒子のいくつかは，両サイドでバウンドし往ったり来たりするので，
完全に水平や垂直に動くのが見られる．
第二に，このコードは，分子間の相互作用を考慮していない．
分子は決して互いに衝突せず，箱の中を跳ね回るだけで，
完全予測可能である．周期的に，はじめがそうであったように，
全分子が外向きに散らばる前に，真ん中で密なクラスターが形成される．
こえは明らかに部屋の中の空気分子では起こらないことだ．
空気分子は絶えず互いにぶっつかりあい予測不可能な運動を生み出している．
もし諸君が，少しコンピュータプログラム知っているなら，
この単純な例をスタートとして，もっと洗練され現実的なものを
作りたいと思うだろう．
これをどのように行うかの若干の助言は，プログラムファイルの末尾にある．
運動のモデリングのもう一つの例に移ろう．
今度は，粒子の相互作用の規則がもう少し複雑である．

◆鳥の群れ
モデル化する系は鳥の群れである．分子の例のように完全に独立に動くのではなく，
各粒子は他の粒子の動きに反応して動く．
同様な標準構造をガスのプログラムにも用いるだろう．
最初はパラメータと世界の大きさを決め，全粒子の位置と速度を初期化する．
次に，系の現在の状態を表示する関数のループをまわし，
次のタイムステップでの系の変化の計算を行う規則を実施する．
最初の例は，閉空間に閉じ込められた粒子の運動のシミュレーションをねらった．
今度は，開かれた戸外で飛ぶ鳥がどのように群れを作るか調べるのが関心事だ．
エッジがあるような世界は困る．なぜなら，そのような人工的な特徴の周りでは，
シミュレーションが適切にふるまわないであろうから．
モデリングの共通のコツは，世界空間を，粒子が左から去れば右から現れる，
上下も同様［周期的境界条件］に世界空間を定義することだ．
上下は互いにつながりチューブのよう．左右端を丸く曲げてつなぐ．
ドーナツの表面の世界のようだ（数学ではトーラスという）．

http://plus.maths.org/issue42/features/dartnell/flocking_index.html
Fig
鳥の群れモデル．単純な規則の集合が，
他の鳥との相互作用を定義し各粒子の運動に作用する．
燈色の円は視野範囲を示す．イメージをクリックすると
シミュレーションのＪａｖａバージョンが走る．
再スタートは［Ｃｔｒｌ］＋［Ｆ５］（Ｗｉｎｄｏｗｓ）または，［ｚ］＋［Ｒ］（Ｍａｃ）．

このモデルでの第二の発展は，直線運動を続ける粒子のかわりに，
鳥たちは互いに相互作用をし近隣者に依存し飛ぶ方向を変化させることだ．
各時間ステップごとに，プログラムは，次々に各鳥を選び，
選んだレンジ内で他のすべての鳥の飛行方向の平均を計算し，
選んだ鳥はこの方向に舵をとる．
ランダムに選んだある鳥の視野レンジの場を燈色の円で表示させる．
プログラムで値を蓄える変数はeyeSight．
プログラムがどのように機能するか一般的な要点を拾い上げるため，
コンピュータ・コードを一寸見てみよう．
http://plus.maths.org/issue42/features/dartnell/Flocking.pde
次に左のイメージのシミュレーションを走らせて見よう．
始めはランダムであった鳥たちの運動が，直ちに秩序のある振る舞いに変わる．
鳥の巨大な群れが，大体同じ方向に飛び行くように自己組織化される．
孤立した鳥が一団の中に引き込まれる．
そして時折２つの大きいグループがお互いに近づいて迷うとき，
個々の鳥は他の群れに参加するために引き剥がされる．
２つの雲がスムーズに混ざり合うようだ．
ちょっと迷って，そして次に新しいグループの先頭が決まる．
この設計された行動を本当の鳥一団の動的関係と比較してみよう．
これを書く時点で，あるホップベースの飲物の英国テレビで放映されている素晴らしい広告がある．
夕映え空のツバメの群れに魅せられる．タグ ライン「属します」で終わる．
この広告はYouTube から見ることができる．たとえすでに消されていたとしても，
他の鳥の群れビデオを見いだすのは全く容易であろう．

Fig 巨大スケール鳥群れを示すYouTube広告

この運動は優雅な振り付けに見える．
個々の鳥が次に何処に飛ぶか正確に知っているように見える．
鳥の巨大な流れが，滑らかに調和し一斉に方向を変える．
群れの中にリーダーはいない．基本計画もない．
すべての決定はグループ力学だけで決まる．
何千という群れをなす鳥の魅了される複雑さのすべては，
最近接の隣を越えた残りのグループが何をするかを知ることなしに，
個人が行動するというたいへん単純な規則から発する．
これはボトムアップ制御として知られる．
単純な規則で相互作用している個体から，
たいへん複雑なグループ行動が出現する例だ．
たくさんの動物，ミツバチ，スズメバチ，アリ，シロアリ，．．．が，
この種の「群れ知性」を使う．
しかし，群れの振る舞いの基礎となっているこれらの単純な規則は異常な環境では，
まったく馬鹿な行動を惹き起こすことがある．
自分自身ではまだ試す機会がなかったが，友達の友達から，
諸君が羊の一団と一種にやれる面白いトリックの信頼できる情報を得ている．
羊達の前で突然走ったとする．羊達は脅威を察知し動き去ろうとする．
まだ可能な限り，諸君の隣人に近い状態を保って，
同じ方向に動作することが最も安全であるという規則は働いている．
もしあなたが羊より少し速く走り続けるなら，あなたは追いつき，
そして一団の中央を通過して先頭で今走っている．グループの動的力学が，
侵略者から逃げ出すという初期の個体の決断を引き継いだ，
そして諸君は逃げようとするのではなく，
群れ全体を諸君の後ろに従えていることになる．

◆コウモリとタカ
プロセッシングソフトとこのモデルのプログラッミングコードを
ダウンロードしたら，グループ全体のふるまいにどのように影響するか
モデルのある特徴をいじることができる．
例えば，鳥同士は何処まで見えているのか，
eyeSight変数はたいへん重要なパラメータだ．
我々のプログラムでは，この変数は20にセットされている
（とりの視野を表している燈色の円の半径が20単位）．
このパラメータは諸君の望む如何なる値にもセットできる．
２つの異なるシナリオを見てみよう：
”コウモリのように目が見えない”eyeSightは１とする．
もう一つは”タカの目”eyeSightは100とする．
地図をよぎって見る事ができる．

下の２つのリンクの図をクリックすればjavaが動き，
どちらのシミュレーションも見ることができる．

　　　　
Figコウモリのように目が見えないeyeSight=1　　タカの目eyeSight=100

第一のシナリオでは鳥たちは相互作用をまったくしない．
だから実際は世界空間内でランダムに走るガス分子と同じだ．
第二のシナリオでは，鳥たちはグループの反対側にいる個々の鳥の
飛行方向に反応するくらい，たいへん遠くまでコミュニケーションする．
グループのふるまいはたいへん速く一体化した固まった運動になる．
どちらの場合にも，少なすぎるか多すぎる相互作用のために，
すべての複雑な群れのふるまいは失われる．
系のアウトプットはこのパラメータにたいへん敏感である．
気体的ふるまいと固体的なふるまいの間にある種の相転移がある．
興味あるダイナミックスの見地ではどちらも死んだも同然だが，
自然ではeyeSightの値がこれら両極端の中間値のときにのみ
緊急行動が起こることが見られる．

［以下，次号に続く］

2014/06/10
013_数を記憶する方法（英MMP,plusマガジンより）

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数学月間SGK通信 ［2014.06.10］ No.013
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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◆数を記憶する
http://plus.maths.org/issue31/features/eastaway/index-gifd.html
Rob Eastaway

［今回は，2004年の英国MMP，plusマガジン31の記事の翻訳です．
肩のこらない読み物なので全文を掲載します］

2004年3月, Kent のDaniel Tammet が，π（パイ）を小数22,511位まで暗唱してみせ，
ヨーロッパ新記録が達成された．この仕事を完了するのに5時間を費やした．
それでも，日本の後藤裕之が1995年に達成した小数点以下42,195桁のやっと半分である．

［訳注：その後の2006年10月3?4日に，16時間28分をかけて，
原口　證（当時６０歳）が100,000桁を暗誦している．ギネス社申請中とのことだ．
http://www.worldrecord314.com/pi01.html
原口の方法は，数字を1,000桁ずつ区切り，語呂合わせで物語として暗記するもの．
今回の物語のテーマは「世界旅行」．北海道に住んでいる武士が全国各地を歩いて
いるうちにいろいろな人物や物件に出会い，10万桁にもなれば，
朝鮮半島を通り過ぎてシルクロードまでたどりつくストーリーになっているという．
柴田昭彦http://www5f.biglobe.ne.jp/?tsuushin/sub1.htmlによる］

人間はいかにしてこのような信じられない（むしろ無意味な）記憶の業績を
やり遂げるのだろうか？　それらから学べるものが何かあるだろうか？
数字を覚えていなければならぬもっと実際的な必要性---
例えば，南京錠のコード，キャッシュカードの暗証番号---などもある．

◆記憶と数
記憶は諸君が考えるために重要だ．諸君はほとんどすべての活動に記憶を使用する．
記憶は事実と名前を学ぶために必要だが，新規に身体技能を獲得するためや，
冗談を言うためにでさえ必要となる．素質はそれぞれの人によって大変異なる．
同じ人の記憶能力も仕事によって大変違う．例えば，数を良く記憶する人が，
ジョークも覚えているとは限らない（私は苦い経験がある）．
数を覚えているという特別な素質はどこから来るのだろう？

数学者は他の人より数を覚えているようだが，
この領域で卓越した能力を持っことが数学者になるための必須条件ではない．
例えば，Daniel Tammetは，数字の順番を記憶するすばらしい能力を，
数字を色と映像として”見る”ことに置き換えている．
彼にとってπは数字の抽象的なセットではなく，物語か映じられるフィルムのように現れる．
Tammetは，稀有だが詳しい記載のある症候群---共感---と呼ばれるもので，
感覚のある一つが刺激されると，他の感覚も反応を引き起こすのだ．
共感はさまざまな様子で現れる．ある人達は，数字にさらされるとき，多重の感覚の反応を得る．
有名なロシアの”記憶男”Shereshevskyは，数字2は常に暗い矩形として見えるさまを記述している．
私は別の人間で，数字４はトマトの味とリンクしている人に出会ったことがある．
彼らにとってこれらの関連に理屈はない．共感は，記憶をしようと思ったときに自然な利点がある．
なぜなら，脳は，感覚と結びついたものを長期間記憶しようとするからだ．
出来事や物体は，音や映像や素材や特に匂いに結びついているときに，さらに記憶し易くなる．

ほとんどの人と同じく諸君も匂いに関する奇妙な経験があるだろう．
例えば古い家具の匂いをかぐことが，遠い過去に起こった何かを思い出させる．
匂いは記憶と特別に強い結合がある．多分，匂いを扱う脳の部分が，
長期記憶を形作ると考えられている海馬と近いためだろう．もし諸君が，
何かを記憶しようとするとき，わざと特定の匂いに囲まれるようにすれば，
後に思い出す必要があるとき，その匂いは記憶を引き出すのに役立つ可能性が高い．
記憶と感覚の間のこのリンクは，勉強の助ける記憶術の基礎である．
数を記憶しておくためによく提案される方法は，各数字を韻を踏んでいる言葉と結び付ける方法である．
oneワン＝バンbun
twoトゥー＝シューshoe
threeスリー＝ツリーtree
fourフォー＝ドォーdoor
......
このアイデアは，抽象的な数字を付随するイメージと音とともに，実質のあるものに変える．
もし，数字24を覚えていようと思ったら”シュードア”と覚え，正面ドアを蹴っ飛ばす絵を描く
（このイメージはなぜか容易に記憶される）．
ドアをける記憶は数字２４より長く維持されるだろう．私が１週間，数を覚えていようとするとき，
私はすぐにイメージを考える．思い出すにはただそれを数に変換するだけだ．

明らかにこれは小さい数を記憶しておく助けになるテクニックであろう．
しかし，もし何桁かの数を記憶する必要があるなら，信じられないほど厄介である．
1492は，bun-door-wine-shoe．この順番を記憶するのに必要となるイメージ---
オドビンスの［ワイン］店にパンを投げ込む適切な事件---を思い浮かべようと奮闘する．
もっとよい方法がきっとある....

◆数の記憶の数学的アプローチ
数を良く覚えている人のほとんどは，何らかの感覚的経験によるわけではない．
数が彼らにとって意味をもっているということはありそうな理由である．
数学者はここに強力な有利さがある．なぜなら，本職で数にさらされているので，
数の特徴に親しんでいるからだ．数学者に4832を見せる．彼らは，
その数字はどのような種類（4桁，偶数）か直ちに認識できる．
時には，数学者は数で遊ばずにはいられない．
この場合，4832を4×8=32と言っている自分を見出すかもしれない．
この種の遊びは，数字の意味付けを助け覚えやすくする．
数で遊ぶというこの衝動の有名な例がある．記憶で有名だった
Alexander Aitkenアレクサンダー・エイトケンは，エジンバラ大学の数学教授で，
かつて以下のようなコメントをした：
私が散歩している時に，モーターカーが通り過ぎ，登録ナンバーが731なら，
それは17×43と観察せざるをえない．....折襟に数字のついたバスの車掌を見ると，
その数字を２乗してしまう．....これは故意ではなく，どうしてもそうしてしまうのだ．
....時々は，数字が811のように特徴をまったくもたないものもある．
時には41のように諸君ご存知の多くの定理に登場するものもある．
さて，どっちが興味深い数字だろうか？

数学的な特性により数を記憶する最も有名な例の一つに，
病院に友人のRamanujanをたずねた時の数学者G H Hardyの話がある．
Hardyはタクシーできて，Ramanujanに挨拶した後お詫びを言った．
”私のタクシーナンバーは， 1729 だった．あまりぱ っとしな い数 ですみません.”
”それは逆です．1729はたいへん興味深い．”とRamanujanは言った．
”それは２種類の答えがある2つの立方体の和の最小の数字だ．”
（1729=12^3+1^3，または，10^3+9^3 ）

しばしば，数字の背景にあるパターンと意味が努力なしに心に残るだろう．
それほどでなくても，数字を意識的に記憶する方法の基礎になりうる．
諸君はそれらを暗証番号や電話番号の記憶に使うかもしれない．
これらはもっと長い数にも適用できる．例えば，この数を覚えてみよう．
10秒間の猶予がある：15222936435057

書いて覚えようとするなら，多分苦しむだろう．数の短期間の記憶保持は通常7桁までである．
これより長いものは，最初の数桁より先は覚えられそうもない．
（上の例では，たいがいの人が15222は簡単に覚えるが，それ以降はごちゃごちゃになってしまう）
今，数学の頭になってみよう．諸君は，数字のパターンのなかに，
それをもっと簡単に覚えるものを見つけることができるか？
おそらくここの仕事を単純化する複数の方法があるだろう．もし見つけたなら，
仕事をなんでもないものにしてしまう一つの特別なパターンがある．
実は，数字が二桁づつに分解されて，15 22 29 36 43 50 57,７つの対は
だんだん大きくなる順に並んでいる．諸君がすることは始まる数字と規則を覚えればよい．
[訳注：７ずつ増えていく数列]

◆πの記憶
すべての数がそんな都合のいいパターンとは限らない，だがどの数のなかにも，
数学的な意味のある数のサブグループがあるものだ．
実際上はランダムな順序と思える数πに適用して見る．ここにπの始めの100桁を記す：
ほとんどの人は，一桁の数字の列として覚えることはできないだろう．
だが，もし諸君が面白い数の固まりを選び出すなら，仕事はもっと容易になる．
3.141592653589793238462643383...
例えば，最初の10桁は連番14-15を含む，足すと100になる数65-35，
後の方には偶数のクラスター846-264がある．これらはともに，二番目以降の数を
逆転すると（864は846，246は264になる）単純な数列になる．
これらのパターンにリンクさせ，数学的ストーリーを組み立てることができる．
これはプロフェッショナル記憶者が使う種類のアプローチだ．彼らは，
それを他のテクニック?数字を，文字に置き換え言葉にするなど?と結びつけている．
良く使われる数字と文字の対応規則は：
1 becomes the letter T (a single downstroke),
2 is n (two downstrokes),
3 is M (three downstrokes),
4 is R (r is the fourth letter of four!),
5 is L (L is the Roman fifty, which is close...),
6 is J (J is a bit like a backwards 6),
7 is K (K is like two sevens stuck together),
8 is F (a cursive f resembles an eight),
9 is P (P is a backwards 9),
0 is Z (Z is for zero).

πは次のように始まる M-T-R-T-L-P-N-J-L...，思いつきで母音を時々入れる
（これは数字にカウントしない）．例えば，My TuRTle oPeN JaiL....，
諸君の亀が牢やぶりするイメージを描く．ほら，πの最初の９桁を記憶出来た．
これを42,187桁続ける．世界記録は諸君のものだ．幸いなことに諸君が記憶演者になるか，
あるいは物理学，数学，天文学の非常に特別な分野を追求する予定がない限り，
πを３?４桁以上記憶している必要性はなく，
この重要な数のその程度の桁を思い出すときには，忘れにくい文章がある．
”May I have a large container of coffee?" [コーヒー大カップをいただけますか］
この文中の各単語の文字数を数える．πの数字が小数７桁まで現れていることがわかるだろう．
［訳注：日本語では，“産医師異国に向かう....”などとやるのです］

最後に，覚えていたい数字が何であろうとも，πでも，歴史の日付でも，
ナンキン錠のコードでも，最も忘れ難い記憶術は，諸君が諸君自身のために発明するものである．
諸君のアプローチがどんなに風変わりでも問題ではない．
それが諸君のために働くならそれで良いのだ．（訳：谷克彦）
http://www.sugaku-bunka.org/?action=common_download_main&upload_id=1228

2014/06/08
012_ペンローズ・タイリング（その２）

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数学月間SGK通信 ［2014.06.08］ No.012
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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前回のペンローズ・タイリングの作り方は如何でしたか．
今回は，前回と異なる方法でペンローズ・タイリングを作ってみましょう．

前回の記事の中で一か所誤りがありましたので訂正します．
シュヒトマンが発見した準結晶はMn-Al合金(Al4Mn)でした，Mg-Al合金ではありません．現在では，色々な合金で安定な準結晶が発見されています．東北大多元研の蔡研究室で，準結晶の単晶（Single Quasicrystal）の美しい５角12面体のSEM写真が見られます．

■正五角形のフラクタル構造
ペンローズ・タイリングは自己相似（フラクタル）なので，
正五角形のタイルと関係があります［正五角形は黄金比だらけの図形です］．
もちろん正五角形のタイルでは隙間なく平面を張り詰めることはできません．
正五角形タイルを並べればギャップができますがかまいません．
正五角形タイルで，５回対称になるようなタイル張りを考えましょう．

Fig.1

次々と正五角形の中に正五角形の配列が繰り込まれる様子をFig.1に示します．
まず，正五角形の中に正五角形が6つ納まるような分割をします．
分割された小さい正五角形をもとの正五角形サイズに戻すには
1+Φ倍だけ拡大します［ただし，Φ=(1+√5)/2=1.618･･･］．
随所に頂角36°の二等辺三角形のギャップができますが，
気にしないで進めましょう．もし，大きなギャップの中を正五角形で
埋めると，王冠型や星型のギャップが残ります．
このように正五角形の中に，次々と正五角形の繰り込み[分割］
と拡大が繰り返されると，
ギャップは随所に残りますが平面を埋め尽くします（Fig.2）
そして，これはフラクタル構造です．

Fig.2

■ペンローズ・タイリングを作る
正五角形の中には，Fig.3AやFig.3Bに示すような
黄色，青色に着色した図形が隠れています．
Fig.3Aにでてくる図形は前回のペンローズ・タイリングで使用しました．
今回のパターンは，Fig.3Bにでてくる２つの図形が関係があります．
Fig.2のパターンは，Fig.3Bの2つの図形を用いると，
Fig.4の赤い線のように隙間なくタイリングされていることに気付きます．
ここに現れる2種類のタイル（黄色と青色のタイル）には，
Fig.2のパターンが重なって見えているでしょう．
黄色のタイルと青色のタイルには，それぞれ独特な正五角形の模様が
あります．それを観察しましょう．

Fig.3A Fig.3B

Fig.4

2014/06/03
011_ペンローズ・タイリングと準結晶

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数学月間SGK通信 ［2014.06.03］ No.011
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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ペンローズ・タイリング
ロジャー・ペンローズが1966に考案したタイリング

■非周期のタイリング

1種類（あるいは2種類）のタイルで，隙間なく平面を張ると，
必ず周期的なパターンが現れると思うかもしれません．
確かに周期的なパターン［平行多角形（平行6角形など）になるよう
タイルを組み合わせて単位とする］を作れば，平面を埋め尽くせることはすぐわかります．
しかし，埋め尽くされた平面には，必ず周期的なパターンが
生じているかとえばそうでもありません．

古くから知られている1種類のタイルによる非周期タイリングに，
Voredbergタイリングがあります（Fig.1).
これはずいぶん複雑な形のタイルに見えますが，本質はFig.2のタイリングと同じ．
螺旋の中心が２つあるようなタイリングで，規則的ではあるが確かに非周期です．

Fig.1

Fig.2

■ペンローズ・タイリング

Fig.3

Fig.4

Fig.5

2種類のタイルを用いた規則的ではあるが非周期なタイリングのもう一つが，
ペンローズのタイリング(Fig.3)です．
2種類のタイルをFig.4に示します．凧のような形の2Aと矢じりのような形の２Bです．
これらの形の半分A,BはFig.5の五芒星の中に出てきます．この図形には，
やたらに黄金比1:Φ　，Φ=(1+√5)/2=1.6180･･･があらわれ，フラクタル構造が生じます．
A型の二等辺三角形は，等辺：底辺＝Φ:1，B型の二等辺三角形は，等辺：底辺＝1:Φです．
このタイリングには，同じパターンが次々に繰り込まれて行くフラクタル構造の規則が
ありますが非周期です．
ペンローズ・タイリングが興味深いのは，それ自身美しいことにもよりますが，
それにもまして，このような構造をとる準結晶と呼ばれる物質が，現実に発見されたからです．

■ペンローズ・タイリングの作り方

Fig.6

Fig.7

Fig.7に示すように，A型の三角形はA型2個とB型1個に分割できます．
分割して生じたA型が始めのA型と同じ大きさになるためにΦ倍に拡大します．
B型の三角形はA型1個とB型1個に分割でき，生じたB型が始めのB型と同じ
大きさになるためにΦ倍に拡大します．このように分割・拡大を繰り返して，
いくらでも広い平面を埋め尽くすことができます．
この例では，正十角形からスタートし，分割手続きが繰り返されるので
5回回転対称が残ることがわかるでしょう．素性を隠すことはできませんね．
タイルの細分化が充分進んだとき，Aタイル数/Bタイル数＝Φ=1.618････となることがわかります．

■準結晶

電子線回折像（Fig.5）が10回回転対称性を示す物質が見つかり大騒ぎになりました．
回折像が観測できるのは結晶で，結晶構造は周期的なので5回対称（回折像は10回対称）
は許されないはずです．しかし，ペンローズ・タイリングの構造であれば，5回対称性をもち，
周期的な構造ではないが回折像が観測されます．
シュヒトマンは，特別な合金［超急冷で作ったMg-Al合金］でこのような物質を発見しましたが，
その論文が信用され受理(1984)されるのに2年半もかかりました．回折像が観測されるのは，
周期的な結晶構造でなければならないという思い込みがあったからです．今では，
種々の合金の安定相としても存在することが知られています
（5角12面体の準結晶の単結晶single quasicrystal）．
シェヒトマンはこの発見でノーベル賞を受賞しました．
準結晶の発見（1984）に先立ち，ペンローズ・タイリングが考案（1966）
されていたというのも興味深いことです，

Fig.8

■高次元結晶の低次元空間の切り口としての解釈

ペンローズ・タイリングを見ていると，局所的に5回対称をもつ球のような部分が随所に分布している
のに気づきます．これは，局所的な3次元宇宙がたくさん埋め込まれているようでもあります．
例えば，周期的な5次元空間を3次元空間に投影したものとの解釈は出来ないでしょうか．⇒続く

2014/05/30
010_円盤の中の不思議な世界（エッシャーの極限としての円）

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数学月間SGK通信 ［2014.05.30］ No.010
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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円盤の中の不思議な世界（エッシャーの極限としての円）
双曲幾何空間のポアンカレ・モデル

■ポアンカレ万華鏡
1951年の国際数学会でエッシャーはコクセターに出会いました．その後1958年に
コクセターはFig.2を掲載した論文をエッシャーに送りそれがことの始まりです．

Fig.1は正6角形タイルが頂点で4つ出会うように平面を埋め尽くしている世界で，
シュレーフリの記号で{6,4}と表記されます．
これらの円盤内は双曲幾何の世界（ポアンカレ・モデル）なので，
円盤内では，正6角形タイルはすべて同じ大きさなのです．
（円盤のフチに近づけば近ずくほど，どんどん縮小されるので，我々から見たら
有限な円盤内なのに，無限個の正6角形タイルが敷き詰められています）
円盤内では，Fig.1に描かれているような円盤のフチに直交する円弧が直線です．

Fig.1

Fig.2

Fig.1の正6角形タイルを12個の直角3角形に分割したものがFig.2です．
この直角三角形の内角は(π/6, π/4, π/2)で，この直角3角形を簡単に(6,4,2)と表記することにします．
この3角形の内角の和は　π/6+π/4+π/2=11π/12<πですが，
ここは双曲幾何の世界ですからπより小さくなるのは当然です．
(6,4,2)直角3角形の各辺を鏡映面として万華鏡を作ると，
Fig.2のような市松模様が得られます（鏡映操作により白黒が反転する）．
私はこれをポアンカレ万華鏡と呼んでいます．
実際にこの万華鏡を作製しましたが，円弧面による反射は原理的に収差があり，
数学の反転操作とは異なります．あまり美しい万華鏡にはなりません．

■コクセターとエッシャー
さて，コクセターからFig.2の分割図を知らされたエッシャーは，
早速「極限としての円」シリーズの制作を始めます．
エッシャーは{6,6}正則分割を用いた直線魚の作品などといろいろ工夫を重ね，
「極限としての円」のシリーズIIIで，{8,3}正則分割を用い完成します（Fig.3）．

Fig.3

Fig.4

Fig.3に描かれている魚が泳ぐ流れの白い線は直線のように見えますが，
実は違います．円盤のフチと80°で交わっています．
直線となる円盤のフチと90°で交わる円弧はFig.4に描きこんだ黒い線です．
そしてエッシャーの作品は，{8,3}正則分割を基礎にしていることがわかります．
{8,3}正則分割は,正8角形のタイルが頂点で３つ出会うような敷き詰めですが．
エッシャーの作品のトリックは，正8角形のタイルを作る直線
（絵には顕には描かれていない）と，魚の流れに沿った線を正確に使い分けて
見事な印象を与えている所です．
この解説は，1979年のコクセターの以下の論文で指摘されています．
Coxeter, H. S. M. (1979), "The non-Euclidean symmetry of Escher's picture
'Circle Limit III'", Leonardo 12: 19-25, JSTOR 1574078.

2014/05/22
008_不思議な魔方陣

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数学月間SGK通信 ［2014.05.22］ No.008
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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不思議な魔方陣
http://www.mathaware.org/mam/2014/calendar/magicsquares.html
イーサン・ブラウンは，マサチューセッツ，アンドーバーのフィリップス・アカデミィ・
アンドーバーの高校生で，数学マジシャンです．
4×4魔方陣で，観客が任意に選んだ3マスに，観客が任意に選んだ数字（1?20)を置いて
スタートです．さらに観客に，コラムの総和となる任意の数（30?80)を選ばせます．
これらの条件下で4×4の魔方陣を作ります．まるで，“ねずっち”の謎かけ問答のように
直ちに作ります．Fig.1のような魔方陣ができました．
この例では，任意に選ばれたマス位置の数字は，11, 2, 5 で,
観客の提示した総和は79でした（Fig.1のオレンジのマス）．
確かに，魔方陣の縦/横/対角線/中心４マス/4隅の４マス/外周角のマス４つ，
などの総和はすべて79になっています．第二のビデオでその作り方がわかります．

Fig.1

第三のビデオで，
Fig.2,3のようなラテン方陣の変形から作る方法も紹介されています．

Fig.2

Fig.3

4×4の色々な魔方陣を作ってみてください．

2014/05/20
007_インドラの網と反転円

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数学月間SGK通信 ［2014.05.20］ No.007
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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■アポロニウスの窓ApolloniusGasket
映像が果てしなく繰り返す「インドラの網」
網の上に置かれた真珠は互いに反射し合って，他の真珠を映しだすだけでなく，
他の真珠の映る自身の姿をも映します．世界全体が真珠一つ一つの上に映り，
またその姿が別の真珠に映り，これが永遠に続くのです．
”インドラの真珠”
D.マンフォード, C.シリーズ, D.ライト, 小森洋平 (翻訳)，日本評論社より

この美しい図形は２次元では，「アポロニウスの窓」とも呼ばれます．
互いに 接し合う3つの円に接する第4の円を描くのですが，
これを次々と繰り返して作られる円の中の世界です.
4つの円の曲率（半径の逆数）をa,b,c,dとすると，
2(a^2+b^2+c^2+d^2)=(a+b+c+d)^2 という
デカルトの発見（1643）した定理が成り立っています.
参考⇒三角形の七不思議 (ブルーバックス)， 細矢 治夫

■反転によるフラクタル構造
美しいアポロニウスの窓を見ていると，いろいろな想いが拡がります.
2つの円が互いに接し，かつそれらがアポロニウスの窓の外周円とも接しているとき.
これらの接点を通り外周円と直交する円を考えましょう．すると，
この円で分断された2つのアポロニウスの窓の世界は，この円を反転円として，
互いに鏡像となっています.　もし反転円がどんどん小さくなれば，
その小さな領域に大きな世界がどんどん繰り込まれていくので，
不思議なフラクタル世界 の美しさが見られます.
Fig.

図は　Cinderellaというフリーソフトを用いて描きました．
緑色の円の外にあるピンクと黄色の円は，緑色の円を反転円とすると，
緑色の円内のピンクと黄色の円にそれぞれ映ります．
映されたこれらの円の大きさは，その上のグレーの円と同じ大きさです．
色々な反転円を考えれば，無限にある大小さまざまな大きさの円は，
みんな同じ大きさであるとも言えます．
だから，円盤内の世界は無限に広いと言い張るのも良いでしょう．

■円による反転
原点に中心のある半径1の円による反転は，反転円内の点r→反転円外の点Rへの写像
（あるいはこの逆）で，反転像どうしは，r･R=1の関係にあります．
もし，反転円の円周上に点があれば，反転像は元の点と同じ位置です(r=R=1）．
反転操作では，円は円に写像されます．もし，反転円に直交するような円周の円を
この反転円で反転すれば，同一の円の上に写像されます．したがって，
円周に直交するような反転円で分断された円の２つの部分は，反転円による
それぞれの鏡像になります．

円が直線なら，普通の鏡映像になります．
直線鏡の組み合わせで作られる映像は，良く知られた万華鏡です．
反転円を用いたインドラの網も拡張された万華鏡の映像です．

■編集後記
仏教では，「宇宙の一切のものが,一切のものの原因になっていて，
無限の過去からの無数の原因が，どの一人にも
それぞれ反映されている」と考えます．
これはまさに単純な因果列ではなく複雑系の考え方ですね．
宮澤賢治に「インドラの網」という小品があります．
インドラの網目に縫い付けられた珠玉は，互いに映じ合うと同時に,
自分自身も輝いています.
この項目は，複雑系，双曲幾何の円盤モデル，エッシャーの不思議な世界，
平面の分割と万華鏡，などに関連があります．
これらは順次別号で取り上げる予定です．

2014/05/15
006_事故雪崩が過酷事故を生む複雑系

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　数学月間SGK通信　［2014.05.15］　No.006
　<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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■■小さな事故雪崩が巨大事故へ
「複雑系とは何か」は，別の号で取り上げるとして，
大規模送電網や原発は複雑系です．
2011年７月の数学月間懇話会（第７回）は，これを取り上げました．
同年４月の米国MAMのテーマは「解明すすむ複雑系」でした．その年の米国
MAMでは，米国で何度か起きた大規模停電の仕組みを解析しています．
ささいな原因（多分，樹木が送電線に触れスパーク）により，
送電網に局所的停電が起きた．→送電網の残り部分に過剰な負荷がかかり，
健全だった送電網の部分の電線が切れる．→
あっという間に,次々と送電網全体に停電が拡がる．
「些細な事故が雪崩となり大きな事故を生む」のが複雑系の特徴です．
イメージ?3

2011.3.11の日本の原発事故でも、同様なことになりました．今回の事故の
引き金は地震・津波だったのですが，引き金になるのは，地震・津波だけでは
ありません．装置ユニットと組織やエージェントも含めた操作のネットワークを
作ったとすると，そのネットワーク内の何処にも発端があり得ます．
複雑系は,＜バタフライ・エフェクト＞が起こり得る世界です．

イメージ?1

■複雑系のネットワーク
送電網ネットワーク中の節点の次数(=その節点に集まる経路の数)
の頻度分布図を作ったとき，節点の次数の高いものが残っているような
（べき乗則分布）ネットワークですと，次数の高い節点が攻撃されると
故障の雪崩につながります．複雑系のネットワークの節点分布はべき乗則です．

■べき乗則
大規模停電，巨大地震，所得の分布，....　いろいろな頻度分布に
＜べき乗則分布＞が見られます．正規分布，ポアソン分布，ワイブル分布など，
中心値のまわりに釣鐘型の分布を作りますが，べき乗則分布では，
規模の大きい事象が起こる確率がいつまでも残っています．
被害コストの見積もり（期待値）は，被害コストと発生確率の積であり，
巨大地震の被害コストは巨大なので，巨大地震の発生確率が小さいと言っても
発生確率がある程度の値を持っており，無視することは間違いです．
もちろん原発事故でも同様です．

イメージ?2

■■編集後記

（引用文献）ーーーーー
１．2011MAM、http://www.mathaware.org/mam/2011/essays/
Cascading Failures: Extreme Properties of Large Blackouts in the Electric Grid
２．数学文化（2011）,16,p113-127
今年の米国MAMの話題と日本の原発事故
３．SGK通信（2011-06）数学月間懇話会報告
http://www.sugaku-bunka.org/modules/journal/journal_main.php?block_id=514&journal_id=22&page_no=2#514
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数学月間の会(SGK)
連絡先： sgktani@gmail.com
HP: http://sgk2005.org/　
発行システム：『まぐまぐ！』 http://www.mag2.com/
配信中止はこちら http://www.mag2.com/m/0001633088.html
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2014/05/13
005_27枚のカード・トリックと3進法

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数学月間SGK通信 ［2014.05.13］ No.005
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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■27枚のカード・トリック
米国の数学月間MAMは毎年4月です．今年は，マーティン・ガードナーの生誕百年にあたり，
それを記念して，MAMの統一テーマは，”Maths, Magic and Mystery”でした．
4月は，毎日一つの面白い話題が発表されました．
27日に発表されたのは「27枚のカード・トリック」でした．
27の枚カード・トリックは，マーティン・ガードナーが1956年に発表したものですが，
それをマット・パーカーが発展した新バージョンです．

■Matt Parker
英国のエジンバラ・フェスティバルでは大人気のコメディ・ショーを持つ数学コミュニケータ．
見ていて楽しいです．⇒　http://www.standupmaths.com/

■27枚カードのトリックの演技

観客に任意のカード1枚（例えば，スペードA）と，27以下の任意の数字（例えば18）を選ばせる．
演技者は，選んだカードが何んであるか知らない．選ばれたカードを含む27枚のカードは
十分に混ぜられ，裏向きの束に積み上げられている．
演技の最後には，27枚のカード束の上から18番目の位置に，選ばれたカードを移動して見せる．
つまり，選ばれたスペードA（演技者は知らされていない）の上に17枚のカードがあるようにしたい．

この演技のプロセスに，3進法が利用されている．
3進法で17を表すと17=2x3^0+2x3^1＋1x3^2で，221と表記される．
(ここでは，１の位から先に表記しているので，慣れている表記と逆順なので注意)
演技者は，27枚のカードを，3つの山に，1枚づつ配り分けていく．
選ばれたカードがどの山に入っているか聞いてから，3つの山を，さりげなく重ね合わせる．
再度同じ操作を繰り返し，結局全部で，この操作が3セット繰り返され，１つの束ができるが，
不思議なことに求めるカードは，上から18番目に置かれている．

このトリックのミソは，3つの山を重ねる順番にある．重ねる機会は3回あるのだが，
そのたびごとに，３つの山のどれを｛上（Top=0），中（Middle=1）,　下（Bottom=2）｝の
何処に置いて重ね，1束にしたら良いだろうか？
さりげなく手際が良いので見分け難いが，ビデヲをよく見て練習しましょう．
ビデオの後半で，マットがその仕組みを説明する．なるほど3進法をうまく利用するものだ．

2014/05/11
004_日本および米国の数学まつり

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数学月間SGK通信 ［2014.05.11］ No.004
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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■数学まつり
多くの人々が数学に関心をもつようになるイベントを数学月間では応援しています．
講演会，講習会，数学カフェ，ワークショップ，様々な活動形態がありますが，
子供たちが楽しめて数学感覚が身に着く”数学まつり（フェスティバル）”というのが
あり，英国のMMPでも米国のMAMでも大変人気があります．
今年の米国MAMでも，最終日はMoMathの話題でした．

国立数学博物館MoMath(National Museum of Maths)は，米国唯一の数学博物館で，
ニューヨークのマディソン・スクエアに，2012年12月15日オープンしました．
ここには30以上の対話型の展示があります．
東京でもMomathのような常設の数学展示のあるものは，科学技術館，リスーピア，
東京理科大「数学体験館」などがあります．一度見学されると良いでしょう．

■とっとりサイエンスワールド
常設展示ではありませんが，毎年夏に開催される「とっとりサイエンスワールド」
--美しい数学・楽しい算数--はユニークな数学体験フェスティバルです．
小さい子供からお年寄りまで楽しみにしている市民イベントに成長しました．
鳥取県と鳥取県数学教育会の主催で，
鳥取大学と地元の先生方や生徒がボランティアで運営しています．
今年も，米子（8月2日），鳥取（8月31日），倉吉（9月21日）で実施予定です．
私も万華鏡ワークショップで参加しています．
万華鏡は美しいばかりでなく，対称性の数学と関係があります．

■米国MAMでMoMathが紹介されました．
MoMathとは，冒頭で紹介したように，2012年12月15日にニューヨークに
オープンした数学に特化した国立博物館です．
ホールの展示で目立つのは，正方形の車輪の3輪車が滑らかに走る光景です．
たいへん興味深いので，床面の曲線がどのような形であるかを計算してみました．
ここに掲載する結果（Fig.1）は，2013年7月22日の数学月間懇話会（第9回）で
谷が発表したものです．
ついでに応用問題として計算した3角形の車輪の結果を（Fig.２）に掲載します．

注）2013年10月2日に開設された東京理科大学「数学体験館」にも
同じような4角い車輪の車の展示があります．

Fig.1　四角形の車輪
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/497823/02/15742802/img_0?1399496527

Fig.2　三角形の車輪
https://fbcdn-sphotos-e-a.akamaihd.net/hphotos-ak-frc3/t31.0-8/s960x960/1291632_542573222497269_632982356_o.jpg

■編集後記
　メルマガ1号はtxt形式，2号はhtml形式，3号はtxt形式でお送りしました．
みなさん見え方は如何でしょうか？まだ不慣れなので苦労しています．
html形式の場合は，メール配信されると下添え字などが不自然に見えますね．
良い方法をご存知の方はお教えください．

　まぐまぐにすべてのバックナンバーを公開していますから
http://archive.mag2.com/0001633088/index.html で
htmlメルマガを見るを選択すると正常に見えます．

　メルマガはメールで軽快に見たいものです．
そこで，基本的にtxt形式で発行して行こうと思っています．しかし
どうしてもtxtではわかりにくい添え字のある数式，図が必要な場合は
html形式を使うことがあります．その時はまぐまぐのバックナンバーの公開で見るか，
私のブログのメルマガ倉庫の中にあるにあるイメージ形式のものを見てください．

　このメルマガは，公式HPの記事（煩雑で読みにくい）から面白いものを選択し，
完結した読み物になるように編集・書き下ろしています．ブログも同様です．
メルマガは内容重視で，できるだけ言葉txtでわかるようにしたいと思います．
メルマガにない美しい図などは私のブログの方でご覧ください．
イベント情報などもご紹介します．皆様からの情報やご意見ご感想をお寄せください．

2014/05/10
003_デジタル思考を止め確率を正しく理解しよう

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数学月間SGK通信 ［2014.05.10］ No.003
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
☆7月22日--8月22日は数学月間（since2005）☆
日本数学協会は，2005年に，7月22日-8月22日を数学月間と定めました．
この期間は，数学の基礎定数 π(22/7=3.142..) とe(22/8=2.7..) に因みます．
この期間に，数学への関心を高めるイベントが各地で開催されるよう応援しています．
イベント情報を，日本数学協会，数学月間の会にお寄せください．
毎年，月間の初日7/22に，数学月間懇話会を開催しています．
お気軽においでください．　詳細は⇒　http://sgk2005.org/

■■必要とされる大量データ解析新手法
■大規模データ解析の困難さ！
　2011年の数学月間懇話会（第7回）のテーマの一つは，”サイバー世界のモデリング”
北川源四郎氏（統計数理研究所）であった．今日，我々の周囲で莫大なデータが
収集されるようになったが，解析すべきパラメータ数も多くなったので，
データ量がやはり不足している（「新NP問題」）．溢れるデータから必要な解析を
行うには，新手法が必要とされる．
数学月間懇話会（第9回）の記録⇒
https://sgk2005.org/htdocs/index.php?key=jox165hdn-11#_11

　2012年の米国MAMのテーマも，＜数学，統計学とデータの洪水＞だった．
統計学は，品質管理，医療・創薬・臨床，経済金融，統計調査，データマイニング
などの分野に係わり，現在ますます必要性が増している.
　大規模データ（データの洪水）といっても，被験者1人から大量（P種類）の特性データ
を採集できるのだが，解析する特性数より被験者の数（N個）がはるかに少ない
（N<<P）という状態であり，この状態で推論を行うのはとても難しい．
これが「新NP 問題」と呼ばれている．
　つまり，大規模データがあるといっても，データはむしろ不足している．
このような状態に適用できる統計的推論の新手法が必要とさる．

■不確かさで満ち溢れた世界！
　私達は，観測データからモデル（現象を起こす仕組み）を推定します．
このモデルが，全ての観測データをよく説明したとしても，このモデル（サイバー世界）
が真実であるがどうかは誰にもわからない．将来，このモデルで説明できないデータ
が観測される可能性は消せないのですから．
かように私達の世界は，不確かなことで満ち溢れています．

■■編集後記　
　私達は，yes/noのデジタル思考に毒されているので，数学や科学は，yes/noの
答えを出せるはずと思い込んでいます．あるいは，判断できないと知りつつ
「専門家の判断」と言って責任転嫁に利用するのは政治の常套手段です．
真実はあるのだが，yesでもnoでもないのが真実．それを，「yes/noに2値化」
するのは科学ではない．まことに理不尽な要求です．
科学が出したグレーゾーンの結論を，自分に都合の良いように2値化するのは，
似非科学で結果だけを報道する大手メディアの数学リテラシーの欠如を憂います．
　安全/危険の2値化区分を何処に置きますか？数学や科学で答えを出せません．
その判断は，国民がどのような価値を選択するかの問題です．
これは，科学を超えて判断する＜トランス・サイエンス＞の課題になります．
数学科学の結果を恣意的に利用され，数学科学の信用を落としてはなりません．
数学月間が今ほど必要な時代はありません．

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　数学月間SGK通信 ［2014.05.11］ No.002
　<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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☆7月22日--8月22日は数学月間（since2005）☆
日本数学協会は，2005年に，7月22日-8月22日を数学月間と定めました．
この期間は，数学の基礎定数 π(22/7=3.142..) とe(22/8=2.7..) に因みます．
この期間に，数学への関心を高めるイベントが各地で開催されるよう応援しています．
イベント情報を，日本数学協会，数学月間の会にお寄せください．
毎年，月間の初日7/22に，数学月間懇話会を開催しています．
お気軽においでください．　詳細は⇒数学月間の会

■お知らせ

■大規模データの解析困難さ！
　2012年の米国MAMのテーマは，＜数学，統計学とデータの洪水＞でした．
統計学は，品質管理，医療・創薬・臨床，経済金融，統計調査，データマイニング
などの分野に係わり，現在ますます必要性が増しています．.
　大規模データ（データの洪水）といっても，被験者1人から大量（P種類）の特性データ
を採集できるのだが，解析する特性数より被験者の数（N個）がはるかに少ない
（N<<P）という状態であり，この状態で推論を行うのはとても困難です．
これを「新NP 問題」といいます．
　つまり，大規模データがといっても，データがむしろ不足している状況なのです．
このような状態に適用できる統計的推論の新手法が必要とされています．

■不確かさで満ち溢れた世界！
　私達は，観測データからモデル（現象を起こす仕組み）を推定します．
このモデルが，全ての観測データをよく説明したとしても，このモデル（サイバー世界）
が真実であるがどうかは誰にもわからない．将来，このモデルで説明できないデータ
が観測される可能性は消せないのですから．
かように私達の世界は，不確かなことで満ち溢れています．

■■編集後記　
　私達は，yes/noのデジタル思考に毒されているので，数学や科学は，yes/noの
答えを出せるはずと思い込んでいます．あるいは，判断できないと知りつつ
「専門家の判断」と言って責任転嫁に利用するのは政治の常套手段です．
真実はあるのだが，yesでもnoでもないのが真実．それを，「yes/noに2値化」
するのは科学ではない．まことに理不尽な要求です．
科学が出したグレーゾーンの結論を，自分に都合の良いように2値化するのは，
似非科学でこれを報道する大手メディアの数学リテラシーの欠如を憂います．
　安全/危険の2値化区分を何処に置きますか？数学や科学で答えを出せません．
その判断は，国民がどのような価値を選択するかの問題です．
これは，科学を超えて判断する＜トランス・サイエンス＞の課題になります．
数学科学の結果を恣意的に利用され，数学科学の信用を落としてはなりません．
数学月間が今ほど必要な時代はありません．

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数学月間SGK通信 ［2014.05.09］ No.002
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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■■無限大の脅威（2014年米国MAMの話題より）
今回は，奇妙な数学の話です．数式はうまく表示できているでしょうか？
■発散する級数
$$S=1+2+3+4+....+n+....=-1/12$$
正の整数すべての総和が無限大でなく-1/12である．正気の沙汰なのか？
このとんでもない結果は，1748年に偉大なオイラーにより導かれた．
発散する数列は悪魔の発明であり，
無限級数を用いると，どんな結論でも導くことができる．
発散する級数の研究は，アーベル（1802-1829）に端を発する．
そして，数学者がこの悪魔の細部を解決するのに続く百年を要した．
リーマンの解析接続の理論(1859)を待ち理論的解決した．
現代では，物理学（超弦理論,量子計算）や数学（ζゼータ関数）で
利用している．
リーマンは素数の分布を調べるためにζ関数に解析接続をした関数の
0点を研究し，リーマン予想を提示した(1856）．これはまだ解かれていない．
■オイラーの発見が現実に
オイラー＋リーマンの ζ関数は無限級数の形で定義される．
$$ζ(s)=1+2_{-s}+3_{-s}+4_{-s}+5_{-s}+....$$
この関数は，実部が1より大きい$$Re(s)>1$$複素平面で収束するが，
実部が1あるいは1より小さい$$ Re(s)≦1 $$複素平面では発散する．
そこで，全複素平面（ただし１は極）に，ζ 関数の定義域を拡張
するのに解析接続という手段が役立つ．
$$S=ζ(-1)=1+2+3+4+5+....$$
$$S_1=1-1+1-1+1-1+....=1$$ 奇数項までの和
                                         0 偶数項までの和
この和は，偶数項で止めれば0，奇数項まで止めれば１になる．
しかし，解析接続という理論を使うと1/2になることを以下に示す．
$$f(x)=1+x_2+x_3+x_4+x_5+....=1/(1-x)$$
この多項式は公比$$x$$の等比級数だから，
$$|x|<1$$なら収束し$$1/(1-x)$$になる．
もとの多項式は$$|x|<1$$の外では発散するので定義できないが，
級数を解析接続した関数$$1/(1-x)$$に繋ぎ，形式的だが
$$x=-1$$を入れると  1/2 が得られる．
$$S_1=f(-1)=1-1+1-1+1-1+....=1/2$$
級数$$S_1, S_2$$などを等式と見立て加減演算をし，$$S$$を求めてみよう．
$$∞+∞$$などの無限大を数値のように演算しているのが気持ち悪いが
解析接続で収束した級数を用いているので実は正しい結果になる．
$$S_2=1-2+3-4+5-6+....$$とすると，
$$2S_2=1-2+3-4+5-6+....$$
$$+[1-2+3-4+5-6+....]=$$
$$=1-1+1-1+1-1+....=1/2$$
ゆえに，$$S_2=1/4$$が得られる．
$$S-S_2=1+2+3+4+5+6+....$$
$$-[1-2+3-4+5-6+....]=$$
$$=4(1+2+3+....)=4S$$
ゆえに，$$S=-S_2/3=-1/12$$
■参考
http://www.mathaware.org/mam/2014/calendar/infinity.html
超弦理論入門，大栗博司，ブルーバックス
リーマン予想を解こう，黒川信重，技術評論社
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☆数学月間の会(SGK)
sgktani@gmail.com
http://sgk2005.org/
☆発行システム：『まぐまぐ！』 http://www.mag2.com/
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2014/05/02
001_米国MAMの起源＝レーガン宣言

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　数学月間SGK通信 ［2014.05.07］ No.001
　<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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■■数学月間を知っていますか
7月22日?8月22日は数学月間です．
日本数学協会は，2005年に，7月22日?8月22日を数学月間と定めました．
この期間は，数学の基礎定数 π(22/7=3.142..) とe(22/8=2.7..) に因みます．
「数学が社会を支えていることを知り，逆に，社会の課題を数学が知る」機会
です．この期間に，数学への関心を高めるイベントが各地で開催されるよう
応援しています．SGK通信に情報をお寄せください．
毎年，月間初日の7月22日には，数学月間懇話会を開催しています．

■■お知らせ
数学月間懇話会（第10回）
日時●７月２２日，14:00-17:10
プログラム●
1.人口の集合関数としての「民力指数」
　松原望（東京大学名誉教授，聖学院大学）
2.スパゲッテイを巡る旅，
　中西達夫（株・モーション）
3.数学月間の狙と効用，今年の米国MAM
　片瀬豊，谷克彦（日本数学協会）
会場●東京大学（駒場）数理科学研究科棟，002号室
最寄り駅●京王井の頭線「駒場東大前」
参加費●無料
問合せ先●日本数学協会，数学月間の会（SGK）
sgktani@gmail.com，谷克彦（SGK世話人）
一般の方が対象ですご参加お待ちしています．直接会場においでください．．
17:30からは，構内で各自払いの懇親会も予定しています．
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■■数学に関心を（第１回）

■米国MAMはレーガン宣言から始まった
連載第1回目は，米国MAMのスタートとなったレーガン宣言です．
全文を掲載します．
どなたの草稿か知りませんが，格調高く今日でも心を打ちます．
米国MAMのスタート時は月間行事ではなく，週間行事MAWでした．
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アメリカ合衆国大統領による宣言5461
　｢国家的数学週間」1986年4月17日

宣言(National Mathematics Awareness Week)

　およそ5000年前，エジプトやメソポタミアで始まった数学的英知は，
科学･通商･芸術発展の重要な要素である．
ピタゴラスの定理からゲオルグ･カントールの集合論に至る迄，
目覚ましい進歩を遂げ，さらに，コンピュータ時代の到来で，
我々の発展するハイテク社会にとって，数学的知識と理論は
益々本質的になった．
　社会と経済の進歩にとって，数学が益々重要であるにも拘わらず，
数学に関する学課が米国教育システムのすべての段階で低下する傾向にある．
しかし依然として，数学の応用が医薬，コンビュータ･サイエンス，宇宙探究，
ハイテク商業，ビジネス，防衛や行政などの様々な分野で不可欠である．
数学の研究と応用を奨励するために，すべてのアメリカ人が，日常生活において，
この科学の基礎分野の重要性を想起する事が肝要である．
　上院の共同決議261で，国会が1986年4月14日から4月20日の週を，
国家的な数学週間に制定し，この行事に注目する宣言を出す事を
大統領に要請した．
　今日，アメリカ大統領，私ロナルド･レーガンは，
1986年4月14日から4月20日の週を国家的数学週間とする事を，ここに宣言する．
私はすべてのアメリカ人に対して，合衆国における数学と数学的教育の重要性を
実証する適切な行事や活動に参加する事を勧告する．
その証拠として，アメリカ合衆国の独立から210年の西暦1986年の４月17日，
ここに署名する．ロナルド･レーガン(Ronald Reagan)
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■米国MAM活動の様子（2006年当時の記事）

　各地の大学を中心に，講演会，講習会，展示会等が展開される．
婦人向け数学講習会，女性数学者の伝記奨励，数学に関する優れた記事を書いた
ジャーナリストの表彰，教え方の優秀な高校の数学教師と大統領が食事を共にする
等々の行事が報告されています．［いかにも米国らしい］
　毎年，国家的に統一テーマが選定され，開発されたテーマ用素材は，電気自動車
［2006年当時は先端だった］を使って配られる．
活動の総括と結果集計は、毎年，春に行い，次年度への企画の検討に入る．
　力を結集し参加を奨励するために，AMS，MAA，SIAMのリーダー，部門長，
選ばれた高校の先生，公共政策の代表者，関係する団体のリーダー達へ，
その年のMAMの小包が送付される．これには，カラーポスター，はがき，現地の活動
に役立つ素材のリスト，特別なMAM行事を行うにあたりメディア報道等を含んでいる．
　MAMの活動は，学部，先生，諸学年の生徒，両親，他の公共社会のメンバー，
公的政策リーダーやビジネスマン達の幾千人もの意見で評価される．
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■MAMの年度別テーマ

1986数学----基礎的訓練
1987美と数学の挑戦
1988米国数学の100年
1989発見のパターン
1990通信数学
1991数学----それが基本
1992数学と環境
1993数学と製造業
1994数学と医学
1995数学と対称性
1996数学と意思決定
1997数学とインターネット
1998数学と画像処理
--MAWからMAMへ------
1999数学と生物学
2000数学は全次元に
2001数学と海洋
2002数学と遺伝子
2003数学と芸術
2004ネットワークの数学
2005数学と宇宙
2006数学とインターネット保全
2007数学と脳
2008数学と投票
2009数学と気候2013持続可能性の数学
2010数学とスポーツ
2011解明進む複雑系
2012統計学とデータの洪水−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
注）略語表
MAM：Mathematics Awareness Week
MAM: Mathematics Awareness Month(4月)
AMS：American Mathematical Society米国数学会
MAA: Mathematical Association of America米国数学協会
SIAM: Society for Industrial and Applied Mathematics工業応用数学会
ASA: American Statistical Association米国統計学協会
JPMB: Joint Policy Board for Mathematics米国連結政策協議会
*）2006年から、ASAが加盟することになった．

■■編集後記
　数学月間は数学者のものではなく，一般人が対象です．数学は，
ものごとの本質を追求し，装飾を剥ぎとり，その本質をあぶりだします．
出来上がった抽象化された概念体系（定理）を，数学者は美しいと感じます．
数学とは，そのような理論体系であるべきことは確かです．
しかし，このようにして出来上がった抽象的な数学を見せられても，
一般人は興味が湧かない．そこで，数学月間は＜数学と社会の架け橋＞として，
数学が実際の課題に使われていることを示して行こうと考えています．

　大学の数学では，完成され抽象化された数学を，数学科の先生が教えます．
これは，数学科の学生に対する教程としてはオーソドックスなものですが，
数学科でない学生には不親切であります．工学，薬学，経済学など，
それぞれの専門に適した内容の数学が必要であると考えられ始めました．
このような議論は，英国のMMPや日本の「教育数学の構築」などで見られます．
SGK通信にご意見などをお寄せください．

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数学月間の会(SGK)
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数学月間SGK通信 ［2014.07.01］ No.018
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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今回も，MMP,plusマガジン42号の翻訳です．
(2007年の数学月間懇話会で配布したものです）
017号のHTML形式が正しく表示されなかったので，
少し長くなりますが，018号は全文通しで掲載します．
数学が映画に入る
http://www.plus.maths.org/issue42/features/lasenby/index.html
Joan Lasenby
ポップコーンは手に入れたか？よい席は選んだか？座り心地は良いか？
それではタイトルロール....
◆数学が誇らしげにプレゼント....
映画の中の信じられないほど真に迫ったコンピュータで作られた映像に，皆な驚く．ジュラシック・パークの恐竜，ロード・オブ・ザ・リングズの不思議 ---- 特に，ガーラムの出演者 --- は，数学なしではできなかったということを知らない人が何と多いことか．どのようにして，これらの驚くべき映像が作られるのだろう？  
コンピュータ・グラフィックス，コンピュータ・ビションは大きな課題だ．この記事では，完成作品に使われる数学のいくつかを簡単に概観する．最初に映画の世界を創造し，次にそれを生活へ持ち来たそう．
◆場面を作る

Monkey?modelled?as?a?surface

最初の対象物は，三角形のような単純多角形よりなる針金骨格として作られる．
コンピュータ生成映画を作る第一ステップは，物語中のキャラクターや，それらが棲む世界を創造することだ．これら対象物のそれぞれは，接続された多角形（通常は三角形）で構成された表面として作られる．
各三角形の頂点は， コンピュータメモリにストアされる．
どの三角形のどちらの面が，物体やキャラクターの外側であるかを知ることは重要だ．
この情報は， ストアされている頂点の順番として，右ネジの規則に従い記号化される．これで，どちらが外か一意に決まる．
［頂点の順番に従い，三角形の周りを右手の指を人差し指，中指，．．と回したとき］
諸君の親指が向いているのが三角形の外側だ．例でやってみよう．
三角形（A,B,C）の外側方向（外側法線）は，三角形（A,C,B）の外側方向と反対であることがわかるだろう．

The?outward?normal?of?<i>(A,B,C)</i>?is?in?the?opposite?direction?to?<i>(A,C,B)</i>?as?determined?<br>by?the?right-handed?screw?rule.

右ネジ規則で定義された（A,B,C)の外側法線は(A,C,B)とは反対方向

Trace?a?ray?from?your?viewpoint?to?a?light?source

諸君の視点からファセット面までの光線を追跡しよう．
光線は反射して光源を通過するか？
いまや対象物の表面は三角形の針金網で，網のコンポーネントのそれぞれを彩色する準備ができた．
我々がモデル化している光景のライティングを，実際と同じにすることが重要である．
これは光線追跡と呼ばれるプロセスを用いなされる．
視点から物体へと遡り光線追跡し，反射させる．もし，目から出た光線がファセット面（針金網三角形の中の一つ）で反射され，光源を通過するなら，そのファセット面は光源に照らされ明るい色，もし，反射された光線が，光源を通過しないなら，そのファセット面は暗い色の影付をする．
光線を特定のファセット面まで追跡するには，表面を数学的に記述し，光線とファセット面の平面とが係わる幾何学方程式を解くことが必要になる．これはベクトルを用いなされる．光景の３次元座標系に，視点となる原点(0,0,0)を加える．
ベクトル$$v=(a, b, c)$$は，原点から発し座標  $$a, b, c$$で終わる矢である．
例えば，$$v$$にスカラー2を乗ずるのは，規則  $$2v=2(a,b,c)=(2a,2b,2c)$$のように行う．
$$2v$$は$$v$$と同じ方向で２倍長い矢だ．
表現$$λv$$を見よう．$$λ$$は変数（言い換えれば，任意の実数）．
これはもはや，ある長さの矢ではない．  長さが変数になったのだから，矢の方向だけを表している．別の言葉でいえば，この表現はベクトル$$vを$$含む直線を表す．
それは我々の視点からベクトルvの方向に発する光線を記述する．
三角形のファセット面で定義される平面は，３つの情報で表現される：
３頂点のうちの１つの位置頂点$$a_1$$と，$$a_1$$から$$a_2$$へのベクトルと，$$a_1$$から$$a_3$$へのベクトルである．
下の囲みの中に，目とファセットで決定される面から発する一本の光線の方程式を与えた．光線がファセットをよぎるか否か，何処でよぎるかを知り，反射された光線の方程式を計算するには，これらの2式を解かねばならぬ．
------------------------------------------
光線の表現 $$ r=λv$$
頂点  $$a_1, a_2, a_3$$のファセットが定義する平面の式
$$r=a_1+μ_1(a_2-a_1)+μ_2(a_3-a_1)$$
-------------------------------------------
（光線追跡の数学の詳細は，Turner Whittedの革新的な論文”影付け表示のための改良された照明モデル”，
Communication of the ACM,Vol.23,Isuue6に見ることができる．）
光線追跡は現実味ある光景を作り出すことができるが，たいへん遅い．
これはコンピュータが作る映画の製作には用いることができるが，コンピュータゲームのようにリアルタイムで照明を変化させることが必要な場合問題である．
影や火線束（コースティク）［収差による回り込みでできる光像］，多重反射のような複雑な現象は，モデル化が困難で，動的あるいはもっと巧妙な数学的な手法，事前計算放射輝度伝搬（PRT)やラジオシティ（R)が使われる．

Doom?3　Neverwinter?nights

コンピュータゲームDOOM3，Neverwinter nights はダイナミックライティングが必要だ．
◆必要なのは若干の想像力
光景，照明が出来てしまえば，監督が”アクション！”と叫び，キャラクターが動き出すのを待っばかりだ．
いまや，数学がイメージに命を吹き込むのを確かめよう．
最も基本的な物体の動きの一つは，与えられた軸の回りの与えられた角度の回転である．
座標幾何学は，回転後の物体各点各点の位置を計算するツールを提供する．
だがこれらのツールは効率的で高速であることが重要だ．
これらのツールを見るにあたり，数学授業に一寸立ち寄って見る．．．．
［訳注：この後に，複素平面のこと，複素数に虚数  i を乗じると反時計回りの90度回転になること，などの説明が続くのだが略］．．．．．．．．

Multiplication?by?complex?numbers?has?a?geometric?description:?rotation.

1806年にアマチュア数学者Jean Ribert Argandは複素数と$$  i$$ に幾何学的な解釈を与えた．
複素数を乗ずることは，幾何学的には回転を表す．
◆3Dへ

The?commemorative?plaque?now?on?Broome?Bridge

Broone橋にある記念プレート，Hamiltonが４元数を発明したときこの橋の下を散歩していた．
数学者William Rowan Hamilton卿はDublinのTrinity学寮の最も著名な息子であろう．
彼は最後の20年，複素数が２次元の回転を表すのと同様な３次元の回転の表現を捜し求めた．
人生の最後にHamiltonは，4元数という答えを見出した．

$$ q=a_0+a_1i+a_2j+a_3k $$
ここで，$$i^2=j^2=k^2=ijk=-1$$，$$a_0, a_1, a_2, a_3$$は実数．
 

複素数でしたように，４元数を幾何学的に記述し，回転の表現に用いよう．
今度は2次元でなく３次元の回転だ．
$$i, j, k$$は，3次元内の基本平面：$$i$$はyz平面，$$j$$はxz平面，$$k$$はxy平面で,外側向き法線はそれぞれ  x，-y，z方向である．

The?<i>i,?j</i>?and?<i>k</i>?can?be?geometrically?interpreted?as?the?elemental?<br>planes?of?three-dimensional?space.

$$i, j, k$$は，３次元空間の基本平面という幾何学的解釈ができる．
点$$a=(a_1,a_2,a_3)$$を，角$$β$$だけ原点を通る$$b=(b_1,b_2,b_3)$$軸の回りに回転してみよう．
２つの４元数$$q_1,q_2$$を$$b, β$$から作る．
$$q_1=cos(β/2)+sin(β/2)(b_1i+b_2j+b_3k)$$
$$q_2=cos(β/2)-sin(β/2)(b_1i+b_2j+b_3k)$$
$$a$$(x,y,z方向の単位ベクトルの線形結合)に，これら２つの４元数を乗じて
$$a'=q_1aq_2$$
この積で得られる点$$a'$$は，$$a$$を与えられた軸の回りに角度$$β$$だけ回転したものだ．
複素数は平面内の回転記述，４元数は３次元空間内の回転記述に用いられる．
ダブリンの橋の下を通りかかったとき，Hamiltonのひらめきは，３次元で物体を回転させる最も効率の良い方法であることがわかった．
だが彼の新しい乗法で，だれも幸福にならなかった．
物理学者Kelvin卿は４元数のことを：”....美しく巧妙だが，とにかく，これに触れるものには，純粋邪悪である...と評した．とりわけ厄介なのは，２つの4元数を掛け合わせるとき，答えがかける順番で変わることだ．この特性を非可換という．
Hamiltonの積則をみれば，$$ij=k, ji=-k$$が示せる．
もし，$$i, j, k$$を単位平面のように扱えば，Kelvinや彼の同時代の人々を困らせた特性は，直接導ける．
◆映像を生活へ
Ｈａｍｉｌｔｏｎの発明はいまや多数の物体を動かしたり，運動の創出へのｸﾞﾗﾌｨｯｸ応用に使われる．コンピュータグラフィックで最も重要なツールの２つは，変形と補間である．
補間とキーフレーミング技術は，物体の初めと終わりの形と位置の特定と，その間の様子をコンピュータに計算させることだ．以下に示す映像のように：

A?teapot?changes?shape?through?keyframing

一連のフレームにわたって徐々に変形するティーポットの形諸君は，未発達のへびのアニメーション（Richard Wareham製作）を見ることができる．
ここではすべてのへびが，いくつかの特定な点の運動から，補間を用いてコンピュータで作られた．
[訳注：ファイルのダウンロード先は略]
変形は単純なものから複雑なものを作り出す方法だ．
下の映像のように，変形球を覆っている布は，普通の球面で起こる同じ光景を数学的な変形をして得られる．
変形も補間も速くて安定な数学的技術を必要とし，４元数関連の手法がこれを提供する．

A?cloth?falling?over?a?round?sphere　　A?cloth?falling?over?a?deformed?sphere

◆ガーラムを信じさせる

Motion?capture?used?to?capture?movements?of?real?people
 Data?gathered?from?motion?capture A?skeleton?is?fitted?to?the?data

データは体の色々な部分に付属しているリフレクターの運動からキャプチャーされる．....
....骨格は，データに数学的にフィットさせる．

上で記述したテクニークは古典的なアニメーションでも基本的なツールである．
漫画キャラクターでは，我々はその結果が信じられるのはとても幸せだ．
しかし，人間のアニメーションでは，たちまち偽者とわかってしまう．
現実味ある動きを作り出すにはモーションキャプチャーが必要になる．
ロードオブザリングズのフィルムバーションから，ガーラムのような多数のキャラクターを作るにはモーションキャプチャーによる．
これらは，身体，頭，肩，ひじ，ひざなどの回転点に，本当の人のリフレクターを付加して作られる．それぞれは，多重のカメラによってフィルム化されリフレクターの位置の変化をコンピュータに記録する．
骨格は３次元データでフィットされる．
最後に，上に記述された技術はすべて，骨格上に具体化し，生活し，呼吸し，動くキャラクターを作り出す．

もしまだ諸君がタイトルロールを完全に見るために留まっているなら，首尾よい映画作製で使われた種々の製作タレントに気づくだろう．
作者，ディレクタ，俳優，衣装デザィナー，プロップビルダー，．．．．これらのクレジットリストが続々流れる．
しかし一つの名前がしばしばタイトルロールから忘れられている?数学だ．
今日の映画の多くは，光線追跡の幾何学，４元数による空間内の回転なくしてはできない．
次回は，あなたの映画シートで，CGスペクタクルを楽しむために，数学に対してポップコーンを掲げよう．ショーの隠れたスターへ．
（訳：谷 克彦）
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著者

Joan  Lasenbyはケンブリッジ，トリニティカレッジで数学を専攻し,
電波天文学グループ物理学科のPhDをとった．
マルコーニの企業で短期間働いた後に，大学に戻り，現在，ケンブリッジ大学工学部の信号処理グループの講師やトリニティカレッジの研究のディレクター，研究員である．
彼女の興味は，コンピュータビジョン，コンピュータグラフィックス，画像処理，モーションキャプチャと幾何代数の分野にある．

2014/05/27
009_非ユークリッド幾何学

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数学月間SGK通信 ［2014.05.27］ No.009
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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◆双曲幾何のポアンカレ・モデルの世界
円盤の中に宇宙があります．
円盤のフチに近づくほど自分もどんどん小さくなるので，
歩いても歩いてもフチまで行けません．Fig.1をご覧ください．
円盤の中に描かれた円弧はすべて，フチと直交しています．
この円盤の世界では，これらは皆，直線なのです．

◆反転円による鏡像
円盤のフチと直交するこれらの円の一つ，例えば，
赤い円弧で分けられた円盤の世界は，左が大きく右が小さい
ように我々には見えます．しかし，円盤の世界（双曲幾何の世界）
に住むとどちらも同じ広さで無限に広い．
なぜかというと，赤い円で分けられた円盤内の世界は，
赤い円を反転円にすると，互いに鏡像になるからです．
(注）円による反転とは-------ｰｰｰ
反転円の半径をrとるると，互いに反転鏡像となるA,B2点の
反転円の中心からの距離をa,bとすると，a･b=r^2　です．
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我々のユークリッド空間では，鏡像というと直線鏡によるものですが，
円盤内の双曲幾何の世界では，フチと直交する円弧(この世界では直線）
による反転で鏡像が作られます．

◆Fig.1は円版の世界をフチに直交する円弧（この世界の直線）で
分割した例です．鏡映が起こるたびに色が変化するように，
市松模様に塗り分けてみました．
こような分割の表記にはシュレーフリの記号が使われます．
Fig.1は[4,6]と表記しますが，これは，どの頂点も同じ状態で，
正4角形が6つ頂点に集まっているという意味です．
我々にはゆがんで見えるかもしれませんが，
円盤内の世界ではこれらは皆同じ正方形なのです．
Fig.1