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■球面上のオイラーの定理
球表面の３角形メッシュに関して，オイラーの定理は T-E+V=2 です．
（ここで，3角形（面）の数 T，エッジの数 E，頂点の数 V）
球表面を３角形メッシュに分割したとき，すべての３角形のすべての角度の総和は，2πVになります（すべての頂点のまわりに2πがあるから）．
球面3角形の面積（球面過剰）
球面３角形が半径１の球上にあり，例えば，頂点がｘ軸，ｙ軸，z軸にあれば，各頂点の角度θ1，θ2，θ3は，それぞれ，π/2なので，内角の総和は，θ1＋ θ2+ θ3＝３π/2です．
もちろん，ユークリッド幾何学では，いつでも，θ1＋ θ2+ θ3＝πです．
一般に，内角がθ1，θ2，θ3の球面3角形の面積は，θ1＋ θ2+ θ3-πで定義されます（この量は球面過剰とよばれます）．
この例では，球面3角形の面積は球全表面の1/8で，球面3角形の球面過剰は３π/2－π＝π/2ですので，全球表面は確かに４πになります．
■球面上のオイラーの定理のルジャンドルの証明
球面上の3角メッシュ全体で，次の面積の関係が成り立ちます．
（3角メッシュの角度総和）＝（球面3角メッシュの面積総和）+πT
すなわち，2πV=4π＋πT → V=2+T/2
他方，3角メッシュ全体でエッジの数を2重に数えると，→ 3T=2E
ゆえに，T-E+V=T-3T/2+(2+T/2)=2 となりオイラーの定理が証明された．
３角メッシュではなく，多角形の面からなる多面体についてもオイラーの定理は成立します．多面体の面の数F，エッジの数E，頂点の数Vとして，球表面でのオイラーの定理は
F-E+V=2
■多面体の不足角
多面体の頂点の不足角は，2πー（その頂点に集まる面の内角の和）
例えば，立方体の場合は，１つの頂点で，2πー3π/2=π/2ですから，立方体全体では４πとなります．これは，球と同じトポロジーの面上の任意の多面体で成り立ちます．
多面体全体の全不足角は，いつも4πであることの証明．
多角形F1，F2，･･･，Fkのk個の面で構成される多面体を考えましょう．これにオイラーの定理を適用し，エッジ数と頂点数を計算しましょう．
面FjはNj個のエッジとNjの頂点がある（Nj多角形）とします．
２E=N1+N2+･･･+Nk
V=E-F+2=(N1+N2+･･･+Nk)/2-k+2 → ２V=(n1+N2+･･･+Nk)-2k+4
多面体全体の全不足角Θは
Θ＝2πV－[(N1-2)π+(N2-2)π+････+(Nk-2)π]=
=π(2V-(N1+N2+････+Nk)+2k)=4π
定理 任意の多面体全体の全不足角は4πである．
（参考）
Nrich Article by Alan Beardon，Published December 2000,February 2011.
