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60÷5(7-5)＝？
この答えは24ですか6ですか
60÷5x2＝？と聞かれれば，24と迷わず答えられる人が，なぜ6と答えたくなるのでしょうか．これは５と()の間にxが書かれていないことが心理的に影響すると思います．
5(7-5)は文字式のような錯覚に陥り,ひとまとめにして数値を出したくなります．÷とxの演算が並んだ式は，前から順番に演算するのが決まりです．割り算を使わず掛け算だけで書き直すこともできます．例えば，
60÷5x2＝60x(1/5)x2　のようにです．
60÷5(7-5)＝を，分数で書いてみましょう．しかし，5だけが分母に来るのか，5(7-5)が分母に来るのか不明確です．(60/5)(7-5)のことなのか，60/(5(7-5))のことなのか，かっこを1組追加すれば明確になります．

逆ポーランド式に，二項に対する演算の繰り返しとして計算手順のグラフを書くと，解釈の異なるそれぞれの計算手順は表紙カバーの図のようになります．

■さて，文字式の場合は係数と文字の間のx記号は省略されるのが普通です．9a^2÷3a＝の答えは，3a か，3a^3　のどちらが正しいのでしょうか？
雰囲気的には3aですが，式の機械的な記述は曖昧です．
このような曖昧さを避けるために，()を用いて明確にすべきです．
9a^2÷(3a)＝3a　あるいは，(9a^2÷3)a＝3a^3　のようにはっきりさせましょう．

■ここまでの記事を，私がメルマガに掲載したことがあります．すると，以下のコメントを読者からいただきました．この問題はなかなか面白いですね．ここに掲載させていただきます．

理学系では『省略演算の優先』を意識している傾向がいくつか見られます。たとえば化学業界では省略演算は優先することが国際的なルールとして明記されていて、先の計算は６と答えなければならないように定められているそうです。
また、物理学のフィジカルレビュー誌の投稿規定にも同様な省略演算の優先が書かれているということですので、こちらも６と答えることが義務付けられていることになります。
算数の世界では、帯分数の計算部分に同様な様子が見られます。{以下テキストの都合上帯分数には()をつけ、整数部分と分数部分の間に『と』を挟みますが、実際には無いものと思ってください}
(２と1/3)×3　は，２+1/3×3　なら，+より×優先なので　=2+1=3　と計算するはずですが、実際には省略演算である+を先に行い、7/3×3=7　と計算します。
ところで、マセマティカで計算すると、メルマガの計算は24が出力されるようです。ソフトのいくつかは24を出力すると聞いています。
以下は想像です。
理学系では古くから省略演算を優先する感覚があったため、そのようなルールが少なくとも上記の物理化学ではルールとして明記された。数学はともかく算数でもそのように教えている部分がある。
一方で後発の計算機業界ですが、こちらはそもそも昔は省略演算は文法違反でエラー扱いでした。それがハードが強力になり対応可能となった時に、理学系の慣習など頭になく、ただ省略演算を補うだけだったために、結果24と計算するソフトが多いのではないかと。実際、カシオの関数電卓では、古い機種では24を答えに出し、新しい機種で６を出力するケースを確認しています。おそらく化学業界あたりから苦情が来てユーザーニーズに合わせたのではないでしょうか？
数学では化学業界と違って国際組織が演算順序をルールとして明記するなんて多分やってないと思います。×が+に優先するなことすら学会による明文化はなく慣習によるものだと思われます。明文化されない以上慣習として定着するまではどちらが正しいとは言い切らないのが無難に思います。ただ、化学業界のルールでも但し書きとして、『ただし、誤解を招かないよう括弧を十分に補うことを推奨する』とあるそうですから、メルマガの式は
(60÷5)(7-5)　なり、60÷(5(7-5))　なりにするのが大人の対応ということになりそうです。

エンゼルフィッシュの縞模様やヒトデの星型はどうしてできるのでしょうか？
コンピュータの発明や暗号解読で有名な天才数学者アラン・チューリングが，”The chemical basis of morphogenesis”という論文を1952年に発表しました．今日，受精卵が細胞分裂を繰り返し分化し生物組織が出来ていく胚発生過程は遺伝子情報にプログラムされていることは公知です．1952年にチューリングが発表した理論は，「反応拡散系」が条件を満たせば，パターンや構造を自己成長形成するというものです．反応拡散系と言うのは，２つの物質（モルフォゲンと呼ぶ）が，反応し合いながら組織を介して拡散するもので，初期状態は均一であったものが，ランダムな外乱により，物質の濃淡の波が生じその波が生物の形や模様をつくりだすというものです．この数式でつくり出される模様は「チューリング・パターン」と呼ばれますが，コンピュータ・シミュレーションで描き出すと，条件により，動物の模様にそっくりな縞模様が出現したり，ヒトデの形を作ったりします．手の指が形づくられていくのは，その設計図が遺伝子により決定されているからと考えられていますが，もしかしたら，「指の形成はチューリングの理論のように波がつくっているのではないか」という論文が最近発表されたそうです．遺伝子はからだの構造の基本を決める設計図で，例えば，肺の形成の初期に気管支の分岐などを作るが，細かい肺胞の形成まではその設計図には書かれておらず，チューリング理論のように，現場の細胞同士のやり取り（反応と拡散）で作り上げられて行くのだろうと，近藤滋氏は言っています．

1952年に提唱されたチューリング理論は，現実の生物分野でそのような実験的証拠がなかったので，その後長い間，机上の空論と思われていました．1995年，近藤滋は，海洋エンゼルフィッシュのポマカンサスには，縞模様が皮膚に固定されていないことを発見しました．体の成長とともに，単純に比例して拡大する哺乳類の皮膚のパターンとは異なり，ポマカンサスの縞模様は，体の成長にともなうパターンの連続的な再配置が起こる．そして，縞間のスペースが維持されるという実験事実を観測しました．

実際，チューリング理論に基づくシミュレーションは，成長とともに形成されるパターンを正しく予測できたので，この理論の正しさを支持するものです．

■　チューリングの反応拡散系方程式
存在する２つの物質（モルフォゲン）が，反応したり拡散したりするのは，遺伝子情報で制御されるわけでもなく単純な化学反応で，以下の連立方程式で記述できます．u(t,r)，v(t,r)は振動し，いろいろな形が形成されます．

■チューリングの反応拡散方程式の解の安定性を調べる数学について
（解が不安定（暴走）では，縞模様ができません）
数式を多用することができませんので，ここでは，言葉で説明するにとどめます．⇒　Texによる数式追補http://sgk2005.saloon.jp

反応項 f，g はそれぞれ物質の濃度 u, v の関数で，平衡点の周りでテーラー展開（1次の項まで）して線形化します．このような連立線形微分方程式の性質は，ヤコビアンと呼ばれる行列Aで決まるが，この行列Aの固有値の実部がすべて負であれば，解は安定になります．
行列Aの固有値を求めるのは面倒なので，条件を緩くして，行列Aの対角要素の和（固有値の和に同じ）が負であるとし，さらに，拡散係数も0の場合から始めると，結局，f_u＋g_v<0が得られます．
これは，f_uとg_vが異符号で負の絶対値が大（促進剤と阻害剤が拮抗して働き，若干，阻害剤が強い）の条件を意味し，このようなときに縞模様が形成されます．

表紙写真のグラス（リュミナルク製）のデザインは，こちら側の模様の円が凹レンズとして働き，向こう側の模様の円を円内に縮小して映し出すので，あたかもアポロニウスの窓のようです．

■映像が果てしなく繰り返す「インドラの網」
網の上に置かれた真珠は互いに反射し合って，他の真珠を映しだすだけでなく，映っている他の真珠の映像の中に自身の姿をも映しています．世界全体が真珠一つ一つの上に映り，またその姿が別の真珠に映り，これが永遠に続くのです．「インドラの真珠」D.マンフォード, C.シリーズ, D.ライト, 小森洋平 (翻訳)，日本評論社は，美しく興味深い数学の本です．

この美しい図形の２次元版は，「アポロニウスの窓」ApolloniusGasketとも呼ばれます．
互いに 接し合う3つの円に接する第4の円を描くのですが，これを次々と繰り返して，どんどん小さくなる円で埋め尽くされる円盤内の世界はフラクタルです．
4つの円の曲率（半径の逆数）をa,b,c,dとすると，
2(a^2+b^2+c^2+d^2)=(a+b+c+d)^2 という，デカルトの発見（1643）した定理が成り立っています．
（参考）⇒三角形の七不思議 (ブルーバックス)， 細矢 治夫

■反転によるフラクタル構造

2つの円β，γが互いに接し，かつそれらがアポロニウスの窓の外周円Ωとも接しているとき，これらの接点を通り外周円と直交する円（赤色）を考えましょう．すると，この円で分断された2つのアポロニウスの窓の世界（若草色と黄色）は，この円（赤色）を反転円として，互いに鏡像（反転鏡映）となっています.　もし反転円がどんどん小さくなれば，
その小さな領域に大きな世界がどんどん繰り込まれていくので，不思議なフラクタル世界 の美しさが見られます．表紙の図はこのような様子を表しています．色々な反転円を考えれば，無限にある大小さまざまな大きさの円は，
みんな同じ大きさであるとも言えます．それゆえに，円盤内の世界は無限に広いと言い張るのも良いでしょう．

上図は　Cinderellaというフリーソフトを用いて描きました．

■円による反転

中心Oの半径rの円による反転は，反転円外の点r1を反転円内の点r2への写像
で，反転像どうしは，r1･r2=r^2を満たします．
もし，反転円の円周上に点があれば，反転像は元の点と同じ位置です(r1=r2=r）．
反転操作では，円は円に写像されます．もし，反転円に直交するような円周の円をこの反転円で反転すれば，同一の円の上に写像されます．したがって，円周に直交するような反転円で分断された円の２つの部分は，反転円によるそれぞれの鏡像になります．

反転円が直線なら，反転鏡映は普通の鏡映像になります．
直線鏡の組み合わせで作られる映像は，良く知られた万華鏡ですので，反転円を用いたインドラの網の鏡映像も拡張された万華鏡の映像とみなせます．

■仏教では，「宇宙の一切のものが,一切のものの原因になっていて，
無限の過去からの無数の原因が，どの一人にも，それぞれ反映されている」と考えます．これはまさに単純な因果列ではなく複雑系の考え方ですね．
宮澤賢治に「インドラの網」という小品があります．インドラの網目に縫い付けられた珠玉は，互いに映じ合うと同時に，自分自身も輝いています．

この項目は，反転円の幾何学のほかに，フラクタル，複雑系，双曲幾何の円盤モデル，エッシャーの不思議な世界，万華鏡，などに関連があります．
これらは順次取り上げる予定ですが，拙著「美しい幾何学」技術評論社(2019.9刊）をご覧いただけると幸いです．

■円による反転鏡映の性質
①反転円の円周上の点は，反転しても元の点と同じ位置．
②反転では，円は円に変換される（直線も半径∞の円の仲間）
下図に反転円（赤い円）による，反転鏡映の例を示します．
●図１・反転円Oと交差する円Cは，交差の２点を共有する円cに変換される．
●図２・反転円Oと直交する円Cは，自分の上に変換される．
円周に直交するような反転円で分断された円の２つの部分は，反転円によるそれ
ぞれの鏡像になる．
●図３・反転円Oの中心を通る円Aは，直線aに変換される．
特に，円Bが反転円Oと交差する場合は，交差する2点をよぎる直線ｂに変換される．
③反転円が直線なら，普通の鏡映像になります．
直線鏡の組み合わせで作られる映像は，良く知られた万華鏡です．
反転円を用いたアポロニウスの窓も拡張された万華鏡の映像と言えるでしょう．

■反転の利用

反転の性質を使うと，パップスの定理の様な難しいものを簡単に証明できます．

このような図形はアルベロス（靴屋のナイフ）といいます．
この中に面白い幾何学があります．

円弧αと円弧βに挟まれたア
ルベロスの領域に，互いに接す
るように円のチェーンω0, ω1,
ω2, … があるとき， 円ωnの
中心と直径ABとの距離は円ωn
の直径のn倍である．
（パップスの定理）

［以下の証明ができます］
円ω2の中心は，線分ABから円ω2の直径の2倍だけ離れていること．
① 点Aから円ω2へ接線を引く．両接点を通りAを中心とする円γは，円ω2
と直交します．（なぜなら，円の接線は接点での半径と直交するから）
② γを反転円にして，色々なものを反転してみましょう．
円ω2 は自分自身に．円α，β は，それぞれ 直線α’，β’に，
円ω1，ω0 は，それぞれ円ω1’，ω0’に，なります．
③ 円ω2，ω1’, ω0’の直径はすべて同じだから，パップスの定理が証明
された． （なぜなら，平行な直線α‘とβ’に挟まれているから）

■楕円幾何平面の正則タイル張り
球表面が球面正p多角形タイルで{p,q}のように張りつめられているとき，1つのタイルの中を2p個の直角3角形に分割できます．この直角3角形を鏡室とする万華鏡を“メビウスの万華鏡”と名付けます．このときの直角3角形（鏡室）の内角は，それぞれ π/p，π/q，π/2で，この直角3角形を（p,q,2）と略記します．

■双曲幾何平面の正則タイル張り
ポアンカレ円盤の双曲幾何平面が，双曲正p多角形で{p,q}のように張りつめられているとき，１つのタイルを2p個の直角3角形に分割できます．この直角3角形を鏡室とする万華鏡を“コクセターの万華鏡”と名付けます．
双曲面の｛6,4｝正則分割を例に，直角3角形(6,4,2)(赤い3角形）を図（左）に，対応する“コクセターの万華鏡”の映像を図（右）に示します．

■双曲面{6,4}分割の場合の“コクセターの万華鏡”を作る

双極面{6,4}分割の映像を，3角形の万華鏡で作るには，双曲面直角3角形(6,4,2)を用います．この3角形の2辺は平面鏡，残りの1辺は円盤のフチに直交する円弧鏡よりなります．この円弧鏡は，数学的には反転円として定義できるのですが，現実の円柱鏡の反射には収差があるので，数学の定義のように鮮明な万華鏡映像を作るのは困難です．

■エッシャー作品の生まれるまで

　　（１）　　　　　　　　　　　　　　　（２）　　　　　　　　　　　　　　　　　　（３）

(1)コクセター：直角3角形(6,4,2)による双曲面の｛6,3｝分割の細分
(2)エッシャー：直線魚のモチーフ
(3)エッシャー：「極限としての円Ⅰ」CircleLimitⅠ

コクセターとエッシャーはオランダで開催された1954年の国際数学者会議で出会いました．1958年にコクセターはこの分割を掲載した論文*をエッシャーに送り，これがエッシャーの「極限としての円」の作品群（Ⅰ～Ⅲ）を生むことになります．

*By S.H.M.Coxeter
Crystal Symmetry and ItsGeneralizations (published in the Transactions of the RoyalSociety of Canada in 1957).