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https://sgk2005.org/bbses/bbs_articles/view/24/618d4f4e4684317b3551a483d4f99fc5?frame_id=37

20世紀の科学的発見で，最も偉大な業績とされるべきものは何でしょうか．おそらく，量子力学の誕生でしょう．量子力学は，ミクロの世界（原子や粒子のレベル）で起こることを説明するだけでなく，トランジスタやレーザー，超伝導や原子工業など，新しい技術を生み出したのです．ちなみに，数学者は，量子力学を記述するための適切な数学ツールを開発し，量子力学に大きく貢献しました．水素原子に関する最初の量子方程式は，シュレーディンガーの依頼で数学者ワイルが解いたのだ．同様の問いを19世紀の科学についてすれば，答えは明白．マクスウェルの方程式を中心とした電磁気学の誕生である．もちろん，ここでも熱力学や統計力学の創始などの他の目覚ましい成果も忘れてはならない．しかし，マクスウェルの方程式によって電気を「制御」する時代が到来し，蒸気の時代から電気の時代に引き継がれたのだ． 電気力学の分野では，マクスウェルに先立ち，エルステッド，アンペール，そしてもちろんファラデーという優れた先達がいた．彼らは，電気力学の基本法則を実験的に確立していた．彼らは，誘導電流，磁力線，自己誘導現象などを発見した．しかし，この分野で最も印象的な功績は，「場」の概念を導入したことだろう．電気や磁気は，いわば空間のすべてに「浸透」している．空間に「プローブ」としての電荷や電流がなくても，電場や磁場は空間に存在しているのだ．電場や磁場という２つのベクトル場は，空間座標および時間にも依存する．マクスウェルは，実験結果をもとに，これらの場が従う方程式系を導き出した．この方程式ができるまでの道のりは，実に長いものだった．というのも，適切な力学的アナロジーを見つけるのに長い時間がかかったからである．トムソン（ケルビン卿）とマクスウェルを導いた主なアイデアは，理想的な非圧縮流体の渦流のアナロジーでした．電場や磁場は，流体で質量のない物質，つまり最も希薄なエーテルであり，空間全体を満たし変動するものと考えられていた．

$${\displaystyle \frac{ \partial H}{ \partial t}=-c  \textrm{rot}E}$$, $${\textrm{div}H=0}$$

$${\displaystyle \frac{ \partial E}{ \partial t}=c  \textrm{rot}H}$$, $${\textrm{div}E=0}$$

*訳者注）$${ E(x,y,z,t), H(x,y,z,t)}$$は，それぞれ電場ベクトル，磁場ベクトルで，空間の座標と時間の関数です．$${ \textrm{rot}E}$$や$${ \textrm{div}E}$$は，それぞれ，ベクトル場での回転，発散と言われる演算でベクトルを出力します．

このアイディアは，有名な数学者デカルトに遡る．彼は同様の基礎の上に物質の渦理論を構築しようとしました．機械的なアナロジーは発見的な目的を果たしたが，現代の電磁気学の教科書には今やその痕跡すらない．しかし，方程式そのものに，回転rotと発散divという形で，渦と非圧縮性に関する響きが残されています．マクスウェル方程式の2つの重要な結果は，電気通信技術の発展と時空に関する現代物理概念の形成に基本的な役割を果たしたました．これにより，光の電磁気的性質が明らかになり，1888年，ヘルツは電磁波を発生させる方法を発見した．その直後，ポポフやマルコーニがヘルツのアイデアを利用して，遠距離の無線通信を実用化した．マクスウェル方程式のもう一つの重要な帰結は，相対論的力学である．ポアンカレがローレンツ群と呼んだ4次元時空の線形変換の10個のパラメータ群に関して，マクスウェル方程式がその形を保つことが判明したのである．一方，3次元空間におけるニュートンの第2法則の方程式は，同じく10個のパラメータに依存するガリレオ変換群を許容している．相対論的力学の基本的な考え方は，力学と電気力学を調和させるために，ガリレオ群をローレンツ群に置き換えるべきだというものであります．相対論的力学の考え方は，現代の空間と時間の理解を形成し，マクスウェル方程式は電気力学の数学的基礎となっただけでなく，世界の物理的全体像の整合性を維持することを可能にしたのです．

引用：МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СОСТАВЛЯЮЩАЯ Редакторы-составители Н. Н. Андреев, С. П. Коновалов, Н. М. Панюнинp.30-31

アイルランドの首都ダブリンのブルーム橋には，「1843年10月16日，この場所で，ウィリアム・ローワン・ハミルトン卿が散歩中に，天才的な洞察力で，四元数の乗法を決める公式、$${i^2 = j^2 =k^2 =ijk =-1}$$ を発見し，橋の石に書き込んだ」という石版がある． この規則は，実数の4倍体である四元数（クオータニオン：ラテン語でクオータとは「4」という意味）の掛け算を決定することができる．
四元数$${q =(a; b; c; d)}$$は，分解$${q =a +bi +cj +dk}$$と見なすことができる．ここで$${i, j, k}$$はブルーム橋の公式の「虚数単位」である．現代に至り，突然，人間とともにクォータニオンが宇宙へ飛び立った．1960年代末，宇宙船の設計者は，技術的に宇宙船にコンピュータを搭載できるようになった．地球の管制センター，宇宙飛行士とともに，コンピュータは宇宙船をコントロールしなければならない．コンピュータに求められる条件は，耐衝撃性，軽量性，高速動作，十分なメモリなどの非常に厳しいものだった． コンピュータに求められる主な仕事は，宇宙船の座標と方位を計算することで，当時，方位表現の基本的方法として，オイラー角を使う方法と回転行列法の2つがあった．しかし，いずれも実用上大きな欠点がある．第一の場合は，オイラー角による船の位置の記述が縮退してしまい，方位制御がうまくいかなくなるという危険性が生じる．また，百分の一秒，千分の一秒単位で情報を更新する必要が，軌道投入，宇宙船の降下などのアクティブな局面で必要だが，当時の計算機では対応しきれない．
こうした問題を回避する解決策を見つけたのは，中央実験機械製作設計局（S.P.コロレフの旧ОКБ-1）のスタッフたちだった． 科学者とエンジニアは，3次元空間の動きを四元数という「4次元」の言語で記述することで，オンボードコンピュータに実装できる計算しやすいモーションコントロールシステム（СУД）の開発を可能にした．3次元空間の動きは，四元数の構成要素である通常の数への代数演算（加算と乗算）として表現できる．四元数のСУДでは，記述の縮退の危険や，三角関数の値を計算し続けるためにコンピュータに負荷をかける必要がない． СУДのコースは宇宙飛行士の宇宙訓練の一環であり，すべての候補者が四元数を勉強しなければならない． 四元数による姿勢パラメータの表現は，明快さに欠けるので，通常，宇宙飛行士は訓練中に何度もリハーサルを行い，四元数を含むパラメータの制御値を暗記している． 宇宙で最も困難で責任のある作業のひとつに宇宙船のドッキングがあるが，軌道上での異常事態の1つで，四元数を「読む」能力が役に立ったエピソードを紹介しましょう．
3度目のミッションに臨むアレクサンドル・セレブロフ宇宙飛行士は，アレクサンドル・ビクトレンコとともにミール宇宙ステーションでクヴァント2号モジュールを実施する機会を得ました．自動ドッキングプログラムはすでに開始されていました．
その時，突然オンボードコンピュータのメモリがオーバーフローし，パワージャイロ（ジャイロダイン）が停止しました．手動でのアプローチとドッキングに切り替えなければならなかった．ビクトレンコはステーションの姿勢を制御し，セレブロフはスクリーンに映し出されるプロセスパラメーターを監視していた．
四元数制御システムは，その効率の良さから国際標準となり，特に国際宇宙ステーションで使用されている．3次元グラフィックスやゲーム制作のための重要なツールでもある．

引用：МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СОСТАВЛЯЮЩАЯ 
Редакторы-составители Н. Н. Андреев, С. П. Коновалов, Н. М. Панюнин
 p.24-25

最も抽象的で思索的な科学理論が，しばらくして（時には相当な！）非常に実用的な事例の基礎となることがあり，たった一つの応用からの恩恵が，科学史におけるオタク数学者のコストの何倍にもなる...ここに多くの例の一つを挙げます．
19世紀前半．カザン大学学長ニコライ・イワノビッチ・ロバチェフスキーは，「仮想幾何学」を提案する．ユークリッドの2千年の幾何学が存在していたというのに，この幾何学では三角形の内角の和が180度にならない．狂気の沙汰としか言いようがない．同じ頃，ドイツの偉大な数学者カール・フリードリッヒ・ガウスも同様のアイデアを思いついたが，その成果を発表するのを恐れていた．ドイツの数学者ベルンハルト・リーマンが，ユークリッドの幾何学とロバチェフスキーの幾何学の両方を含む一般理論を構築し，数学の純粋な抽象部分であるリーマン幾何学が登場した．アルベルト・アインシュタインは，リーマン幾何学に基づく特殊相対性理論（STR），一般相対性理論（GTR）を完成させる．核反応の計算はすべてSTRに基づいており，GTRは長い間，美しいが実生活には役に立たないおもちゃと思われていた．GPSナビゲーターは，ナビゲーションシステムをサポートする軌道上の衛星に非常に正確な時計を要求する．衛星の速度が速いため，軌道上の時計は地球上とは異なる動きをするのです．しかし，それ以外にも，この種のGTR効果には，時空の非ユークリッド幾何学に関連した特有のものがある．もし，ある瞬間にこのような効果の考慮を「オフ」にすると，1日の間にナビゲーションシステムの表示に約10kmの誤差が生じます． つまり，我々の空間がわずかに非ユークリッドであることを一瞬でも忘れると，溝やビルの壁にぶつかることが確実なのです．

Паршин Алексей Николаевич

p.12

現代の生物学では，大きなDNA分子を本のように一文字ずつ「読む」ことはまだできません．その代わりに，科学者はゲノムのどの部分から切り取られたのか分からない短いDNA断片の配列を解読しています．このような大量のDNA断片からゲノムを組み立てるプロセスをシークエンシング（sequencing）と呼びます．
 
10億個のジグソーパズルを組み立てるようなもので，3世紀以上前に開発された数学的理論に基づいている．

18世紀前半．
大数学者レオンハルト・オイラーが「ケーニヒスベルクの橋の問題」を解決し，川と二つの島に囲まれたケーニヒスベルクでは，現存する7つの橋をそれぞれ一度だけ通過して出発点に戻ることはできないことを証明しました．このようなグラフの経路はオイラーサイクル（Eulerian cycle）と呼ばれる．オイラーサイクルの存在問題は，グラフの各頂点から偶数個の辺が出ているか，奇数個の辺の出る点がある場合は２つという，非常に単純な判定基準を持つ．オイラーサイクルを見つける問題（ZEC）は，非常に大きなグラフであっても，かなり速く解決される．

 19世紀後半．
数学者William Hamiltonは，ZECに似た問題として，グラフの各頂点を1回だけ通る閉じた道（ハミルトンサイクル）を見つける問題（ZGC）を考えた．

20世紀後半．
ZECとは異なり，ZGCは効率的な解法アルゴリズムが知られていない問題の代表格であることが立証された．

20世紀末から21世紀にかけて．
1990年代半ばに細菌ゲノムが，2001年にヒトゲノムの塩基配列が決定された．この作業は，スーパーコンピューターのアルゴリズムがZGCをベースにしていたため，時間とコストがかかるものだった．この10年間で，数学者はZECに関連した高速アセンブリー法を開発した．
そして 現在，生物学者たちは，哺乳類の各生物種のゲノムを組み立てるという基本的な課題に取り組む準備を進めている．
 
Певзнер Павел Аркадьевич
p.13