SGK通信2014年

2014/10/12
034_結晶で見られる多面体（その２）

◆黄鉄鉱の結晶粒の外形には，多面体がいろいろ現れることを，
028号で述べました．整理すると下図のようです．
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さて，この図の中に正12面体や正20面体の外形が見られるようですが
結晶（周期的な内部構造をもつ）では，5回対称軸は存在できず,
5回対称のある正12面体や正20面体は外形にも生じないはずです．
詳しく調べてみると，黄鉄鉱の正12面体のような5角12面体は，
(2,1,0)面で囲まれているようです．＊ミラー指数
両者の多面体で二面角の比較をしてみましょう：
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黄鉄鉱　　 　126.89°　(2回軸を挟む二面角）
正12面体　　116.57°
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黄鉄鉱の外形（5角12面体）は正12面体ではありません．

◆ミラー指数
ミラー指数とは面の傾きの表示です．
下図のブロックのサイズは，x,y,z各１単位
（x,y,zの各単位は互いに等しくなくて，斜交軸でもかまいません）
例えば，(2,1,0)面の，x軸，y軸，z軸との切片は，1/2，1，∞です．
切片の逆数の比をとると，ミラー指数　2,1,0　が得られます．

結晶は単位ブロックが積み重さなった周期的な世界です．
周期的な世界（格子点が並んだデジタル世界）の格子点を載せた
面の傾きは有理数ですから，すべての結晶面のミラー指数は整数となります．

周期的な世界に5回対称軸は存在できませんので
結晶（周期的な内部構造を持つ）は，正20面体の外形になることはできません．
（注）“準結晶”には5回対称がありますが，周期的な世界ではありません．

◆黄鉄鉱pyriteの6面体，5角12面体と準結晶（正12面体）
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◆柘榴石garnetも立方晶系の結晶構造ですので
外形もさいころのような対称性を示します．
菱形12面体~24面体（これらは正多面体や半正多面体ではありません）
の晶系の変化があります．

写真はwebで拾った岩手県和賀仙人鉱山産の柘榴石結晶です
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2014/10/12
033_大阪大学公開講座

大阪大学理学部数学教室は，
現代数学の様相と数学研究の実際，自然科学や社会科学に及ぼす数学の影響，文化としての数学の在り方などについて，多角的な視点から易しく解説する公開講座を，高校生を対象に夏休みのこの時期に開催しています（ オープンキャンパスも同日実施されます）．
まさに数学月間の模範になるイベントで，毎年，杉田洋教授より情報を頂きSGKのwebに掲載しています．今年のテーマは，“多面体の不思議”でした．
2014年8月12日（火），10:00?12:00
会場： 大阪大学豊中キャンパス　理学研究科 D棟 D307教室
講師： 村井 聡（情報科学研究科情報基礎数学専攻　准教授）
毎年，興味深いテーマが選ばれ，私も参加したいと思いつつまだ参加できずにおります．今回のイベントでは受講生が殺到し,準備した教室に定員の2倍近い人（約100人）が集まり，来年は教室の選択を考える必要がありそうと伺っております．
（出席していないので以下は私の勝手な解説です）

多面体はとても古くから考えらてきた図形で、紀元前のギリシャ時代には既にその性質が調べられていました．
多面体で基本的な定理は，オイラーの定理V+F-E=2（３次元）が有名です．これを使うとプラトンの正多面体（凸多面体）が５つというのがすぐ証明できます．正多面体というのは，面が１種類の正多面体でできており，どの頂点のまわりの状態も同一なものです．正多面体の記述は，定義の本質を捉えているシュレーフリの記号を用います．正p角形が頂点にq個集まっている（同じことだが辺がq個集まっている）状態は，{p,q}と記述されます．３次元の多面体は，面が３個以上集まらないと作れませんし，面が正３角形の場合には，６個集まると平面になってしまいますので，正3角形の面をもつ凸多面体は，{3,q}，q=3,4,5しかありません．q=3の場合は正4面体，q=4の場合は正８面体，q=5の場合は正20面体です．
全ての面が合同な正3角形であるが正多面体でないものまで数えると8種類になりこれらをまとめてデルタ多面体と呼びます．
1種類で空間を隙間なく充填できる正多面体は立方体だけですが，2種類の組み合わせで空間を充填できる正多面体は，正4面体と正8面体です．
結晶学では良く知られていることですが，面心格子と体心格子というのも立方体と同じ対称性を持ち，それぞれのウイグナー-ザイツ胞（デリクレ胞とも言う）は，それぞれ菱形12面体，切頂正8面体になります．数学と諸科学［科学や造形］の関わり合いで現れる多面体の性質は，非常に興味を惹く話題です．

2014/10/23
038_対称性の話１

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◆正3角形の対称性
正3角形は，中心に回転軸を立て右回りに120°回転しても，始めの
状態と全く同じで回転したかどうかわかりません．この回転を続けて２回
行い240°の回転になっても同様です．120°の回転を3回続けて行うと1回転して
始めの状態に戻ります．正3角形は3回回転対称があります．このような
回転軸を3回軸といい，記号は3と書きます．
その他に，正3角形は鏡映対称があります．図に示した赤い線が鏡映面です．
ここにある3枚の鏡映面は3回軸で互いに移り変われるわけで，
全部同じ性質です．従って，正3角形の対称性は，
3回軸と1種類の鏡映面があり，記号では3mと書きます．
◆正4角形の対称性
正3角形の場合と同様に，こんどは中心に4回回転軸があります．記号は４です．
正4角形を見ると鏡映面が4枚あることがわかります．図で赤線で描いた2枚と
オレンジ線で描いた2枚です．4回軸によって，赤い鏡映面どうしは互いに移り変われるし，オレンジ鏡映面どうしも移り変われますが，赤とオレンジの鏡映面は，互いに
移り変わることができません．従って，今度は2種類の鏡映面があることになります．正4角形の対称性は，記号で4mmと書くことに注意してください．

◆同様に，正5角形，正6角形の場合は，図のようになることを各自確かめてください．

2014/10/23
038_対称性の話２

◆対称図形の重ね合わせ
正3角形の部品を複数重ね合わせると，一般に，全体の対称性は低下するが
配置の仕方により全体の対称性が上昇することもある．
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このようなことをとり上げている本は見かけませんが，とても面白い現象です．

◆対称性の重畳
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正6角形は正3角形の対称性を含んでいますから，正6角形と
正3角形を鏡映面が共通になるよう重ね合わせる（下左）と
正3角形の対称性が残ります．

正3角形と正6角形の回転軸をそろえて，鏡映面が共通でないように重畳すると，
結果は3回回転対称だけが残ります（上左）

他の図も同様ですので，各自確認ください．正6角形と正5角形の重畳の場合は，
6回回転対称と5回回転対称に含まれる下位の対称性（共通な部分群）はないので，
鏡映面の一致がなければ，対称性はなにも残りません（上右）．

2014/10/27
036_空間のデジタル化

◆空間のデジタル化
写真フィルムは連続な平面ですが，デジカメの感光面は半導体のドットが並んでいます．人間の網膜も視細胞が配列しているデジタル化された平面です．最近の交通信号は円の中に発光ダイオードのドットが配列しています．これらが平面のデジタル化の例です．結晶も原子や分子が詰まった単位ブロック（胞）があり，これがきちんと積み重なりできている周期的な構造で，デジタル化された空間の例です．
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◆平面のデジタル化の様式
無限に広がる平面の何処も均一なようにデジタル化する（ドットを配列する）なら，規則正しく周期的な構造になります．交通信号の円内は均一なデジタル化はできません．平面のデジタル化はどのような様式に分類できるでしょうか？
（注）周期的なドットの配列は「格子」と呼ばれます．
格子の様式分類は，研究した人の名前をつけて「ブラベー格子」と呼ばれます．
2次元の「ブラベー格子」は5種類あることを説明します．

対称性から分類すると,これらの５つのタイップがある．
これらから格子を作ったものが以下の図
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上図に示した緑色のタイルは「W-S（ウイグナー・ザイツ）胞」といいます．
このタイルを赤い格子点に配置すると平面がタイル張りされることを確かめましょう．さて，
これらの周期的平面は，格子点（周期的な平行移動で生じる点）をすべて同値と考えると，
１つのタイルの中に引き戻せます．
以下の図には，それぞれのタイルの対称要素を記入しておきました．
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上図左は，タイルの対称性が一目瞭然のW-S胞．右は，単位胞タイルです．
（注）単位胞の図を見るとわかるように，これらの５つはすべて単位胞に格子点が1つ含まれる1格子点胞です．
上段右の菱形胞を用いずに，面心型の2格子点胞を用いるのが慣例となっていることを申し添えます．