フィボナッチと音楽

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数学月間SGK通信 ［2018.09.25］ No.234
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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フィボナッチ数はいろいろな所に現れます．
230号に続きThomas Koshyの著書からの引用です．
今回はフィボナッチ数と音楽の関係です．
フィボナッチ数は次のように定義される
F(n)=F(n-1)+F(n-2)．F(1)=1，F(2)＝１として数列を作ると
１，１，２，３，５，８，13，.......が得られる．
ピアノの鍵盤は，フィボナッチ数と音楽のつながりを魅惑的に可視化している．
鍵盤上で１オクターブは，２音の間の音程で，高音の周波数は低音の2倍になっている．鍵盤でいうと，1オクターブは，５つの黒鍵と８つの白鍵，合わせて13の鍵で構成される；図．この5つの黒鍵は2つのグループをなしている；一方は2鍵よりなるグループ，他方は3鍵よりなるグループ．

1オクターブに入る13の音は，西洋音楽で最も一般的な音階であるクロマチック音階(半音階)を作る．クロマチック音階に先行して，2つの他の音階；5音からなるペンタトニック音階と8音からなるダイアトニック音階があった． お馴染みの"Mary had a Little Lamb” と “Amazing Grace” は，ペンタトニック音階を使い演奏できる．また， “Row, Row, Row Your Boat” のメロディーはダイアトニック音階を使い演奏できる．
長6度と短6度（それぞれ，6つ離れた音，および5+1/2離れた音）は，耳を最も喜ばす2つの音程である．長６度は，例えば，音CとAから成る：それぞれの音は，1秒当たり264と440の振動数である；図．264/440 = 3/5は，フィボナッチ比であるに注目しよう．
短6度は，例えば，1秒当たりの振動数330と528の音であるEとCから構成される． それらの比もフィボナッチ比である：　330/528 = 5/8.
［自音の音程は1度という．1オクターブの音程は8度である．］