相律と幾何学の類似性

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数学月間SGK通信 ［2016.09.20］ No.132
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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突然ですが，化学にGibbsの相律というものがあります．
物質の系（閉じた）を考えます．この系はc個の成分からなりたっています．
例えば，水とアルコールの混合した系なら，成分数は２です．
各成分の状態の数（相の数）をpとします．水とアルコールの混合系の場合は，
それぞれの成分ごとに，気体，液体，の2つの相（場合によっては固体を入れて3つ）があります．

成分数cの系で独立（に変化できる）変数の数はc-1個で，
それぞれにp個の相があるから，（c-1)pの変数があるが，
これ全部が独立なものではありません．
p個の相の間には，p-1個の平衡条件があります．
したがってc(p-1)個の束縛条件が課せられます．
結局，系の自由度fは
f=(c-1)p-c(p-1)+2
第3項に加えた2は，系全体の温度と圧力の２つの独立変数です．
これを計算整理すると
f=c-p+2　，あるいは　f+p-c=2　　となります．

何処かで見たことがありませんか．そう，オイラーの多面体定理V+F-E=2
を思わせます．今日，唐突に化学の相律の話をしたのは
この類似性を不思議と感じた十数年前のことが蘇ったからです．
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相律　　　f-2=c-p
オイラー　F-2=E-V　（FとVを入れ替えたものは互いに双対なので同じ）
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このように並べて，両者の類似性を見ていると，
幾何学的な本質に関係があるような気がしてならないのです．
これは，偶然の一致だと言ってしまえばそれまでです．
それが正しいようでもあります．私も昔，そう結論を下しました．
しかし，まだ考えつかないことがあるような気がしてなりません．
皆さん何か良いアイデアは無いでしょうか？

■考えがまとまりませんので，3成分系の具体例をたたき台に示します．
石英SiO2，橄欖石２MgOSiO2，灰長石CaOAl2O32SiO2の系を例にします．
各成分に，固体，液体の2相があります．今，圧力一定の切り口を考えるとf-1=c-pです．
3成分＋液の4相が共存するなら，自由度　f=0
3相が共存するなら　f=1（線上を動く）
2相が共存するなら　f=2（面上を動く）

融液を冷やしていくと，1,360～1,280℃で，橄欖石の晶出と液組成の変化
（橄欖石＋液の共存）すなわちここではf=2．
1,280～1,260℃で，灰長石の晶出と液組成の変化
（橄欖石＋灰長石＋液の共存），すなわちここではf=1．