空間のデジタル化

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数学月間SGK通信 ［2015.05.26］ No.065
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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これは私の造語です．あまり耳慣れない言葉ですが，とても気に入っています．
結晶学では「空間格子」という言葉がでてきますが，「空間のデジタル化」はこれと同じ状況の表現です．
空間のデジタル化とは，「空間を，１つの多面体を並べ（面と面が接するよう）て隙間なく張りつめること」
を意味します．例えば，角砂糖のような立方体を並べて，空間を張り詰めたとすると，
このデジタル化された空間の対称性は，立方体の対称性と同じであることはわかりますね．
”立方体（A)”と同等な対称性の多面体で，空間のデジタル化ができる多面体に，
面心格子を生む”菱形12面体（B)”と，体心格子を生む”ケルビン立体（C)”があります．
これらは立方体の対称性に分類される3種類の空間充填です（Fig)．
（この図はpov-rayを用いて作成しました）
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/545271/85/16728485/img_0_m?1432564271

1種類の多面体を互いに面が隙間なく接するようにして空間に詰め込んだ状態を想像してください．
この状態が空間のデジタル化です．
空間のデジタル化の様式を分類したいなら，多面体の対称性に注目すべきでしょう．
一様で連続的な空間が，デジタル化によって，異方性があり周期的な空間に変わります．
無限に広がる空間が，単位となる１つの多面体に還元されます．
すでに，アモルファスと結晶の項目で述べましたが，デジタル化された空間はシンプルで扱いやすい．
このような空間を「結晶空間」と言います．
一寸脱線しますが，連続信号をサンプリングして得たデジタル信号の周波数帯域が抑えられるのと似ています．
結局，3次元では14種類の空間のデジタル化の様式があり，
これは結晶学でブラベー格子が14種類ということと同じことです．

(注)2種類の多面体を使って空間を充填することもいろいろ考察できます．
例えば正8面体と正4面体を使って空間を周期的に充填します．
2種類の多面体の混合による空間の充填では，必ず周期が生じるかといえばそうでもありません．
ペンローズのタイリングに相当する3次元非周期充填もあり得ます．