物理現象に隠れているπ

今日は，YouTubeにある動画の話をします．たいへん興味を引く動画なので，ぜひご覧ください．
この動画の発信元3Blue1Brownは，Grant Sandersonが作ったYouTubeのチャンネルで，
なかなかよくできた可視化された数学入門です．

動画は，物体mは静止しており，物体Mは初速度v₀で摩擦のない台上を滑る所から始まります．
Mやmはそれぞれの物体の質量（M>m）で，左側は壁です．
衝突はすべて弾性衝突とすると，エネルギー保存（１）と運動量保存（２）が成り立ちます．

（１）は楕円の式ですが

　　の変数変換をすれば，新しい変数v₃を採用したv₁，v₃平面では半径v₀の円になります．
（２）は，2つの物体m,Mが衝突したとき2つの物体から成る系全体の運動量が保存される（運動量変化が０）ことを示しています．こちらの式も，v₂からv₃へ変数変換すると，v₁，v₃平面で傾き-√M/mの直線になります．物体mとMの衝突後に分配される速度変化⊿v₁と⊿v₂の比は，それぞれの質量に反比例するわけですが，質量mの速度v₂を変換したv₃に対しては，v₁，v₃の速度変化の比はそれぞれの質量の平方根に反比例します(2')．つまり，v₃＝－√(M/m）v₁＋C　で，傾き-√(M/m）の直線です．

物体mが壁と衝突するときは，壁は動きませんから，v₃の符号のみ変えます．
横軸を速度v₁，縦軸を速度v₃としてグラフを描くと，
式（１'）は，半径がv₀の円で，エネルギーが保存される系の状態はいつもこの円上にあるべきです．式（２'）は運動量保存を示すグラフで，（-v₀,0）の点から出発し傾きー√(M/m)の直線です．
この直線が円と交差する点が，物体mと物体Mの最初の衝突後の速度v₁，v₃の状態です．
その後，物体mはそのまま滑り壁に衝突し，v₃だけが符号を変えます．これは，最初の衝突点のv₃の符号を変えた円上の点になります．
このように続けると，円内に納まるのこぎり歯状のグラフができます．

衝突のたびに円周上の，のこぎり歯の先の状態を移るわけで，衝突回数を求めることができます．
YouTubeのアニメーションのように，Mの質量を増加させると，直線（１'）の傾きが急になり，
のこぎり歯が細かくなるので衝突回数は増加します．
きちんと計算すると，tanθ＝√(m/M)として，

衝突回数Nは，N=２［π/2θ］となり，
Mが大きくなればなるほど，Nは大きくなります．（［］は数値の整数部分）

m/M＝10^-2pとおくと，Mが大きくなる（p→∞）のとき，N→π×10^pの整数部分になります．