PCR検査から有病率推定(谷）

陽性率を，p(+)＝累積陽性者数/累積PCR検査数と定義すると，東京都の2021.3.17までのデータや厚労省の公表データを用いて，陽性率は，東京都で約6.5%（全国で4.9％，厚労省）になります．しかし，PCR検査の感度と特異度の情報（酒井健司，朝日デジタルなど）を入れてベイズ推定し，陽性的中率p(罹患|+)や偽陰性率p(罹患|-)を求めました．

ランダム･サンプリングのデータがないので，罹患率（有病率）も陽性率に等しいと仮定せざるを得ませんでした．
注）日本疫学会の定義によりますと，有病率と罹患率は異なります．

有病率＝ある時点における疾病を有する者の数/調査対象全数
罹患率＝ある時点における発生新規患者数/感染感受性のある人数

罹患率は，集団内の感染感受性のある人数に対して定義されるので，２つの定義で分母が異なります．さらに，有病率でいう「ある期間で疾病を有する者の数」は，罹患率でいう「新規感染者の数」とは異なるわけですが，タイムラグを考慮すれば，どちらも同様な傾向と近似ができそうです．

ここでは，有病率と罹患率を同義語として扱いました．毎日発表される，新規感染者数は，罹患率とは異なりますがよく似た指標であります．

東京都の2021.3.17までの陽性者累計116,293人，検査実施累計1,779,950人を用い，現在の陽性率はｘ＝6.5%程度（全国ではx=4.9%）程度と推定します．
ランダム･サンプリングではないし，データが不足しているので，罹患率（有病率）も陽性率に等しいと仮定します．

（注）ここで対象となるサンプル集合は，PCR検査を受診できる限定されたグループですので，ランダム･サンプリングではなく偏っており（発症条件が課さたグループ），その陽性率は一般集合より若干高値でしょう．また，サンプリング条件が感染状況とともに変化しているので，単純な時間変化の比較はできません．
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■条件付き確率についての「ベイズの定理」とは次のように説明できます．
p(Y|X)p(X)=p(X∩Y)=p(X|Y)p(Y)
記号の意味は例えば以下の様です．
p(X)　Xが起こる確率
p(Y|X)　Xが起こった後でYが起こる確率
p(X∩Y)　XかつYが起こる確率
ベイズの定理は，X（原因）が起きた後でY（結果）が起きる確率p(Y|X)と，XとYを入れ替えた確率p(X|Y)を結び付ける定理です．
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■PCR検査の精度
新型コロナ検査、どれくらい正確？　感度と特異度の意味（酒井健司，朝日デジタル）などにより，次のように仮定します．
PCR検査の感度とは，罹患者がPCR検査で陽性（＋）と正しく的中する確率のことで，あまり大きくなく0.7程度といわれます．真の罹患者でもPCR検査が陰性（－）（偽陰性）となる（罹患者を取りこぼす）確率が0.3程度あるそうです．
PCR検査の特異度とは，非罹患者を正しく陰性（ー）と判定する確率のことで0.99程度です．非罹患者を陽性（＋）（偽陽性）と判定するのは稀で0.01程度の確率ですが，非罹患者の割合が多い集団（罹患（有病）率が小さい集団）では，無視できない偽陽性数になります．

■これらの仮定の下で，以下の２つを推定しましょう．
ただし，ベイズの定理を使います．
罹患（有病）率をp(罹患)≡x，非罹患（非有病）率を1-xとします．
（１）PCR検査で陽性と判定されたとき，罹患者である確率を求めなさい．

青線グラフ

つまり，PCRの結果が陽性のときでも，その的中率はp(罹患|+)＝83%（x=6.5%附近）程度です．
罹患していても，検査感度のため，検査の結果が陽性にならない偽陰性が30%あり，罹患者をとりこぼしている．
一方，検査の特異度が高いので，偽陽性率は0.1%と小さいにも関わらす，非罹患者の割合(1-x)が多い集団では，陽性判定中に占める偽陽性の数も無視できない．これらの原因のため的中率が低下します．
（２）罹患（有病率）を推定しなさい．
(陰性)判定されたものの中に見逃された罹患者のいる確率p(罹患|-)は，

赤線グラフ

陰性と判定されたものの中に見逃された患者である可能性は，p(罹患|-)＝2%(x=6,5%の付近）ほどある．
従って，全人口のなかで推定される罹患（有病）率は，
p(罹患)＝ｘ･p(罹患|+)＋(1-x)･p(罹患|-)

第1項：第2項＝真陽性：偽陽性＝5.40：1.87
x=6.5%のときには，陽性中に占める偽陽性の数は25%程度である．