空間充填パズル

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数学月間SGK通信 ［2016.06.14］ No.119
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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空間充填パズル

空間は正8面体だけでは隙間なく充填することは出来ません．
（１）正８面体と立方8面体を組み合わせて空間を充填することができます．
ペロブスカイト構造に見られる正8面体と立方8面体による空間の充填構造
（２）正8面体と正4面体を組み合わせて空間を充填することができます．
ダイヤモンド構造に見られる正4面体と正8面体による空間の充填構造

（１）の場合は，正8面体と立方8面体の個数比は1:1です．
どのようにして数えますか？
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/566714/14/17051514/img_2?1445217129
（解答）
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/566714/10/17507610/img_0_m?1465832802
赤い立方体の中に立方8面体が１つ納まっています．立方体の８つの頂点に
隙間がありますが，この隙間は正8面体の1/8の形です．したがって8つ集めると正8面体１つになります．
よって，個数比は，正8面体：立方8面体＝1:1　です．

（２）の場合は，正8面体と正4面体の個数比は，1:2です．
どのようにして数えますか？
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/568616/62/17051462/img_1_m?1453416995

（解答）
正8面体が辺を共有するように配列しています．赤枠の正方柱の中に正８面体が2つ入ります．
なぜなら，１つは丸々入り，赤枠内の8つの頂点周りにある間隙には正8面体の1/8の形が入るからです．
さらに，正8面体間には間隙があり，その形は正4面体（橙色）です．
ただし，赤枠の中に入るのは正4面体の1/2の形で，上側に（1/2）x4個，
下側も同様ですので合計4個が赤枠内に入ります．結局，個数比は；　正8面体：正4面体=1:2　です．

http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/568616/28/16779028/img_7_m?1453418256
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/566714/10/17507610/img_2_m?1465832802

■小梁（OSA工房）によるCube充填パズル
周期的な空間でできるこの詰め込み構造を，立方体の単位胞の中につくります．
そのためには正8面体を分割した部品にする必要があります．
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/568616/28/16779028/img_5_m?1453418256