平面敷き詰めタイルについて

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数学月間SGK通信 ［2016.02.02］ No.100
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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おかげさまで100号発行になりました．今年は数学月間は11年目です．
７月の数学月間懇話会に向けての情報も，これから掲載していきますので
よろしくお願いします．日本の数学月間は7/22～8/22です．
さて，エッシャーのような繰り返し模様のモチーフをつくる平行6辺形タイルについては
085(2016/10/20)で言及したことがありましたが，再度ここにまとめてみます．

（１）平行4辺形とは下図の（A)のような形です．
これらは，向かい合った平行な辺どうしは同じ長さです．
向かい合った辺どうしを突き合わせて平面を敷き詰めることができます．
向かい合った辺に同じような変形を加えて図案のモチーフを作ります．
エッシャーの作品の2羽の鳥はこのようにして作られました．
　　　　（A)
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/545271/28/17260028/img_0_m?1454336049
（２）平行6辺形で平行な辺どうしが同じ長さの図形は下図の（B),（C)のような形です．
これらは，向かい合った平行な辺（同じ色に着色）どうしを突き合わせて平面を敷き詰めることができます．
向かい合った辺に同じような変形を加え，図案のモチーフを作るとエッシャーの様な繰り返す絵が作れます．
私は，ハロウイン魔女を作って見ました．
　　　（B)　　　　　　　　　（C)
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/545271/28/17260028/img_1_m?1454336049
（３）平行８辺形以上になると平面を敷き詰められないのは何故でしょうか？
平面は2次元のために独立な平行移動の方向は２つで，3つ目の方向は決まってしまいます．
可能な方向は全部で３つで，4つ目の方向は存在できません．
従って，敷き詰め可能なのは平行6面体までということになります．
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/545271/28/17260028/img_2_m?1454336049