ダ・ビンチの星型・続き

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数学月間SGK通信 ［2017.03.07］ No.157
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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桜もずいぶん早く咲いているのを見かけますね．皆様のところでは如何でしょうか．
今回もダ・ビンチの星型を取り上げますが，「星型小12面体」とも呼ばれる形を見てみましょう．
イメージ 1
http://blog-001.west.edge.storage-yahoo.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/572283/10/17940010/img_0_m?1488810835
シュレフリの記号で書くと｛5/2，5｝です．
（注）シュレフリの記号｛p,q｝というのは，
正p角形の面が，頂点でq個集まっているような正多面体を表す記号でした．
この形は，東京都庭園美術館，朝香宮邸，姫宮の部屋の照明器具にも使われている美しい形です．
芯になるのは正5角12面体で，その12個の正５角形の面の上に，それぞれ正5角錘を取り付けた形をしています．
正5角錐の頂点は，それぞれ，正12面体の面に対応していますから，
頂点を結んでできる図形（赤の多面体）は，正12面体に双対な正20面体です．
2次元の断面を見ると，以下の左図の様な星型正多角形（ダビデの星）が見えます．
イメージ 2
http://blog-001.west.edge.storage-yahoo.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/572283/10/17940010/img_1_m?1488810835
上図の図形は,星型5角形（ダビデの星）と星型8角形（ダ・ビンチの星型）です．
それぞれの図にある赤い輪郭線（それぞれ正5角形と正8角形）は，
凸多角形（凹所のない多角形）で，赤い輪郭線の多角形内部に，黒い線分で描いた図形が星型です．
左のダビデの星を見て下さい．
星型正5角形の辺をA→B→C→･･･→Aと1周りたどると，
辺の向き（→）が2回転することがわかります．（あるいは，
「5角形の頂点を１つ飛ばしで辿って，2周して始めの頂点に戻る」
ということもできます）
このような星形を｛5/2｝と表記します．
（もし，1点の周りが2x360°という世界があれば，この星型は凸多角形になります）
星型８角形でも同様で，この図形は｛8/3｝です．

■さて，星型正多面体を見て下さい，正5角錐の頂点の周りに，星型正多角形{5/2}が，
5個集まっていることがわかるでしょう．
従って，この星型正多面体をシュレフリの記号で書くと{5/2,5}となります．