ベイズの定理と新型コロナウイルス

(要旨）ーーー
3月21日の厚労省の公表値を用いて，罹患率＝発症患者/PCR検査数と定義すると，罹患率は，約5%になります．
しかし，PCR検査の，感度と特異性（酒井健司，朝日デジタル）の情報を入れてベイズ推定した罹患率は5.9%になります．
この推定値の増加は，主としてPCR検査感度に原因があり，実際の罹患者を取りこぼしていたためです．
（注）この数値は，PCR検査を受けた限定されたグループをサンプルとしているために，一般の集団に対しては少し割り引いた数値になるでしょう．
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■条件付き確率についての「ベイズの定理」とは次のように説明できます．
$$p(Y|X)p(X)=p(X \cap Y)=p(X|Y)p(Y)$$
記号の意味は例えば以下の様です．
$$p(X)$$　　$$X$$が起こる確率
$$p(Y|X)$$　$$X$$が起こった後で$$Y$$が起こる確率
$$p(X \cap Y)$$ $$X$$かつ$$Y$$が起こる確率

ベイズの定理は，$$X$$（原因）が起きた後で$$Y$$（結果）が起きる確率$$p(Y|X)$$と，$$X$$と$$Y$$を入れ替えた確率$$p(X|Y)$$を結び付ける定理です．

■新型コロナウイルスに対するPCR検査数は，厚生労働省の発表で，日本でも3月21日現在，18,134人になりました．
PCR検査による感染者数は1,007人，発症患者（＝罹患者と定義）はそのうちの884人です．

発症患者/PCR検査数＝罹患率　と仮の罹患率を定義すると，罹患率は約5%です．
陽性率＝感染者数/PCR検査数＝0.056　，陰性率＝0.944　も仮に定義します．

新型コロナ検査、どれくらい正確？　感度と特異度の意味査（酒井健司，朝日デジタル）をもとにして，次のように仮定します．PCR検査の感度というのは，罹患者がPCR検査で＋になる確率のことで，あまり大きくなく0.7, 罹患者でもPCR検査が－となる場合（偽陰性）の確率は0.3程度だそうです．
検査の特異性により，非罹患者が＋（疑陽性）と判定される確率は0.01だそうです．
＊注）3月24日のメルマガに使った仮定の数値は，実際とだいぶ違いましたので，修正した以下の表に差し替えました．
$$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
& ＋ & － \\[0mm]
\hline
罹患 & 0.7 & 0.３（偽陰性） \\[0mm]
\hline
非罹患 & 0.01（疑陽性） & 0.99 \\[0mm]
\hline
\end{array}$$
これらの仮定の下で，以下の２つを推定しましょう．ただし，ベイズの定理を使います．
（１）PCR検査で陽性と判定されたとき，罹患者である確率を求めなさい．
$$p(罹患|+)=\displaystyle \frac{p(+|罹患)p(罹患)}{p(+)}=\displaystyle \frac{0.7 \times 0.05}{0.05 \times 0.7+0.95 \times 0.01}=0.79$$
＋（陽性）でも，検査感度のせいで罹患者をとりこぼすことが多い，非罹患者の割合が多いので偽陽性も無視できず，全体として決定率を下げている（79%）．

（２）罹患率を推定しなさい．
$$ p(罹患|-)=\displaystyle \frac{p(-|罹患)p(罹患)}{p(-)}=\displaystyle \frac{0.3 \times 0.05}{0.05 \times 0.3+0.95 \times 0.99}=0.016 $$
陰性と判定されたものの中に見逃された患者である可能性は1.6%ほどある．
従って，全人口のなかで推定される罹患率は$$0.056 \times 0.79+0.944 \times 0.016=0.059$$，すなわち，5.9%と推定できる．

＊注）ただし，PCR検査は限定されたグループに対してなされており，偏った集団をサンプルとしているので，全人口に対してなら少し割り引いた値が推定される．