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■氷山の水面下

2020年のSARS-CoV-2コロナウイルスのパンデミックは、前例のないものです。このウイルスが、季節性インフルエンザや他の急性呼吸器ウイルス感染症を引き起こすウイルスと相互作用をし、惹き起こす多くの問題が明るみに出たのは意外ではありません。

例えば、インフルエンザの予防接種を受けて、流行期に健康を維持していれば、感染を回避できていると考えられます。それでも、インフルエンザウイルスはまだ上気道の少数の細胞に感染している可能性があり、明らかな病気の兆候を引き起こすことなく、そこで「軽く」増殖しています。もしそうであれば、SARS-CoV-2のケースですでに証明されているように、ワクチンを接種した人でも無症候性の感染キャリアになる可能性があります。

COVID-19の患者は、最初の症状が現れる2日前に感染を広げ始める。無症状の場合でも、感染した人は呼吸やくしゃみ、咳だけでなく、糞便と一緒に最大2週間ほど環境中にウイルスを放出します。そのため、患者はウイルスの検査で陰性になって初めて隔離所から解放されるのです。

現在、人類は呼吸器感染症の90％を診断することができます。しかし、少なくともロシアでは、実際にはこれを実施していません。急性呼吸器ウイルス感染症ARVIとインフルエンザの診断は、症状によってのみ行われます。そして、ARVIの症状のほとんどはほとんど同じであるため、これではわかりません。インフルエンザはほとんどの場合、鼻水が出ずに消えますが、これはCOVID-19を含む他のいくつかの感染症でも一般的です。ARVIの特定の原因（病因）についての答えは、正確な実験室診断によってのみ与えられます。これは可能ですが、現在有料です。ARVIのPCR診断は、強制医療保険の資金調達には含まれていません。

「かぜ」やインフルエンザの特定の症例は目で判断されるため、わが国で実際に特定の病原体に一度に感染したと思われるARVI患者数を知ることはできません。これらの感染のそれぞれからの真の損傷を評価することと、最も危険で疫学的に重要なものを決定することの両方を妨げます。したがって、インフルエンザウイルスを除いて、これらの病原体に対する新しいワクチンや抗ウイルス薬を開発したり、それらの進化の長期的な傾向を追跡したりすることができません。ARVI病原体のグループに新しいウイルスがどのように侵入しているかにすぐに気付かないのは当然でした。

フランス． 2020（ "Science First Hand" No. 3（88）、2020）
2020年の写真：Jacques Paquier

 ただし、一部の国では、関連する研究がいわゆるパイロット都市で実施され、PCRを使用して、いくつかの総合病院からのSARSの兆候があるすべての患者のサンプルが分析されます。それは非常に費用がかかり、1つのサンプルのそのような分析は、現在7〜8千ルーブルの費用です。しかし、病原体の全範囲を見ると、どの感染症に対してワクチンを開発する価値があるのかが明らかになります。

ちなみに、これらの病気の原因のうち、細菌感染症はわずか20％、残りはウイルス性です。今日のワクチンはインフルエンザに対してのみ開発および生産されており、ARVIの病因におけるその割合は10〜15％です。さらに、一部の国では同じコロナウイルス感染がより一般的です（15-30％）。そして、これらの「習慣的な」コロナウイルスは無害とはほど遠い。COVID-19のように、重度を含む3種類の病気があり、感染自体の結果と機械的換気による二次性肺炎の両方で死亡する患者もいます。

もちろん、ARVIのすべての患者に対して一般的な診断を行ってそのようなウイルス感染を検出することは意味がありません。特定の抗ウイルス治療がないため、今のところ症状があるものだけです。通常の治療コースは、診断自体よりも約7倍安くなります。ウイルス感染の場合、上記の理由で選択的研究を行う必要がありますが、どのワクチンを開発し、どの診断をCHIに導入する必要があるかを理解するためです。

モスクワでのそのような研究は、適切に組織された場合、1年以内に数千人の患者をテストするために約1500万ルーブルを必要とします。モスクワの「3DKマンション」の価格ほどで，最も高価なベントレークロスオーバーほどではありません。しかし、保健省はそのような提案に対する答えを1つだけ持っています-お金がありません。

新しいコロナウイルス感染によって引き起こされたパンデミックが私たちに教えてくれた主な教訓は、実際、私たちはウイルスの流行と感染一般についてほとんど知らないということです。それは、そのような将来の出来事に備える方法と、それらに対処する効果的行動方法を私たちは学ばねばなりません。そして、それはCOVID-19自体についてだけに留まらず、危険な季節的な感染ではありますが、別のものになる可能性があります。自然界に動物や鳥がいる限り、新しい未知の病気のパンデミックのリスクは残ります-「野生の」病原体の自然の貯蔵所。

そして、私たちが本当に人口を保護したいのであれば、私たちが今しなければならない最初のことは、私たちがまだ病気であるもの、私たちの中で最も危険なSARSを引き起こす病原体、ロシア人を見つけることです。モスクワ、サンクトペテルブルク、ノボシビルスク、クラスノダール、イェカテリンブルク、カザン、ウファ、ウラジボストークなど、SARSが特に多い主要都市でモニタリング研究を実施するためには、まず、健康問題の解決に今よりも有能かつ効果的に多くのお金を費やす必要があります。他の百万以上の都市と同様に。

SARS-CoV-2に関しては、明らかに、抗流行作用だけでそれを根絶することはほとんど不可能でしょう。おそらく、少なくとも効果的なワクチンが広く実践に導入されるまで、それは人間の集団で循環し続けるでしょう。しかし、私たちはまた、この病気を簡単にまたは無症状で経験し、おそらく免疫を持っている人々の層が徐々に増えています。ワクチン接種は彼らの数を増やすべきであり、そうすれば流行は減少するでしょう。

その間、マスマスキングと社会的距離は感染の拡大を減らすことができ、それは人口の最も脆弱なセグメントを保護します。厳しい対策（企業、学校、大学、カフェ、レストラン、ショップの仕事をやめること）に戻ることは経済の崩壊につながり、ひいてはヘルスケアの状況を悪化させることになることを心に留めておくべきです。

Литература
1. Bendavid E., Mulaney B., Sood N. et al. COVID-19 Antibody Seroprevalence in Santa Clara County, California // MedRxiv. 2020. DOI: 10.1101/2020.04.14. 20062463.
2. Logunov D. Y., Dolzhikova I. V., Zubkova O. V. et al. Safety and immunogenicity of an rAd26 and rAd5 vector-based heterologous prime-boost COVID-19 vaccine in two formulations: two open, non-randomised phase ½ studies from Russia // Lancet. 2020. V. 396. N. 10255. P. 887–897.
3. Moghadas S. M., Fitzpatrick M. C., Sah P. et al. The implications of silent transmission for the control of COVID-19 outbreaks // PNAS. 2020. V. 117(30). P. 17513–17515.
4. Peccia J., Zulli A., Brackney D. E. et al. SARS-CoV-2 RNA concentrations in primary municipal sewage sludge as a leading indicator of COVID-19 outbreak dynamics // MedRxiv. 2020. DOI: 10.1101/2020.05.19.20105999.
5. Zhanga R., Li Y., Zhang A. L. et al. Identifying airborne transmission as the dominant route for the spread of COVID-19 // PNAS. 2020. V. 117(26). P. 14857–14863.

著者について
Sergey Viktorovich Netesov- ロシア科学アカデミーの対応するメンバー、生物科学の博士、ノボシビルスク州立大学自然科学部のバイオナノテクノロジー、微生物学およびウイルス学の研究所の責任者。国際的に引用されたジャーナルと10以上のモノグラフで150以上の出版物の著者。生物医学の分野でロシア政府賞を2回受賞。

■コーシーの積分定理

閉曲線$$C$$および，その内部で$$f(z)$$が正則であれば，$$\displaystyle \int_{C}^{}f(z)dz=0$$

■ローラン展開と留数

関数$$G(s)$$に，極（分母が0となる特異点）がある場合，例えば，１つの極$$s_1$$の周りで，次のようにローラン展開ができます．$$s_1$$が$$n$$次の極とすると，
$$G(s)=\displaystyle \frac{a_{-n } }{\left( s-s_{1} \right) ^{n } }+\displaystyle \frac{a_{-\left( n-1 \right) } }{\left( s-s_{1} \right) ^{n-1 } }+ \cdots +\displaystyle \frac{a_{-2 } }{\left( s-s_{1} \right) ^{2 } }+\displaystyle \frac{a_{-1 } }{\left( s-s_{1} \right) }+a_{0}+a_{1}\left( s-s_{1} \right) + \cdots $$
この展開中の係数$$a_{-1}$$を留数と言います．

実は，$$G(s)$$を複素関数と見たとき，極$$s=s_1$$で，$$G(s)$$は正則ではありません．$$s=s_1$$を内部に含むような閉曲線$$C$$に沿って左回りに1周$$G(s)$$を積分すると
$$\displaystyle \int_{C}^{}G(s)ds=2\pi ia_{-1}$$  となります．これを留数の定理といいます．

さてこれらの証明は，難しくはありません．興味おありでしたら，親切な解説をしているyoutube動画がありますので，そちらをご覧ください．

関数をローラン展開すると，いろいろな次数の項がでて来ますが，閉曲線に沿って1周積分すると，なぜ-1次の項の係数（留数）だけが残るのか不思議ですね．youtube動画で証明を確認ください．たいへん都合の良い便利な性質です．

■いろいろな場面で，いろいろな積分をするのに，留数定理を使います．「道具としての数学」の代表でしょう．複素関数論は活躍しています．

話は変わりますが，ちょっと似た手法で，ラプラス逆変換をするときに，部分分数に展開します．以下の例題をご覧下さい．

複素関数$$G(s), s=x+iy$$を，ラプラス逆変換するときに，$$G(s)$$を部分分数に展開することが必要になります．

■大発明たる所以
色々な分野でフーリエ解析（フーリエ変換）が使われます．現在の科学におけるフーリエ変換の貢献は偉大です．フーリエ変換なしでは何も考えられません．例えば，時間とともに変化する信号$$f(t)$$は，いろいろな周波数$$ω$$のサイン波の信号の振幅が時々刻々変化するものを重畳$$\displaystyle \sum_{}^{}a_{n\omega }(t)\textrm{sin(}n\omega t)$$して表現できます．線形システムというのは，時間の関数の入力$$f(t)$$があれば$$A･f(t)$$が出力され，入力に，$$f(t)$$と$$g(t)$$があれば，$$A･(f(t)+g(t))$$が出力され，いわゆる重ね合わせが成立します．入力信号も出力信号も，重畳成分のいろいろな周波数のサイン波に分解できるというのがフーリエ変換です．分解された個々周波数のサイン波ごとに，ある周波数帯域を除去するフィルタを通すなどして，それらの出力を再び重畳する信号処理が可能です．

赤外吸収IRスペクトルの測定を例にとりましょう．これは，サンプルを透過する光はどのような波長で吸収されるかの測定です．光の波長を順次スキャンし分光しながら測定する方法は普通ですが，FTIRという方法では，分光せず白色光をマイケルソンの干渉計でインターフェログラムにし，これに対するサンプルの吸収を測定して得たデータをフーリエ変換をすれば，波長スキャンのときと同様に吸収スペクトル測定ができます．

結晶学では，結晶空間と逆空間という互いに双対な空間を扱いますが，この両空間は互いにフーリエ変換で変換し合う空間です．イメージが把握できるように，双対という概念に簡単に説明しましょう．例えば，正6面体と正8面体は互いに双対な立体です．この両立体は，面を頂点に，頂点を面に取り換えると互いに移り変われる立体です．置き換える面と頂点の関係とは，結晶格子の基本ベクトルと逆格子の基本ベクトルの関係と言い換えることができます．

■さて，フーリエ級数（展開）とフーリエ変換は，同じ性質のものなのですが，細かいことをいうと違いもあります．

フーリエ級数展開は：
周期的などのような波形も、単純な波形（サイン波）の重ね合わせとして表すことができます。
フーリエ変換では：
周期的でない波形を扱えます．ここで用いる単純な波形（サイン波）の周波数は，フーリエ級数のときのように離散的な倍音のみではなく，周波数のステップが細かくなり，級数は積分になります．

■ジョセフ・フーリエは，熱が固体中をどのように移動するか（熱伝導現象 ）を数学的に研究しました．この研究のために，新しい数学的方法を開発しました．これがフーリエ解析の始まりです．

彼が熱伝導に興味を持ったきっかけが，いつのことだか定かではありません．北アフリカにいたときに生じたと推定しているのは，以下のエッセイです．

Анализ Фурье • Джеймс Трефил, энциклопедия «Двести законов мироздания»Любая волна сложной формы может быть представлена как суммаelementy.ru
1798 年, フーリエはナポレオン のエジプト遠征に科学顧問として, モンジ ュやマリ ュ スとともに同行し， エジプトでは考古学上の調査や， カイロ学士院の創設に力を注ぎ，カイロ学士院の書記官にも選出されました． ナポレオンは 1799 年にパリに帰還しますが，フーリエはその後 2 年間エジプトに残りました.　1801 年, フーリエはフランスに帰還し, 再び諸工芸学校の解析学の教授になりますが，翌年 2 月にナポレオンはフーリエをイゼール 県の知事に任命しました．以下のエッセイによると，熱伝導研究の開始は 1802 年頃らしいとされています．

タイトル未設定www.kurims.kyoto-u.ac.jp
1807，1811年 に論文で，連続物体の温度分布の問題を解いており，フーリエ展開公式を導いています．

彼の研究結果は1822年に、熱の解析理論（Theorie analytique de la chaleur)に掲載され、そこでは、複雑な物理問題をより単純なものに分解して解析する方法が示されました。

Анализ Фурье • Джеймс Трефил, энциклопедия «Двести законов мироздания»Любая волна сложной формы может быть представлена как суммаelementy.ru
フーリエは，複雑な波形を単純な波形の重ね合わせとして表せることを示しました．一般に，古典的な系を説明する方程式は，これらの単純な波のそれぞれについては簡単に解けます．フーリエは，これらの単純な波形を重ね合わせて，複雑な問題全体の解を得る方法を示しました．数学的に言えば，フーリエ級数は，周期的な任意の関数を単純なsin波の種々な高調波（倍音）の重ね合わせとして表す方法で，フーリエ解析は調和解析とも呼ばれます．（下図参照）

周期的でない任意の波形の場合は，整数倍音の高調波の重ね合わせではなく，連続的に変化する高調波の積分で表現するフーリエ変換の概念に拡張できます．

フーリエ解析の登場フーリエ解析の登場energychord.com

■20世紀半ばにコンピューターが登場するまで，自然の複雑さに立ち向かう武器は，フーリエ解析でした．フーリエ解析の出現以来，科学者はニュートン力学の法則や他の基本的な方程式を直接適用して解ける単純な問題だけではなく，複雑な問題にもそれを使用して解くことができました．19世紀のニュートン科学の偉大な成果の多くは，実際には，フーリエによって最初に提案された方法を使用しなければ不可能でした．その後，これらの方法は，天文学から機械工学まで，さまざまな分野の問題を解決するために使用されました．現在は，画像処理などでコンピュータを用いた高速離散フーリエ解析が行われています．

■ジャン・バプティスト・ジョセフ・フーリエ（1768-1830）
フランスの数学者．オセールに生まれ，9歳で孤児となる．若くして数学の才能を発揮した．フーリエは教会学校や軍人学校で教育を受けた後，フランス革命にあう．彼は数学教師として働いたが，生涯を通じて政治の世界で活躍した．1794年にはテロの被害者を保護して逮捕されたが，ロベスピエールの死後，獄中から釈放され，パリの有名なエコール・ポリテクニークの創設に参加し，その地位はナポレオン政権下での昇進の橋頭堡となった．ナポレオンに同行してエジプトに行き，下エジプト総督に任命された．1801年にフランスに帰国すると，州知事に任命された．1822年にはフランス科学アカデミーの常任書記官に就任し，フランスの科学界で影響力のある地位に就いた．熱伝導の論文は1807，1811年．フーリエ解析の本の出版は1822年．

 
plus magazine（November 5, 2020）を要約した

11月18日の東京都のCOVID19新規陽性者数は493人となり，指数関数的な増加予測グラフに乗りました．予断を許さない状況になりました．
ここで紹介する（plusmagazine，Nov.５，2020）記事は，マスク着用の効果とエアロゾルを介しての伝染を予防するための換気について語っています．たぶん，皆様の常識になっている事実の確認で新規性はないので，この記事は圧縮して紹介します．

■　COVID-19を引き起こすウイルスは、主に大きな液滴と小さなエアロゾルを介して伝染する。これらは、呼吸、会話、咳、または笑いの際に排出され、「ウイルスを含む小さな呼吸エアロゾルは、呼吸によって生成された二酸化炭素と一緒に、換気の流れによって部屋の周りに運ばれる」とリンデンらは論文で言う［Paul Linden, Rajesh Bhagat, Stuart Dalziel, and Megan Davies　Wykesによる］。「換気が不十分だと二酸化炭素濃度が高くなり、ウイルスにさらされるリスクが高まる可能性がある」

オフィス、病院、レストランなどの多くの近代的な屋内スペースの換気システムはさまざまです：　風と熱によって駆動される自然換気、または機械システムによります。混合換気は、空間内の空気を十分に混合して維持することを目的とし、置換換気は、部屋の上部から暖かい空気を抽出し、床近くの通気口から冷たい空気を供給することで、より涼しい下部ゾーンとより暖かい上部ゾーンを生成します。

COVID-19の感染に関しては、空気を混ぜることは望ましくない。「混合換気は、すべてを空中に浮遊させてかき混ぜることを目的としています」とリンデン氏は説明します。「置換換気ならば、私たちが吐き出す暖かく潜在的に危険な空気は天井に上がり、そこで抽出することができます」。

置換換気を使用しても問題が発生する可能性があります。部屋にさまざまな熱源がある場合、呼気は暖かい天井層の下に閉じ込められ、他の人によって再び吸い込まれる可能性があります。

人々の呼気の正確な挙動と病気の伝染におけるその役割を予測することは非常に難しいので、リンデンと彼の同僚は、流体力学研究所（ケンブリッジ大学の数学科学センター）で実験を行いました。

■　呼吸、会話、笑い
人がじっと座って息を止めているときでさえ、彼らの体の熱は天井に上がる暖かい空気のプルームを生成します。人が呼吸を始めたり、口を開いて話したり、歌ったり、咳をしたり、笑ったりすると、吐き出された息が2番目のプルームを生成します。伝達に関しては、この2番目のプルームが本体のプルームに同伴されて天井に運ばれるのが最善です。

もちろん、空気は見えませんが、リンデンと彼のチームは、暖かい空気を追跡できる画像技術を使用しました。「誰かが暖かい空気を吐き出すと、温度と密度の変化を見ることができます。それは光を屈折させ、あなたはそれを測定することができます」とバガットは説明します。

チームが作成した画像を以下に示します。左側の画像では、人は静かに座って鼻から呼吸し、中央の画像では通常の音量で話し、右側の画像では笑っています。各画像では、体のプルームが穏やかに上昇していることもわかります。3つのケースのそれぞれで、吐き出されたプルームが体のプルームに吸収されていないことがわかります。

上段の写真はマスクなし．下段の写真はマスクありです．

■　実験と数学

このような実験は非常に重要ですが、実験はリンデンと彼のチームの研究の一部に過ぎません。同様に重要なのは、ガスやその中の汚染物質の挙動を記述する数学モデルで、ウェルズ・ライリーの方程式があります。これは、空気感染性の病気にかかっている人と部屋を共有することで感染する人の予想される数I　を推定しています。

ここで、Sは、部屋の中で病気にあらたに感染可能な人の数であり、Γは部屋の中の既に感染している者がウイルスを排出する率を記述し、qは一人当たりの平均呼吸率、tは人々が部屋を共有している時間幅を記述する。Qは部屋の換気率、つまり新鮮な空気が部屋に入る率です。

この式をよく見てみると、Qが大きいほど（部屋の換気が良いほど）感染する人の数Iが少ないことがわかります。ウェルズ-ライリー方程式は、換気 Q は空間全体で均一であることを前提としており、リンデンと彼のチームが示したように、これは通常、人や家電製品によって生じる空気の流れも問題になり現実にはそうではありません。しかし、ウェルズ-ライリー方程式（他の多くの関連する数式とともに）は、現実の生活をより正確に記述する、より複雑なモデルの一部を形成するでしょう。

■　結論

置換換気システムは、適切に設定されている場合は、より良い選択である。
マスクは有益である。

この研究はまた、もう一つの興味深い可能性を示唆している。ウイルスを含んだエアロゾルは、私たちが息を吐くCO₂と同じように振る舞うので、部屋のCO₂レベルは警告システムに使える。CO₂レベルは非常に簡単に測定することができ、それが高い場合は、空気感染のリスクも高くなるので、リンデンらは、信号機のような警報システムを考えている。

今年の数学月間（7月29日）は，稲葉寿氏（東大）の表題の講演をZOOMでお送りしました．covid19の感染拡大第３波に見舞われている今日，お読みいただくと役に立つと思います．gotoトラベルは，それぞれR<1を保っている複数の状態（都市）の相互作用により，R>1に変わる可能性を誘発する危険な政策です．

■これまでに人類はいろいろなパンデミックを経験してきました．1918年のインフルエンザ（スペイン風邪）は4000万人以上の死者，2015年のＨＩＶ感染者は3670万人，マラリアは年間3億～5億人の患者を生む．最近のSARS，エボラなどの新興感染症や，再興感染症などにより感染症撲滅という1980年代までの楽観論は消滅しました．人口増加，都市集中，環境破壊などによって，感染症流行リスクはますます増大しています. 現在COVID-19は予断をゆるさない状況です．

■感染症の数理モデルは，SIRモデルを基本とします．これは，ケルマックとマッケンドリックが提唱(1927)したものです．全人口をS（感染感受性のある集団），I（感染者集団）,　R（免疫のできた回復者）の３つのグループに分け，それらのグループ間の相互作用（遷移）を数式で記述し数理モデルができます．
数理モデルは，感染拡大の様子を予測でき，種々の介入（ワクチン接種，隔離，接触制限，ロックダウンなど）を行うことで，感染性人口を絶滅させる（感染源にならないようにする）対策の策定に必要です．

COVID-19では，もう少し進化させた，SEIR数理モデルが必要です．これは，E（潜伏期間にある感染者集団）が加わったモデルです．特にCOVID-19は，Eグループのものが感染源になることや，免疫のできた回復者の免疫が消えることなどがわかり始めており，一筋縄では行かないモデリングになります．

■基本再生産数R0（R-naught)
感染感受性のある集団に居る一人の感染者が，その全感染期間に再生産する（感染させる）2次感染者の数を基本再生産数R0と定義します．全員感受性のある集団で，1次感染者数，2次感染者数，3次感染者数，･･･と等比級数で増加するときの公比がR0です．
R0は患者数と感染感受性のある人（未感染者）との接触回数に比例するので，環境状況でこの数値は変化します．感染が広がると未感染者が減り，実際の集団には免疫のある人も混ざった状態になるので，全員感受性がある集団で定義したR0よりも小さいR（実効再生産数）が期待できますが，適切でない介入があれば，逆にRの増加もあり得ます．
結局，R>1であればその集団の感染者人口の成長率は正になり，流行は拡大していくが，R<1であればその集団の感染者人口の成長率は負であって流行は自然に消滅する．何らかの介入をして，すみやかに，R<1とすることが対策になります．

■多状態のSEIRモデル
集団に2つの状態（例えば，学童と社会；病院と社会；東京と地方；大学と社会；等々）がある場合は，それぞれにSEIRモデルを作り，さらに２つの状態間の相互作用を考える複雑なモデル（コンパートメント・モデルという）になります．２つの状態にはそれぞれの実効再生産数Rがあります．
現実に近い多状態SEIRモデルを作り，その次世代行列の最大固有値として，Rを計算します．そして，どのような介入（例えば，ワクチン接種，ロックダウン，外出制限，休校）をすれば，Rが下げられるかを検討します．
集団の２つの状態のRが1未満であるため，感染が制御されているように見え，通常の生活に戻り始めるかもしれません．
イギリスでも約200万人の大学生が全国から復帰し，フレッシャーズフルー［注）フレッシャーズフルーとは，大学で最初の数週間に新入生が発症した一連の病気に付けられたイギリス英語］のようなCOVID-19感染拡大が懸念されるそうです．若者が無症候で感染を広げる最悪モデルでは，学年末までに96％感染と予測されました．学生集団は軽症ですが，体力の弱いスタッフや周囲のコミュニティと相互作用をするコンパートメントモデルでシミュレーションし，いろいろな介入施策の検討がなされています．
［注）Isaac Newton Instituteによって実施された「感染症のパンデミックのダイナミクスを理解する上での数学的および統計的課題」（IDP）　https://www.newton.ac.uk/event/idp］

日本でも，東京と他都市のRが，それぞれ１をわずかに下回っている状況ですが安心はできません．東京と他都市の相互作用により全体が増加し１を超えるRになる可能性はあります．

■免疫は持続するか
もし，回復したものの再感染を許容するモデルにするならば，新規感染率に対する，回復者再感染率の比をσとし，σR0＜１なら収束に向かいます．
従来の感染症の常識では，免疫を得ると再感染はしないということを前提にしていますが，COVID-19に関しては，再感染をしないような免疫が獲得できないかもしれません．免疫抗体が数か月で減衰するという報告が中国やスペインからなされている状況です．もし，免疫が獲得できないのであればワクチン自体が成立しないことにもなります．

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次回の数学月間企画講演（第3回）のお知らせ
「3Dジグソーパズルのデザインと数学」
手嶋吉法（千葉工業大学）
12月26日（土），15:00～17:00，参加無料です．
ZOOMにてリモートで実施します．多くの皆様の参加をお待ちします．
ホームページhttp://sgk2005.saloon.jp/　で申し込みができ，
参加登録されると，実施日の1週間前までにZOOMのURLをお知らせします．
主催：NPO法人数学月間の会