掲示板

米国の数学月間

2014/04/15 無限大の脅威

2014/04/15
無限大の脅威

無限大の脅威
http://www.mathaware.org/mam/2014/calendar/infinity.html
発散する数列は悪魔の発明であり，これに基礎を置くいかなるデモストレーションも残念なことになる．この不吉な言葉は，ニールス・アーベルに端を発する．無限級数を用いると，どんな結論でも導くことができる．多くの誤謬とパラドックスを生み出してきた．
Numberphileビデオでは，S=1+2+3+4+･････＝-1/12　というとんでもない結論が導かれる．

16世紀半ば，偉大なレオナルドオイラーは，S= -1/12 を導いたが，数学者が悪魔の細部を解決するのに続く一世紀を要した．
オイラ＝リーマンのζ 関数は無限級数として定義され，実部が1より大きい複素平面で収束するが，実部が1あるいは1より小さい複素平面では発散する．解析接続という手段を介して，極１を除く全複素平面に，ζ 関数の定義を拡張できる．
このように無限級数を，物理学者は弦理論や量子計算で利用しており，まんざら荒唐無稽でもないらしい．

2014/04/12 SGK通信(2014-19)結び目理論

2014/04/12
SGK通信(2014-19)結び目理論

トーラスを割って作ります．コンピュータ科学者George Hart
最初のビデオが問で，次のビデオが答えです．
ここで用いる数学は，トポロジー分野の結び目理論です．
3次元空間に埋め込まれた円でシンプルな性質にもかかわらず難しい．
優れた入門書には，マーティンガードナーの著書がある．

2014/04/10 SGK通信(2014-18)魔術師Max Mavenの宝箱　

2014/04/10
SGK通信(2014-18)魔術師Max Mavenの宝箱　

魔術師Max Mavenの宝箱　
http://www.mathaware.org/mam/2014/calendar/treasure.html
魔術師　Max Maven　が考案し演じています．

あなたがどのような2ケタの数字（例えば　10a+b）を考えていても，
a+bをあなたのキーナンバーとして，キーナンバーを減じると，
10a+b-(a+b)=9a　となり，必ず9の倍数になります．

2014/04/10 SGK通信(2014-17)幾何学的な消滅

2014/04/10
SGK通信(2014-17)幾何学的な消滅

http://www.mathaware.org/mam/2014/calendar/areapuzzles.html
幾何学的な消滅
7x9のエリアにタイルが片が配置されているのだが，
不思議にタイルが１つづつ減っていきます．3つ減っても7x9に配置されます．
アルゼンチンのマジシャン，ノルベルトジャンセンによって提示された．

2014/04/09 SGK通信(2014-15)hexaflexagons

2014/04/09
SGK通信(2014-15)hexaflexagons

http://www.mathaware.org/mam/2014/calendar/hexaflexagons.html
今日は，hexaflexagonの紹介です．テープを折り返して作った六角形ですが，3回対称に折り返すたびに，新しい面が現れます．
hexafleagonは，アーサー?H?ストーンによって1939年に発明された．その数学は，レ・プークの裏返しflexagon（ケンブリッジ大出版，2003）

2014/04/06 SGK通信(2014-14)黄金比の神話とミステリィ

2014/04/06
SGK通信(2014-14)黄金比の神話とミステリィ

黄金比の神話とミステリィ
http://www.mathaware.org/mam/2014/calendar/fibospiral.html
Keith Devlin

黄金比ほど魔法とミステリィに満ちた性質が，我々を引き付ける数はない．
その比は本当に黄金比なのか．その神話を選別する．また，自然界によく出現するフィボナッチ数列について検証する．
フィボナッチ協会（1963設立）というのがあることを知った．今年の第16回国際会議はニューヨークで開催される．

2014/04/06 SGK通信（2014-13）数学で心を読む

2014/04/06
SGK通信（2014-13）数学で心を読む

数学で心を読む
http://www.mathaware.org/mam/2014/calendar/mind-reading.html
Richard Wiseman
James Grime
チェッカー板を１つづつ進むのだが行き先が決まってしまっている．
基礎となる数学
ここで用いた原理はパリティ(偶奇性)拘束．これは，グラフ理論や組み合わせ論に属する数学で，多くの数学の分野’（例えば，代数的トポロジー）などにも係るものです．
オイラーのケーニヒスベルク橋問題の解は，１８世紀のパリティ論の顕著な例，騎士のツアーの問題は，グラフにハミルトン閉路を見つける問題でした．
握手の補題やSpernerの補題のような基本的な組み合わせ論の結果も，パリティ拘束に基づいています．

パリティ拘束が働いている複雑な問題例に、ランプの点灯問題（All Ones Problem)があります．管理人は，朝，博物館中を歩いて，すべての部屋の電燈をオンにする．すべての部屋に電燈ボタンが１つあり、ボタンを押すと，その部屋だけではなく，隣接するすべての部屋の電燈もオン/オフされてしまう．管理人は，博物館内のすべての部屋を点灯することができますか？
驚くべきことに，その答えは博物館のレイアウト（フロアプラン）に依存しない．博物館がいくつの部屋を有するかやレイアウトに依存しない．

2014/04/04 SGK通信(2014-12)暗算

2014/04/04
SGK通信(2014-12)暗算

暗算
http://www.mathaware.org/mam/2014/calendar/mentalmath.html

Arthur Benjamin, mathemagician
Department of Mathematics，Harvey Mudd College, Claremont, CA

3ケタの数字をいうとすぐ2乗を答えるパフォーマンス．
TEDのビデオでは，5ケタの2乗を暗算します．

A^2=(A-d)(A+d)+d^2　を使います．
98x98=(98+2)(98-2)+2x2　など

2014/04/03 SGK通信(2014-11)数学的カードマジック

2014/04/03
SGK通信(2014-11)数学的カードマジック

数学的カードマジック
小さなごまかし
Colm Mulcahy，MAA(MathematicalAssociation of Amereica)コラムニスト，
Spelman College professor
Christopher Morgan，コンピュータ・サイエンテスト，マジシャン，パズル収集家

http://www.mathaware.org/mam/2014/calendar/fibs.html
様々にシャッフルしているようだが，結局はフィボナッチ数列をなすA,2,3,5,8,Kの6枚のカードを選んで使うのがミソだ．

2014/04/03 SGK通信（2014-09）不思議な魔方陣

2014/04/03
SGK通信（2014-09）不思議な魔方陣

不思議な魔方陣
http://www.mathaware.org/mam/2014/calendar/magicsquares.html
Ethan Brown
Mathemagician,
Massachusetts，AndoverのPhillipsAcademyAndoverの高校生．

公衆の前で，数字を呈させ，魔方陣を直ちに作ります（第1のビデオ）．こんな魔方陣です．
square
第2のビデオで，縦および横の総和の任意の数を提示させて，魔方陣を作る方法の秘密がわかります．
第3のビデオは，ラテン方陣から，もっと複雑な魔方陣を作る方法を説明します．

 

 

 

 

 

 

 

 

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◆黒板を見ていると大体わかりますが，もっと色々説明しているようです．
英語の聞き取れる方はぜひ説明協力をお願いします．
翻訳要点をSGK通信に掲載してください．SGK通信は，日本数学協会WEB，数学月間の会にあります．
◆数学月間のHPを作りました．sgk2005.sakura.ne.jp　です．
こちらにもログインしてご参加ください．
◆今年の数学月間懇話会は7月22日に実施します．

2014/03/10 SGK通信(2014-07)テーマエッセイ

2014/03/10
SGK通信(2014-07)テーマエッセイ

MAM2014
数学は,数学を使うものにミステリー感を十分与えてきた．なぜそうなるのか？それは文字通り魔法ともいえるだろう．手品や目くらましで伝統的な魔法と幻影は織りなされるが，誰でも数学の助けを借りて，神秘的なカードトリックを演じたり，オーダーメイドの魔方陣を楽しむことができる．だが，ジャグリングや電光石火の暗算のような，複雑で神秘的な活動も，数学の中に強く残っている．
2014年のMAMでは，30個のmagical,mysterious,mathematics現象を提示する．
こらは，幼い子供から専門の数学者まで，誰もが容易にわかり楽しむことができる．
4月中の毎日，新しい項目がwww.mathaware.orgに掲載される．入門ビデオは，その日のトッピックの強力なデモンストレーションになる．更に深い理解を望むものや教室での利用のためには，補足教材により，現象の底流にある数学が顕かにされ探検できる．
「mathematics,magic,mystery」の関連は，多作の著者マーティン?ガードナー（ 1914-2010年）の1956年からのセミナー本の際立った歴史がある．
ガードナーは四半世紀以上にわたってアマチュアとプロの数学者の両方を喜ばす「数学ゲーム」と呼ばれるScientific Americanの非常に影響力のあるコラムを持っていた.
「数学がこれまでに持った最良の友人」とも称されるガードナーの生誕百年を祝うことは，魔法やミステリーに「ああ！」と感動する人々を先導する新世代に働きかけるMAMの活動と一致する．
http://www.mathaware.org/mam/2014/essay/

★数学と宇宙_MAM2005

MAM2005

数学強調月間 ( MAM )――4月, 2005

　　　「 Mathematics and the Cosmos/ 数学と宇宙 」

数学はあらゆるレベルで宇宙を理解しようとする我々の試みの中心にある.リ−マン幾何やトポロジ−は宇宙のモデルを提供する.数量的シミュレーションは大規模動力学を理解する助けとなる.天体力学は太陽系を包括する鍵を握っている.数学的ツ−ルの広い多様性は我々を取り囲む空間を実際に探査する為に必要になってくる.
米国の数学会，統計学協会，数学協会と工業応用数学協会は，2005 年MAMのテ−マを「数学と宇宙」にすると公表している.
数学は最も理論的なところから最も世俗的なところ迄あらゆるレベルで宇宙を理解する我々の試みの中心にある.現代の宇宙論は,３次元から多次元の湾曲した空間概念に沿って空間の性質を考えたリ−マンのアイデアに基づき，アインシュタインによって４次元時空間が採用された．重力は幾何であるというアインシュタインの基本的な洞察である.彼の有名な場の方程式から，アインシュタインは理論的な根拠に基づいて，重い対象物のそばを通過する時光線が曲がること，水星の近日点の歳差の正確な量，宇宙の膨張，ブラック・ホ−ルの存在，連星の挙動，重力波の存在を演繹し，それらの正当性を確証する実験を導いた.
直接実験の領域に関しない場合でも，他の数学的方法が銀河系と星団，銀河系とブラック・ホ−ルの衝突や他の大規模な重力の相互作用運動のシミュレーションを実行するのに重要である.太陽系のレベルではニュ−トンによって始められ，引き続く世紀を越えて生み出された数学的方法が，潮汐の動き，地球の赤道のふくらみ，以前には知られていなかった惑星の存在，彗星の軌道と戻り時間や丁度過去10年に彗星軌道を行く他の星の存在を説明し予測した.
実際に宇宙探査の領域では，数学的技術は月や火星や他の惑星に到達する有効な軌道を計画し誘導するためや，土星へのカッシニ・ミッションからの最近の壮大な写真を，数億マイルの宇宙を超えて送るための，符号化，圧縮，伝達に使われる.　　　Tani/Katase

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「テ−マ・エッセイ」
　　◇　数学と宇宙　　Robert Osserman
　　◇　宇宙の形　　　Sarah J.Greenwald
◇　天体力学　　　Richard Montgomery
◇　宇宙探査　　　Robert Osserman
◇ ブラック・ホ−ルからダ−ク・エネルギ−へ：21世紀の宇宙論
　　　　　　　　　Robert Osserman

★ネットワ−クの数学_MAM2004

MAM2004

数学強調月間 ( MAM )―――2004年4月

「 The Mathematics of Networks/ ネットワ−クの数学 」

　人間の遺伝子連鎖の解明されるまでの研究成果の裏話を述べるにあたり，多くのジャ−ナリスト達は遺伝子の数を引用して，予想より非常に少なかった事を指摘した．
事実，人間の遺伝子の数は蠅の様に大体同時に連鎖された他の有機体の遺伝子の約3倍程度である事が判明した．これは，如何にしてできたのか？
その答えは有機体の遺伝子の数ではなく，むしろ遺伝子を連結する相互連絡の仕組みが
有機体の複雑さを決定するという事である．今日，多くの科学者たちは遺伝子の網状組織に焦点を当てて，その解明に日夜努力している．物理学，社会学，伝染病学，経済学 等 他の多くの分野で網状組織（ ネットワ−ク ）を研究している人がいて，遺伝子研究者は，その研究者と補完的な研究をおこなっている．幸いな事に これら多様な科学者たちの研究はどんどん発達して，且つ尚進化しつつある数学の領域 所謂「 グラフ理論 」（ Graph Theory ）を応用して それ等の網状組織（ ネットワ−ク ）に関する有用な知識を得て，科学者たちは仕事をしている．彼等は応用科学者や数学者も又チ−ムに組んで新しい方向を探りながら動いている．我々は，これらすべて研究分野を通して，2004年の数学強調月間において，「 ネットワ−クの数学 」をやり甲斐のあるテ−マとする．我々は更に刺激的な領域について学んでいく為に，同封するポスタ−，論説やWeb（それ自体が最も研究されているネットワ−クの一つ）の利用を通じ勇気づけていきたい．
Funada/Katase

★数学と芸術_MAM2003

MAM2003

Mathematics Awareness Month ( MAM )――April, 2003

　　　「 MATHEMATICS AND ART/ 数学と芸術 」


数学と芸術のかかわりは，何千年も前に遡る．古代ギリシャ人，ローマ人は，数学を彫刻や建物の審美的設計に利用した．15世紀に，レオナルドダビンチは，”私を数学者でないとは言わせない”と書いている．16世紀に，デューラーは描画に遠近法を導入し数学を用いた．18，19世紀には，ゴチック大聖堂，バラ窓，モザイク，タイル張りのデザインに，数学は積極的に取り入れられた．20世紀では，幾何学的形態は，キュービストや多くの抽象表現芸術家にとって基本であった．この十年では，作品の基礎にトポロジーを用いる彫刻家がいくつかの賞を得ている．数学と芸術の密接な連携は，オランダの芸術家M.C.エッシャーの作品中に見られる．数学概念のうちで，彼の作品に現われたものは；無限，メビウスの帯，モザイク細工（平面分割），変形，反射，プラトン立体，らせん，対称性，双曲平面などである．
MAM2003のポスターは，エッシャー流のコンピュータが描く，双曲平面のポアンカレ・モデル平面分割で，Douglas-Dunhamによる． Tani/Katase

★数学と遺伝子_MAM2002

MAM2002

Mathematics Awareness Month ( MAM )――April, 2002

　　　「 Mathematics and the Genome/ 数学と遺伝子 」


数学連合政策会議 ( JOBM )は,今年のMAMは我々自身の遺伝子の理解への数学の貢献に焦点を当てると公表した.

人ゲノムの配列の解読がまじかに迫り，我々のすべての遺伝子，あるいは染色体中にあるもののカタログができると,科学者はもちろん我々すべてが，基本的な医学的,生物学的問題に対する非常に大きな洞察の鍵を手に入れたと感じるだろう.不幸にして，我々がこれらのプロジェクトからの新しいデ−タの洪水につぶされているとしても，新しいデ−タの蓄積を解釈したり使ったりする問題が起きて,将来実現するであろう生命科学の方法に挑戦することになろう.数学はこのデ−タを扱ったり理解したりするのに中心的な貢献をして，将来の解析に大変大きな役割を演ずるであろう.

ゲノム配列解析のデ−タ収集が自動化されて来たので，大きくて速い効率的なコンピュ−タ・アルゴリズムが，実験者が順序解読した断片から遺伝子を再構築したり，おびただしい順序データ中の遺伝子の位置づけを行うのに利用された．遺伝子の静的な図は殆ど手中にあり，蛋白質の動的システムや遺伝子が作るRNAの研究や，深遠で複雑なシステムが如何に制御されているかの研究に移行している．機械学習の動的システム手法と統計学の両方が，ゲノムの制御システムの巧みな処理を解明するのに使われている.統計学における挑戦的な課題が，実験から導かれるであろう情報を最適化するような実験を計画するために使われてきた.これらの技術は，腫瘍の型の分子的サインの識別や，診療所で癌治療の処方箋に使われている.マイクロアレイ技術は，何千という可能性のある遺伝子生成物を同時に測定し，ゲノムのダイナミックスのスナップショットをとることができる.大きな生命分子のコンピュ−タ・モデルは今や製薬工業における製薬発見の中心となっている.

MAMポスタ−は今日の遺伝子科学の数学的観点を強調している.今年のMAMプログラムは人ゲノムを理解し,数理科学の医学・生物学における役割を探究するために科学者,教育者や政策決定者に資源を用意するであろう.

数学は,人ゲノムプロジェクトの多量なデ−タベ−スの管理と解析を可能にする.数量的解析,統計学やモデル化が，我々各自の独自性を決定する遺伝子情報の青写真であるDNAの地図づくりと配列決定で重要な役割を演じている．研究者は，数学と生物学の融合が，病気の診断,処置や予防を，個別に特定して行い，非常に成功するようになる分子医学の新しい時代の到来を予言する.
「 遺伝子学の背景 」
我々の身体のあらゆる細胞の中に，23対の染色体として，遺伝的情報のセットが含まれる．DNAから最初に作られた長い鎖である染色体は，我々の細胞にあるコイル状の長い糸のような分子である.各染色体は次々に糸の上にあるビ−ズの様に見える遺伝子を持っている.- - - - 
Tani/Katase

★数学と海洋_MAM2001

MAM2001

Mathematics Awareness Month ( MAM )――April, 2001

「 Mathematics and the Ocean/ 数学と海洋 」  Barry A.Cipra and Katherine Socha

?　惑星の海洋―――地球の最も驚くべき事実はそれが水をかぶっている事である．我々の惑星の表面を支配し，遥か内陸に住んでいたとしても人々の生活に影響する地球の海洋――地球を巡り大西洋・太平洋や多くの小さい海を含む水の巨大な広がり――は，永らく驚きと恐れの源であった．有史の初期以来，人類男女は海洋とその中における生活の挙動を理解する様に努めて来た．海洋の知識は完全からは遠いが着実に進歩している．その多くの部分は数学の新しい発達に負っている．
科学的な接近は数学的解析の必要性をもたらした．今日 海洋学は基本的な海洋過程を表現する数学の方程式を使い，それらの意味を理解する数学的な理論を必要とする．研究者は音波ブイ，船舶計器や衛星からの多くの錯綜したデ−タ−を組み立てる統計学とその過程を利用する．偏微分方程式が，岩の海や航行する船の表面波から地球の周りを流れる深い海流に対してまでの流体運動の力学を記述する．数値解析により，これらの方程式の精度の高い解が得られるようになり；動的なシステム理論と統計学が付加的な洞察を導いた．今日の海洋学者はガリレオやニュ−トンの最高の伝統を継いで正に数学者である．数学は近代海洋学にぴったりの言葉であると諸君は思うだろう．
?　数学で何をやるか？―――もっとも基本的なのは，いかなる海洋過程もすべて変化することである．計測値は時間と共に変化する．（例えば潮流は１日２回の干満で海岸が動く）或いは場所から場所へ変わる（例えば潜水艦が海に深く潜った時の圧力）．しかし温度や塩分の様な多くの数値は場所と時間の両方で変化する．変化する過程の表現に即応的な数学の領域は微積分と微分方程式である．特に偏微分方程式（略してPDE）は，時間と空間で連続的に変化する量を表現する．海洋学のすべての分野はこれらの問題に重く係わっている．
?　物理海洋学の観点―――物理海洋学は，惑星規模の循環と気象，沿岸海洋学，赤道海洋学，内面波動と乱流，表面波，大気−海の相互作用等を含む多くの学問分野を持っている．これらの分野で研究される現象が，複雑な形で相互作用しているのだが，多くの海洋学者は一つだけを見ている．これらすべての分野の包括的な評価は，海洋百科事典の大変多くの内容に満ちている．ここでは近代物理海洋学の特性がわかるいくつかの例を示す．
−−惑星規模の循環と気象
−−内面波動と乱流
−−渦
?　流体の将来――今日 海洋学者や応用数学者になるにあたり，最も興奮することの一つは，技術的・理論的進歩が非常に速いことである．目覚ましい技術的改良は，初期の海洋学では想像もできなかった大量デ−タの収集と解析を可能にした．10年前に比較して，今や巨大で上質な計算力が利用でき，大規模海洋モデルの高分解能の数値解が得られるようになった．それらは，実際の海洋デ−タの財産と比べられる理論的な結果を，初めて導き出すのに十分である．将来の数値解析は，局地的海洋モデルの正確な予報ができるような高分解能なものに進歩するだろう．
?　海洋を夢みる―――海洋はいろいろな感懐を呼び起こしてきた．海の美しさは我々の想像的美術，音楽，詩や科学を描き上げ世紀を通して人間の意識に共鳴して来た．疑いなく人類は海の精の歌に魅惑され――数学を含む――すべての有用な資源を使い海洋と共に生き それを理解し その魅力に惹かれ続けるであろう．Tani/Katase

★数学は全次元に_MAM2000

MAM2000

Mathematics Awareness Month ( MAM )――April，2000

　　　　　「 Mathematics Span All Dimensions/ 数学は全次元に 」

次元たどりの象徴図柄――MAM2000の電子ポスタ−にある「山羊の角」は，0次元空間から多次元空間への道標である．各分野に貢献した11名の業績を紹介する．山羊の角の先端（0 次元空間）から，１次元の地層コアサンプルやレ−シングカー地形（R.Tapia），E. A. Abbottの“平面国”やG.Pixerのアニメーションスタジオの2次元世界へ，バレ−振り付け，結晶幾何学（M.Senchal）の3次元から，重力レンズ（A.Petlers）の４次元，より高次元の宇宙論，超空間，Madeleine L'Engleの小説”時間のひだ”へと導かれる．

数学的な点，線，面，空間，高次元――
海上で，或いは顕微鏡試片に位置を定めるのは繊細な仕事である．位置は一つの直線上や一つの曲線上であれば，1数字で記述できる．1点が定まれば他の点はそれからの距離で特定できる．地図上の位置は2つの数字 緯度と経度を必要とする．地球表面からの高度或いは深度があれば3座標，緯度，経度と高度（正数）又は深度（負数）となる．調査や試料採取には位置決めがついてまわり，3つ，4つ或いはそれ以上の数字を必要とする．数学者がパタ−ンを求める時，コンピュ−タが大きな役割を演じる．2乃至3個の変数をもつ位置の集合をコンピュ−タ画面上に表示でき，これらを動かして見ると，位置デ−タの原簿では明らかでなかったパタ−ンが見えてくる．デ−タのこの様な処理は，探索的データ解析と呼ばれJ.Tukeyがその先駆者である．点とはその位置を示す特性に過ず，長さ，幅，高さ，厚み，容積を持たない．数学ではこれを0次元と呼ぶ．
線分は１次元の対象で，両端末が定まれば，線分上の各点を一つの記号で特定できる．１つの端末点を0，他端末点を1として，中間点は1/2と特定する．線分が絡まりあるいは平面と係わると記号は増えるが線分は1次元のままだ．1次元空間の好例は地質学者が採取する地中標本で，深く掘り下げて，各深度の地質を調べることができる．勿論 試掘点の緯度・経度を記録する二つの記号は必要である．この分野では，古代生態学のT.Webbが貢献している．円周は1次元で起点から0〜360でどの位置も現せる．
水平・垂直で構成される直方形は２次元空間の例で，直方形のどの位置も二つの記号で表現でき，基点を左下隅から右上隅に変えても，二つの記号である事は変わらない．複数の直方形の中から一つを選ぶ場合は，二つ以上の記号を要する．平面座標に並べられた直方形は２次元物の４次元集合となる．直方形の１点を軸に回転させると，もう一つの次元・回転角を加え，この種の回転は２次元コンピュ−タ画面にアニメ−ション等の応用をもたらす．
２次元物を平面上で回転させたと同じように，３次元物を空間で自在に回転させると3Ｄコンピュ−タ画像上に素晴らしいアニメ−ションを実現する．19世紀以来，時間が３次元空間に付加されて，４次元を構成すると考えられ，20世紀物理学で発展してきた．何処（３次元）で何時（１次元）と催し物を明示するのは，数学では４次元（abct）となる．時間以外にも４次元があり，これをどの様に表現するかが問題で現代物理学では10〜26次元の展開をしている．超紐理論のM.Kaku，宇宙学のJ.Weeks，M.L'Engleの“時間のひだ”は５次元世界の出来事を述べる小説，バレ−の振り付け師J.Strandbergやアニメ−タE.Catmull, T.DeRoseも多次元世界を駆使している．アニメやビデオ・ゲ−ム制作にも数学が必要となる．Tani/Katase