note.com投稿記事

存在の矛盾の理論（その３）

ゲーデルの定理
それから四半世紀が経過しましたが、ゲーデルが何を証明したかについての議論は続いています。特に熱狂的な議論が疑似科学界で起こっています。「ゲーデルの不完全性定理は本当にユニークです。神々の存在から理由の欠如まで、"世界のすべて"を証明したいときはいつでも言及されます」と、優れた現代数学者V.A.Uspenskyは書いています。

多くの推測はさておき、科学者はゲーデルの評価で二分されました。ラッセルに続いて、現代の数学論理の基礎となるこの有名な定理は、この分野以外の研究にほとんど影響を与えないと信じる人もいます。

数学者は、「ゲーデル以前」の時代に、彼らの定理を証明していたように、今日も証明をしています。

新しい定理を絶えず証明し続けるコンピューターの幻想に関しては、そのような活動の意味に多くの専門家から、大きな疑問が投げかけられています。確かに、数学にとって、証明された定理の定式化だけでなく、その理解も重要です。これにより、さまざまなオブジェクト間の接続を識別し、どの方向に進むことができるかを理解できるからです。そのような理解がなければ、形式化された推論ルールに基づいて生成された定理は、一種の「数学的なスパム」にすぎません。これは、モスクワ州立大学の数学論理および機械と数学のアルゴリズム理論部門のメンバーであるアレクサンドル・シェニの意見です。

ゲーデル自身も同様の方法で推論しました。数学の基礎の完全性を破壊したとして彼を非難した人々に、彼は、「実際には何も変わっておらず基礎は揺るぎないままで、彼の定理は論理の鉄の法則に支配される科学分野で、直感と個人的なイニシアチブの役割の再評価につながっただけ」と答えました。これには何かメリットがあるというわけではありません。

ゲーデルとアインシュタイン（写真：「科学の世界で」）

ーーー

しかし、一部の科学者は異なる意見を持っています。確かに、論理的に推論する能力が人間の心の特徴（少なくともその主なツール）であると考える場合、ゲーデルの定理は私たちの脳の限界を直接示しています。無限の思考力を信じて育った人が、その力の限界についての論文を受け入れることは非常に難しいことでありましょう。

むしろ、私たちは自分の精神的能力の思考限界について話すことができます。多くの専門家は、論理的思考の根底にある計算の「アリストテレス」プロセスは、人間の意識の一部にすぎないと考えています。彼の他の分野、「非計算的」分野は、直感、創造的な洞察、理解などに責任があります。そして、心の前半がゲーデルの制限に該当するとしても、後半はそのような枠組みから解放されます。

この観点の立つ最も一貫した支持者である数学と理論物理学の著名な専門家、ロジャー・ペンローズは、さらに進めて、創造的意識行為の実現にかかわる非計算的性質のいくつかの量子効果の存在を示唆しました。彼の同僚の多くは、人間の脳に仮想の量子メカニズムを与えるという考えに批判的ですが、ペンローズと彼の共同研究者は、その存在を確認する実験スキームをすでに開発しています。

ペンローズの仮説の多くの結果の1つに、量子コンピューターの出現がコンピューティング分野の途方もないブレークスルーであるとしても、現代のコンピューティングデバイスに基づいて人工知能を作るのは基本的に不可能であるという結論があります。事実、どのコンピューターでも、人間の意識の形式的で論理的な「計算」活動を詳細にシミュレートすること以外はできず、知性の「非計算的」能力にはアクセスできません。

これは、75年前に発表された若いゲーデルの数学的定理によって引き起こされた自然科学と哲学的論争のほんの一部にすぎません。他の偉大な同時代の人々と一緒に、彼は人に自分の周りの世界と自分自身を異なって見させました。

ゲーデルの定理、相対性理論および量子論の創造を含む、20世紀の最初の3分の1の最大の発見は、過去2世紀の科学的研究に基づいて創造された自然の機械的決定論の構図の限界を示しました。宇宙の発展の道と道徳的義務の両方が根本的に異なる法則に従うことが判明しました。そこには、取り返しのつかない複雑さ、不確実性、偶然、そして不可逆性があります。

しかし、科学革命の偉大な結果は、すでに述べたものに限定されません。20世紀の初めまでに、ラプラス-ニュートンの決定論思想は、社会科学の発展に大きな影響を与えました。すべての要素が厳格な法則に従い、厳格な機械的構造の形で自然を表現した古典的な自然科学の先覚者に続き、現在の状態を知れば未来を明確に予測することができ、司祭、社会科学者は不変の法則に従い、所定の方向に発展する人間社会を描きました。そのような世界像を保存するための最後の試みの1つは、明らかに、「唯一の真の科学的教義」の概念に取り組んだマルクシズム-レニニズムであり、その一部は「歴史の物質主義的理解」でした。「大きな工場」のような社会主義社会を構築するというレーニンの考えを思い出すだけで十分です。

宇宙の自然科学の全体像に定着していた複雑さ、ランダム性、不確実性についての考えが、徐々に、社会科学や人間科学に浸透し始めました。社会では、個人の自由という現象を通じて、不確定が実現します。歴史的プロセスを複雑にし、普遍的な発展の不変の法則に従わないのは、自由で予測不可能な選択をする主題としての自然界の人間の存在です。

しかし、わが国の複雑な世界の新しい構図の取得は非常に困難でした。これに気付くのは間違いありません。70年間支配していたイデオロギーは、普遍的な権威秩序の哲学としてのラプラス型の決定論に引き寄せられました。厳格な階層法に支配されている社会工場の支配的なソビエトの官僚機構が決して離さなかった夢の中心に、この事前決定の原則がありました。

したがって、複雑さ、多元性、多様性に関しては、それが相対性の理論、量子力学、遺伝学、サイバネティクス、社会学的研究、心理分析などであるかどうかにかかわらず、イデオロギー検閲のメカニズムがすぐに働きました。これは、自然と社会の両方からの自由へのすべての言及を排除することを目的としていました。

悲しいかな、不活性な遺産は、今でも多くの同胞や同時代の人々の心を暗い影として支配しています。これは、共産主義の教義の終焉によって空けられた場所を埋めるために、当局によって開始された新しい「国民的イデオロギー」探求の苦悶によって証明されています。

このようにして、クルト・ゲーデルと彼の偉大な同時代人たちは、頭上の星空と私たちの内なる道徳法則、そして私たちが住む社会を、新しい方法で私たちに見せました。

Александр Музыкантский，«В мире науки» №3, 2007

存在の矛盾の理論（その２）

こうして、3千年ぶりに、数学者は彼らの分野の最も深い基礎を研究することに近づきました。そして、奇妙な構図が浮かび上がりました。数字ファンは、計算を行うルールを明確に記述することを学び、パラドックスによって生じる疑念を排除するために、使われた根拠の「正当性」を証明すれば済みました。そして1920年代の前半までに優れた研究学派を形成した偉大なヒルベルトは、一連の論文で数学の基礎の研究計画（後に「ゲッティンゲンプログラム」の名前が付けられた）を講演しました。最も単純化された形式で、それは次のように表すことができます。数学は、特定の公理体系から導き出された一連の結果として表すことができ、次のことを証明できます。

１．数学は完全です。すなわち、いかなる数学的な記述も、その分野自体の規則に基づいて証明または反証することができます。
２．数学は一貫しています。受け入れられている推論の規則に違反せずに、いかなる命題も証明すると同時に反駁することは不可能です。
３．数学は決定可能です。つまり、ルールを使用して、それが証明可能であるか反駁可能であるかどうか、任意の数学命題について調べることができます。

実際、ヒルベルトのプログラムは、すべての数学的な質問に答えるための、または少なくともそのような存在を証明するためのいくつかの一般的な手順を開発しようとしました。科学者自身は、彼が作成した3つの質問すべてに対して肯定的な答えを確信していました。彼の意見では、数学は確かに完全で、一貫性があり、解決可能でした。残ったことはそれを証明するだけでした。

さらに、ヒルベルトは、公理的方法が数学だけでなく、科学一般の基礎にもなり得ると信じていました。1930年に、彼の記事「自然と論理の認識」で、彼は次のように書いています。

科学のさらなる発展のために、ヒルベルトと彼の学派は成功したでしょうか？彼が信じていたように、すべての数学（および科学全体）が公理のシステムに還元された場合、一般的な論理規則に従ったプログラムに従って、元の命題から次の命題を実証する（つまり、定理を証明する）ことがコンピューターでできます。

ヒルベルトの理論が実現されれば、24時間稼働するスーパーコンピューターは、ますます多くの新しい定理を継続的に証明し、World WideWeb上の無数のサイトに投稿します。数学に続いて、「公理の時代」は物理学、化学、生物学に広がり、そして最後に、人間の意識の科学に変わります。私たちの周りの世界、そして私たち自身は、そのような場合には多少異なって見えるでしょう。

しかし、「普遍的な公理化」は行われませんでした。世界の数学者が数十年にわたって取り組んできた、非常に野心的で壮大なプログラム全体が、単一の定理によって反駁されました。それは、当時わずか25歳のKurt Gödelゲーデルによってでした。

1930年、ケーニヒスベルクのウィーンサークルが主催した会議で、彼は”論理計算の完全性”に関する発表をし、翌年の初めに、”Principia Mathematica と関連システムの根本的な困難”に関する論文を発表しました。彼の仕事の中心は、数学のさらなる発展において基本的な役割を果たす定理の定式化と証明でしたが、不完全さについてのゲーデルの有名な定理は、「どのような一貫した公理システムであっても、受け入れられた公理系内で、証明または反証することができない命題が存在する」と述べています。このように、ゲーデルはヒルベルトの最初の命題に否定的な反応を示しました。興味深いことに、ヴェルナー・ハイゼンベルグは同じ会議で「因果関係の知識と量子力学」について講演しました。このレポートで、”不確定性原理”の最初のアプローチが提示されました。

■ゲーデルの定理

それから四半世紀が経過しましたが、ゲーデルが何を証明したかについての議論は続いています。特に熱狂的な議論が疑似科学界で起こっています。「ゲーデルの不完全性定理は本当にユニークです。神々の存在から理由の欠如まで、"世界のすべて"を証明したいときはいつでも言及されます」と、優れた現代数学者V.A.Uspenskyは書いています。

数学者は、「ゲーデル以前」の時代に、彼らの定理を証明していたように、今日も証明をしています。

ゲーデルとアインシュタイン（写真：「科学の世界で」）

存在の矛盾の理論（その１）

アレクサンダー・ムジカンツキー, 「科学の世界で」2007年第3号より

訳者より口上：私はラッセルのパラドックスがよく理解できません．その簡易な解説は，次のような表現で語られることが多いのでここから始めましょう．

アレクサンダー・ムジカンツキー, 「科学の世界で」2007年第3号より

訳者(SGK)より口上：私はラッセルのパラドックスがよく理解できません．その簡易な解説は，次のような表現で語られることが多いのでここから始めましょう．

町の人々は，自分で自分の髭を剃る（Ａ）か，剃らない（Ｂ）かのグループに完全に2分割できます．どちらの集合にも属さないという人はあり得ませんし，両方に属するということも不可能です．そして，床屋も町の人のうちに入りますから，（Ａ）or（Ｂ）のどちらかの集合に属します．床屋が自分に課したルールで，他人の髭を剃ることができるのは（Ｂ）に属する人に対してです．床屋自身はどちらの集合に属していてもかまいません．もし，（Ａ）に属していれば，自分の髭は自分で剃りますが，（Ａ）の人のひげは剃らないという床屋のルールに反します．もし，（Ｂ）に属していれば床屋の手で髭を剃りますが，自分＝床屋なので，自分で剃ることになり（Ｂ）に存在することが矛盾になります．

＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
訳者のウォーミングアップはここまでにし，
Александр Музыкантский，В мире науки，№3, 2007
によるゲーデルの紹介に入りましょう：

■20世紀の最も優れた発見といえば、アインシュタインの相対性理論、量子力学、ハイゼンベルグの不確定性原理などです。しかし、多くの著名な科学者（数学者や哲学者）は、前世紀の科学的思想の最大の成果の中にゲーデルの定理を含めています。物理学分野の画期的な進歩が、人間の心の自然の新しい法則への理解をもたらすなら、ゲーデルの仕事は人間の心自体の動作原理をさらによく理解する可能性で、私たちの時代の世界観と文化に大きな影響を与えました。

ゲーデルとは誰か？
Kurt Gödelゲーデルは1906年4月28日、オーストリア-ハンガリーのモラヴィアの都市ブルノ（当時はブルンと呼ばれていました）で生まれました。18歳で、彼は最初に物理学を学んだウィーン大学に入学しましたが、2年後に数学に転向しました。このような科学的関心の変化は、主にバートランド・ラッセルの著書「数学の哲学の紹介」の影響下で起こったことが知られています。科学者としてのゲーデルの形成に大きな影響を与えたもう1つは、ウィーンサークルの活動への彼の参加でした。これは、1920年代後半から1930年代半ばまで定期的にウィーンに集まった、数学者、論理学者、哲学者などの優秀な科学者の集団です。ルドルフ・カルナップ、オットー・ニューラス、ハーバート・フェイグル、モリッツ・シックなどの科学者は、さまざまな時期にウィーンサークルの活動に参加しました。哲学的な積極性の形成は、彼らの活動に関連しています。サークルのトピックスは、自然と社会の知識のうち、科学的知識のすべてをカバーしていました。さまざまなヨーロッパの科学センターで開催された国際会議では、20世紀の基本的な科学的知識の形成で、ウィーンサークルが果たした卓越した役割がありました。ゲーデルは、木曜日のサークルのほぼすべての会議と、彼が主催する国際会議に参加しました。オーストリアでのサークルの活動は1936年に中断され、そのリーダーであるモリッツ・シュリックがウィーン大学の階段でナチスの学生に殺されました。サークルのメンバーのほとんどは米国に移住し、ゲーデルも移住しました。時が経ち、彼はアメリカ市民になり、プリンストンの高等研究所で働き、同じ都市で1978年に亡くなりました。これが彼の人生の輪郭です。職場の友人や同僚は、彼を閉じた人、痛々しいほど傷つきやすく、周囲の世界から切り離され、完全に彼の考えに没頭している人であったことを思い出します。

Kurt Gödel（1906-1978）．写真：「科学の世界で」

世界の論理的理解が、ゲーデルの人生の中心を占めていたという事実は、彼の伝記の奇妙な詳細によって証明されています。1948年、アメリカ市民権の取得の問題が決定されたとき、ゲーデルは、決められた手順に従って、アメリカ憲法の基本に関する口頭試験のようなものに合格しなければなりませんでした。彼はすべての科学的良識をもってこの問題に取り組み、文書を徹底的に研究し、憲法に違反することなく合法的に独裁権を確立することができるという結論に達しました。そのような発見は、彼がテストを受ける役人と話し合うとき、テストに失敗させるだけです。彼はもちろん、合衆国基本法の彼の理解を政治思想の最大の成果であると考えました。彼が市民権を取得したときにゲーデルの2人の保証人の1人として行動したアルバート・アインシュタインは友人です。少なくとも誓いが立てられるまで、彼の議論の展開を延期するように彼を説得しました。その後、歴史は興味深いエピローグとなります。四半世紀後、別のアメリカ人、ケネス・アローは、ゲーデルがアメリカの憲法を研究して到達した命題を一般的に証明したことでノーベル賞を受賞しました。

ゲーデルは何を証明したか？
ゲーデルの名前を不滅にした定理の提示に進む前に、1920年代の終わりまでに数学が直面した問題、正確には、19世紀と20世紀の変わり目に際立っていたその断面を簡単に話す必要があります。それは「数学の基礎」と呼ばれました。
最初に、幾何学の学校コースに立ち寄る価値があります。それは今日まで、2000年以上前に書かれたユークリッドの「原論」を大部分繰り返しています。伝統的な教科書では、最初に、平面上の点と線の特性に関するいくつかの命題が与えられ、そこから「アリストテレス」論理の規則［訳注）三段論法］に従った論理的構築によって、さまざまな重要で有用な幾何学的事実（定理）が推論されます。たとえば、公理の1つは、たった1本の直線が2点を通過すると主張しますが、平行線は無数にあるとする別の公理（ロバチェフスキーが非ユークリッド幾何学で拒否した有名な第5の仮定）もあります。公理の真実は、明白なものと見なされ証明は必要ありません。ギリシャの幾何学の特徴は公理から定理を導くことです。
19世紀の終わりに、ユークリッド原論のすべてのギャップ（数学者の厳密さと推論の正確さの観点で）が埋められました。
ドイツの数学者David Hilbertの本「Foundations of Geometry」は、最新の研究の結果となりました。
ユークリッドの方法の成功は、科学者に彼の原理を数学の他の分野に拡張することを促します。幾何学の後に算術の番が来ました。1889年、イタリアの数学者ジュゼッペ・ピアノは、最初に算術の公理を定式化しました。これは、ばかばかしいほど明白に見えました（ゼロがあり、各数字の後に別の数字が続くなど）が、実際には完全に網羅的です。彼らは幾何学において偉大なギリシャ人の仮定と同じ役割を果たしました。このような記述に基づいて、論理的推論を使用して、基本的な算術定理を得ることができました。
同じ時期に、ドイツの数学者ゴットリーブ・フレーゲはさらに野心的な問題を提起しました。彼は、研究中のオブジェクトの主な特性を公理的に承認するだけでなく、推論の方法を形式化、体系化することを提案しました。これにより、特定の規則に従って、記号のチェーンの形で数学的な推論を書くことができました。フレーゲは彼の結果を「算術の基本法則」で発表しました。その最初の巻は1893年に出版され、2番目の巻はさらに10年間の努力を必要とし、1902年に完全に完成しました。
おそらく、数の科学の発展で最も劇的な物語の1つは、フレーゲの名前と科学的研究に関連しています。第2巻がすでに印刷されていたとき、フリーゲは若い英国の数学者バートランド・ラッセルから手紙を受け取りました。ラッセルは、同僚の素晴らしい結果を祝福しながら、それでも著者の注意を引いた1つの状況を指摘しました。陰湿な「状況」は「ラッセルのパラドックス」であり、後に広く知られるようになりました。
自分自身を要素として含まない集合の集合は、自分自体は要素として含まれるか。フレーゲはすぐに謎を解くことができませんでした。彼は、印刷されていない彼の本の第2巻に、苦味に満ちた言葉を追加するしかありませんでした。「科学者にとって、発見することほど望ましくないことはありません。やっと完成した仕事の基盤が崩壊したこと。バートランド・ラッセルから受け取った手紙は、私をまさにそのような立場に置きました...」苦しんでいる数学者は、大学を卒業し、理論を正すために多くのエネルギーを費やしましたが、それはすべて無駄でした。彼は20年以上研究しましたが、算術に関するこれ以外の論文を書きませんでした。

しかし、ラッセルは、すべての数学をカバーし、フレーゲのアイデアと仕事に正確に依存して、当時知られているすべてのパラドックスのない正式なシステムのバージョンを1902年に導き出すことができました。Principia Mathematica（Alfred North Whiteheadと共著）という本で発表された彼の結果は、実際には論理の公理化になり、David Hilbertは、これが「科学を公理化するためのあらゆる努力の頂点と見なせる」と信じていました。
数学者が彼らの分野の基礎に強い関心を持っているもう一つの理由がありました。事実、19世紀と20世紀の変わり目に、集合理論に矛盾が発見され、そのために傲慢な「集合理論のパラドックス」が生み出されました。これらの中で最も有名な—ラッセルの有名なパラドックス—は、残念ながら、それだけではありませんでした。さらに、ほとんどの科学者にとって、新しい奇妙な発見が当てはまらないことは明らかでした。集合理論は数の科学の建物全体が建てられている基礎の役割をしているので、ヒルベルトが言ったように、この発見は数学の世界に「壊滅的な影響」を及ぼしました。「これらのパラドックスに直面して、私たちは今の状況が長い間耐えられないことを認めなければなりません。考えてみてください：数学（信頼と真実のモデル－概念と推論）は、研究し、教え、適用することが無意味であることになります。では、数学的な思考自体が破綻した場合、どこで信頼性と真実を探すことができるでしょうか？ヒルベルトは1925年6月の数学者会議の彼の報告で嘆きました。

ーーー

１．数学は完全です。すなわち、いかなる数学的な記述も、その分野自体の規則に基づいて証明または反証することができます。
２．数学は一貫しています。受け入れられている推論の規則に違反せずに、いかなる命題も証明すると同時に反駁することは不可能です。
３．数学は決定可能です。つまり、ルールを使用して、それが証明可能であるか反駁可能であるかどうか、任意の数学命題について調べることができます。

1930年、ケーニヒスベルクのウィーンサークルが主催した会議で、彼は”論理計算の完全性”に関する発表をし、翌年の初めに、”Principia Mathematica と関連システムの根本的な困難”に関する論文を発表しました。彼の仕事の中心は、数学のさらなる発展において基本的な役割を果たす定理の定式化と証明でしたが、不完全さについてのゲーデルの有名な定理は、「どのような一貫した公理システムであっても、受け入れられた公理系内で、証明または反証することができない命題が存在する」と述べています。このように、ゲーデルはヒルベルトの最初の命題に否定的な反応を示しました。興味深いことに、ヴェルナー・ハイゼンベルグは同じ会議で「因果関係の知識と量子力学」について講演しました。このレポートで、”不確定性原理”の最初のアプローチが提示されました。

■ゲーデルの定理

数学者は、「ゲーデル以前」の時代に、彼らの定理を証明していたように、今日も証明をしています。

ゲーデルとアインシュタイン（「科学の世界で」より）

スーパーコンピュータとチャリティエンジンが解を見つける

数学パズルで有名な問題　$$ X^3 + Y^3 + Z^3 = k $$，（$$ k $$はゼロ以上の整数）を解く話です。まず、$$ k $$=1から100までの個々の場合の整数解$$X, Y, Z$$を求めよというのが1954年に提示された問題です。似ている問題　$$x^2+y^2=z^2$$　を満たすピタゴラス数を求めよというのもあります。この種の方程式はディオファントス方程式とよばれ、紀元前300年のギリシャ以来研究されています。

さて、$$X^3+Y^3+Z^3＝k$$　，　（$$ k$$=０，･･･，100)　に戻りましょう。
求める整数解$$X, Y, Z$$は正数だけとは限りませんので、問題は難問になります。

長年の研究で、$$k=4, 5, 13, 14, 22, 23, 31, 32$$の場合には解がないことがわかっています．これらを除くほとんどの$$ k $$に対して解が求まりました($$ k $$によっては解が無数に存在する場合もあります)が、$$k$$=33と42の場合の解がどうしても見つかっていません（解がないという証明もできません）でした。2019年になり、ブリストル大学のAndrew Booker教授は、スーパーコンピューターを３週間連続使用して、$$ k $$＝33の場合の解を見つけました。以下のものです。

$$ (8,866,128,975,287,528)^3+(-8,778,405,442,862,239)^3+(-2,736,111,468,807,040)^3＝33 $$

私（筆者）はこれが正解かどうか確認しようとしましたが、数字が大きすぎて計算もできません。$$k$$=42の場合は、もう一桁大きな数を扱わなければならないのでスーパーコンピュータといえども困難なのが理解できるでしょう。
そこで、Booker教授は、大きな数の解をチェックできる効率的なアルゴリズムを作り、MITの計算数理学者Andrew Sutherland教授の協力を得て、地球規模のコンピューティングプラットフォーム「Charity Engine」を利用した。Charity Engineには、世界規模で50万台を超える家庭用PCが接続され、各PCの空き時間を使って計算を実行するものです。Charity Engineによる100万時間を越える計算の結果、やはり2019年に次の解が得られました。

$$X = -80538738812075974$$
$$Y = 80435758145817515$$
$$Z = 12602123297335631$$

現在は，$$k$$が100～1,000までの場合の整数解を求めることに挑戦中である。
$$k$$が100～1000の間で解けていないのは10個位あるという。

科学と社会に関する異端の考え（１）

フリーマンダイソンFreeman Dyson（1923年12月15日ー2020年2月28日）
フリーマン・ジョン・ダイソンは、イギリス・バークシャー生まれのアメリカ合衆国の理論物理学者、宇宙物理学者、サイエンスライター。ケンブリッジ大学トリニティ・カレッジ卒業、コーネル大学大学院中退。プリンストン高等研究所名誉教授。若くしてダイソン方程式を発表、量子電磁気学の完成に大きな寄与をなした。（wikiより引用）

1949年に彼は、トモナガと独立してシュウィンガー、ファインマンによって提案された、当時の量子電磁気学である量子場理論のさまざまな定式化が実際に同じ理論の説明であることを示しました。これにより量子電磁気学が定式化されました。　　繰り込み理論＝renormalization theory
（ヴァレリー・アナトリエビッチ・ルバコフの開会の辞2009.3.23より抜粋）
＊訳注）朝永、シュウィンガー、ファインマンはノーベル賞（1965年）をもらいましたが、ダイソンは受賞を逃しましたね。

■訳者（私）の意見
二酸化炭素は温室効果ガス（地表から放射される赤外線を閉じ込める）でありますが，水蒸気の温室効果は二酸化炭素に倍するほど強力です．大気中にある水蒸気や二酸化炭素は地球大気に広がり地球を包み地球全体としての温暖化を起こすでしょう．それでも，水蒸気や二酸化炭素の濃度には場所により濃淡があります．飽和水蒸気量は気温依存しますので，寒いほど水蒸気量は少なく温室効果は減少するので，寒いところはますます寒くなります．水蒸気の豊富にあるところの温室効果は水蒸気が主体となります．
大気中の二酸化炭素量だけが地球全体の温暖化に結び付けるのは，その他のもっと重要な温暖化原因を故意に見落とすことになります．二酸化炭素を減らしたが温暖化は解決しないということが起こる危険があります．二酸化炭素を削減するために原発が必要という我田引水な理由で原発稼働がなされてきたのは間違いです．

それでは，ダイソン博士の講演を拝聴しましょう．
https://elementy.ru/video/20/Ereticheskie_mysli_o_nauke_i_obshchestve

２．土地管理と気候
これから5つの問題について私は異論を述べます。
最初の異論：地球温暖化をめぐる現在の誇張されたヒステリックな宣伝です。ここで私は、気候モデル専門家の聖なる兄弟と、気候モデルにより予測された数値を信じる惑わされた市民の群衆に反対します。もちろん、私はこの分野の専門家でないので話す資格がないと言われます。しかし、私は気候モデルを研究し、それらの能力を知っています。このモデルは、流体力学の方程式を解き、大気と海洋の流体運動を非常によく記述します。しかし、この方程式は，雲、ほこり、化学、畑、農地、森林の生物を説明することはできません。この方程式は，私たちが住んでいる現実の世界を説明できません。現実の世界は泥だらけで乱雑で、私たちがまだ理解していないことがたくさんあります。科学者がエアコンの効いた建物に座ってコンピューターでモデルを実行する方が、防寒着を着て沼や雲の中で実際に何が起こっているのかを測定するよりもはるかに簡単です。その故に、気候モデルの専門家は自分たちのモデルを信じてしまうのです。

地球上のいくつかの場所で、気候が実際に温暖化していることは間違いありません。私は，この温暖化が問題を引き起こしていないと言っているのではありません。明らかに問題は起こっています。私たちはそれをもっとよく理解すべきです。この問題がひどく誇張されていると言いたいのです。これを語り，貧困、感染症、公教育、公衆衛生、陸と海の生物の保護など、緊急でもっと重要な他の問題から目をそらさせ，お金を奪っています。とりわけ、戦争と平和と核兵器の問題についてもお話します。

地球温暖化の問題は、その重要性が誇張されていますが、興味深い問題なので、少しお話します。大気や生物圏における炭素の流れを詳細に理解するには、多くのパラメーターの数値を測定する必要があります。たくさんの数字と混同したくないので、1つの数字だけを覚えておいてください。覚えておいていただきたいのは、年間1/3mmです。次に、この数字の意味を説明します。砂漠、極地の氷、都市、道路、駐車場などではい地球の土地面積の半分を想像してください。農地、森林、沼地など、さまざまな種類の植物を支える土壌で覆われています。毎年、地表のこの半分は、その二酸化炭素の一部を吸収してバイオマスに変換します。それを大気中に放出します。バイオマスの増減を測定していないため、この割合がどれだけ大きいかはわかりません。バイオマスは生き物であり、すでに死んだ生き物の残骸でもあります。私が覚えておくように頼んだ数字（年間1/3mm）は、化石燃料を燃やすときに放出されるすべての二酸化炭素の吸収によって、地表の半分で起こるバイオマスの厚さの平均増加です。

これらの計算の意味するところは、土壌による大気中の炭素の吸収が非常に良好な速度で進行する可能性があるということです。大気中の二酸化炭素濃度の上昇を止めるには、土壌バイオマスを年間わずか1/3mmだけ増加させる必要があります。肥沃な上層土はバイオマスの約10％を占めるため、1年に1/3mmのバイオマスの増加は、1年に約3ミリメートルの表土の増加に対応します。耕作回避など農業慣行の変化は、同様に急速なバイオマスの増加につながります。土を耕さずに作物を育てれば、より多くのバイオマスが根に行き、それが地面に残り、より少ない大気に戻る炭素は少なくなります。遺伝子工学を通じて、根のバイオマスがより高い品種を入手すれば、明らかに、達成することができるでしょう。土の厚さの成長がさらに速くなるように。これらの簡単な計算から、二酸化炭素の大気への放出の問題は気象学の問題ではなく、土地管理の問題であるという結論が導かれます。大気と海洋のコンピュータモデルでは、土地をどのように管理するかを予測することはできません。

地球全体の規模でバイオマスの平均増加を計算することはできないかもしれませんが、この問題を局所的な側面で検討しましょう。この将来の可能性を想像してみてください。中国は、石炭の燃焼に大きく依存する産業大国として発展を続けていますが、米国は、土壌バイオマスの増加によって排出される二酸化炭素を吸収することを決定しています。植物や木の生きている部分に蓄積できるバイオマスの量は限られていますが、土壌に沈着できるバイオマスの量を制限するものは何もありません。大規模な土壌増強は、遺伝子操作された作物の経済的パフォーマンスに応じて、有益な場合とそうでない場合があります。しかし、少なくとも、石炭を燃やすことによって中国が豊かになる可能性については、非常に議論の余地があります。一方、米国は、大気が中国の鉱山から米国の土壌に炭素を自由に輸送できるようにし、大気中の二酸化炭素を一定に保つことによって土壌を貯蔵することにより、環境を祝福しています。化石燃料と気候変動についての予測を聞くとき、このような機会は検討する価値があります。コンピュータ技術が過去50年間に君臨したように、バイオテクノロジーが次の50年間に地球上で最高に君臨する場合、気候ゲームのルールは根本的に変化します。大気中の二酸化炭素含有量は一定に保たれます。

フリーマンダイソン，2009年3月23日，モスクワFIAN

気候変動についての公開討論に耳を傾けると、私たちの知識の巨大なギャップ、私たちの観察の不完全さ、そして私たちの理論の表面性に驚かされます。私たちの地球生態学における多くの基本的なプロセスの理解はまだ乏しい。それらをよりよく理解した場合にのみ、地球の現在の状態を正確に診断することができます。病気の人の世話をするのと同じ方法で地球の世話をしようとすると、最初に病気を診断し、次にそれを治療する必要があります。このためには、生物圏で起こっているプロセスを観察し、それらのパラメーターを測定する必要があります。

大気中の二酸化炭素濃度の増加は、気候と非気候の2つの重要な結果をもたらすことは全員が同意します。1つは、大気中のエネルギーの放射伝達の物理的変化であり、2つ目は、陸上および世界の海の植生の生物学的変化です。これらの結果のどれがより重要であるか、またこれらの結果が個別にまたは一緒にか、有益であるか有害であるかについての意見は異なります。物理的影響は、降水量、雲の被覆、風の強さ、温度の変化に現れます。これらは通常、一緒に積み上げられ、誤解を招く用語「地球温暖化」と呼ばれます。湿った空気では、二酸化炭素によって引き起こされる放射輸送の変化は、水蒸気のはるかに強い温室効果によって本質的に相殺されます。

二酸化炭素の影響は、空気が乾燥している場所で重要であり、空気は通常、冷たい場所でのみ乾燥します。二酸化炭素の温暖化効果は、空気が冷たく乾燥している場所で最も強く、主に熱帯ではなく北極で、主に夏ではなく冬に、そして主に昼間ではなく夜間に発生します。温暖化は、暑い場所を暑くするのではなく、寒い場所を暖かくします。この局所的な温暖化を世界平均で表すことが、人々に誤解を生じさせています。

大気中の二酸化炭素の濃度が生物学的に非常に重要である本当の理由は、この濃度が非常に低いことです。晴れた日の午後に太陽の下で育つトウモロコシやその他の穀物の畑は、地上1メートルの二酸化炭素を約5分ですべて吸収します。対流と風によって空気が継続的に混合されない場合、トウモロコシは成長を停止します。大気中の二酸化炭素の約1/10は、毎年夏にバイオマスの成長に費やされ、毎年秋に大気に戻ります。これが、化石燃料の燃焼の影響を植物の成長と衰退の影響から切り離すことができない理由です。
数千年の時間スケールでしか利用できない炭酸塩岩と深海を除いて、短い時間スケールで生物学的にアクセスできる炭素に5つのプールがあります。これらの5つのプールは、大気、陸上植物、陸上植物が成長する土壌、海洋植物が成長する海の表層、および化石燃料の実証済みの埋蔵量です。大気はこれらのプールの中で最も小さく、化石燃料は最も大きいが、5つすべてが同等のサイズです。それらはすべて互いに強く相互作用し、それらのいずれかを理解するには、それらすべてを理解する必要があります。インテリジェントな土地管理によって、大気中の二酸化炭素の増加を止めるのに必要な量である年間40億トンの炭素が土壌プールの成長を増加させられるかどうかはわかりません。確かに言えることは、これは理論的な可能性であり、真剣に検討する必要があるということです。

地球温暖化の科学的および経済的側面について私が知っている議論のほとんどは、最も重要な問題を回避しています。これは科学的な問題というよりは宗教的な問題です。そのような世界の世俗的な宗教-それは環境主義と呼ぶことができます-それによると、地球上の人々の役割は経済管理者の役割であり、私たちの贅沢の無駄で地球を台無しにすることは罪であり、正しい方法は可能な限り経済的に生きることです。環境倫理の基本は、世界中の幼稚園、学校、大学の子供たちに教えられています。環境主義は社会主義に取って代わり、主要な世俗的な宗教になりました。この宗教には強力な倫理的基盤があります。科学者や経済学者は、仏教の僧侶やキリスト教の説教者たちに、私たちの自然の生息地の破壊は悪であることに同意することができます。鳥や蝶を注意深く保護することは祝福です。グローバル環境主義コミュニティは非常に強い道徳的立場を持っており、より良い未来への希望の道に沿って人間社会をリードしています。自然への希望と尊敬の宗教としての環境主義は、真剣にそして長い間やって来ました。これは、地球温暖化の危険性を信じているかどうかに関係なく、私たち全員が共有できる宗教です。

しかし、残念ながら、環境保護運動は、地球温暖化が何よりも地球の生態系を脅かしているという信念の信条の1つとして採用されています。これが、地球温暖化についての論争が非常に熱く激しくなっている理由です。地球温暖化の危険な影響に懐疑的な人は誰でも環境の敵であると国民は信じています。今、私のような懐疑論者は、そうでなければ大衆を説得するという困難な課題に直面しています。これらの懐疑論者の多くは熱心な環境保護主義者です。彼らは、地球温暖化への一般的な執着が、今日私たちの惑星をすでに脅かしているはるかに深刻な危険から国民の注意をそらすのを恐れて見ています。例えば、環境に対する真に深刻な脅威は、世界の人口の制御されていない成長から来ています。しかし同時に、人間の人口の幸福の増加と出生率の低下の間には強い正の相関関係があります。

20世紀の後半、メキシコが豊かになると、メキシコの平均的な家族の人数は7人の子供から2.5人に減少しました。アイルランドやイタリアなどの繁栄しているヨーロッパ諸国の家族規模はさらに急速に減少しています。世界の人口を安定させ、地球を保護する最も簡単な方法は、すべての人を豊かにすることです。先進国は一般的に人口が安定しているか減少しており、環境に配慮する余裕があります。ベルトルト・ブレヒトが三文オペラでずっと前に述べたように、「最初のコムト・ダス・フレッセン、ダン・コムトは道徳的に死ぬ」、「最初に餌を与え、次に道徳が来る」。環境にとって最悪のことは、産業技術の助けを借りずに、成長し、飢え、貧しい人々が土地に住もうとしていることです。中国とインドの政府が地球温暖化との戦いよりも貧困との戦いを優先するとき、彼らは道徳的にも科学的にも正しいといえます。

科学と社会に関する異端の考え（３）

■以下で紹介するフリーマンの第３の異端に関しては，私は異なる見方をします．私の視点もここで簡単に述べておきます．

フリーマンの言うように，コンピュータが研究所に設置さる大型機械から，各家庭で子供も使う家畜化になったと同様な足跡をたどり，バイオテクノロジーは，モンサントなどのグローバル企業の独占ではなく，ユーザーフレンドリーな道具として生活に浸透し家畜化しするというバラ色の未来に，私はあえて異は唱えません．
しかし，そのような世界になる前に，人類が破滅に向かう多くの岐路があり，これらを正しく乗り越えてバラ色の未来に向かえるか私は懸念します．日本の食糧自給率は低下の一途です．TPP協定に合意し，主要農作物種子法（種子法）の「廃止法」が2017年4月に成立，2018年3月末に廃止されました．地域に適した優良種子は地元の地で長期間の品種改良で得た人類の宝です．しかし．グローバル企業に種子を握られ，肥料も農薬もセットで生産性優先の産業農法の道を進むことになります．これとバイオテクノロジーが手を結んでいるのが現状です．自然農法を守ろうとする良心的な農家も存続が難しく，グローバル企業による遺伝子組換え（GM）種子，F1種子などが支配する産業としての農業は誰のためにもならないはずです．

■バイオテクノロジーの家畜化
フリーマンダイソンの講演の続き
https://elementy.ru/video/20/Ereticheskie_mysli_o_nauke_i_obshchestve?
3番目の異端はバイオテクノロジーの家畜化です。

50年前、プリンストンで、数学者のジョン・フォン・ノイマンは、エンコードされた命令、つまりコンピューター・プログラムを実行する最初のコンピューターを私の目の前で開発構築しました。コンピューターはフォンノイマンによって発明されたのではありませんが、コンピュータープログラムを発明したのは彼でした。ENIACと呼ばれるこのコンピューターは、5年前にペンシルベニア大学ですでに稼働していました。しかし、パンチカードに書かれたソフトウェアと電子ハードウェアの組み合わせにより、1台のマシンで天気を予測し、生物集団の進化をシミュレートし、熱核爆弾を作成する可能性をテストすることができました。フォンノイマンは、彼の発明が世界を変えることを理解していました。彼は、そのような機械の次世代が科学、ビジネス、政府の仕事の基礎になることを理解していました。しかし、コンピューターは常に巨大で高価になるのが彼には見えました。彼は、コンピューターが研究所や大企業を運営する大規模なセンターに設置されると想像しました。彼は、コンピューターが非常に小型で安価になり、主婦がコンピューターを使用して所得税申告書を計算し、学童がコンピューターで宿題をすることになるとは予測できませんでした。彼は、コンピューターが最終的に3歳児向けのおもちゃになるまで飼いならされ家畜化するとは予見できませんでした。彼は、21世紀にコンピューターゲームが日常生活の基盤の1つになることを予見することすらできませんでした。コンピュータゲームのおかげで、私たちの孫は今、不治のコンピュータ中毒を持つ人々として成長しています。
良かれ悪しかれ、健康か不健康かにかかわらず、人とコンピュータは今では夫と妻よりも強く結ばれ、死がそれらを分かつ時まで強く結ばれています。

フリーマンダイソン． 2009年3月23日，モスクワ，FIAN

この話は、フォンノイマンコンピュータとコンピュータゲームのバイオテクノロジーへの進化と何の関係があるでしょうか？　次のとおりです。
特別なセンターに設置された巨大機械としてのコンピュータのフォン・ノイマンの見方は、モンサントのような大規模な製薬会社や農業会社専用の職業としての遺伝子工学の一般的な認識と共通しています。
モンサントはコンピューターを使って水素爆弾を開発したため、フォンノイマンの活動を警戒するのと同じように、モンサントは有毒な農薬遺伝子を食用作物に導入しているため、一般の人々はモンサントを警戒しています。
遺伝子工学が大企業が所有する特別なセンターの特権であり続ける限り、それは不人気で議論の余地のある活動形態であり続けるだろう。

しかし、私は、コンピュータ業界の足跡をたどるバイオテクノロジー産業の偉大な未来を予見します。巨大機械が家庭に入ったように。この方向への最初のステップは、ペットショップで遺伝子組み換え熱帯魚が、新しく非常に明るい色になったのを見ました。バイオテクノロジーの国内化に向けた次のステップは、それがユーザーフレンドリーになるときです。私は最近、世界中の生産者が彼らの労働の成果を披露する世界最大のショーであるフィラデルフィアフラワーショーである幸運な日を過ごしました。サンディエゴ爬虫類ショーにも参加しました。爬虫類を繁殖させる人。フィラデルフィアには最高級のバラと蘭があり、サンディエゴには最高級のトカゲとヘビがいます。孫を爬虫類展に連れて行く祖父母にとって、主な問題はヘビやトカゲを買わずにそこから抜け出すことです。これらすべてのバラと蘭、そしてこれらすべてのトカゲとヘビは、情熱的で経験豊富な花と爬虫類の栽培者の努力の成果です。プロとアマチュアの両方の何千人もの人々が、このビジネスや他のビジネスに人生を捧げています。しかし、これらの人々が遺伝子工学的手法を利用できるようになるとどうなるか想像してみてください。庭師のためのDIYキットがあり、遺伝子工学によって新しい種類の蘭やバラを開発します。鳩の飼育者、オウムの飼育者、トカゲやヘビのためのキットもあり、新しい品種を育てることができます。

遺伝子工学は、それが子供や主婦の手に渡ると、新しい生物の多様性に巨大な急増をもたらし、大企業によって植え込まれた単一文化に終止符を打つでしょう。新しい品種が普及し、単文化農業と工業化の欠陥のために消えたものに取って代わります。ゲノムの作成は、絵画や彫刻のように創造的な、個人的な事柄、新しい芸術形態になります。傑作となる新しい作品はほとんどありませんが、それらはすべてクリエイターに喜びをもたらし、私たちの動植物の多様性を高めます。

バイオテクノロジーの家畜化の最終段階は、幼稚園の年齢までの子供のためのコンピュータゲームと同様にバイオテクノロジーゲームの作成ですが、コンピュータ画面上の画像の代わりに子供たちが本物の種子や卵で遊ぶという点で異なります。これらのゲームをプレイすると、子供たちは生物の成長が何であるかを深く感じるでしょう。勝者は、種子が最も傷ついたサボテンを成長させるか、卵のハッチからかわいい恐竜を育てる子供かもしれません。このようなゲームでは、多くの困難と可能な危険に関連付けられます。私たちは、子供たちが遊ぶときに自分自身や他の人を危険にさらさないように、厳格なルールを開発する必要があります。

フリーマンダイソン． 2009年3月23日，モスクワ，FIAN

将来、家畜化バイオテクノロジーの普及を待っているなら、この点で5つの質問に答える必要があります。まず、この流入を止めることができますか?
第二に、それは停止する必要がありますか?第三に、それを止めることができない、または望ましくない場合、社会はそれをどのように制限すべきでしょうか?第四に、このような制限をどのように正確に交渉するのでしょうか?
第五に、彼らは国家レベルまたは国際レベルで実施されていますか?
コンピュータ技術とバイオテクノロジーのたとえは、これらすべての質問に対する答えを深く考えるのに役立つかもしれません。家畜化バイオテクノロジーを不正に使用するほとんどの人は、おそらくインターネット上にコンピュータウイルスを広める若いハッカーのように、ささいなものになるでしょう。一方、コンピュータウイルスとインフルエンザウイルスや免疫不全ウイルスなどの実ウイルスとの間には有意な差がある。子供たちにバラやヘビと遊ぶことを許可したとしても、ウイルスとのゲームをどのように防ぐかという問題に直面します。

これが私がバイオテクノロジーについて言いたかったことです。

証明可能性の限界（１）

https://elementy.ru/nauchno-populyarnaya_biblioteka/430319/Predely_dokazuemosti

グレゴリー・チェイチン
「科学の世界で」2006年第6号より

ゴットフリート・ライプニッツが、「形而上学の議論」(1686年)で、最初に表現した複雑さとランダム性の考え方と、現代の情報理論におけるそれらの確認から、数学が「すべての中で最も一般的な理論」を作ることは不可能です。

1956年、Scientific American誌は、Ernest NagelとJames R.Newmanによる記事「Gödel's Proof」を発表しました。2年後、その著者は同じ名前の本をリリースしました（まだ再版されています）。当時はまだ子供でしたが、ニューヨーク公立図書館で本を開いたときのスリルを今でも覚えています。

Kurt Gödelゲーデルが、数学を使って、数学自身の可能性の限界を示していることに私は驚いた。彼は、数学の完全な理論の存在についてDavid Hilbertヒルベルトが約1世紀前に行った命題に反論しました。数学的論理の規則を一貫して使用することにより、数学のすべての命題を導き出すことができる究極の公理系はあるか。ゲーデルは、この方法では証明できない真の数学的命題が存在することを示しました。彼の結論は、「この命題は誤りである」と「この命題は証明できない」という2つの自己関連のパラドックスに基づいています。（ゲーデルの不完全性定理の詳細については、 Scientific Americanを参照してください。）

有限のコンピュータプログラムを使用して、計算できない特定の厳密に定義された数Ωの存在は、真の命題を厳密に証明できる包括的な数学システムを作る希望を打ち砕きました。（画像：www.sciam.ru）

私は生涯を通じてゲーデルの証明を扱い、半世紀後、自分の本を出版しました。ある程度、これはNagelとNewmanネーゲルとニューマンの本の私のバージョンですが、ゲーデルの証明はその主要なテーマではありません。私の仕事は、情報を測定し、いくつかの数学的な事実は複雑すぎるために理論に詰め込むことができないことを証明することに基づいています。私のアプローチによると、ゲーデルは氷山の一角を発見しただけです。有限の公理体系からは証明できない正しい数学的定理が無数にあります。

複雑さと科学の法則

ライプツィヒに記念碑が建てられたゴットフリート・ライプニッツは、300年前にアルゴリズム情報の多くの特性を予見していました（www.uni-leipzig.deからの写真）

1686年、ライプニッツの哲学的エッセイDiscoursdemétaphysique形而上学の議論が出版されました。提起された問題は：特定の法則によって記述できる事実を、どの法則にも従わない事実からどのように区別するか？
彼のエッセイの4章で、ライプニッツは非常に単純で深遠な考えを表現しました。理論は、それが説明するデータよりも単純でなければなりません。そうでなければ、何も説明しません。科学法則の概念は、それが無制限のレベルの数学的複雑さを許容する場合、意味がなくなります。なぜなら、事実がどれほどランダムで乱雑であっても、法則を定式化することが常に可能だからです。逆に、一部のデータを説明する単一の法則が複雑すぎることが判明した場合、問題のデータは実際にはどの法則にも従いません。

アルゴリズム情報の現代の数学理論は、複雑さと単純さの概念の正確な定量的定義を与えることを可能にしました。従来の情報理論は、情報をエンコードするために必要なビット数によって情報量を定義します。たとえば、単純な「はい/いいえ」の回答をエンコードするには、1ビットが必要です。対照的に、アルゴリズム情報量は、データを生成するために必要なコンピュータプログラムの長さによって決定されます。プログラムを格納するために必要な最小ビット数は、アルゴリズムデータ情報量と呼ばれます。たとえば、自然数1，2，3，...　の無限のシリーズには、アルゴリズム情報がほとんど含まれていません。シリーズのすべての数は、短いコンピュータプログラムを使用して取得できます。計算を完了するのにかかる時間や、使用するメモリ量は関係ありません。プログラムの長さ（ビット単位）のみが重要です。（もちろん、アルゴリズム情報量の正確な値は、選択したプログラミング言語によって異なりますが、この記事で説明する問題については、これは関係ありません。）

別の例として、3.14159...に等しい数πを考えてみましょう。そのアルゴリズム情報量は少ない：すべての符号を順次計算するには、かなり短いアルゴリズムですむ。しかし、100万文字のみを含むランダムな数値、たとえば1.341285 ... 64は、はるかに大量のアルゴリズム情報によって特徴付けられます。そのような数字には定義構造がないため、それを書き込むために必要なプログラムの長さは、数字自体の長さに近くなります。

科学理論は、観察結果を予測するコンピュータプログラムのようなものです。有用な理論は、実験データの昇華です。いくつかの法則と方程式を使用して、さまざまな現象の全世界を記述することができます（画像：www.sciam.ru）

（...で置き換えたすべての数字をプログラムに含める必要があります。）このような数字の列を計算できる短いプログラムはありません。プログラムは圧縮できず冗長性もありません。最善の方法は、そのまま書き出すので、このような列は、還元不可能またはアルゴリズム的にランダムと呼ばれます。

上記は科学法則や事実との関連は如何でしょうか？
アイデアは、プログラマーの目を通して科学を見ることです。科学理論は、観察の結果すなわち実験データを予測するコンピュータプログラムのようなものです。この見方は、2つの基本原則に基づいています。最初の（Occam's razor「オッカムのかみそり」）によると、いくつかのデータを説明する2つの理論のうち、より単純なものが優先されるべきです。言い換えれば、最良の理論は、観測結果を計算するための最短のプログラムです。ライプニッツによって示された2番目の原則は、現代の用語では次のように言います。ビット単位のサイズが説明するデータ量に等しい理論は、完全にランダムなデータを記述できるため、役に立ちません。有用な理論は情報の削減を提供します：データを理解することは、それらを短いアルゴリズムの説明に圧縮することです。理論が単純であるほど、現象の本質をよりよく理解できます。

十分な理由
コンピュータプログラム登場の2世紀半前に生きていたライプニッツは、現代のアルゴリズム情報の概念に非常に近づいていました。ライプニッツは、すべてがバイナリコードの形式で表現できることを知っており、最初のコンピューティングデバイスの1つを作成しました。複雑さと単純さの概念を考慮して、彼はコンピューティングの巨大な可能性を認識していました。ライプニッツが知っていたすべての要素を組み合わせていたとしたら、彼はおそらく自分の哲学の基礎の一つである十分な理由の原理（起こったものにはすべて理由がある）を疑っていただろう。ポジションが真であれば、何らか真の理由があります。しかし、日常の喧騒の中で、信じられないことが起こります。理由が常にわかるとは限りません（おそらく、推論の連鎖が長すぎて混乱しているため）、神のみぞ知る。それですべてです！

数学者は、常にすべてを証明しようと努力しているため、ライプニッツの十分な理由の原理を無条件に受け入れることは間違いありません。たとえ定理の真実が明白であり、何百万もの例がそれを確認したとしても、数学者は依然として一般化された証明を必要とします。そして、アルゴリズム情報の概念は、知識の出所と限界についての哲学的推論に驚くべき貢献をすることができます。それは、いくつかの数学的事実が理由もなく真実であることを示しており、十分な理由の原理に異議を唱えています。以下に示すように、還元不可能な数学的事実は無数にあり、その真実はいかなる理論によっても説明ができません。それらは計算上還元できないだけでなく、論理的にも還元できません。これらの事実を「証明」する唯一の方法は、理由なしでそれらを公理として認識することです。

「公理」の概念は、論理的な還元不可能性と密接に関連しています。公理は、私たちが自明であると考え、かつ単純な原理から証明できない数学的提案です。すべての数学理論は、公理から導かれる定理で、これは、ユークリッドが2000年前に行ったことです。幾何学に関する彼の著書は数学的な表現の手本になりました。

古代ギリシャでは、他の方法ではなく、この方法で投票するように仲間の市民を説得するために、あなたの理由を述べる必要がありました。これがおそらく、ギリシャ人が数学的な提案は証明されるべきであり、経験的に推論されるべきではないという考えに至った理由です。（ギリシャ人とは異なり、メソポタミアとエジプトの初期の文明は実験に依存していたようです。）論理的推論の方法は非常に実り多いことが判明しました。現代の数学、数学的物理学、そしてコンピュータ構築技術を含むすべての精密科学は、現代の数学と論理機械の助けを借りて作られました。
私は2千年かけて構築した数学とすべての科学のアプローチが失敗だったと主張しているのでしょうか? ある意味そうです。私の反論例は、論理と推論の限界を示し、証明できない数学的規則の無限の流れの源を、私が「オメガ」Ωと呼ぶ数に担わせることです。

証明可能性の限界（２）

数値Ω
Ωの発見に向けた第一歩は、ライプニッツのエッセイが出版されてからちょうど250年後に出版された有名な記事でした。1936年、ロンドン数学協会プロシーディングスに、アラン・チューリングが単純なユニバーサルコンピューティングマシンの数学モデルを発表しました。さらに、彼はコンピュータ・プログラムが停止するか否かの判断が可能かどうか疑問を持ちました。これが有名な停止問題の定式化です。

数値Ωは、数学未知な部分を表しています。有限長のコンピュータプログラムは、この数の有限数のビットしか決定できません。後続のものはすべて、あいまいな暗闇の中に残ります（画像：www.sciam.ru）

オメガの中は暗闇！

もちろん、プログラムを実行すると、最終的には停止していることに気付く場合があります。基本的な問題は、プログラムが停止しない場合に、いつあきらめて停止するかを決定することです。多くの特殊なケースでは解決できますが、チューリングは一般的な解決策がないことを示しました。アルゴリズムも数学理論も、どのプログラムが停止し、どのプログラムが停止しないかを決定することはできません。（このチューリングの状態の近代的な証明は、サイエンティフィック・アメリカンのウェブサイト上で見つけられます。）ちなみに、私は現代的な意味で「プログラム」という言葉を使用していて、それはコンピュータプログラム自体の全体と、それが処理するデータを意味しています。

数値Ωに向けた次のステップは、考えられるすべてのプログラムのセットを検討することです。ランダムに選択されたプログラムが停止することはありますか？停止確率は Ωです。まず、プログラムをランダムに選択する方法を決めましょう。プログラムはビットの列であるため、後続の各ビットの値を選択するには、単にコイン投げをします。プログラムには何ビットを含める必要がありますか？コンピューターが次のビットを要求しなくなるまで、コイン投げをします。数値 Ωは、このようなランダムなビット列が導入されたときに、マシンが停止する確率です。（数値Ωはプログラミング言語の選択に依存しますが、この数の驚くべき特性はプログラム言語によりません。言語を選択すると、Ω はπや5のような特定の数値をとります。）

数値Ωは確率を表すため、ゼロより大きく、1より小さい必要があります。一部のプログラムは停止し、一部は停止しません。バイナリコードで記述されたΩの数は 0.1110100...のようになり、小数点以下のビットの列は還元不可能であり、それら自体も還元不可能な数学的事実であることがわかります（各事実は特定のビットが0か1かです）。

Ωの決定方法

数値Ωがどのように決定されるか理解するために、簡単な例を考えてみましょう。特定のコンピュータのすべてのプログラムのうち、停止するのは3つだけで、それぞれ110、11100、11110、これらは、それぞれ3、5、5ビットの長さであるとします。我々はランダムに連続する各ビットの値を決定するためにコインを投げ、それらの各々の確率は1/2です。各プログラムの確率は

$$1/2^{3}, 1/2^{5} , 1/2^{5}$$, です。次に、そのようなコンピューターのプログラムを停止する確率は、次の式によって決定されます。

$$Ω = 1/2^{3} + 1/2^{5} + 1/2^{5} = 0.001 + 0.00001 + 0.00001 = 0.00110$$

［訳注）1/2^{3}は10進数表現，0.001は2進数表現です．他も同様］

ここで、2進数は、3つの停止プログラムの1つをランダムに選択する確率を表します。プログラム110が停止するため、1100や1101など、110で始まる3ビットより長いプログラムは考慮しません。したがって、それぞれの合計に0.0001を追加しません。

このように開始にプログラム110が含まれる、長いプログラム（1100など）すべては，停止すると見なします。言い換えると、プログラムデータは停止した後、それ以上のビットを要求しないので自己制限的です。

数Ωは無限の合計として定義でき、長さがNビットの各プログラムはΩに$$1/2^{N}$$だけ寄与します。言い換えると、停止する各Nビットプログラムは、Ωのバイナリ表現のN番目のビットに1を追加します。停止したプログラムに対応するすべてのビットを合計することにより、Ωの正確な値を取得できます。このように数値Ωは√2やπのように正確に計算できるように見えますが、そうではありません。数値Ωは厳密に定義されており、非常に具体的な意味がありますが、実際には解決策がない停止の問題を解決するので、計算することはできません。具体的には、Ωの最初のN ビットを知ることで、最大N ビットの長さのプログラムが停止するかどうかを判断できます。つまり、ΩのNビットを見つけるには、少なくともN ビットの長さのプログラムが必要です。Ωで特定のビット数を定義できないことを示唆しているわけではないことに注意してください。たとえば、コンピュータプログラム　0、10、および110が停止することを知っていると、Ωの最初の3ビットまでと言えます。0.111の形式です。重要なのは、Ωの最初のNビットは、Nビットよりも大幅に短いプログラムを使用して計算できないということです。

最も重要なことは、 Ωが無限の数の還元不可能なビットを与えることです。有限の長さのプログラムは、何十億ビットも含まれていても、残りのビットを決定するのに役立ちません。残りのビットは無限にあります。言い換えれば、公理の有限集合に対して、この集合を使用して証明できない真実の数は無限です。

数値Ωが非圧縮であるのはなぜか？

数値が非圧縮であること、つまり、最初のNビットがNビットより短いプログラムで決定できないことを証明してみましょう。チューリングの停止問題に照らして、Ωの特性を分析しましょう。Nビット長までのプログラムは、それより短いプログラムでは問題を解決できないという命題を使用します。

Ωの非圧縮性を実証するために、最初のNビットを知ることで、Nビットまでの長さのプログラムのチューリング問題を解くことができることを示します。N ビット以下の長さのプログラムでは、Ωの最初の N ビットを計算できないことがわかります。(もしそのようなプログラムが存在するならば、その助けを借りて、最初のNビットΩを計算して、Nビットの長さのプログラムのチューリング問題を解くのに使うことができます。)

それでは、ΩのNビット知ることで、停止問題を解くことができ、Nビット長までのプログラムのうち、どのプログラムが停止するかを決定することができるかを見てみましょう。一歩一歩やっていきましょう。Ｋステップでは、各プログラムをＫ秒間実行し、停止したプログラムの数によって、停止する確率$$Ω_{K}$$を決定します。Ωが全てのプログラムを用いて算出されるのに対し、最終的に停止するプログラムのサブセットのみを用いて取得されるため、Ωよりも小さいが、Ｋが増加するにつれて、$$Ω_{K}$$の値はΩに近づき、$$Ω_{K}$$の最初のビットの多くがΩの対応するビットと等しくなります。 $$Ω_{K}$$とΩの最初のNビットが一致する場合、これは、Nビット長までのすべてのプログラムが考慮され、遅かれ早かれ停止することを意味します。

(他にもNビット長のプログラムがあったとしたら、後段Kで停止してしまい、$$Ω_{K}$$がΩよりも大きくなってしまうので、あり得ない)。

つまり、Ωの最初のNビットを知ることで、Nビットまでの長さのすべてのプログラムの停止問題を解くことができます。今、Ωの最初のNビットの長さがNビットよりも有意に短いプログラムで検出できるとしましょう。そして、$$Ω_{K}$$を計算するプログラムと組み合わせて、Ｎビット以下のプログラム長を求めることで、Ｎビットまでのすべてのプログラムの停止問題を解決することができるが、上記のように、そのようなプログラムは存在し得ない。したがって、Ωの最初のＮビットを計算するためには、ほぼＮビットの長さのプログラムが必要となる。これは、数Ωが非圧縮性であること、すなわち、適用できないことを認めれば十分である。(大きなNビットの場合、NビットからほぼNビットへの長さ短縮は重要ではありません)。

Ωという数が受け入れられないことから、包括的な数学的理論が存在し得ないことは、次のとおりである。無限のビット数Ωは、ビット列よりも単純な、いかなる原理からも導き出すことのできない数学的事実の無限集合（選択された各ビットが１であろうと0であろうと）である。このように、数学の複雑さは無限であるのに対し、「世界の万物」のいかなる個々の理論も有限の複雑さを特徴とし、その結果、数学的真理の世界の豊かさをすべてカバーすることはできない。これまで言われてきたことから証明に意味がないということではありませんし、私は決して論理的な推論に反対しているわけではありません。実際、説明不能な原理（公理）は、常に数学の一部である。Ωという数字を見ただけで、今まで考えられていたよりもはるかに多いことがわかります。

数学者は何でも証明しようとする必要はないのかもしれません。彼らは真実ではない事実については、新しい公理を追加するべきです。問題は、彼らが説明不能であることを理解し、証明できないことを認めることです。しかし、厳密な証明ではなく、常にもっともらしい推論を用い、新しい法則を導き出して新鮮な実験データを理解しようとする物理学者とは異なり、数学者は決してあきらめることはありません。数学は物理学に似ているのだろうか？

概要：還元不可能な複雑さ
＊ゲーデルは、数学にある不可避の不完全性を示しました。厳密に証明できない真の命題があります。特異数Ωはさらに大きな不完全性を明らかにし、有限の公理集合から推論できない定理が無数に存在することを証明しました。

＊Ωという数値は厳密に定義されており、非常に具体的な意味がありますが、有限のコンピュータプログラムを使用して計算することはできません。

＊数値Ωの特性の分析は、数学者が新しい公理を仮定する必要があることを示しています。これは、物理学者が実験の結果を一般化し、論理の助けを借りて証明できない基本的な法則を導き出すときに行うことです。

タイルとHeesh数

Haydar Nurligareev "Kvantik"＃ 10，2019より．Alexey Weiner画

正3角形，正4角形，正6角形は，それぞれ無限に広い平面をタイル張りできます（図１）．

１つのタイルを中心に置き，その周囲を同じタイルで［重ならず隙間も空けず］取り巻きます（レイヤー１）．
次のその周りを取り巻きます（レイヤー２）．何周取り巻けるかがHeesh数です．1周も取り負けなければHeesh数は０．
正3角形，正4角形，正5角形は，それぞれ平面のタイル張りができる（図１）ので，Heesh数は∞です．

（図１）

正5角形のタイルは平面タイル張りができません（図２）．正5角形のHeesh数は０です．

(図２）

ランダムに選択されたタイルにもHeesh数があり，通常は0または∞のいずれかです．
Heesh数が1，2，3，...の多角形はありますか？
1968年にハインリッヒヒーシュHeeshがこの問題を定式化する前は，Heesh数が0か∞以外の既知のタイルは1つしかありませんでした（図3）．このタイルは多角形でさえなく，1922年にWalterLitzmanの著書「AmusingandStrangeNumbersandShapes」に最初に登場しました．Heesh数は１です．

(図３）

Heesh自身が，Heesh数が1に等しい別のタイルを見つけました．これは，正方形，通常の三角形，および同じ三角形の半分で構成される5角形です（図4）．

(図４）

Anne Fontaineは，1991年にHeesh数が2のタイルの最初の例を示し，そのようなタイルを無数に作成しました．それらはすべて同じ正方形で構成されています．つまり，それらはポリオミノ図形です（図5）．

(図５）

同年，ロバート・アンマンは通常の６角形に2つの突起を追加し，同じ溝を3つ切り取り，Heesh数が3の図を作りました（図6）．アンマンのアイデアはシンプルでエレガントです．突起と同じ溝があるタイルを探す必要がありますが，その数は異なります．

(図６）

2001年にCasey Mannによって発見されたタイルの例を使用して，このアイデアがどのように機能するかを示しましょう．これは，4つの突起と5つの溝を持つ4セルの長方形の形をしています（図7）．そのようなタイルのHeesh数が大きすぎない理由を以下で述べましょう．タイルのコピーで完全に覆われた正方形Sを考えてみましょう．各溝は同じ突起でしか閉じることができないため，正方形Sの内側にある溝と突起の数は同じです．一方，正方形内の突起の数は、その面積（セル内）にほぼ等しくなります-タイルの各セルには突起が1つだけあり，溝の数はその面積の5/4にほぼ等しいためです-タイルでは，4つの突起ごとに5つの溝があるためです．しかし，大きな正方形では，これらの数を等しくすることはできません．

(図７）

サイズ2n × 2nの正方形 Sをタイルで完全に覆います。これには少なくとも$$2n･2n/4=n^{2}$$のタイルが必要です．それらには合計$$5n^{2}$$の溝があり，すべて埋める必要があります．一方，これらのスロットは$$2(n+4)×2(n+4)$$の正方形S 'の内側にあります（図8）．したがって，$$2(n+5)2(n+5)$$個以下のセルからの突起で埋められます．したがって，突起の最大値は$$2(n+5)2(n+5)= 4n^{2} + 40 n +100$$です．n > 100の場合，不等式$$n^{2}>40n+100$$は確実に満たされ，$$5n^{2}>4n^{2}+ 40n+100$$，つまり，突起よりも多くの溝があります．矛盾-すべてのスロットを埋めることはできません．したがって、このタイルのHeesh数は有限です．実際には3に等しい（図9）が，これまでのところ，コンピューター検索によってのみ証明することができます．

(図８）

フィギュアを研究するのに最も簡単なのは，ポリオミノ，ポリアマンド，ポリヘックスです．それらはまた，互いに隣接する同じ「セル」で構成されており，ポリアマンドではセルは通常の三角形で，ポリヘックスでは通常の六角形です．ポリオミノ，ポリアマンド，またはポリヘックスからタイリングするときは，「市松模様」の紙にレイアウトします（図1）．このような紙なら，コンピュータ検索を整理するのは簡単です．これが，Casey Mannケーシー・マンがHeesh数3のポリアモンドを見つけた方法です（図10）．

（図９）

また，ケーシー・マンはHeesh数が有限であるがゼロに等しくない，突起と溝を備えたいくつかの新しい一連のポリオミノとポリヘックスを何とか入手しました．これが，ケーシー・マンのポリヘックスで，5つの六角形（突起と溝付き）で構成されています-このHeesh数は5で（図11），今日人類に知られている最大の有限のHeesh数を持つタイルです．

(図10）

（図11）

証明可能性の限界（３）

Грегори Чейтин　科学の世界«В мире науки» №6, 2006

数学と物理学
数学と物理学は完全に異なるものと一般に思われています。物理学者は、実験と観察の結果に基づいて世界を説明します。ニュートンの法則であれ、量子物理学の標準モデルであれ、宇宙を支配する法則は、経験的に確立され、論理的に証明するのではなく、実験的にのみ検証できる公理と見なされなければなりません。数学者は、ある意味で世界から独立しています。彼らの結論や定理、たとえば整数や実数の性質は、私たちの周りの現実にまったく依存していません。数学的な真実はどの世界でも真実でなければなりません。それでも、類似点があります。物理学、そして一般的に自然科学では、科学者は観察結果を昇華させることによって法則を生みだします。それから、結果の法則から観察結果をどのように推定できるか示します。数学でも同様のことが起こります。数学者は計算実験の結果を公理に圧縮し、それらから定理を推定します。

ヒルベルトが正しければ、数学は閉じたシステムであり、新しいアイデアの場所はありません。数学のすべてを説明する静的な閉じた理論があり、それは独裁者のようになります。数学を発展させるには、創造のための新しいアイデアと範囲が必要です。いくつかの基本原理から考えられるすべての結果を推測するために最善を尽くすだけでは十分ではありません。個人的には、オープンシステムの方が好きで、厳格で権威のある考え方は好きではありません。

1956年にハンガリーから脱出し、その後イギリスで科学の哲学に従事したイムレ・ラカトスも、数学は物理学のようなものだと信じていました。彼は、実験が数学にとって異質ではないことを示すために、準経験性の概念を導入しました。たとえば、1742年に、Christian Goldbachゴールドバッハは、2を超える偶数は2つの素数の合計として表すことができるという経験的な結論に達しました。ゴールドバッハの推測は、10^{14}までの数で正常にテストされていますが、厳密には証明されていません。数学は準経験的であるように私には思えます。言い換えれば、それは物理学（本当に経験的です）とは異なりますが、おそらくほとんどの人が考えるほどではありません。

新しい公理
新しい公理を追加するという考えは、数学者にとって異質ではありません。たとえば、ユークリッドの5番目の仮定を考えてみましょう。直線の外側に選んだ任意の点を通る指定された直線に平行線な直線は、1つだけ描くことができます。何世紀にもわたって、幾何学は、ユークリッドの他の仮定に基づいてそれを証明しようと頭を悩ませてきましたが、失敗しました。最後に、数学者は、5番目の公理を置き換えて、曲線空間の非ユークリッド幾何学、特に球面形と鞍形を得ることができることに気づきました。他の例としては、論理学における除外平均の法則や集合論における選択の公理などがありますが、これはほとんどの数学者が進んで証拠として使っています。しかし、それを認めず、いわゆる直観主義的な論理や構成主義的な数学を探求する科学者がいます。数学はまだ絶対的な真理の一枚岩のシステムになっていないことが判明しました!

もう一つの非常に興味深い公理は、「PはNPと等しくない」という文で、PとNPは課題クラスの名称です。NPクラスには、提案された解を非常に迅速にチェックできる課題が含まれています。例えば、「数字8633の因数を求める」という問題では、提案された解「97と89」を簡単な掛け算ですぐに確認することができます。（「速い」には厳密な定義がありますが、ここでは詳細は重要ではありません）クラスPは、事前の想定がなくてもすぐに解ける課題です。誰も答えを知らない問題は、どんなNPクラスの問題でもすぐに解けるかどうかということです。(数8633の因数を素早く求める方法はないのでしょうか？)つまり、クラスPとNPは同じなのでしょうか？これは、クレイ数学研究所のミレニアム賞問題リストにある項目の一つで、それぞれ100万ドルの賞が与えられています。

ほとんどのコンピュータ科学者は、PがNPと同等ではないと確信しているが、厳密な証拠はまだ見つかっていない。このような仮定の真偽は多くの経験的証拠に支えられているが、それを前提にして公理として受け入れられるのだろうか。それこそコンピュータの専門家がやっていることです。確かに、広く使われているいくつかの暗号システムの信頼性については疑問が残ります。
ハッキングできないと考えられていますが、誰もそれを証明することはできません。

実験数学
物理学と数学の交差点で、実験的な数学が生まれました。多数の例のコンピュータ処理による新しい数学の法則の発見です。このアプローチは、短い証明ほどの説得力がありませんが、長くて複雑な証明よりも説得力があり、場合によっては非常に受け入れられます。この概念は、過去に、ヒューリスティックスと数学の準経験的性質の強力な支持者であるジョージ・ポリヤとラカトスの両方によって支持されてきました。これは、2002年に発行されたStephen Wolfram（Stephen by Wolfram）の著書「NewKind of Science»（A the New Kind of Science）」に適用され、正当化されています。

大規模なコンピューティングは非常に説得力がありますが、それは証明の必要性を排除しますか？はいでもありいいえでもある。計算と証拠は、さまざまな種類の証拠を提供します。特に重要なケースでは、証明に誤りが含まれている可能性があり、コンピュータの計算は、残念ながら、想定されている結論を反証するような反例を見つける直前に停止されることがあるので、両方とも必要だと考えます。

議論された問題は非常に興味深いものですが、解決にはほど遠い。ゲーデルの証明に関する記事が発表されてから50年が経過しましたが、2006年の今でも、その不完全性がどれほど深刻なのか、それが原因で数学的方法を修正すべきかどうかはまだわかりません。おそらく50年以内に答えが見つかるでしょう。

追加の文献：

・Leibnizの章については、Men ofMathematicsを参照してください。ETベル。再発行します。タッチストーン、1986年。
・数学の準経験的見解のより完全な議論については、数学の哲学の新しい方向性を参照してください。ThomasTymoczkoによって編集されました。プリンストン大学出版局、1998年。
・ゲーデルの証明。改訂版。E.ネーゲル、JRニューマン、DRホフスタッター。ニューヨーク大学出版局、2002年。
・実験による数学：21世紀のもっともらしい推論。J.BorweinとD.Bailey。AK Peters、2004年。
・ゲーデルの哲学と彼の作品とライプニッツの作品との関係については、不完全性：カートゲーデルの証明と逆説を参照してください。レベッカゴールドスタイン。WWノートン2005。
・メタ数学！：オメガの探求。グレゴリィ・チェイチン。パンテオンブックス、2005年。
・数学者の経歴は、スコットランドのセントアンドリュース大学の数学統計学部のウェブサイトで入手できます。
・グレゴリィ・チェイチンのホームページ。

最も公正な選挙

アイク・アコピアン АЙК АКОПЯН • МАТЕМАТИКА • 21 КОММЕНТАРИЙ

https://elementy.ru/problems/2390/Samye_spravedlivye_vybory

さまざまな形式の選挙がいたるところで実施されています。選挙結果が有権者の意思をあまり反映しない場合もあれば、大多数の意志を反映する場合もあります。選挙を数学の観点から検討し、このプロセスに2つの自然で明白な特性を要求すると、予期せぬ結論が得られることを示します。しかし、最初に、選挙とは何を意味するのか、そして選挙の正義とは何かを形式化しておきましょう。

複数の候補者が選挙に参加し、各有権者がこれらの候補者の特定の評価、つまり、候補者を有権者の個人的な好みの降順で並べたリストを持っていると仮定します。ワシントン、フランクリン、ジェファーソンの3人の候補者がいる例を考えてみましょう（ただし、以下のすべての推論は、もっと多くの候補者でも有効です）。その場合、ある有権者の評価は次のようです。「フランクリン>ワシントン≥ジェファーソン」。すべての候補者を優先度の高い順に1行に並べることができるこのような評価は、推移的と呼ばれます。

私たちが慣れ親しんでいる選挙では、各有権者が候補者の1人だけに投票を行う、たとえば、ある有権者がジェファーソンに投票したい場合、これは彼の評価が「ジェファーソン>フランクリン=ワシントン」のようになることを意味します。

選挙制度は、「大多数の意見」を反映した評価を出力するべく、すべての投票を評価する方法であると理解します。もう少し数学的な言葉で言えば、選挙はすべての有権者の好みを入力として受け、これらのデータに基づいて集合の好みの評価を出力する機能です。

このようなシステムの特殊なケースは、ロシア（日本でも）で使われている各候補者の総投票数です。別の特殊はケースは、例えば、候補者のランダムな最終選択で、これは投票者の意見がまったく考慮に入れられません。

選挙制度が公正と呼ばれるために必要な特性は何でしょうか？
まず、すべての有権者が2番目の候補よりも1番目の候補を好む場合、最終結果はこれを反映する必要がある、つまり、最終選挙手順は、1番目の候補が2番目の候補よりも高くなるのが論理的です。このプロパティは、全会一致と呼ばれます。第二に、これも非常に論理的ですが、最終評価における2人の候補者の相対位置は、有権者の好みの評価による相互位置にのみ依存し、他の候補者の位置に依存するべきではありません。これは、選挙結果で、一方の候補者が他方の候補者を追い抜いたことが判明した場合、3番目の候補者が投票に追加（または除外）された場合もまったく同じ結果になることを意味します。2番目のプロパティは、無関係な選択肢からの独立（またはバイナリ独立）と呼ばれます。

これらの2つの特性を満たす選挙は、公正であると見なされます。

課題
これらの定義を満たす唯一の公正な選挙制度は独裁である。つまり選挙の結果が一人の人の好みによって完全に決定され（そして、他の人の好みはまったく考慮されない）システムであることを証明しなさい。

ヒント1
結果は3人以上でも当てはまりますが、3人の候補者による選挙で行うのが最も簡単です。

ヒント2
最初はすべての有権者が個人的な評価でリンカーンを最初に置き、フランクリンを最後に置いたとしましょう。そのような評価で最終的な選挙結果はどのようになりますか？有権者がリンカーンとフランクリンの場所を次々と変え始めたら、選挙結果はどのように変わるでしょうか？

解答
有権者が6人しかいないとします。まず、候補者が2人だけの場合にどうなるかを考えてみましょう。ワシントン（W）をジェファーソン（J）と競争させ、フランクリン（F）をしばらく忘れます。

すべての有権者がジェファーソンよりもワシントンを好む場合（つまり、評価がW≥Jの場合）、全会一致規則に従った公正な選挙の最終手順は、W≥Jになることに注意してください。この平凡な状況を図1に示します。.逆に、すべての有権者がワシントンよりもジェファーソンを好む場合（すべてJ≥W）、明らかに、ジェファーソンもワシントンを打ち負かす必要があります。

図1.

それでは、ダイナミクスで何が起こるかを見てみましょう。誰もがワシントンに賛成している状況から始めて、有権者が順番に個人の評価を変更し始めたらどうなるかを見てみましょう。最終結果はどのように変わりますか？
最初はワシントンが勝つことは明らかであり、最終的には、すべての有権者が好みを変えると、ジェファーソンが勝たなければなりません。最終手順で結果が逆転する、ある有権者i（私たちの場合は、1≤ i≤6）があります。私たちの場合では、i=4（図2）。

図2.

フランクリンを思い出して、図2の左側のケース（主要な候補者のランキングでW≥Jの場合）を考えてみましょう。フランクリンは、i<4の場合投票の真ん中に位置を占め、i≥4の場合に最下位になるとしましょう（図3）。選挙結果はどうなりますか？フランクリンが入る前に、ワシントンがジェファーソンを倒したことを思い出してください。私たちの選挙は公正なので、この結果は、バイナリの独立性のために変わるべきではありません。また、すべての有権者についてJ≥Fであることがわかります。全会一致プロパティから、最終結果もJ≥Fである必要があります。したがって、最終手順はW≥J≥Fとなります。

図3.

もし4番目の有権者がWとJを入れ替える決定した場合、この有権者はペア（W,J）のキーであり、個々の評価の相対位置（J,F）と(W,F)は変わらないので、最終結果はJ≥W≥Fに変わります（図4）。主要な有権者の個人的な評価は、最終的な評価と一致することに注意してください。

図4.

このキー有権者がどれほど強力であるかを理解するために、他の有権者の票を変えることによって選挙の結果に影響を与えようとしましょう。たとえば、フランクリンとジェファーソンの個人的な評価の場所を交換します(図5)．結果は変わりましたか?

図5.

個々の評価におけるWとFの相対的な位置は変更されていないため、W≥Fは最終手順に残ります（無関係な選択肢からの独立性のため）。また、JとWの相対位置は変更されていません。つまり、最終手順ではJ≥Wになります。結果はまったく変更されず、ジェファーソンが常に勝ちます。そしてこれは、4番目の有権者が、彼の個人的な評価でジェファーソンを1位にした唯一の人であるということです。キー有権者の個人的な評価がJ≥Fである限り、この問題に関する他の有権者の意見は最終的な投票結果に考慮されないことがわかります。

では、何を証明したのでしょうか。候補者のペア（この場合はワシントンとジェファーソン）について、他の人の意見に関係なく、投票結果で3番目の候補者の位置を明確に決定するキー有権者がいることを示しました。

しかし、候補者の任意のペアのキー有権者の存在から、独裁者の存在自体は導かれません。理論的には、このキー有権者は候補者のペアごとに異なる可能性があるためです。それにもかかわらず、キーは常に同じ有権者であることが判明しました（正確には、彼が実際に評価におけるFの位置を指示しているためです）。これは、上記と同様の推論を実行することで簡単に示すことができます。このキー有権者による評価が最終的な選挙結果を完全に決定することが判明しました。

あとがき
上で議論された問題は長い間古典的な結果でした。これは、1951年の論文で、アメリカの数学者で経済学者のケネス・アローによって最初に定式化され、証明されました。今では、民主主義の不可能性またはアローのパラドックスについてのアローの定理と呼ばれています。
一般的なケースの完全な証明は、J.Geanakoplos，2005にあります。
Arrowの不可能性定理の3つの簡単な証明https://link.springer.com/article/10.1007/s00199-004-0556-7

この定理は実際には次のように述べています。人々の好みが独立していて一過性であり（評価を表す）、選挙が全会一致と、無関係な選択肢からの独立の原則を尊重する場合、他の評価に関係なく、個人の評価が結果を完全に決定する独裁者が常に自動的に存在します。これらの条件を少し緩和しても、たとえば、独裁者ではないにしても、選挙の最終結果における任意の2人の候補者の相対的な位置を常に決定する「拒否」する権利を持つ人が常に存在することを示すことができます。

定理が成立するために必要な有権者の選好要件は、通常のアプローチと呼ばれます。このアプローチでは、個人の好みは量的ではなく質的に考慮されます。つまり、いくつかの選択肢は他の選択肢よりも優れている、悪い、または同等である可能性がありますが、ある選択肢が別の選択肢よりどれだけ優れているかを判断する手段はありません。

これらの条件はすべて、非常に論理的ですが、実際には常に満たされているわけではありません。たとえば、基本的に選挙の特定の客観性の要件であるバイナリ独立（無関係な選択肢からの独立）の原則（候補は互いにのみ比較され、他のコンテキストでは比較されません）は、非常に簡単に破られます。100人の有権者がいて、その個人的な評価が次のように分布している状況を想像してみてください。25人の有権者の評価はW> J> F、40人の有権者の評価はJ> F> W、残りの35人の有権者の評価はF> W> Jです。いずれにせよ、選択はバイナリ独立の原則に違反します（W、J、またはFが勝つ場合を個別に検討してこれを示すようにしてください）。

この例は、一般に、候補者が3人以上いる場合、大多数の「意見」が互いに矛盾する可能性があることも示しています。公的選択の理論におけるこの現象は、コンドルセパラドックスまたは公的選択の循環的性質と呼ばれます。これは、社会全体の観点から（つまり、「選挙」の結果を合計した後）、次の逆説的な状況が発生するためです。W> J> F> W> ...、にもかかわらず各有権者の個々の好みは一時的なものであること。

このパラドックスは、2段階の投票システムで重要です。最も明白な例は、米国大統領選挙です。そこでは、各党（共和党と民主党）の候補者が最初にいわゆるプライマリーを通過します。そこでは、各党から1人の候補者が選ばれ、主要な大統領選挙で党を代表します。

今年の民主党の初等協会では、主な戦いはバーニーサンダースとジョーバイデンの間でした。ジョー・バイデンが予備選挙で勝利し、選挙で民主党の候補者になります。彼は現職の共和党大統領ドナルド・トランプと競争するでしょう..。コンドルセのパラドックスはアメリカ社会の好みで起こっているのかもしれません：トランプ>バイデン>サンダース>トランプ> ...そして、バイデンは世間の心にあまりないので、すべての選挙の結果は選挙の第一段階（プライマリー）の結果に依存することがわかりますトランプよりも優先され（サンダースよりも優先されますが）、サンダースはトランプよりも優先されます（バイデンよりは優先されませんが）。そして、この状況では、大統領選挙に参加したバイデンは（プライマリーではサンダースよりも好ましいため）、トランプに負けます。したがって、ある意味で、民主党が選挙に勝つチャンスがあるにもかかわらず、あまり好まれない民主党の候補者を指名することは「より有益」です。しかし、そのような場合の世論を評価する問題は、社会学の分野に属します。

ーーーーーーー
（参考）11月4日現在

ロシアの科学啓蒙雑誌・新聞

ロシアの義務教育は6歳から17歳までの11年間の一貫教育です．この年代の生徒が読む科学啓蒙雑誌も各種あり，いろいろ工夫されており面白く自分で深く学ぶこともできます．

●「科学の世界で」

月刊誌、ロシア版サイエンティフィックアメリカン。2003年から発行されています（それ以前は1983年から1993年に発行されました）。

●知識は力

1926年1月にティーンエイジャー向けの月刊ポピュラーサイエンス&アドベンチャーマガジンとして創刊し、困難な発展の道を歩んできました。戦後、「冒険」の要素を失くし、「働く若者に人気の科学雑誌」になりました。60年代の初めにかけて、人道的知識の割合が増加しました。
「科学と社会の架け橋」として、あらゆる年齢や専門分野の人々との交流を重視しています。

●量子っ子　クバンチク

2012年から発行されている、あらゆる年齢の好奇心旺盛な学童のための月刊イラストマガジン。数学、物理学、言語学、生物学、化学の面白い話や問題があります。

●量子　クバント

学童と学生のためのソビエトとロシアの人気のある科学、物理学と数学のジャーナル。1970年から発行されています。アカデミアンP.L. Kapitsaは、「KVANT」の創刊という提案をしました。アカデミアのIKKikoinがジャーナルの最初の編集長になり、アカデミックのA.N.Kolmogorovが最初の副編集長になりました。

高校生とその教師、および中学生を対象としています。
「Quant」セクションのタスクは、通常、6年生から学者まで、誰にとっても興味深いものです。

●トリニティオプションサイエンス

「TrV-Science」はロシアの人気科学新聞です。2008年4月1日から2週間ごとに発行されています。

●コマーサントサイエンス

出版社「Kommersant」の情報速報。Kommersant新聞と一緒に配布されます。2011年から（断続的に）公開されています。

●シュレーディンガーの猫

2014年10月から発行されている月刊「科学祭」。

●科学と生活

ロシアとソビエトのイラスト科学の月刊誌。1890年に創刊され、1934年に更新されました。

●サイエンスファーストハンド

科学の学際的なジャーナル。2004年以来、世界最大の科学センターの1つであるNovosibirskAcademgorodokで発行されています。ロシア語の印刷版は年に6回発行されます。Science First Hand （英語の電子版）は年に3回発行されます。

●ポピュラー機械

2002年から公開されています。1902年以来発行されているアメリカの人気科学雑誌PopularMechanicsのロシア版。

●可能性：化学。生物学。薬

学生と教師のための月刊教育雑誌。2005年から生産。

●可能性：数学。物理。コンピュータサイエンス

学生と教師のための月刊教育雑誌。シリーズ「数学。物理。情報」は2005年から発行されています。

●自然

ロシア科学アカデミーの月刊自然科学ジャーナル。1912年1月から公開されています。

●化学と生命

月刊科学誌。1965年に「Chemistry＆Life」という名前で創刊されました。1997年以来、「化学と生命-XXIセンチュリー」というタイトルで出版されています。

●科学技術の最新情報（販売終了）
雑誌「現代の大都市のハイテクライフスタイルについて、革新と科学的発見について」、アメリカの雑誌ポピュラーサイエンスのロシア版。2002年から2009年に終了。
●エコロジーとライフ
エコロジーアンドライフマガジン（販売終了）
月刊の科学教育誌。1996〜2012年に公開されました。

正4面体の２分割

Q．正4面体を，平面を切り口に，合同な２つの図形に分割すること．

この問題を考えるのに，まず，正四面体の対称性から説明を始めましょう．図を見てください．正4面体の回転対称軸を調べると，3回回転対称軸が，各頂点にあります．2回回転対称軸は直角に対向している稜の中点を通ります．正4面体の場合は対称心もあるので，2回回転対称軸は，4回回反軸の性質もありますが，今，この問題で必要なのは2回回転対称軸の性質で十分です．鏡映対称面もありますが，この問題では関係ないので略します．

正4面体を，平面で切って，2つの合同な部分に2分割するのですが，対称性を考慮すると，2回回転軸を含む平面で2分割すると，合同な２つの部分に分割できることが理解できるでしょう．例えば，以下の2つの解答例を思いつきます．ついでに，Q．それぞれの例の場合に，その切り口の形はどのような図形でしょうか？という問題も追加します．

解答例１（指で挟んでいるのが，2回軸の正4面体への入口と出口）

解答例２（指で挟んでいるのが，2回軸の正4面体への入口と出口）

■さて私が言いたいのは，「解答例はそれだけでしょうか？」ということです．

実はそのような解は無数にあります．一つの直線を含む平面は無数にありますから，どれも解になります．下図（正4面体の1つの2回回転軸の真上から眺めた図）をご覧ください．黒い線が表現する平面は解答例１，赤い線が表現する平面は解答例２の場合です．2回回転軸を含む平面は無数に作れるので，例えば緑の線も解答例になります．

私がこの問題を作ったのは，対称性の概念は，物事を見通し良く整理して理解するのに役立つことを示したかったからです．

コーシー-リーマンの方程式

コーシー (1789-1857)、リーマン (1826-1866)

これも19世紀の数学で重要な発見の一つです．「数学が社会（科学技術も含まれる）とどのように係わるかを知る」のが私たちの目的で，数学の勉強会とは別物です．そのような視点で見ても，複素関数論は19世紀に確立した重要な数学分野で，広い応用をもちます．そこで，この数学概念の意義を理解できることを目指します．

私たちの使う関数論は19世紀の数学で確立しました．先に，Fourierフーリエ級数（変換）,Laplaceラプラス変換を取り上げましたが，もう少しだけ複素関数に言及する必要があります．今回は，コーシー-リーマンの方程式を取り上げます．

複素平面（$$x$$軸が実数，$$y$$軸が虚数）に定義域$$D$$をもつ複素関数$$f(z)$$を考えましょう．この関数は領域$$D$$で正則（微分可能）であるとします．微分可能な関数ですから，この領域$$D$$で連続であることはいうまでもありません．

ある点$$z∈D$$での微分は，$$ｘ$$軸に沿って（$$x$$で偏微分）行う微分係数と，$$y$$軸に沿って（$$y$$で偏微分）行う微分係数がありますが，複素関数$$f(z)$$が正則であるとすると，どちらの微分係数も一致し，点$$z$$での微分係数は確定しなければなりません．
関数$$f(z)$$が$$D$$で正則とは，定義域$$D$$のすべての点$$z∈D$$で微分係数が確定する（微分可能）ことです．

関数$$f(z)$$に領域$$D$$での正則性を要請します．定義域内のすべての$$z=x+iy$$に対して，

$$\displaystyle \frac{df(z)}{dz}=\displaystyle \frac{ \partial u}{ \partial x}+i\displaystyle \frac{ \partial v}{ \partial x}=\displaystyle \frac{ \partial u}{ \partial (iy)}+i\displaystyle \frac{ \partial v}{ \partial (iy)}$$が成立します．$$x$$で偏微分しても，$$iy$$で偏微分しても等しい．
実部と虚部をそれぞれ等しいとおいて，
$$\displaystyle \frac{ \partial u}{ \partial x}=\displaystyle \frac{ \partial v}{ \partial y},　 \displaystyle \frac{ \partial v}{ \partial x}=-\displaystyle \frac{ \partial u}{ \partial y}$$が得られます．これをコーシー-リーマンの方程式（条件）と言います．

逆に，コーシー-リーマンの方程式が成立するなら，複素関数f(z)は正則であることが証明できます．
従って，複素関数が正則であるための必要十分条件は，コーシー-リーマンの方程式が成立することです．

■閉曲線$$C$$とその内部で，$$f(x)$$が正則であれば，$$\displaystyle \int_{C}^{}f(z)dz=0$$　←コーシーの積分定理

（コーシーの積分定理の証明）
$$\displaystyle \int_{C}^{}f(z)dz=\displaystyle \int_{C}^{}\left[ u(x,y)+iv(x,y) \right] \left( dx+idy \right) =\displaystyle \int_{C}^{}\left( udx-vdy \right) +i\displaystyle \int_{C}^{}\left( udy+vdx \right) =$$

$$ =\displaystyle \int_{D}^{}\left( \displaystyle \frac{ \partial v}{ \partial x}+\displaystyle \frac{ \partial u}{ \partial y} \right) dxdy+i\displaystyle \int_{D}^{}\left( \displaystyle \frac{ \partial u}{ \partial x}-\displaystyle \frac{ \partial v}{ \partial y} \right) dxdy=0 $$

（参考）
$$\displaystyle \int_{C}^{}\displaystyle \frac{f(z)}{z-z_{0 } }dz=f(z_{0})\displaystyle \int_{\mit\Gamma }^{}\displaystyle \frac{dz}{z-z_{0 } }=2\pi if(z_{0})$$

■正則な複素関数$$f(x,y)＝u(x,y)+iv(x,y)$$はその実数部$$u(x,y)$$あるいは虚数部$$v(x,y)$$のどちらか一方を知れば他方は決まってしまう．

例えば，虚数部$$v(x,y)$$を知り，コーシー-リーマンの方程式を使うと，実数部$$u(x,y)$$を求めることができる．

例えば，以下のyoutube動画には，このような問題の演習があります．

■応用について

実数部を知って虚数部を求める例として，私のやった実験の話をします．

複素屈折率を　$$ \tilde{n}(\omega )=n(\omega )+iK(\omega ) $$と書きます．$$ω$$は光の周波数で実数．複素屈折率$$ \tilde{n}(\omega ) $$は，複素数値をとり，実数部$$n(ω)$$と虚数部$$K(ω)$$があります．
実数部の$$n(ω)$$は反射率に，虚数部の$$K(ω)$$は吸収率に関係があります．

反射率を測定し$$n(ω)$$を知り，$$K(ω)$$を計算し吸収率を求めます．このとき，実数部$$n(ω)$$と虚数部$$K(ω)$$を結ぶのは，クラマース-クローニッヒ変換です．$$ω$$は複素数ではないので，コーシー-リーマンの方程式にははなりませんが，$$ \displaystyle \frac{\tilde{n}(\omega )}{z-\omega } $$は実軸より上側で正則（$$ω$$は極）なので，コーシーの積分定理を使うと，クラマース-クローニッヒ変換を導くことができます．

$$0=\displaystyle \int_{}^{}\displaystyle \frac{n(z)}{z-\omega }dz+i\displaystyle \int_{}^{}\displaystyle \frac{K(z)}{z-\omega }dz=P\displaystyle \int_{- \infty }^{+ \infty }\displaystyle \frac{n(z)}{z-\omega }dz-i\pi n(\omega )+iP\displaystyle \int_{- \infty }^{+ \infty }\displaystyle \frac{K(z)}{z-\omega }dz+\pi K(\omega )$$
$$\left\{ \begin{array}{@{\,} c @{\, } }
-\displaystyle \frac{1}{\pi }\displaystyle \int_{- \infty }^{+ \infty }\displaystyle \frac{n(z)}{Z-\omega }=K(\omega ) \\[0mm]
\displaystyle \frac{1}{\pi }\displaystyle \int_{- \infty }^{+ \infty }\displaystyle \frac{K(\omega )}{z-\omega }=n(\omega )
\end{array} \right. $$

ラプラス変換

■Fourier変換
フーリエ解析のときに触れた事柄をまとめておきます：

$$F(\nu )=\displaystyle \int_{- \infty }^{+ \infty }f(t)e^{-2\pi i\nu t}dt$$
$$f(t)=\displaystyle \int_{- \infty }^{+ \infty }F(\nu )e^{2\pi i\nu t}d\nu $$

関数$$f(t)$$のフーリエ変換を$$F(ν)$$といい，$$F(ν)$$から$$f(t)$$に戻る変換をフーリエ逆変換といいます．

変数$$t，ν$$は実数です．積$$ν･t$$は無次元なので，変数$$t$$の空間と，変数$$ν$$の空間は，互いに双対な空間になります．フーリエ変換は，互いに双対な空間同士を結びつける線形写像です．フーリエ変換を用いると，同じ現象を，異なる世界（空間）で見ることができ，現象の理解に威力を発揮します．

適用例
事例１．$$t$$を時間とすると，$$ν$$は周波数ですから，フーリエ変換は，時間空間から，周波数空間への線形写像になります．
事例２．もし，$$t$$を実空間とすると，$$ν$$は逆空間になります．

■ラプラス変換

ラプラス変換はフーリエ変換とよく似ています．歴史的にはフーリエ変換より先だったのですが，フーリエ変換の紹介を先にしてしまいました．

$$ {\displaystyle F(s)=\int _{0}^{\infty }f(t)\mathrm {e} ^{-st}\mathrm {d} t} $$

$$ {\displaystyle f(t)=\lim _{p\to \infty }{\frac {1}{2\pi i } }\int _{c-ip}^{c+ip}F(s)\mathrm {e} ^{st}\,\mathrm {d} s} $$

（第一の式）$$F(s)$$を$$f(t)$$のラプラス変換といいます．関数$$f(t)$$は実数 $$t ≥ 0$$ について定義されており，積分範囲は$$0≦t<+∞$$になっています．ここで， $$s$$ は複素数（2 つの実数 $$σ, ω$$ を用いて $$s = σ + iω$$ と書ける）．もし,$$s$$を純虚数$$s=iω$$とすれば，フーリエ変換になります．
（第二の式）$$c > 0$$ として，関数 $$F(s)$$ から元の関数 $$f (t)$$ を計算することを逆ラプラス変換といいます．複素平面$$s$$での積分をするので難しそうですが，複素関数論の定理が役に立ちます．複素平面内の積分経路を閉曲線となるように広げ，内部にある特異点の留数の総和を求めれば計算できます．

ラプラス変換は，$$0≦t<+∞の$$実数の空間から複素平面$$s$$への線形写像です．
なぜ，このような面倒な変換が必要なのでしょうか．それは，微分方程式を解くのに有用です．ラプラスは，1812年の著書で，微分方程式の解法に使っています．

ラプラス変換，逆変換を，次のように簡略表記することがあります．
$$ {\displaystyle F(s)={\mathcal {L } }[f(t)]} $$
$$ {\displaystyle f(t)={\mathcal {L } }^{-1}[F(s)]} $$

■ラプラス（1749-1827），フーリエ（1768-1830），ヘビサイド（1850-1925）
フーリエはラプラスより20歳若いのですが，どちらもナポレオンに仕えて，大臣や知事を任命され政治の場でも活躍したところが似ています．
ラプラス変換は，後の演算子法（ヘビサイド）や複素関数論とのつながりがありますので，ここでまとめて紹介しましょう．

ヘビサイド（英国人）は，ラプラスよりも100年後の時代の電気技師ですが，微分方程式の解法に演算子法という素晴らしく便利な方法を開発（1880-1887）しました．これは，微分方程式を代数のように簡単に解く手法です．しかし，その解法の導出過程は数学的厳密さを欠いていたため，当時の数学者から非難されました．ヘビサイドは，「数学は実験的科学であり，定義が先にくるわけではない」，「私は消化のプロセスを知らないからといって食事をしないわけではない」と言ったそうです（wikiより引用）．

その後，ヘビサイドの演算子法は，ラプラス変換により理論づけがなされました．今日，私たちが，微分方程式を解くのに，ラプラス変換をして，周波数空間に移り，そこで簡単な代数計算をして，それをラプラス逆変換して，私たちの世界の時間の関数の解を得るという手順を使います．

ヘビサイドはユニークな天才です．1884年に，当時は20の式から構成されていたマクスウェル方程式を，今日知られる4つのベクトル形式の式に直したというのもとても興味深い逸話です．

X線に対する物質の屈折率は１より小さい

真空の屈折率は１です．例えば，ダイヤモンドの屈折率は2.42で，物質の屈折率は，波長589.3 nm（振動数$$5×10^{14}$$Hz）の光（ナトリウムD線589.0nmと589.6nmの平均値）で測定するのが慣例です．屈折率nの物質に入ると光の位相速度は真空中の光速の1/nで伝播します．屈折率が１より小さいならば真空中の光速より速くなると心配する必要はありません．ここでいう光速は位相速度のことです．物質（ダイヤモンドでも）の屈折率は，X線領域では，1よりわずかに小さく$$n=1-δ，δ～10^{-6}$$になります．何故でしょうか？

■X線，可視光，電波などは，電磁波（振動電場）の仲間です．可視光に比べてX線の周波数は$$10^4$$倍も大きく，30keVのX線の周波数は$$10^{19}$$Hzです．
ダイヤモンドに限らず，物質は原子が集まって構成されており，物質が振動電場に置かれると，物質中に種々の振動する双極子が生じ，これらが物質の置かれた振動電場と同じ周波数で振動し，同じ周波数の電磁波を放射します．これが物質による電磁波の散乱現象です．
物質中に生じる分子分極やイオン分極による双極子の固有振動は赤外や可視光の領域にあります．これらの種々の分極は赤外や可視光領域の誘電率（振動電場に対する応答）に寄与しますが，振動電場の周波数が高くなると，これらの振動は追従できずに次々に落ちていきます．特に，X線の周波数域になると，原子内に束縛されている電子の振動による「電子分極」だけが追従できます．

さて，電子分極だけに注目しましょう．原子内のいろいろな軌道に束縛された電子の固有振動数は10^15Hz程度（この振動数の付近では共鳴が起こります）です．

$$n^{2}=\varepsilon =1-4\pi \left( \displaystyle \frac{q^{2 } }{m\omega ^{2 } } \right) \displaystyle \sum_{j=1}^{N}\displaystyle \frac{\omega ^{2 } }{\omega ^{2}-\omega _{0j}^{2}-i\mit\Gamma _{j}\omega } \cong \left\{ \begin{array}{@{\,} cc @{\, } }
1+4\pi \displaystyle \sum_{j=1}^{N}\left( \displaystyle \frac{q^{2 } }{m\omega ^{2}_{0j } } \right) & for \omega <<\omega _{0} \\[0mm]
1-4\pi N\left( \displaystyle \frac{q^{2 } }{m\omega ^{2 } } \right) & for \omega _{0}<<\omega
\end{array} \right. $$

以下の式を見ると，（１）電子の固有振動数よりはるかに小さい周波数の可視光の領域では，屈折率は１よりわずかに大きく，（２）束縛電子の固有振動数より遥かに大きい周波数のX線領域では屈折率は１よりわずかに小さいことがわかります．

結局，電子分極だけが振動に追従できるX線領域での物質の屈折率nは，１よりごくわずか小さいことになります．

■応用
X線に対する物質の屈折率は１より小さいので，空気中（≒真空中）から，物質表面へ臨界角以内ですれすれに入射するX線ビームは，表面で全反射します．X線を曲げるレンズの光学系は作れませんが，全反射を使うと，適当な形状のミラーを組み合わせてX線ビームを集光させる光学系を作ったり，光ファイバーのようなX線導波路を作ったりすることが可能になります．

全反射するX線は，スキンデプスと呼ばれる物質の極表面しか侵入しませんから，極表面の分析に利用できます．
物質の深さ方向に種々の屈折率層の積層モデルを作り，フレネル反射率をシミュレーションできます．これは，種々の入射角で反射率の測定を行い，物質表面の深さ方向の情報を得る反射率測定実験で利用されています．

コロナウイルスとの生活（感染を止める，検査）

セルゲイ・ネテソフ, "SCIENCEFIRSTHAND" №3（88）,2020
ノボシビルスク州立大学自然科学部，バイオナノテクノロジー，微生物学およびウイルス学研究所長

前半の章（以下の３つ）は略
■先駆病原体SARS-COV-2，■コウモリから人間へ，■人への道，

■エピデミックを止める方法
病原体の最も重要な特徴は、感染の基本再生産数（R0）で、まだ感染していない集団で，1人の患者から感染する平均人数のことです。通常のインフルエンザウイルスのR0は0 1.4まで、そして新しいコロナウイルスで、おそらく3から5までです。この指標は徐々に変わりますが、感染拡大は国によって定義がわずかに異なるためです。

ドイツ連邦共和国は、第１波の流行克服では最も成功した国の1つです。2020年5月には、ドイツの研究によると，患者の隔離も、マスクなしの社会的距離も、学校の閉鎖も、R0減衰に効果がありませんで。最大の効果は、大規模なイベントの禁止、過酷な導入、罰金、マスク体制、および集中的なコミュニケーションが行われている組織の閉鎖から得られました。これらの措置の結果、実効再生産数は1を下回り、流行は収まり始めました。

ドイツでの抗流行対策の早期導入と広範なテストは、ウイルスの実効再生産数を迅速に低下させ、多くの死亡を防ぐのに役立ちました。
（National Geographic、2020年5月1日）

同様の状況がオーストリア、ノルウェー、イタリアおよび他のヨーロッパ諸国で観察されました。そこでも、学校の閉鎖は効果がないことが判明し（学童は教育機関の外で積極的にコミュニケーションをとっています）、流行を止めるための有効な介入は、マスク着用、集団行動停止、社会的距離を置く、患者の隔離でした。同時に、そのような措置がすぐに導入されず、完全ではなかったスウェーデンでは、主に高齢者の死亡率はヨーロッパで最も高いものの1つでした。そして、イラン、イラク、サウジアラビアでは、検疫措置が弱まった後、病的状態の第二の波が始まりました。

バルセロナ（スペイン）の診療所にいるCOVID-19の患者。
写真：フランシスコアビアホスピタルクリニックデバルセロナ

抗流行対策の有効性の最も顕著な例は、サンフランシスコとニューヨークという2つの最大のアメリカの都市の行政の行動で見られました。サンフランシスコ政府（カリフォルニア州知事および市長）は3月16日、州が自己隔離、マスクの着用、事業活動のほぼ完全な停止などの厳しい検疫措置を課していると発表しました。ニューヨークでは、同じことがわずか6日後に行われました。その結果、米国で最大の都市で2か月以内に約2万人が死亡しましたが、2番目に人口密度が高く13番目に人口の多いサンフランシスコでは35人しか死亡していません。これは、抗ウイルス予防策の採用が少し遅れただけでも、その結果がどれほど広範囲に及ぶ可能性があるかを明確に示しています。

ニューヨーク市では、コロナウイルスと診断された死亡患者の77％が糖尿病、肺疾患、高血圧や喘息などの心血管疾患も患っており、死亡者の1.5％のみが比較的健康でした。参考までに、米国では約66％の人が太りすぎまたは非常に肥満であり、コロナウイルス感染による死亡のリスクが高くなっています。また、ニューヨーク市の成人人口の約半数が高血圧です。

■Covidかどうか？
コロナウイルスはRNA含有ウイルスに属し、リボ核酸自体に加えて、脂質とウイルス特異的タンパク質も含み、さまざまな方法で診断できます。第一に、患者の鼻咽頭からのサンプル中のウイルス自体の成分の存在による：RNA（逆転写PCR、RT-PCR）およびウイルス抗原-表面Sタンパク質（免疫学的測定法）。

SARS-CoV-2ウイルス粒子では、スパイクSタンパク質がはっきりと見え、そこからウイルスの名前が付けられました。透過電子顕微鏡法。画像：NIAID

別の方法は、体の免疫の構成要素、例えば、特定の抗体ができているかを評価することです。これを行うには、症状の発症と同時に現れる、患者の血液サンプル中のIgMクラスの「一次」抗体の含有量が測定されます。過去に疾患に罹ったかは、「二次」IgG抗体の存在によって識別できます。これらのテストは、酵素免疫測定法を使用して実行されます。

2020年8月20日の時点で、157の異なる検査システムがロシアで登録されました。126はコロナウイルスに対する抗体を検出し、31はウイルスRNAです。しかし、なぜ、そのような多数のシステムで、診断の信頼性を論じるのでしょうか？

第一に、ウイルスRNAの試験システムを使用する場合、鼻咽頭から材料を正しく採取することが非常に重要です。さらに、ウイルスRNAの分離と保存のために、特別なサンプラーを必要とする特別な液体にすばやく入れる必要があります。第二に、今日、テストが実行される多くの研究所がありますが、テスト手順のすべての段階で正しく実行されるわけではありません。

患者の鼻咽頭からCOVID-19テスト用の生物学的材料を採取します。写真：フランシスコアビアホスピタルクリニックデバルセロナ

第三に、上気道からRNAを検出する可能性は、鼻咽頭からのウイルスの「逃避」のために、病気の後期に減少します。最後に、RT-PCRテストでは、患者が回復した後でも、長期間にわたって陽性の結果が得られることがよくあります。その理由は次のとおりと考えられます。体は生きているウイルスではなく、ウイルスRNAの断片を循環し続けます。

ウイルス抗原の信頼性の高いテストシステムが開発され、最近医療現場に導入されましたが、状況によってはウイルスRNAの結果が陰性または不明確な場合に正確な診断を行うことができるため、患者の正確な診断に有用であることがすでに示されています。

実験室培養におけるSARS-CoV-2ウイルス粒子（青い物体）。この株は、米国の患者から分離されています。走査型電子顕微鏡写真：NIAID

IgG抗体の検査システムに関しては、ARVIを引き起こす一般的なコロナウイルスに感染していて、検査システム自体が十分に特異的でなかった場合、検査システムの中には偽陽性を示すものもあります。その結果、私たちの人口のほとんどがSARS-CoV-2に対する抗体を持っているように見えるかもしれませんが、最も特異性の高い検査のデータから判断すると、この割合はまだ10〜12％を超えていません。

一方、IgG抗体を持っていなくても、ウイルスに対する免疫防御が欠如しているわけではありません。個々の保護を評価するための追加の検査は、免疫細胞が活性化され、サイトカイン誘導が検出される特異的Ｔ細胞免疫の有無の判定であります。しかし、このような診断や抗体解析の複雑さやコストは比類のないものであるため、限られた規模の科学研究でのみ使用されます。

ほとんどの場合（症例の40〜90％）、COVID-19は無症候性または軽度であるが、中程度の重症度の疾患では、体温が上昇し、ODSの1つ以上の臨床徴候を示しています：乾いた咳、急速または困難な呼吸、味覚と嗅覚の喪失、血中酸素飽和度の低下。重いフォームが特徴です：38℃以上の体温、脱力感、食欲不振、下痢、筋肉痛、肺炎の記録された徴候。感染してから重篤な症状が現れるまでには、実際には約2週間かかります。（ニューイングランド医学ジャーナル2020年5月16日号）

問題は、今日のロシアでは、外国で行われているように、実際の患者からの対照サンプルとCOVID-19に感染していない人々からの陰性血清の広範なパネルを使用して実施された、すでに適用されている診断法の特異性と感度の比較分析のためのデータをパブリックドメインで持っていないことです。そして、そのようなデータは、特定の診断ツールの購入を決定する際に、ロシア保健省と地域の保健当局の両方で役立ちます。質が大切で安ければ良いというのもではないからです。

感染性物質による人間の感染の実験は、世界のほぼすべての国で犯罪です。したがって、ヒトに対するウイルスの感染量、すなわち、疾患を引き起こすために体内に侵入しなければならないウイルス粒子の数はまだ決定されていません。病人が単位時間あたりにどれだけの量のウイルスを環境に放出するか、テーブルやボタンなどの家庭用品の表面に接触しているときに指に付着するウイルスの粒子の数は不明です。しかし一方で、ウイルスが環境内でどれだけ迅速に、どのような条件下で不活性化されるかがわかりました。このための実験は、倫理基準に違反しませんので。

たとえば、デンマークの科学者は、感染者が多く、これらの人々が病気の最初の症状を感じる前でさえ、下水でコロナウイルスを特定しました。同時に、人をテストするときと実質的に同じテストが下水域のウイルスを検出するために使用されます。しかし、それらはサンプル中のウイルスRNAの存在を明らかにするだけであり、「生きている」ウイルス粒子ではないことを常に覚えておく必要があります。したがって、研究者は、細胞培養物中の生きたウイルスの実際の検出とPCR試験の結果を時々検証する必要があります。

以下続く･････

■治療薬は？，■ワクチン接種を受けるか？否か？，■氷山の隠れた部分

コロナウイルスとの生活(先駆病原体ウイルス）

«НАУКА ИЗ ПЕРВЫХ РУК» №3, 2020
Sergey Viktorovich Netesov
- Corresponding Member of the Russian Academy of Sciences, Doctor of Biological Sciences, Head of the Laboratory of Bionanotechnology, Microbiology and Virology, Faculty of Natural Sciences, Novosibirsk State University.

公式の統計から判断すると、パンデミックの最初の6か月におけるSARS-CoV-2コロナウイルスの犠牲者の数は、2009年から2011年の1年半の悪名高い豚インフルエンザの流行を越えました。さまざまな推定によれば、7〜14億件の症例のうち、15万人から50万人が死亡しました。COVID-19については、9月の公式症例数は3,300万人を超え、死亡者数は100万人を超えました。[訳者注）11月26日現在，症例数6,030万人，死亡者数142万人]

SARS-CoV-2は、人類にとっては困難な問題であることが判明しました。一方、COVID-19の大流行では、当初から前例のない急速な証拠の積み上げとこの問題に関する科学出版物数の増加を惹き起こしている（2020年6月の初めまでに、その数は20万を超えました）、WHOは150以上の候補ワクチンを登録しました。一方で、この病気の原因物質に対して本当に効果的な薬はまだ1つも現れておらず、SARS-CoV-2と身体との相互作用のメカニズム、および広範な病理学的症状の出現はまだ研究中です。

過去数か月にわたって、専門家は新しいコロナウイルス感染について多くの有用な情報を学んだだけでなく、私たちが慣れ親しんでいる急性呼吸器ウイルス感染症（ARVI）についても、たとえば、以前はあまり注目されていなかった無症候性のよく知られた現象など、違った見方になりました。現在、このような現象はコロナウイルスだけでなく固有のものであることが明らかになりました。

私たちがパンデミックとの戦いから学び、どのように進むかを考える時が来ました。いずれにせよ、人類の最優先事項は、この病気が日常生活と経済に与える影響を最小限に抑えるために可能な限りのことをすることです。

■先駆病原体SARS-COV-2
今世紀の初めまで、コロナウイルスは通常の季節的なSARSの原因になっていましたが、2000年代になり状況は変わり始めました。非定型肺炎の原因物質であるSARS-CoV-1は、2002年11月に中国の広東省で最初に「特定」されました。それはコウモリのコロナウイルスに由来し、その中間の宿主は明らかにヒマラヤのコガネムシ（ウィーバーラ）だったようです。これらの動物は、コーヒー［世界で最も高価なコーヒーの品種の一つであるliuvak kopiになる］の果実を食べ、肉が美味しく、毛皮も美しい。その内臓や体の部分は、中国の民間療法で使用されています。そのため、かつては中国など東南アジア諸国で集中的に飼育されていました。コウモリから、そして次に人間にもたらされたウイルスの偶発的な適応は、2003年に世界37カ国で8000件以上の感染と800人近くの死をもたらしました。

SARS-CoV-2が属するOrthocoronavirinaeサブファミリーは、広範なCoronaviridaeファミリーのメンバーです（Science First Hand No. 3（88）、2020）。

SARS-CoV-2が属するOrthocoronavirinaeサブファミリーは、広範なCoronaviridaeファミリーのメンバーです。それはいくつかの亜属を含む4つの属で構成されています。これらのうち、SARS-CoV-2、SARS-CoV-1に加えて、重度の急性呼吸症候群（SARS）を引き起こす2002- 2003年のSARSウイルス、および中東を引き起こす肺肺炎の原因物質であるMERS-CoVは、人間にとって特に危険です。呼吸器症候群。他のヒトコロナウイルスは、肺および中等度のARVIの原因物質です

MERS-CoVは、2012年にサウジアラビアで最初に特定されました。これは、エジプトのロゼットコウモリコロナウイルスに由来し、中間宿主である片こぶのラクダを通過した後、ヒトに感染し始めました。この病原体は8年間（2012年9月から2020年1月まで）、実験で確認された感染症例を2.5千件以上引き起こし、そのうち約800件（35％以上！）が致命的でした。ラクダと接触した人のほとんどが病気になりましたが、人から人への感染の事例も知られています。韓国でのこの病気の発生は広く知られ、1人の患者から150人以上が連続して感染しました。

■コウモリから人間へ
コロナウイルスは1960年代半ばに発見されました。その名前（ラテンのコロナから'太陽コロナ'）は、英国のウイルス学者で顕微鏡学者のジューンアルメイダによって電子顕微鏡で最初に見られたウイルスの形状に由来します。「クラウン」は、表面タンパク質、スパイクによって形成され、膜貫通受容体（アンギオテンシン変換酵素2（ACE2、またはACE2）の分子）に結合することにより、ウイルスが細胞に浸透することを保証します。

同じ1960年代以来、長い間人間に感染してきた一般的なコロナウイルスが徐々にわかってきました。それらのうちの2つはアルファコロナウイルスNL63と229Eです。さらに2つ-ベータコロナウイルスHKU1およびOC43。後者には、SARS-CoV- 1SARSウイルスと現在のSARS-CoV-2が含まれます。

過去10年間、中国とアメリカの科学者たちは、コロナウイルスを含む数十種類のカブトコウモリウイルスのゲノムを詳細に研究してきたので、かなり早く新しい病原体を特定することができました。2020年1月10日までに、中国疾病管理予防センター（北京）の専門家は、患者から得られたSARS-CoV-2の9つの分離株のゲノムを解読した。新型ウイルスは、SARS-CoV-1（約79％の類似度）とMERS-CoV（約50％の類似度）の両方とは遺伝的に異なることが判明した。その違いは非常に深刻です。

SARS-CoV-2を分離する（ "Science First Hand" No. 3（88）、2020）
米国で最初の症例からSARS-CoV-2（球状ウイルス粒子、青）を分離します。粒子の内側に黒い点が表示されます-ウイルスゲノムの断面。透過電子顕微鏡法。写真：疾病管理センター

ただし、SARS-CoV-2はスナッフボックスの悪魔［訳注）キノコ］ではありません。その特徴づけられた分離株はすべて、2018年に中国東部で発見された2つの既知のコウモリコロナウイルスに遺伝的に近く（88％以上の類似性）、このウイルスのヒト細胞との結合部位は、SARSウイルスのものと類似していました。少し後に、RatG13株がコウモリで同定されました。これは、新しい病原体にさらに近く、96％以上の類似性があります。

SARS-CoV-2の最初の8つの完全なゲノムは、互いに99.98％以上同一であり、ヒト集団における最近の出現を示しています。同時に、コウモリがこのウイルスにとって「孵卵器インキュベーター」であったかどうかはまだ決定されていません。このウイルスの起源については多くの仮説が提唱されていますが、最も現実的なのは、ウイルスが人間にとって病原性になり、中間宿主、おそらくパンゴリン（アルマジロの遠い「相対的」）の生物を「通過」するというものです。

SARS-CoV-2の人工的な起源をめぐる論争については、この理論に賛成して、「ソファーに座った」ウイルス学者は、2015年のNature誌の記事に記載されているハイブリッドを指摘しています。これはコロナウイルスの自然な進化を模倣する実験に言及しています。この研究の主な目的は、SARS-CoV-1ウイルスのスパイクタンパク質をコードするわずかに修飾された遺伝子が挿入されたコウモリコロナウイルスの1つです。主な変更は、科学者がそのゲノムにヒトACE2受容体への結合に関与する領域を挿入したという事実にありました。

北京の動物園のコウモリ（Science First Hand No. 3（88）、2020）
コウモリは、人間にとって潜在的に危険な多くのウイルスのキャリアですが、コウモリ自体は病気にならず、ウイルス感染で死亡することもありません。写真は北京（PRC）の動物園のコウモリです。写真：愚かなウサギ、トリックスは子供向けです

この組換えウイルスは、ノースカロライナ大学（米国）で構築され、ウーハンウイルス学研究所（PRC）でテストされました。そのようなキメラの特徴は細胞培養でテストされ、それが人間にとって潜在的に危険であることが判明しました。ちなみに、Gain-of-Functionという英語名のこのような実験は、過去10年間で2回禁止され、世界の科学界によって2回許可されています。

ただし、このハイブリッドウイルスは、パンデミックなSARS-CoV-2とは大きく異なります。遺伝的類似性は87％以下です。別の「陰謀」シナリオによると、別のコウモリウイルスであるRatG13が誤ってウーハンの中心から放出される可能性があり、SARS-CoV-2の類似性ははるかに高くなっています。

陰謀研究は魅力的で非常に伝染性の高い活動ですが、新しい感染性物質の起源と拡散に関する有能な科学的調査とは異なり、病原体との戦いには役立ちません。

たとえば、人間と接触して生活しているさまざまな動物のSARS-CoV-2に対する感度をテストすると、犬、豚、鶏、アヒルの生物では再現性が非常に低いが、フェレットや猫ではよく再現され、呼吸管によって、そして感染した動物から人間へ。これはデンマークや他のいくつかの国のミンク農場で起こり、ミンクは人間からのウイルスにしか感染できませんでした。したがって、コロナウイルス感染の可能性のある貯蔵所として、野生動物と家畜をさらに研究する必要があります。

人への道
ウイルスは、人間と家畜のすべての感染症の70％以上を引き起こします。工業用抗ウイルスワクチンがなければ、人間の寿命ははるかに短くなり、人類が動物性食品を提供することは非常に困難になります。

数十年前、いわゆる新規または新たな感染症はすべて、野生動物から飼いならされた動物、そして人間への「飛躍」による動物病原体の適応進化の結果であることが示されました。人間と動物のウイルスゲノムの分子遺伝学的研究によって証明されるように、これは、はしか、おたふく風邪、風疹、C型肝炎、HIVの古くから知られているウイルスに関しても当てはまります。したがって、戦略的な目的のために、人間の病気を防ぐために、最も危険な病気に対して動物にワクチンを接種するだけでなく、野生動物の病原体の全範囲を特定するためのモニタリング研究を実施し、その後、人間の新たな感染を防ぐための対策を開発する必要があります。

家畜の産業繁殖において、野生の親類の病原体から動物を保護することも同様に重要です。同時に、閉鎖状態でのみ家畜を飼育する必要があり、生きた動物を販売するための「野生の」市場は禁止されるべきです。現代の養鶏場では、空気がフィルターを通って鳥に入り、労働者は完全に着替え、飼料は消毒されます。中国の同じ手のひらのシベットも、コウモリがそこに行けないように、閉鎖された保育園でのみ飼育されています。

コロナウイルスとの生活（治療薬，ワクチン）

Сергей Нетесов，«Наука из первых рук» № 3(88), 2020　より

■治療薬はどうか？
残念ながら、2020年1月以降、治療用抗体を含む新薬の模索が続いていますが、COVID-19に対してウイルス特異的効果が証明された有効な薬剤はまだありません。

米国食品医薬品局（FDA）で事前承認を受けている製品は、RNAポリメラーゼのウイルス酵素阻害剤であるレムデシビルのみです。エボラの治療のために開発されたこともありましたが、その効果はあまり期待できませんでした。

SARS-CoV-2による肺炎患者の第1陣が、早くも2020年2月に中国で正式に服用を開始したが、その時点では効果が証明されていません。しかし、後にアメリカで行われた2つの臨床試験では、重症期間が15日から11日に短縮され、致死率が20～25％低下するという結果が出ています。しかし、他の2つの臨床試験では、これらの結果は確認されていません。レムデシビルは現在、米国ではCOVID-19治療薬として承認されていますが、ロシアでは登録されていません。

他の薬の有効性も研究されています。インターロイキン-6（IL-6）阻害剤は、免疫反応や急性炎症反応を調整する低分子で、患者の免疫系が「制御不能」のときに、いわゆるサイトカインの嵐を防ぐのに役立ちます。そのような薬には、モノクローナル抗体に基づくトシリズマブが挙げられる。イタリアの医師によると、それは肺炎を予防することで病気の経過を改善し、病気の初期段階で有効です。

SARS-CoV-2ウイルスプロテアーゼの主酵素と潜在的阻害剤の組み合わせの分子モデル．X線構造解析による．
写真：ツヴィティリオ・クロメナーレ
左：SARS-CoV-2ウイルス粒子．芸術的な構成．写真：NIAID

英国の医師によると、抗炎症作用と免疫抑制作用を持つ合成グルココルチコステロイドであり、古くから知られているはるかに安価な薬剤であるデキサメタゾンは、サイトカインの嵐を抑制し、重篤な疾患の死亡率を低下させることができます。英国では、この薬は非常にうまく機能しましたが、COVID-19の軽度の症例では、その使用は禁じられています。

抗マラリア薬ヒドロキシクロロキンと抗生物質アジスロマイシンの組み合わせも、ウイルスによる肺炎の治療にテストされました。前者は肺の炎症反応を抑え、後者は付着細菌感染を予防すると考えられていました。しかし、この組み合わせの第一成分の効果のなさを指摘する多くの出版物があり，テストに終止符が打たれました。さらに、ヒドロキシクロロキンとアジスロマイシンは、それ自体で心血管合併症による死亡のリスクを高める可能性があり、このような問題を抱える人々は特にコロナウイルスに対して脆弱です。

免疫不全状態の重症インフルエンザの治療薬として、2015年に日本でアビガンという名前で登録されたファビピラビルをベースにした薬剤に大きな期待が寄せられました（催奇形性効果のため、妊婦には使用できません）。この物質は、レムデシビルのようなRNAポリメラーゼの阻害剤であり、ヒトウイルスではなくRNA含有ウイルス酵素のみに作用する。2020年2月に中国でCOVID-19患者を対象とした臨床試験が開始され、3月に薬効が発表されましたが、その後の説明はありませんでした。

ファビピラビル/アビガンのライセンスは2019年に失効しており、2020年夏にはロシアのメーカー3社からコロナウイルス感染症治療薬として位置づけられている「コロナビル」「アビファビル」「アレプリビル」の3つのファビピラビル系薬剤が国内向けに発売されています。9月には、これらの処方薬がロシアの最低生活レベルに匹敵する価格で小売販売されました。

その有効性については、最近日本でコロナウイルス患者を対象としたファビピラビルの臨床試験の第3フェーズが完了し、平均的な重症度で、摂取により病気の期間が14.7日から11.9日に短縮されることが示されました。これらのデータは、ロシアのパイロット研究の結果と一致しています。中程度および軽度の疾患では、ファビピラビルは「臨床的回復期間を約3.5日短縮し」、鼻腔からのウイルス排除を加速し1～3日短縮することができます。全治療には、体重に応じて40錠1.5～2パックが必要です。

赤外線非接触温度計を使用して人々の健康状態をチェックします。インド。写真：グウィディオンM.ウィリアムズ

■ワクチン接種を受けるや否や？
2020年8月末現在、世界で約160の候補ワクチンが開発されており、そのうち約50は臨床試験のさまざまな段階にあり、そのうち9つはフェーズ３にあります。この段階では、通常、多施設で慎重に管理された研究で、安全性を判断し、実際の流行における薬剤の予防効果を評価するために、大規模な患者グループ（少なくとも1〜3千人）の参加を得て実施されます。

同時に、ロシアと中国の2つのワクチンは、フェーズ３の臨床試験が終了するまで、国レベルでの限定的な使用が許可されました。これは前例のないケースです。

まず、これは、コロナウイルススパイクタンパク質の遺伝子が挿入されたゲノムに第5血清型のアデノウイルスをベースにした中国企業CanSinoBiologicsのワクチンです。フェーズ３の臨床試験は、サウジアラビアの保健省と協議して、サウジアラビアの何万人ものボランティアを対象に8月に開始されました。しかし、早くも2020年6月25日、中国国防省は、一部の軍隊の医師にワクチン接種のために、このワクチンを1年間使用することを正式に承認しました。これが任意接種なのか強制接種なのかは不明です。今日、このワクチンが、アデノウイルスワクチンの中で最も「先進的」なワクチンです。

2つ目の「冬ツバメ」は、M.V.ロマノソフ記念・モスクワ疫学・微生物学研究センターとモスクワ疫学・微生物学研究センターが共同開発した2成分ワクチン「スプートニクV」です。このワクチンは、モスクワの疫学・微生物学研究センター（Gamaleya Research Center for Epidemiology and Microbiology）とロシア国防省の48中央研究所が共同で開発しました。また、コロナウイルス蛋白質遺伝子Ｓを組み込んだアデノウイルス（第５、２６回ヒト血清型）をベースにするこのような方法論に基づいて、この研究センターでは、これまでに我が国のエキゾチックエボラおよび中東呼吸器症候群に対するワクチン候補が開発され、フェーズ1およびフェーズ2の臨床試験に合格しています。

このような組換えワクチンはすべて、比較的無害なウイルスをベースにしており、これらのウイルスは、人体内での繁殖能力を弱める（減衰させる）か、あるいは奪うかのいずれかです。実際、このようなウイルスは、ＤＮＡやＲＮＡワクチンの場合のように、病原体の遺伝物質を細胞に送達し、特異的な免疫応答を誘発するためのベクターとなります。このようなウイルスが細胞に入ると、そのDNAが放出されて細胞核に入り、そこでメッセンジャーRNAが合成され、コロナウイルスの表面Sタンパク質を含むウイルスタンパク質が組み立てられます。これらのタンパク質が細胞膜に組み込まれると、細胞は免疫原性になります。つまり、体内で特定の免疫を形成することができます。

スプートニク Vワクチンの特定のアデノウイルスベースに関しては、これらのウイルスが人体での増殖能力をどのように失ったかについての情報はありません。

「スプートニクV」の正式登録は、2020年8月11日に発表されました。これは、臨床試験のフェーズIIIの開始とフェーズ１〜２の結果の公開のほぼ1か月前です。その後、この登録は条件付きで、2021年1月1日まで有効であることが発表され、最終的な登録は、最大4万人が参加することになっているテストの完了後に行われます。

マスクの少女（「サイエンス・ファースト・ハンド」第3号（88）、2020年）写真：ニックアンダーソン

2020年の夏に、コロナウイルススパイクタンパク質をコードするメッセンジャーRNAに基づくさらに2つのワクチンがフェーズ３の臨床試験用にリリースされました。1つは米国の革新的なバイオテクノロジー企業であるModerna社が、もう1つはドイツのBionTech社、米国のPfizer社、中国のFOSUN Pharma社が共同で開発しているワクチン、そして中国で国有製薬企業の参加を得て開発された不活化ウイルスSARS-CoV-2をベースにした3種類のワクチンです。

これとは別に、Sタンパク質遺伝子が挿入された組換えワクチンも注目に値します。これもアデノウイルスに基づいて作成されていますが、ヒトではなくチンパンジーに基づいています。オックスフォード大学（英国）で、英スウェーデンの製薬大手AstraZenecaと共同で開発されました。ステージ３の臨床試験は、8月初旬にブラジル、米国、南アフリカで開始されました。これらのテストのいくつかはロシアで実施される予定との情報があります。

なぜ開発者の中には、組み換えワクチンの基礎としてサルアデノウイルスや希少なヒトアデノウイルスの血清型を選ぶ人がいるのでしょうか？実は、最近の研究によると、かなりの割合の人がすでに共通の血清型5に対する抗体を持っている可能性があるということです。例えば、このような抗体は、がん研究プロジェクトの一環として中国で調査された人の67％、中国の青海省の子供の75％以上、米軍の新兵の4分の1にも見られた。また、このアデノウイルスをベースにしたワクチンが、以前に接触したことのある人にどの程度効果があるかは不明です。

ワクチン製造の世界的リーダーの育成に関連し最低限の宣伝と「PR」をしているのは：米国に本社を置く国際的なバイオ製薬企業メルク・シャープ＆ドーム、英国グラクソ・スミスクラインに本社を置く国際的な企業、免疫生物学的製剤の多国籍メーカーであるフランスのサノフィ・パスツール

ロシアでは、さらにいくつかの候補ワクチンが様々な拠点で開発されており、その中には、Rospotrebnadzorの国立ウイルス学・バイオテクノロジー研究センター「Vector」（Koltsovo、ノボシビルスク州）、A.A. Smorodintsevインフルエンザ研究所（サンクトペテルブルグ）、M.P. Chumakov免疫生物学的製剤の研究開発のための連邦研究センター（モスクワ）などが含まれています。また、ロシアでワクチンを生産するために、外国の開発者との交渉が進んでいます。ということで、2021年には選択肢が出てきます。

■ワクチンの2ショット
「スプートニクV」の使用説明書には、臨床試験のフェーズ１の結果から、発生頻度の点で有害事象（AE）は、頻繁かつ非常に頻繁に発生していると見なせます。ワクチン接種後、次のAEが記録されました：一般的な障害と反応注射部位：高体温、痛み、浮腫、ワクチン接種部位のかゆみ、無力症、倦怠感、発熱、ワクチン接種部位の皮膚温度の上昇、食欲減退。神経系障害：頭痛、下痢。呼吸器系、胸部および縦隔器官からの障害：中咽頭の痛み、鼻のうっ血、喉の痛み、鼻漏。現在の臨床試験でワクチンの投与量を減らすことにより、これらの現象を減らすことができる可能性があります。

実際のワクチンの保護効果は、20年9月に始まったフェーズ３の臨床試験で検討されるためまだ評価されていません。この場合は破られましたが臨床試験のフェーズ３は通常のアルゴリズムで行います。フェーズ２の試験では、通常、薬剤の投与量が変化するが、既に公表されているスプートニクVの臨床試験結果では、そのようなデータは得られていません。

ワクチン「Gam-COVID-Vac」（「ScienceFirstHand」No.3（88）、2020）

フェーズ３に関しては、独自の規則があります。各テスト参加者には「幸福」の特別な日記が与えられ、セラピストが割り当てられます。すべてのテスト参加者は少なくとも4つのグループに分けられ、そのうちの1つはワクチンの代わりにプラセボを投与され、もう1つは同様のワクチン製剤、3つ目はワクチン自体、4つ目は可変用量などです。スプートニクVの場合、前例のないことに直面し、臨床試験のフェーズ３の開始を待たずに、2020年9月8日、ロシア保健省は、ワクチンの最初のバッチを民間循環に放出する許可を発表し、地域を含むリスクグループからの集団の大量ワクチン接種が計画されています。

ちなみに、「スプートニクV」の指示には、子供だけでなく、主なリスクグループである60歳以上の人（75歳以上の人の死亡率は20～30％）にもワクチンを使用してはいけないと書かれています。

ここまでnote公開･･･････････････

■氷山の水面下
2020年のSARS-CoV-2コロナウイルスのパンデミックは、人間のスクリーニングでは前例のないものです。このウイルスが、さまざまな人々の生物と病原体、主に季節性インフルエンザや他の急性呼吸器ウイルス感染症を引き起こすものと相互作用で，多くの問題が明らかなったのは驚きではありません。

たとえば、インフルエンザの発作を起こし、流行中に健康を維持することで、感染を回避できたと考えています。ただし、この場合、インフルエンザウイルスは、明らかな病気の兆候を引き起こすことなく、上気道の少数の細胞に感染し、そこで「わずかに」増殖する可能性があります。そしてこれが事実であるならば、SARS-CoV-2の場合にすでに証明されているように、ワクチン接種された人々でさえ感染の無症候性の保因者である可能性があります。

COVID-19患者は、最初の症状が現れる2日前に感染を広げ始めます。病気が無症候性である場合でも、感染した人々は、呼吸、くねくね、または咳だけでなく、糞便によっても、最大2週間ウイルスを環境に放出する可能性があります。そのため、ウイルスの存在について陰性の検査を行った後にのみ、患者は検疫から解放されます。

問題の反対側：現在、人類は原則として呼吸器感染症の90％を診断することができます。しかし、少なくともロシアでは、実際にはこれを行っていません。急性呼吸器ウイルス感染症とインフルエンザの診断は、症状によってのみ行われます。そして、ARVIの症状のほとんどはほとんど同じであるため、これは冒涜です。ただし、インフルエンザはほとんどの場合、鼻水が出ずに消えますが、これはCOVID-19を含む他のいくつかの感染症では一般的です。ARVIの特定の原因（病因）についての答えは、正確な実験室診断によってのみ与えられます。現在は可能ですが、有料です。ARVIのPCR診断は、強制医療保険の資金調達には含まれていません。

「寒さ」やインフルエンザの特定の症例は目で判断されるため、わが国で実際に特定の病原体に一度に感染したARVI患者の数を概算することすらできません。そしてこれは、これらの感染のそれぞれからの真の損傷を評価することと、最も危険で疫学的に重要なものを決定することの両方を防ぎます。したがって、インフルエンザウイルスを除いて、これらの病原体に対する新しいワクチンや抗ウイルス薬を開発したり、それらの進化の長期的な傾向を追跡したりすることはありません。したがって、ARVI病原体のグループに新しいウイルスがどのように補充されているかにすぐに気付かないのは当然のことです。

フランス。 2020（ "Science First Hand" No. 3（88）、2020）
フランス。2020年の写真：Jacques Paquier

ただし、一部の国では、関連する研究がいわゆるパイロット都市で実施され、PCRを使用して、いくつかのポリクリニックからのSARSの兆候があるすべての患者のサンプルが分析されます。はい、それは非常に費用がかかります。1つのサンプルのそのような分析は、現在7〜8千ルーブルの費用がかかります。しかし、病原体の全範囲を見ると、どの感染症に対してワクチンを開発する価値があるかが明らかになります。

ちなみに、これらの病気の原因のうち、細菌感染症はわずか20％、残りはウイルス性です。今日のワクチンはインフルエンザに対してのみ開発および生産されており、ARVIの病因におけるその割合は10〜15％です。さらに、一部の国では同じコロナウイルス感染がより一般的です（15-30％）。そして、これらの「習慣的な」コロナウイルスは無害とはほど遠いです。COVID-19のように、重度を含む3種類の病気があり、感染自体の結果と機械的換気による二次性肺炎の両方で死亡する患者もいます。

もちろん、ARVIのすべての患者に対して一般的な診断を行ってそのようなウイルス感染を検出することは意味がありません。特定の抗ウイルス治療がないため、これまでのところ症状があるだけです。通常の治療コースは、診断自体よりも約7倍安くなります。ウイルス感染の場合、上記の理由で選択的研究を行う必要があります。どのワクチンを開発し、どの診断をCHIに導入する必要があるかを理解するためです。

モスクワでのそのような研究は、適切に組織された場合、1年以内に数千人の患者をテストするために約1500万ルーブルを必要とします-モスクワの「3ルーブルノート」の価格または最も高価なベントレークロスオーバーではありません。しかし、保健省はそのような提案に対する答えを1つだけ持っています-お金がありません。

新しいコロナウイルス感染によって引き起こされたパンデミックが私たちに教えてくれた主な教訓は、実際、私たちはウイルスの流行と感染一般についてほとんど知らないという理解です。それは、そのような将来の出来事に備える方法と、それらに対処する上で効果的に行動する方法を私たちに教えなければなりません。そして、それはCOVID-19自体についてでさえありません。それは、危険な季節的な感染ではありますが、別のものになる可能性があります。自然界に動物や鳥がいる限り、新しい未知の病気のパンデミックのリスクは残ります-「野生の」病原体の自然の貯蔵所。

そして、私たちが本当に人口を保護したいのであれば、私たちが今しなければならない最初のことは、私たちがまだ病気であるもの、私たちの中で最も危険なSARSを引き起こす病原体、ロシア人を見つけることです。モスクワ、サンクトペテルブルク、ノボシビルスク、クラスノダール、イェカテリンブルク、カザン、ウファ、ウラジボストークなど、SARSが特に多い主要都市でモニタリング研究を実施するためには、まず、健康問題の解決に今よりも有能かつ効果的に多くのお金を費やす必要があります。他の百万以上の都市と同様に。

SARS-CoV-2に関しては、明らかに、抗流行作用だけでそれを根絶することはほとんど不可能でしょう。おそらく、少なくとも効果的なワクチンが広く実践に導入されるまで、それは人間の集団で循環し続けるでしょう。しかし、私たちはまた、この病気を簡単にまたは無症状で経験し、おそらく免疫を持っている人々の層が徐々に増えています。ワクチン接種は彼らの数を増やすべきであり、そうすれば流行は減少するでしょう。

その間、マスマスキングと社会的距離は感染の拡大を減らすことができ、それは人口の最も脆弱なセグメントを保護します。厳しい対策（企業、学校、大学、カフェ、レストラン、ショップの仕事をやめること）に戻ることは経済の崩壊につながり、ひいてはヘルスケアの状況を悪化させることになることを心に留めておくべきです。

文献･････　　略

次世代行列

疫学において、次世代行列（じせだいぎょうれつ、英: next-generation matrix）は、感染症の流行に関する区画モデルの基本再生産数を得るのに用いられる。個体群動態においては、構造化個体群モデルの基本再生産数を計算するのに用いられる[1]。マルチタイプの分岐過程でも、同様の計算に用いられる[2]。

次世代行列を用いて基本再生産数を計算する方法はDiekmann et al. (1990)[3] と van den Driessche and Watmough (2002)[4]によって与えられた。次世代行列を用いて基本再生産数を計算するために、集団全体を n 個の区画に分割し、はじめの m 個を感染集団の区画とする。時刻 t における区画の個体数を$$ {\displaystyle x=(x_{1},\dotsc ,x_{n})^{T } } $$とおき、流行モデル

$$ {\displaystyle {\frac {dx_{i } }{dt } }={\mathcal {F } }_{i}(x)-{\mathcal {V } }_{i}(x)\qquad ({\mathcal {V } }_{i}(x)={\mathcal {V } }_{i}^{-}(x)-{\mathcal {V } }_{i}^{+}(x))} $$
を考える。ここで $${\displaystyle {\mathcal {F } }_{i}(x)}$$ は i 番目の区画における新規感染の発生率を表しており、$${\displaystyle {\mathcal {V } }_{i}^{+}(x)}$$ は他のコンパートメントから i 番目の区画への遷移率を、$${\displaystyle {\mathcal {V } }_{i}^{-}(x)}$$ は i 番目の区画から他の区画への遷移率を表している。このとき

$${\displaystyle {\mathcal {F } }(x)=({\mathcal {F } }_{1}(x),\dotsc ,{\mathcal {F } }_{n}(x))^{T},\qquad {\mathcal {V } }(x)=({\mathcal {V } }_{1}(x),\dotsc ,{\mathcal {V } }_{n}(x))^{T } }$$
とおけば、上のモデルは

$$ {\displaystyle {\frac {dx}{dt } }={\mathcal {F } }(x)-{\mathcal {V } }(x)} $$
と書くこともできる。いま $$x0$$ を感染症のない定常状態とする。このとき $${\displaystyle {\mathcal {F } }(x)}$$ と $${\displaystyle {\mathcal {V } }(x)}$$ のヤコビ行列は $$x0$$ において

$$ {\displaystyle D{\mathcal {F } }(x_{0})={\begin{bmatrix}F&0\\0&0\end{bmatrix } },\quad D{\mathcal {V } }(x_{0})={\begin{bmatrix}V&0\\J_{3}&J_{4}\end{bmatrix } } }{\displaystyle D{\mathcal {F } }(x_{0})={\begin{bmatrix}F&0\\0&0\end{bmatrix } },\quad D{\mathcal {V } }(x_{0})={\begin{bmatrix}V&0\\J_{3}&J_{4}\end{bmatrix } } } $$

となる。ここで F と V は

$$ {\displaystyle F={\begin{bmatrix}{\frac {\partial {\mathcal {F } }_{i } }{\partial x_{j } } }(x_{0})\end{bmatrix } }_{1\leq i,\,j\leq m},\quad V={\begin{bmatrix}{\frac {\partial {\mathcal {V } }_{i } }{\partial x_{j } } }(x_{0})\end{bmatrix } }_{1\leq i,\,j\leq m } } $$

で定義される m 次正方行列である。このとき K = FV −1 は次世代行列と呼ばれる。その最大固有値、すなわちスペクトル半径 R0 = ρ(K) がこのモデルの基本再生産数である。