平面群

■両面帯two-sided band

帯とは無限に続く周期図形で，１つの特異平面と，その平面内の１つの特異並進があります．
片面帯one-sided bandはその特殊なケースで，特異平面に極性があり，その表面は裏面と異なります
[１つの表面しかありません]．
一般の帯では特異面は非極性であり，表裏の面を互いに重ねる変換が許されています．
許される変換のリストにこのような変換が追加されると，1次元の帯飾りに適用される対称類の数は，
片面帯の７つの対称類に加えて，非極性面をもつ両面帯の24の対称類が追加されます．
両面帯では，新しい対称要素；2回らせん軸が出現します．

■位数２のらせん軸
白と黒は3角形の表面と裏面を表します．

 ■両面帯の全部で31種類の対称類のパターンを，3角形モチーフの配列で表した一覧表を示します．
１，４，５，12，16，18，29の7種は，片面帯ですでに出現した対称類で，
残りの24種は，両面帯になって出現した対称類です．
（白面と黒面で表と裏を表しています．ドットのついた面は，表面と裏面が重なっている状態を表現しています）

帯のすべての対称類31種は，６つの対称要素６つの対称要素
$$a, 2, 2_{1}, m, \tilde{a}, \tilde{2}=\bar{1}$$　の独立な組み合わせで生成されます．
これら31個は，1次元の空間群と呼ばれます．

■両面帯に使われる以下のモチーフの対称性は？

■紙から対称帯を切りとる
以下の3つの例a,b,cの縁飾りは，紙をどのように折って切ったのでしょうか？
折り目になった線は対称面になるはずですね．

これまでは，特異平面を持つ片面の離散的（点の集合）な2次元周期図形（ネットワークパターン）のみを扱いました．これらの図形の裏側は表側とは異なると仮定しているため，対称変換によって表面と裏面を入れ替えることはできません．
今回扱う2次元の連続平面（つまり通常の平面）でも，表裏の2面が互いに同様な平面で，表裏がある場合と，表だけで裏のない片面のみ（極性）の平面の場合があります．
一見すると，これらの議論はばかげており，連続な無限平面図形（あるいは空間）では，ユークリッド平面と異なる平面を考えるのは無駄であるようにも見えます．しかし，私たちは，特性（特に，対称性）が互いに異なる平面の無限集合を考えるだけでなく，実際に作ることもできます．

この目的のために，すべての実表面は，一般に異なる物理特性を持つ2つの物体を分離する境界であるという事実を受け入れる必要があります．

■もっとも理解し易く，もっとも対称的な空間は，均一（一様）なもので，2次元空間の片面のみの面では，表面を均一な一色に塗り，裏面を黒く塗った平坦な厚紙のイメージです．このような図形の任意の点は，$$∞･m$$の対称性であることは容易に確認できます．極性対称軸$$∞$$は，表面に垂直に，至る点に通っていて，垂直な無数の対称面$$m$$があります．均一な片面の平面の対称記号は，対称性$$∞･m$$の点を連続並進$$(a_{0}:a_{0})$$したものだから，$$(a_{0}:a_{0}):∞･m$$と書けます．

■同様にして，均一な片面のみの面の他の対称類は，対称性$$∞$$の点を連続並進して得られます．
この表面の点には対称面がありません．この新しい平面空間を視覚化するには，両面の色が異なるように塗られた厚紙平面のすべての点で，一方向に均一に回転するのをイメージするだけで十分です．点の回転方向には2つの可能性があるため，このような空間には，左手型と右手型の2つのエナンショモルフ（対掌体）があります．新しい平面の良いモデルは，同じ方向に回転する円盤をランダムかつ均一に分布させたものです（以下の図）．円盤とそれらの間隔は十分小さく，個々の円盤を要素として分解できない観測者には，多くの要素の振る舞いの総和として効果を観測するしかありません．これは均質な理想平面でありその対称性を$$(a_{0}:a_{0}):∞$$　と記します．

■この片面平面の例から，対称性の低い平面に進むのは容易です．
この目的には，対称性$$n･m$$あるいは$$n$$の片面ロゼットの同価な図形の無限集合を用いるれば十分です．それらの方位を揃えて平面に配置し，図形をランダムかつ均一に分布させる．図形のサイズと間隔をゼロに漸近させると，極限で，対称性$$(a_{0}:a_{0}):ｎ･m$$，あるいは，$$(a_{0}:a_{0}):n$$をもつ均質平面を得ます．
［訳者注）$$∞$$回転軸は，対称性の極限で存在する．対称性を低下させたn回回転軸も存在する］

もし，初めのモチーフ図形に片面長方形，あるいはひし形をとれば，対応する媒質のモデルは以下の図のようになります．この構造の個々の要素を見分けられない観測者には，任意に選んだ各点Oは，長方形の対称性2･mをもちます．なぜなら，どちらの図形も，点Oの周りの180°回転，あるいは，平面$$m_1$$，$$m_2$$による鏡映は，全体として自分の上に自分を変換するからであります．

連続的な片面の例をもう一つ挙げてみましょう．両面を異なる色に塗った厚紙があるとします．平面上の直線に沿って一様な動きます．外部の観察者から見ると，厚紙は静止しているが，その対称性を調べれば，厚紙に垂直で，その運動方向に平行な，互いに平行な対称面の集合が存在することはすぐにわかる．この平面には，２次元連続体に常に存在する並進軸の他には対称性の要素は存在しない．
ここで，上記の考察が適用できる物理的に実在する平面や表面について，少し述べましょう（もちろん，自然界には理想的な平面は実在しません）．
滑らかな水の表面（例えば，光線を反射する能力を考慮した場合）は完全に等方性であり，明らかに対称性$$(a_{0}:a_{0}):∞･m$$を持っています．
光の偏光面を回転させることができる糖液の表面は，対称性$$(a_{0}:a_{0}):∞$$になります.
結晶の表面は，個々の原子（イオン、分子）の配置を考えるならば，不連続(離散的)な構造の平面パターンですが，その光学的，機械的性質を研究するならば，均質な平面として扱えます．
17種の対称性類が存在する（離散的な）平面パターンとは対照的に，片面平面連続体の対称類の数は非常に多い．これらの連続体の対称性記号を2列の無限列の形で以下に掲載します．

系列の最後の２つだけが完全に等方な平面に相当しています．他の記号は非等方の平面を記述します．記号$$(a_{0}:a_{0}):1$$はどの点も，並進軸以外にいかなる対称要素も持たない非対称平面に対応します．

ここでも，片面しかない平面を扱います．
半連続平面という概念がここで登場します．これは，例えば，横軸に沿っては連続的で，縦軸に沿っては離散的（デジタル化された）な平面のことです．最もシンプルな片面のみの半連続平面の例は，紙上に描かれた平行なストライプ（横縞）の系です．ストライプの断面の中点は明らかに片面のロゼット$$2･m$$の対称性を持っています．
半連続平面全体は，水平軸$$b_{0}$$に沿って，そのような断面を連続平行移動するのと，軸$$b_{0}$$に垂直な軸$$a$$に沿って，有限（とびとびの）平行移動することで得られます．したがって，図全体の対称性記号は$$(b_{0}:a):2･m$$と書くことができます．

１対のストライプをストライプ１つに置き換えても，図は同じ対称性を持っています．もし，等距離のすべてのストライプが同じ方向性を持っている場合，対称性$$(b_{0}:a):m$$の図形になります．
有向「2重ストライプ」の系は同じ対称性を持っています．

半連続平面の次の類は，構造要素としての幅広のストライプと幅狭のストライプで構成されたストライプです．
この断面の対称性は前の場合と同様に$$m$$ですが，対称面は垂直でストライプに平行ではないため，図全体の対称記号は，$$(b_{0}:a)･m$$になります．ただし， 記号･と：は，対称要素（特異平面に垂直）が，シンボル内の最も近い並進軸に，平行か，または垂直かをそれぞれ意味しています．

第4の対称類は，異なる幅の有向二重ストライプで構成されている場合で，その結果，縦対称面と横対称面の両方が構造からなくなります．これらのストライプの対称記号は$$(b_{0}:a):1$$，または，より一般化して，$$(b_{0}/a)1$$です．

第5の対称類は，隣接する有向2重ストライプが，2回対称軸によって相互に関連するものです．この類の対称記号は$$(b_{0}:a):2$$，または，より一般化して，$$(b_{0}/a):2$$です．

第6の対称類は，隣接する有向2重ストライプが，映進面$$~a$$によって相互に関連付けられています．対称記号は$$(b_{0}:a)･~a$$と書くことができます．

片面のみの半連続平面の第7で最後の対称類は，記号に，垂直な映進面~aを追加することによって5番目から，または水平面$$m$$を追加することによって6番目から得られます（鏡映面$$m$$は$$２$$回軸を通過することに注意しよう）．
対応する対称記号は，$$(b_{0}:a)･a:m$$，あるいは，$$(b_{0}:a):2･m=(b_{0}:a):2･a$$になります．

■まとめ：片面のみの半連続平面のすべての対称記号を以下の表の左端の列に書き出します．これらのうちで連続移動軸［記号$$b_{0}$$］を取り消し［$$b_{0}$$軸から下付き文字0を削除する］離散的移動にすると，片面のみの帯の対称性7種に帰着します．
したがって，片面のみの半連続平面は，無限の幅に引き出された通常の帯，あるいは，1つの連続した並進軸を持つ平面パターン（基本並進が無限に小さい）に他なりません．

対称性の理論は，実際にどのように発展してきたのだろうか？
この分野の歴史を見ると，純粋に幾何学的な側面に限っても，長期間かけて，対称性の概念が大きく変化してきたことがわかる．
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結晶点群の対称要素は：対称心；2，3，４，６回対称軸；回映軸；対称面；
結晶空間群の対称要素では，これらに加えて：並進；映進面；らせん軸
があり，これらの対称要素の集合が群（結晶点群，結晶空間群）を作る．
しかし，対称変換の要素をなぜこれらに決めたのでしょうか．その発展の歴史を振り返ります．
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■　始めは，反射（鏡映）のみを対称操作とみなした．

当初，研究者たちは幾何学的形態の対称性を，対称面による反射（鏡映）のみに限定していた．そのため，対称軸があっても鏡面がない図形は非対称とされました．また，単純回転軸を対称要素に加えたときも，回映軸を持つ図形は対称性のある図形の範疇に入りませんでした．これらの対称要素はすべて，有限図形の対称類を構築するために使用されました(Hessel, 1830; Gadolin; 1867)が，無限図形の対称性を記述するには不十分であることが判明しました．並進，らせん回転，映進の変換と，これらの操作に対応する新しい対称要素を導入する必要がありました．

■　第２種の対称変換を対称操作から除外する流派
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図形を変形せず剛体のように，回転，鏡映する対称変換は，直交行列で表現できます．その行列式は±１ですが，+1のものを第1種，-1のものを第2種といいます．第2種は，鏡映のように座標系を裏返す変換で，3次元の空間で+1の運動を-1の運動に変換するには4次元空間が必要です．例えば，右手と左手は鏡映対称で互いに一致させることができますが，実際に3次元空間内の+1の対称操作をしても，右手を左手に一致させることはできません．
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このように対称性の概念が大幅に拡張されたことで，対称性理論から第2種の変換（対称面での鏡映，回映，映進）を除外するという正反対の傾向が生まれました． この傾向の代表者は，Jordan（1869）とSohnckです．
また，対称性の研究において，ある種の対称面，単純回転軸，有限の平行移動を排除する妥協的な試みもありました(Bravais, 1850).

■　結晶点群と結晶空間群が完成

Fedorov (1891) と Schénflies (1891) は，最終的にすべての対称操作を統合しましたが，Jordanの無限小の運動 (並進と回転) は除外しました．このような操作は，彼らが研究対象にしている結晶の対称性と明らかに矛盾ると考えたからです．

そこで，限界対称性類にも特別な注意を払うことで，この除外されたギャップの解消をねらいます．

第１種と第２種の対称操作は，一見，非常に異なるように見えます．対称変換の概念に統合されたのだが，多くの研究者には，合同と鏡像の組み合わせがあまりにも人工的に見えるため，対称図形構築の統一原理を見出そうと注力しました．この問題に対する最も単純な解決策は Wulff（1897）とViola（1904）によって与えられました．科学の歴史ではよくあることですが，彼らは，対称面を基本的な対称要素として使うという最初のアイデアに戻ったのです．二人とも，3次元空間の有限図形のすべての対称変換は，3つ以下の平面（それらは対称面でなくても）での連続した反射（鏡映）に帰着できるということを証明しました．
WulffとViolaのアイデアを無限図形にも拡張すると，我々が認めたタイプの任意の対称変換は，最大4つの平面（それ自体は対称面である必要はない）による図形の引き続く反射に置き換えることができます(Boldyrev, 1907).

実のところ，この方法は，N.V.Belovが230の(Federov)空間群を導出したアルゴリズムに用いたものである(N.V.Belov,1951).

以下の図を参照ください：

●ある軸を中心に角度αだけ回転することは，その軸を通り，互いに角度α/2をなす2つの平面での引き続く反射（鏡映）に等価である．
●並進aは，距離a/2離れた平行な平面での引き続く2回の反射に等価である．
●回映は回転と反射からなり，3つの平面での引き続く反射に等価となる：２つの平面は回転軸で交差し，残りの平面は回転軸に垂直．

●映進面は，反射と並進からなり，３つの平面での引き続く反射に等価となる：2枚は平行で，3枚目は始めの2枚に垂直．
●らせん運動は，回転と並進の2つの動きに分解でき，4つの平面での引き続く反射に相当します：2枚は回転軸に沿って角度α/2で交差し，残りの2枚は互いに平行で，最初の2つの平面に直交する．

多数の反射を引続き繰り返しても，上に述べた操作 (対称面での1回反射も含む) と結果が変わらないことは，非常に簡単に示すことができます．また，平面での連続した反射によって，直線は直線に変換され，それらの間の角度と，直線上に記された目盛りの長さが保存されることも容易に納得できるだろう．

これは，上記のすべての変換において，図形はあたかも変形しない剛体であるかのように自分自身に変換されることを意味します．このような性質を持つ変換をアイソメトリック等長変換と呼びます．
等長変換に注目すると，次のようなシンプルで網羅的な定義を，3次元空間における幾何学的図形の対称性について与えることができます．
「対称的」とは，平面による1回または数回の連続した反射によって，それ自身と重ねることができるすべての(有限または無限)図形に適用される状態です．

特定の物体が，特定の対称性を顕わすか顕わさないかは，選択した特性によることで，内部構造にも関係があります．その意味では，対称性の定義には，外部と内部という2つの構造レベルの視点が残されます．

向きのある量の対称性

物理学や数学で使われる量には2種類あります。
大きさ（数値）だけで表現できるものと，大きさだけでなく空間における方向も示す必要があるものです．前者はスカラーと呼ばれ，後者は，ベクトル やテンソルと呼ばれます．例えば，質量，温度，密度などの量はスカラーで，（点の）変位，力，速度，電場などはベクトルです．ある物体の質量は，その物体が単位質量の何倍か，温度なら，摂氏スケールとして，温度の数値と符号（＋または-）を知る必要があります．
また，物体の変位を求めるには，その物体の移動距離cmと運動方向の両方を知る必要があるので，変位の大きさが長さで，運動方向を向いた矢印で示します．また，ベクトルは平行４辺形の法則に従って幾何学的に加算することが要請されます．
しかし，この要請にこだわり対象を制限するのは良くありません．
ベクトルの他にも，数値と方向をもつさらに広範な有向量を対象にする必要があるからです．有向量を決定する独立した（内部）パラメータの数が，その対称性と密接に関係していることを，だいぶ先になりますが取り扱うことになります．
では，有向量を表すのに使われる線分には，どのような対称性があるのでしょうか？この問いには多くの異なった答えがあり，仮定された条件の下では，そのどれもが正しい．例えば，４角柱プリズムの主軸は，周囲から切り離された状態で考えると，円柱と同じ対称性を持っています．同じ軸でも，プリズム全体と一緒に考えると，プリズム自体の対称性を持つことになります．
この例から，有向量は，図形の特異方向の存在と両立できるなら，任意の対称性を持てることがわかります．言い換えれば，有向量は，正多面体の対称類（図69の8列目）を除いて，特異点を持つ図形に許されるあらゆる対称性を持つことができます．
我々は，特に極限対称性の有向量に興味がある．というのは，物理学ではこの種の量が最も頻繁に登場するからです．

(a)
例えば、空間を移動する質点の速度は、静止している円錐の1枚のシート（∞･m）の形をしており、この量は、直線の断面で、「一方向」の矢印で表すことができます(図a)。これを完全に特徴づけるには、次のことが必要です。 (1)速度の数値(セグメントの長さ)、(2)空間におけるセグメントの向き（例えば、与えられた座標系とセグメントがなす角度を指定する）。(3) セグメントに沿った前方と後方の動きの違い、および、セグメントに垂直なすべての方向で動きに違いがないこと。このようなベクトルを極性と呼びます。電界強度は明らかに極性ベクトルです。
(b)
圧縮や引張を受ける円柱の軸方向の極性機械的応力テンソルの大きさは、圧縮や引張が常に両方向であるため、一方向きの矢印では表現できません。この種の方向量は、2つの矢じりが反対方向を向いた直線で表し（図b）、静止状態の円柱の対称性 m･∞:m を持ちます。
(c)
次に、軸性と呼ばれる方向量について説明します。例えば、軸を中心に回転する円柱の一様な角速度を表現したいとする。軸の速度と方向はこれまでと同様に直線で表すことができるが、回転方向は直線の矢印で表すことができない。そこで、回転方向を、回転の性質を示す循環矢印で表現する（図c）。このような量の対称性は ∞:m となり、円筒状の磁石の場合にはこれになります。磁石内の磁場は軸性ベクトルですが、磁石の両端の磁極は、実際には極性の極ではありません。
（d）
循環矢印がセグメントの両端で異なる方向を向いている場合は、新しい対称性∞:2の方向量（軸性テンソル）が得られます（図d）。この場合、対称面は存在せず、対称心もないので、量の右回りと左回りの形（反対の方向を持つ）を区別しなければならない（循環矢印の方向が反対になっている）。
この種の量の例としては、ワイヤーのねじれがあります。軸の方向、ねじれの角度（セグメントの長さに比例する）、ねじれの方向（循環矢印の方向で決まる）で指定される。結晶や溶液による光の偏光面の回転は、このクラスの量に属する。
極性と軸性の矢の組み合わせにより、回転する円錐の対称性∞を持つ極軸複合ベクトルが形成される（図c）。例えば、船のスクリュー、扇風機、プロペラなどの回転速度は、回転方向を示すセグメントの大きさ（速度に比例）と矢印の方向だけでなく、回転軸の「先端」の方向によっても決まります。後者の回転の質的な表示がない場合、その機械が正転で動作するのか逆転で動作するのかはわからないのである。
方向性のあるセグメントで表現可能な方向性のある物理量の対称性は、図a-eに示された5つの極限群によって網羅されている。2つのさらなる極限群（∞/∞･mと∞/∞）は、極性と軸性の（擬似）スカラー（無方向）量の対称性を記述するために使用される（図f,g）。スカラーの大きさに等しい長さの極球の任意の直径は、図bに図示されている種類の双方向矢印に対応し、軸方向のスカラー球では、図dに図示されている種類の双方向ねじり矢印に対応する。
すべての結晶学的直交群（および非結晶学的直交群）は、ピエール・キュリーによって最初に得られた上記の7つの極限群の部分群であることを思い出すべきである（図69参照）。

おわりに
我々は、特異点を持つ図形の対称性について説明することで、19世紀の第3四半期に開発された対称性理論の一部についての説明を終える。 科学の発展におけるこの段階は、ヘッセル、ガドリン Pierre Curie, Bravais, Fedorovの名前が挙げられます。後者は、特異点を持つ図形の対称性を”有限図形の対称性” と呼んでいるが、これはあまり良い言葉とは思えない。というのも、特異点をもつ図形の対称性に、無限の図形（双曲線、放物線など)もあるからです。