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COUNTER11317
   「数学月間の会」へようこそ!
    数学と社会の架け橋=数学月間 
社会が数学を知り,数学が社会を知る.
数学月間の会で一緒に活動しませんか.

 

   Maths for all !

Welcome to Maths Awareness Month Organizing Committee of Japan !

The period of July 22nd to August 22nd was set as "Maths Awareness Month of Japan"
by the Mathematical Association of Japan
(MAJ) in 2005.
Maths Awareness Month of Japan is run on a voluntary basis.
"Journal of Mathematical Culture (JMC)" is the organ of MAJ and is published half-yearly.
These dates are derived from two mathematical constants:
Archimedes' constant pi(22/7=3.14) and Napier's constant / Euler's number e(22/8=2.7).
During this period we support various events for raising the awareness of maths
 throughout the country.
7月22日--8月22日は数学月間(since2005)
日本数学協会は,2005年に,7月22日ー8月22日を数学月間と定めました.
この期間は,数学の基礎定数 π(22/7=3.142..) とe(22/8=2.7..) に因んでいます.
この期間に,数学への関心を高めるイベントが各地で開催されるよう応援しています.

日本数学協会(MAJ), 数学月間の会(SGK)  
 
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索引2018


2018/09/18 233    AIの進歩
2018/09/11 232    ロンドンで見た多面体
2018/08/21 229    多面体の見える万華鏡
2018/08/07 227 メルマガ再開
2018/07/02 226 7月予定
2018/06/12  223  ピタゴラスの三つ組
2018/06/05  222  対数とスケール定義 
2018/05/29  221  モーリーの定理
2018/05/22  220  ハワイ島の火山 
2018/05/15  219  再びデザルグの定理
2018/04/17  215  転換点とは
2018/04/10  214  フィボナッチ数列
2018/04/03  213  周期的平面の数学
2018/03/27  212  水分子の振動モード
2018/03/06  209  対称性の因果律
2018/02/20  207   教育数学研究集会の感想
2018/02/13  206 第4回数学月間勉強会予告
2018/02/06  205 数学月間流数学1
2018/01/30  204   ロマネスコ
2018/01/23  203   阪大入試の物理の問題
2018/01/16   202 活躍する曲線
2018/01/09 201 ダイヤモンドのブリリアン・カットの数学
2018/01/02 200 数学月間とは何か2
 

索引2017

2017/12/26  199   数学月間とは何か1
2017/12/19  198 結晶で群論を使ってみよう
2017/12/12  197 数学月間勉強会(3)
2017/12/05  196 Jazzと数学体験で交流 
2017/11/28  195  数学月間勉強会(第3回)予告
2017/11/21  194  種子は人類の遺産
2017/11/14  193  MRI装置の話
2017/11/07  192  角3等分の作図
2017/10/31  191  ベルヌーイ家の遺した数学
2017/10/24  190  数教研合同研究会
2017/10/17  189  東京おもちゃまつり
2017/10/10  188  最近思うこと
2017/10/03  187  数学月間勉強会(第2回)の報告
2017/09/26  186  数学的曲面が拓くジャグリングの世界
2017/09/19  185 エッシャー風タイル張りを生む凸5角形タイルの発見
2017/09/12  184  御殿まり
2017/09/05  183  万華鏡の定理
2017/08/29  182  万華鏡のまとめ
2017/08/22  181  数学アートと結晶学
2017/08/15  180  星型正多面体
2017/08/08  179  ブラックホールの形を見る
2017/08/02  178  鳥取サイエンスワールドin米子
2017/07/25  177  世論調査について
2017/07/18  176  万華鏡の映像 
2017/07/11  175  2重らせん
2017/07/04  174  数学月間勉強会――空間の周期
2017/06/27  173  結晶空間群で物理と数学を学ぼう
2017/06/20  172 SGK通信
2017/06/13  171 ミラー指数
2017/06/06  170 双対多面体の話題
2017/05/30  169 福一除染前の環境試料の測定
2017/05/23  168 今年の米国の数学月間
2017.05/16   167   並進群と2色格子
2017/05/09   166 伝統模様に見る周期的平面の分類(5つのブラベー格子)
2017/05/02   165 周期と平面のデジタル化
2017/04/25   164 格子の干渉
2017/04/18   163 ステレオ投影応用
2017/04/10   162 ステレオ投影原理
2017/04/04   161 イスラムの皿 
2017/03/28   160   アポロニウスの窓
2017/03/21   159   星型小12面体
2017/03/14   158   マンデルブロ集合
2017/03/07   157   ダビンチの星型・続き
2017/02/28   156   デザルグの定理
2017/02/21   155   ダビンチの星型・続き
2017/02/14 154   ダビンチの星型
2017/02/07   153   福ー2号機格納容器内の映像について
2017/01/31   152   雪の結晶の対称性
2017/01/24   151   美しい図形と不思議な空間・続
2017/01/17   150   美しい図形と不思議な空間
2017/01/10   149   電力の自給自足を目指す
2017/01/03   148   アラビア数学奇譚
 

索引2016

2016/12/27  147   年末ご挨拶.ウラジーミル連発
2016/12/20  146 今日の放射光実験
2016/12/13  145   数学ソフトウエアの進化が著しい
2016/12/06  144   がん登録と数学の役割
2016/11/29  143   福1メルトダウン原子炉の中
2016/11/22  142   遊星歯車による減速      
2016/11/15  141   トランプ大統領誕生と世論調査 
2016/11/08  140 ペンローズ・タイル張り2
2016/11/01  139 ペンローズ・タイル張り1
2016/10/25  138 毛髪1本でがん検診
2016/10/18  137 送電ケーブル火災と広域停電
2016/10/11  136 表面だけのスカスカの立体を作る
2016/10/04  135 除外される“外れ値”
2016/09/27  134   キリンのまだら
2016/09/20  133   ギブスの相律とオイラーの定理
2016/09/13  132   組木のパズル
2016/09/06  131   高次元空間からの影
2016/08/30  130   黄金三角形のパズル
2016/08/23  129   ランプシェードへの多面体応用
2016/08/16  128   とっとりサイエンスワールドin鳥取
2016/08/09  127   球に近い多面体を作る
2016/08/02  126   とっとりサイエンスワールド2016米子
2016/07/26  125   数学月間懇話会の報告
2016/07/19  124   地震の発生確率
2016/07/12  123   参院選に思う
2016/07/05  122   ビッグデータによる参院選予測
2016/06/28  121   世論調査の予測結果をどう見るか
2016/06/21  120   世論調査は正しいか
2016/06/14  119  空間充填パズル
2016/06/07  118  3回対称の繰り返し模様
2016/05/31  117   視聴率調査は正しいか
2016/05/24  116   世論調査は正しいか
2016/05/17  115   歩道タイルの市松模様の反転
2016/05/10  114 対称性とピエール・キューリーの原理
2016/05/03  113 数学月間ご案内
2016/04/26  112 予測の未来(米国MAMより)
2016/04/19  111 活断層と原発
2016/04/12  110 今年の数学月間
2016/04/05  109 ユニット折り紙塗り分け
2016/03/29  108 ユニット折り紙
2016/03/22  107 周期的空間の数学
2016/03/15  106 色々な幾何学
2016/03/08  105 数学月間について
2016/03/01  104 ペンローズ・タイル張り
2016/02/23  103 凍土遮水壁
2016/02/16  102 テーブル断面の模様
2016/02/09  101 対称性が高いと言うこと
2016/02/02  100 平面敷き詰めタイルについて
2016/01/26   099   大川組子
2016/01/19   098   鏡の世界
2016/01/12   097   モアレの実験
2016/01/05   096   モアレMoire
 

索引2015

2015/12/29 095 2015年の数学月間懇話会
2015/12/22 094 折り紙箱の対称性
2015/12/15   093   ユニット折り紙
2015/12/09   092   シュレーフリの記号
2015/12/01   091   イスラムの数学と都市の発展
2015/11/24   090   双曲面万華鏡
2015/11/17   089   双曲幾何平面のタイル張り
2015/11/10   088   メビウス(1850)の多面体万華鏡
2015/11/03   087   万華鏡と市松模様(平面群)
2015/10/26   086   3つの幾何平面
2015/10/20   085   平面タイル張りとエッシャーの版画
2015/10/13   084   空間のデジタル化
2015/10/06   083   近況報告_先週号休刊のお詫び
2015/09/22   082   戦争と数学
2015/09/15   081   使用済核燃料は1億倍の放射能
2015/09/08   080   周期律表113番目の元素
2015/09/01   079   サイエンスzero批判
2015/08/25   078   とっとりサイエンスワールドin鳥取
2015/08/18   077   地球温暖化のウソ
2015/08/11   076   とっとりサイエンスワールド2015
2015/08/04   075   トランス脂肪酸の話
2015/07/28   074    数学月間懇話会(第11回)の様子
2015/07/21   073   十年目の数学月間記念号
2015/07/14   072   新国立競技場のキールアーチ
2015/07/07   071   地震(べき乗
2015/06/30 070 統計数理研究所オープンハウスの話題
2015/06/23 069 数学月間だより
2015/06/16 068 今年の数学月間お知らせ
2015/06/09 067 数楽しよう--鼎談
2015/06/02 066 講演会おしらせ
2015/05/26 065 空間のデジタル化
2015/05/19 064 不思議な数式  
2015/05/12 063 今年の米国MAMの感想
2015/05/05 062 不思議な数字6174
2015/04/28 061 面積ゼロで周囲が無限大
2015/04/21 060 結晶とガラスの数学
2015/04/14 059 積めば積むほど長くなる
2015/04/07 058 正方形の辺の1/nを作る
2015/03/31 057 桜の花の対称性
2015/03/24 056 通潤橋のアーチ
2015/03/17 055 2重振り子の話題
2015/03/10 054 錯視シンポジウム雑感
2015/03/03 053 空間を充填する多面体
2015/02/24 052 ステレオ投影の性質
2015/02/17 051 エッシャーの双曲面分割
2015/02/10 050 色々な幾何学平面
2015/02/03 049 平面タイリングの観賞
2015/01/27 048 万華鏡の話1
 

索引2014

2014/12/30 044 万華鏡の原理(1)
2014/12/23 043 クバンチクの問題から
2014/12/16 042 デザインへの応用
2014/12/09 041 ポアンカレ万華鏡
2014/12/02 040 円による反転鏡映
2014/11/25 039 伝統模様に見る2次元格子タイプ
2014/11/18 038 対称性の話
2014/11/11 037 因果律ピエールキューリーの原理
2014/11/04 036 平面のデジタル化
2014/10/28 035 民力指数 
2014/10/21 034 結晶で見られる多面体(その2)
2014/10/14 033 大阪大学オープンキャンバス
2014/10/07 032 「化学の日」10月23日を手本に
2014/09/30 031 べき乗則と地震
2014/09/23 030 とっとりサイエンスワールド2014in倉吉
2014/09/17 029 4次元の万華鏡
2014/09/12 028 結晶で見られる多面体
2014/09/09 027 とっとりサイエンスワールドin鳥取市
2014/09/22 026 ケプラー予想
2014/08/23 025 空間を充填できる多面体
2014/08/12 024 立体万華鏡(続)
2014/08/05 023 立体万華鏡
2014/07/29 022 とっとりサイエンスワールド2014in米子
2014/07/22 021 数学月間の初日
2014/07/15 020 幾何学的な消滅
2014/07/12 019 完全なる建築=モダーン建築術を支える数学(下)
2014/07/08 019 完全なる建築=モダーン建築術を支える数学(上)
2014/07/01 019 数学は映画の出演者(下)
2014/07/01 018 数学は映画の出演者(上)
2014/06/28 017 数学が映画を作る(上)
2014/06/24 016 数学月間のお知らせ
2014/06/21 015 鳥の群れのシミュレーション(下)
2014/06/17 014 鳥の群れのシミュレーション(上)
2014/06/10 013 数を記憶する方法
2014/06/08 012 ペンローズ・タイリング(その2)
2014/06/03 011 ペンローズ・タイリングと準結晶
2014/05/30 010 非ユークリッド幾何(その2)エッシャーの不思議な円盤世界
2014/05/27 009 非ユークリッド幾何学(その1)
2014/05/22 008 不思議な魔方陣 
2014/05/20 007 インドラの網と反転円
2014/05/15 006 事故雪崩が過酷事故を生む複雑系
2014/05/13 005 27枚のカードトリックと3進法
2014/05/11 004 日本および米国の数学まつり
2014/05/10 003 デジタル思考を止め確率を正しく理解する
2014/05/09 002 無限の脅威
2014/05/08 001 レーガン宣言で始まった
 

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数学月間SGK通信 >> 記事詳細

2014/08/26

026_ケプラー予想

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数学月間SGK通信 [2014.08.26] No.026
<<数学と社会の架け橋=数学月間>>
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この所,正多面体による空間の充填などを見てきました.
今回は,最密充填構造の話です.以下の本が参考になります:
ケプラー予想,ジョージ・G・スピーロ(青木薫訳)新潮社

◆ケプラー予想とは:
「3次元空間で最も高密度に同じ大きさの球を充填した状態は,
1つの球のまわりを12個の球が取り囲む状態で,
その空間充填率は74.04%である」というものです.
これは,結晶学では最密充填構造として常識になっていることがらです.
立方最密充填(=立方面心格子),6方最密充填,および,両者の混合のポリタイプは
無数にありすべて同じ充填率74.04%です.この起源は1883年,結晶学者ウィリアム・バーロウが6方および立方の最密充填の2つの最密充填構造をネイチャーに掲載したことにあります.
バーロウは結晶空間群の数え上げ(フェドロフ,シェンフリーズもそれぞれ独立に数え上げた)でも有名です.

注:スピーロの著書p.23でバーロウの図に言及し,立方最密充填は6方最密充填とまったく同じ配置なのだ!」と言っているのは,数学と結晶学との見解の相違.
111面(切断)が同一であるのは当たり前で,その積層様式に結晶学的違いがあるのだ.

◆ケプラー予想は多くの人が挑戦しましたが,どうやってもこれより稠密な充填構造はつくれません.これより充填密度の高い構造はないという証明はとても難しいのです.このケプラー予想をヒルベルトは,1900年8月,第2回国際数学者会議の講演で,未解決の23の問題(ケプラー予想は第18問題)として提起しました.
周期的に規則正しく並べる(結晶)という条件では,ケプラー予想は証明できるのですが,不規則な並べ方まで含めてこれが最密であるということの証明はとても困難です.正4面体でも正8面体でも正12面体でも正20面体でも,単一では空間の充填ができません.前号で正4面体と正8面体を2:1で混ぜると周期的に空間が充填できることを示しましたが,それは面心立方の最密充填構造にほかなりません.さらに高密度な様式はないのだろうか?
例えば,立方最密充填では1つの球の周りに6個の球が囲み,上の段,下の段に3個づつ球が接します.上下の3角形が点対称であるような配置が立方最密充填,上下の3角形が周りを囲む6角形を鏡として鏡映対称であるような配置が6方最密充填です.
このような1つの球のまわりに12個の球が配置する構造と言っても,次のようなものがあります.
中心球の赤道面の上側から5個の球,下側から5個の球が接し,上下の正5角形が点対称に配置し,さらに,中心球の上下に球が1個づつ配置するのも12個配置です.これは正20面体配置と呼ばれます.しかし,この配置は局所的には充填密度が高いが,正20面体だけでは空間の充填ができません.
どうも数学的にエレガントな証明は無理なようです.

◆ケプラー予想の証明は,トマス・ヘールズ(ミシガン大学)によってコンピュータを用いたしらみつぶし法で完成したということです.ケプラー予想(1611年「六角形の雪について」という友人向けの小冊子にあるという)から400年近く経過した1998年のことです.
ヘールズはドロネーの四面体分割を基礎に,シンプレックス法で計算されました.
評価関数を導入して,密度の低い配置は減点,密度の高い配置は加点を繰り返すものです.300ページもあるヘールズの論文は,トート(Toth)ら審査員12人が4年かかってチェックしましたが最後まで詰められず99%正しいと報告されました.
そこで,2003年にヘールズ自身が証明支援ツール(HOL Light,Isabelle など)を使いチェックを始めやっと証明できたと言います.コンピュータを用いる証明は「4色問題」の時にもありました.
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