美しい幾何学

球面正12面体像の見えるメビウス万華鏡を作って見ましょう．
まず，完成した2つの万華鏡像をご鑑賞ください．
(A）左の万華鏡像
球面正12面体の1つの面(球面正5角形)の1/10が非対称領域（万華鏡内）にある物体です．正12面体全体の1/120が非対称領域です．
(B）右の万華鏡像
球面正12面体の1つの面(球面正5角形)の1/5が非対称領域（万華鏡内）にある物体です．正12面体全体の1/60が非対称領域です．
両万華鏡ともに，球面正12面体の映像が見えますが，それぞれの球面正5角形の面の分割数を観察すると異なることがわります．左の万華鏡(A)は，右の万華鏡(B)の半分です．

　　　　　　　（A)　　　　　　　　　　　　　　　　　　（B)
■ メビウス万華鏡を作ろう

正12面体や球面正12面体は，正５角形（あるいは，球面正５角形）の面12枚が囲んでできる立体です．
3枚鏡の組み合わせで万華鏡を作り，正12面体や球面正12面体が見える万華鏡を作りましょう．
正12面体の点群（対称性）を生成元する3枚の鏡に，次のものを選びます．
（Aタイプ）１つの正5角形の面を10個の直角3角形に分割し，その領域を中心から見込む3角錘が作る万華鏡．
（Bタイプ）１つの正5角形の面を５つの2等辺3角形に分割し，その領域を中心から見込む3角錘が作る万華鏡．

　　　　　　（A)　　　　　　　　　　　　　（B)

 　　　　　（A)　　　　　　　　　　　　　（B)

作製したそれぞれの万華鏡で見られる映像を対応させて掲載します．
正12面体映像の正5角形の面を比較観察してください．
Aの映像では直角3角形10個が正5角形面を作っていますが，Bの映像では2等辺三角形5個が正５角形の面を作っているのがわかります．
■正12面体および球面正12面体の見える万華鏡（Aタイプ）の作り方

ミラー紙（厚さ0.25mm以上が良い）に次の展開図を描きます．青色の部分を使います（赤線に沿って光の窓を作ります）．赤線の円は球面正12面体像が見える窓，赤線の直線は正12面体像が見える窓で，どちらかを選びます．辺OHがつながるように3角錐（鏡面は三角錐の内側）を組み立てます．完成した万華鏡は△KAHから覗きます．

球面正多面体は，アラブの数学者，アブル・ワーファ（1000頃）に始まります．球面正多面体｛p,q｝は，球面正p角形が，頂点でq個集まっているもので，球面正p角形の内角は2π/qです（図D）．球面p-多角形の辺はすべて大円です．ここで例に取り上げるのは，正12面体に相当する｛5,3｝多面体です．

後に，メビウスは多面体万華鏡を発明します（1850）が，これは，球面p-多角形を．2p個の球面直角３角形に分割することを使います（図A）．
分割された3角形の内角は，π/p，π/q，π/2　で，このような直角3角形を(p,q,2)のように記述します
万華鏡は，３角形（赤く塗った）の各辺となる大円を鏡にすると得られます．
Aは，メビウス万華鏡になり，正5角形の面を10個の直角3角形に分割しています．Bは，正5角形の面を5個の2等辺3角形に分割しています．Bには，Aに存在した鏡映対称面が１つ消えています．Cの赤く練った正3角形の周囲の辺の大円を鏡に置き換えて万華鏡を作れば，正20面体の映像が見えます．
それぞれの映像写真はあとで追加しましょう．

「美しい図形と奇妙な空間」
 
東京ジャーミイ（代々木上原，東京）にある装飾です．左写真は説教壇の横にあります．
複雑な図形ですが美しい．イスラムのデザインによく見られます．
右の写真はステンドグラスです．
これらの図形の美しさの原因は，図形の中が黄金比だらけだからのようです．

これらの図形の成り立ちを，以下の図で説明しましょう．
図の一番左は辺の長さが黄金比の2等辺三角形です．
つまり，底辺を１とすると，等しい２辺は1.618...
真ん中の図は，正5角形の中にできる星形で，星の頂角は黄金比の三角形にでてくる頂角36°と同じです．
一番右の図は，この星型とこの星型を180°回転したものを重ね合わせたものです．
東京ジャーミイの美しい図形は，星形を２つ重ね合わせたものになっているのにお気づきでしょうか．

 
星形を2つ重ねた図形の対称性はどのように記述しましょうか．
まず，星形の対称性は．点群5mです（５は5回回転対称軸，mは鏡映面）．
星形を重ねた図形には，2回回転対称軸２が生じ部分群として点群２も含まれます．
結局，2⊗5m＝10mmの点群になります．
あるいは，星形5mを「法」にすると，10回回転操作（36°の回転）の作る群は
｛１，10(mod5m)｝のような，位数2の点群として解釈することもできます．
この考え方の奇妙な所は，36°回転を2回続けると元の星形に重なるから振り出しに戻ったと見なすわけです．

我々の3次元ユークリッド空間では360°回転しないと元に戻らないのですが，この奇妙な空間にいたとすると
2x36°＝72°回転すると元に戻ることになります．

左の多面体は半正多面体［3,4,4,4］といいます［頂点に正3角形，正4角形，正4角形，正4角形が集まっていることを表示するシュレーフリの表記法です］．右はミラーの立体といいますが，シュレーフリの表記法では，半正多面体と同じになります．しかし，ミラーの立体は半正多面体に入れないのが慣例（入れても良いのにね）です．対称性でいうと左は正6面体や正8面体と同じ対称性ですが，右は4mmの対称性です．（図の作成はpov-ray使用による）