球面正12面体像の見える万華鏡

球面正多面体は，アラブの数学者，アブル・ワーファ（1000頃）に始まります．球面正多面体｛p,q｝は，球面正p角形が，頂点でq個集まっているもので，球面正p角形の内角は2π/qです（図D）．球面p-多角形の辺はすべて大円です．ここで例に取り上げるのは，正12面体に相当する｛5,3｝多面体です．

後に，メビウスは多面体万華鏡を発明します（1850）が，これは，球面p-多角形を．2p個の球面直角３角形に分割することを使います（図A）．
分割された3角形の内角は，π/p，π/q，π/2　で，このような直角3角形を(p,q,2)のように記述します
万華鏡は，３角形（赤く塗った）の各辺となる大円を鏡にすると得られます．
Aは，メビウス万華鏡になり，正5角形の面を10個の直角3角形に分割しています．Bは，正5角形の面を5個の2等辺3角形に分割しています．Bには，Aに存在した鏡映対称面が１つ消えています．Cの赤く練った正3角形の周囲の辺の大円を鏡に置き換えて万華鏡を作れば，正20面体の映像が見えます．
それぞれの映像写真はあとで追加しましょう．